Kombinatorik. Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran. Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011

Transkript

1 Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13 Facit.16 Bilder: Akvareller gjorda av Ramon Cavallers, övriga diagram och foton av Nils-Göran Nils-Göran Mattsson och Bokförlaget Borken, 2011 Kombinatorik - 1

2 Teori Multiplikationsprincipen Om du vill ha både en grönsaksrätt och en potatisrätt på Blaise Bistro så kan var och en av fem grönsaksrätter kombineras med en av fyra potatisrätter. Alltså blir det totala antalet val 5 4 = 20. Om man skall göra två val där det första kan utföras på n 1 olika sätt och det andra på n 2 olika sätt (efter det att det första utförts) så har man totalt n 1 n 2 valmöjligheter. Om det finns ytterligare val n 1 n 2 n 3..n k så har man totalt n 1 n 2 n 3.. n k valmöjligheter G1.1 Du har tänkt köpa en ny bil och kan välja mellan tre modeller av en Volvo samt fyra olika färger. Hur många valmöjligheter har du totalt? G1.2 Du vill ha både en grönsaksrätt, en potatisrätt och dessert på Blaise Bistro. Det finns tre sorters desserter. På hur många olika sätt kan du beställa en måltid? G1.3 Registreringsskyltarna i Sverige har tre bokstäver och tre siffror. Antag vidare att man bara använder sig av 25 bokstäver. Hur många skyltar finns det om a) alla tecken får upp upprepas, b) varje tecken bara får användas en gång? G1.4 Adrian har 6 par strumpor, 2 par långbyxor och 3 T-shirts. På hur många olika sätt kan han klä sig i dessa plagg? G1.5 Ett hexadecimalt tal kan skrivas med siffrorna : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. På hur många sätt kan ett sådant tal skrivas med 3 siffror eller färre? G1.6 Henri tippar en stryktipsrad på måfå. På hur många olika sätt kan han tippa en rad? G1.7 Morsealfabetet består av två olika signaler, en kort och en lång. Dessa sätts samman till en signalföljd som får vara högst fem signaler lång. Hur många morsesignaler kan man åstadkomma? Kombinatorik - 2

3 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter Exempel En urna innehåller tre svarta och fyra vita kulor. Man tar på måfå och utan återläggning tre kulor ur urnan. Beräkna sannolikheten för att man får två svarta och en vit kula. Man kan plocka 7 ut tre kulor bland sju på olika sätt (= n). 3 3 Antalet sätt att plocka ut två svarta kulor bland tre är. Antalet sätt 2 4 att plocka ut en vit kul bland fyra är. Alltså är antalet sätt att 1 3 plocka ut två svarta och en vit 2 4. Sannolikheten för två svarta g och en vit är = = n Låt oss definiera det n:te katalantalet som C n 1 2n = n 1 n + De sju första katalantalen är C 0, C 1,..C 6 = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132. Det finns mängder av tolkningar för dessa tal. Så är t ex mängden av plana träd med n+1 bågar C n. Nedan har vi ritat dessaför n=3. Kontrollera några av beräkningarna! Kombinatorik - 8

4 G1.29 Johan har fyra semesterveckor per år. På hur många olika sätt kan han få sin semester? De behöver inte ligga i följd. G1.30 Johan har fem semesterveckor per år. På hur många olika sätt kan han få sin semester, om han måste välja två semesterveckor under 12 sommarveckor? G1.31 En urna innehåller två röda, tre blå kulor och två vita kulor. Man tar på måfå två kulor ur urnan. Beräkna sannolikheten för a) två röda kulor b) två blå kulor c) en röd och en blå kula d) en röd och två vita. G1.32 Jevgenij har tvättat strumpor och lagt sex par i en låda, av vilka två par är röda, två par blå och två par gröna. Bortsett från färgen är de tolv strumporna lika och väl blandade. Nästa morgon, när det är mörkt ute och ljuset strejkar, tar han på måfå två strumpor ur lådan. Beräkna sannolikheten för att han får två strumpor av samma färg. G1.33 Åtta personer i en bostadsrättsförening skall få varsin parkeringsplats. De åtta platserna lottas ut bland dessa personer. Beräkna sannolikheten för att ett gift par som har varsin bil får två platser bredvid varandra. Kombinatorik - 9

5 G1.34 Man drar två kort ur en kortlek. Bestäm sannolikheten för följande händelser: a) man får två hjärter b) man får en ruter och en spader c) man får en kung och en dam. G1.35 En person byter sina sommardäck mot vinterdäck och placerar dem på måfå. Vad är sannolikheten för att däcken hamnar på samma plats som föregående vinter? G1.36 På hur många olika sätt kan man ta fem kort ur en kortlek, en s k pokerhand? a) Vad är sannolikheten att få en Royal flush (ess, kung, dam, knekt, tia i samma färg) när man tar fem kort? b) Vad är sannolikheten att få en Straight flush, fem kort i samma färg och direkt ordningsföljd när man tar fem kort? c) Vad är sannolikheten att få Fyrtal, som t ex kan vara fyra 7:or? V1.37 I en enkätundersökning deltog 500 personer. Av dessa var 310 st gifta, 110 st var gifta och under 25 år, 60 st var ogifta och 25 år eller äldre. Hur många var under 25 år? V1.38 I en påse ligger det 10 röda kulor och 20 svarta kulor, alla av samma storlek. Du plockar på måfå fem stycken kulor. Hur stor är sannolikheten att du får minst fyra röda kulor? Kombinatorik - 10

6 Teori Duvslageprincipen Om du placerar 6 duvor i 5 duvslag så måste åtminstone ett duvslag hysa mer än en duva. Om n + 1 objekt skall placeras i n fack eller lådor, så måste minst ett fack ha två eller flera av dessa objekt. Om n k + 1 objekt skall placeras i n fack eller lådor, så måste minst ett fack ha k + 1 eller flera av dessa objekt. G1.40 Varför måste det i en grupp på 55 stycken personer som är högst 50 år gamla finnas åtminstone två som är födda samma år? G1.41 In en bägare har du nio tärningar. Hur många måste du ta upp för att säkert få upp två med samma antal ögon? G1.42 In en bägare har du tjugo tärningar. Hur många måste du ta upp för att säkert få upp tre med samma antal ögon? G1.43 Visa att om 17 punkter placeras i rutnätet här bredvid så måste två av dem ha ett avstånd på högst 2 från varandra. Kombinatorik - 11