Föreläsningsanteckningar köteori
|
|
- Frida Pettersson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsningsanteckningar köteori Fredrik Olsson, Produktionsekonomi, Lunds universitet 3 augusti 206 Dessa föreläsningsanteckningar utgör en delmängd av vad som tagits upp på föreläsningarna (i visst avseende finns här även material som ej har tagits upp på föreläsning). Notera att dessa anteckningar inte ersätter kurslitteraturen. Exponentialfördelningen Utan att överdriva är exponentialfördelningen den fördelning som uppkommer oftast i köteorisammanhang. Det finns många skäl till varför just denna fördelning används flitigt. Innan vi beskriver några fundamentala egenskaper för exponentialfördelningen som gör den väldigt speciell i förhållande till andra fördelningar, så definierar vi vad som menas med en exponentialfördelning. Definition Den s.v. T är exponentialfördelad om { αe αt om t 0 f T (t) = 0 annars Vidare gäller, E(T) = /α samt Var(T) = /α 2. Att T är exponentialfördelad med väntevärde /α kan vi förkortat skriva som T Exp(/α). FördelningsfunktionenF T (t)fåssombekantgenomattintegreratäthetsfunktionen,f T (t) = P(T t) = t 0 f T(v)dv = e αt, för t 0.. Egenskap Engrundläggandeegenskaphosexp-fördelningenärattdesstäthetsfunktion,f T (t),ärstrikt avtagande. En konsekvens av detta är att, P(0 T ) > P(t T t+ ) () för alla, t > 0. I Figur ses f T (t) i fallet med α = 2. Den markerade arean under f T (t) i intervallet [0,0.5] är ju som bekant lika med P(0 T 0.5). På samma sätt är den högra markerade arean lika med P( T.5). Uppenbarligen är P(0 T 0.5) > P( T.5) eftersom f T (t) är en strikt avtagande funktion. Från () kan vi dra slutsatsen att realiseringar av T ofta är relativt nära noll, samt att stora värden på T är mer sällsynta. Läsaren uppmanas att begrunda i vilka situationer
2 2 EXPONENTIALFÖRDELNINGEN Figur : Täthetsfunktionen f T (t) med α = 2. denna egenskap är realistisk för fallet då T beskriver betjäningstid. Om T representerar tiden mellan kundankomster (interarrival times) och denna är helt slumpmässig, så kan vi med fördel modellera T enligt en exponentialfördelning. Detta har visats i många empiriska studier..2 Egenskap 2 Egenskap 2 kan sammanfattas i följande sats. Sats P(T t+ T > ) = P(T t), för varje, t > 0. Bevis: Beviset är enkelt. Vi får, P(T t+ T > ) = P( T t+ ) P(T > ) = = e α(t+ ) ( e α ) ( e α ) P(T t+ ) P(T ) P(T ) = e αt = P(T t) Denna egenskap brukar kallas för den minneslösa egenskapen. I ord säger Sats att fördelningen för den återstående tiden tills nästa händelse inträffar är densamma oavsett hur lång tid,, som har passerat sedan förra händelsen. På detta sätt kan vi (lite sloppy) säga att exponentialfördelningen är minneslös eftersom historien inte spelar någon roll. Antag t.ex. att livstiden för en bil är exponentialfördelad med väntevärde 20 år. Läsaren uppmanas att fundera över om detta antagande är realistiskt med tanke på den minneslösa egenskapen hos exponentialfördelningen. Denna egenskap är emellertid naturlig då T beskriver tider mellan kundankomster i det fall att kunder ankommer helt oberoende av varandra..3 Egenskap 3 Denna egenskap säger att minimum av ett antal exponentialfördelade variabler också är exponentialfördelad.
3 .4 Egenskap 4 3 Sats 2 Låt T,T 2,...,T n vara oberoende exponentialfördelade s.v. med parametrar α,α 2,...,α n. Sätt U = min(t,t 2,...,T n ). Då gäller att U Exp(/ n i= α i). Bevis: Vi får, P(U > t) = P(T > t,t 2 > t,...,t n > t) = P(T > t)p(t 2 > t) P(T n > t) = e α t e α 2t e αnt = e n i= α it Därmed är vi klara. Alltså, om T i representerar tiden tills en viss händelse (av n möjliga) inträffar, så representerar U tiden tills den första av de n möjliga händelserna inträffar. Antag t.ex. att det finnstreparallella kassor medexponentialfördeladebetjäningstider (medväntevärden/, / 2 respektive / 3 ) i en närbutik. Givet att alla kassor är upptagana så är alltså tiden tills nästa kund blir färdigbetjänad exponentialfördelad med väntevärde /( )..4 Egenskap 4 Här ska vi beskriva sambandet mellan Poissonfördelningen och exponentialfördelningen. Vi ska göra detta genom att definiera vad vi menar med en Poissonprocess. Innan vi gör det ska vi dock definiera mer allmänt vad vi menar med en stokastisk process. Definition 2 En stokastisk process i kontinuerlig tid är en familj av stokastiska variabler, {X(t),t I}, definierade över en kontinuerlig mängd av t-värden, I. T.ex. kan vi betrakta antal telefonsamtal till en växel under ett visst tidsinterval som en stokastisk process. Det finns många sätt att definiera en Poissonprocess. Följande definition är en av många möjliga. Definition 3 Låt X(t) vara antal händelser under (0,t]. Om tiden mellan konsekutiva händelser är exponentialfördelad (med medelvärde /α) så är P(X(t) = n) = (αt)n e αt, n = 0,,2,... n! Med andra ord, X(t) Po(αt). Då är {X(t),t 0} en Poissonprocess..5 Egenskap 5 Denna egenskap säger att det maximalt kan inträffa endast en händelse under ett mycket litet tidsintervall. Mer precist gäller, P(ingen händelse i (t,t+h]) = h+o(h), h 0 P(exakt en händelse i (t,t+h]) = h+o(h), h 0 P(fler än en händelser i (t,t+h]) = o(h), h 0 Bevis: Beviset kan göras genom att betrakta Taylor-utvecklingen av exponentialfunktionen. Det gäller att, P(ingen händelse i (t,t+h]) = e h = h+ 2 h 2 ±... = h+o(h), h 0, 2! P(exakt en händelse i (t,t+h]) = he h = h( h+o(h)) = h+o(h), h 0, P(fler än en händelser i (t,t+h]) = ( h+o(h)) (h+o(h)) = o(h) h 0.
4 4 2 INLEDANDE KÖTEORI.6 Egenskap 6. Sammanslagning av n Poissonprocesser med intensiteter,..., n ger en ny Poissonprocess med intensitet = n i= i. Detta brukar kallas för superpositionsprincipen. 2. Uppdelning av en Poissonprocess i n delprocesser resulterar i att varje delprocess är en ny Poissonprocess. Dessa två egenskaper är av fundamental betydelse i s.k. könätsteori där köer splittas och slås samman på olika sätt. I stora drag kan vi analysera könät med analytiska metoder då inprocesserna är Poissonprocesser. I annat fall får vi i princip förlita oss till simuleringsmetoder (se kursen Simulering av produktionssystem, MIO240). 2 Inledande köteori 2. Notation och beteckningar Vi ska nu införa några beteckningar för olika kösystem. Grundbeteckningen för ett kösystem är av formen, A/B/c där A, B och c har följande betydelse A betecknar fördelningen för ankomstintervallen B betecknar fördelningen för betjäningstiderna c är antalet betjänare A och B antas vara oberoende. Några exempel på möjliga A och B är M - Exponentialfördelning(M står för Markov efter den berömda ryska matematikern Andrei Markov) D - Konstant tid (D står för deterministisk) G - Generell fördelning E k - Erlang-k fördelning Vi fortsätter med att definiera ett antal köteoretiska begrepp som vi behöver för senare analys. Systemets tillstånd = antal kunder i systemet (om inget annat sägs) Kölängd = systemets tillstånd antal kunder som betjänas (dvs, antal kunder som står i kö) N(t) = antal kunder i systemet vid tid t P k (t) = P(N(t) = k) = sannolikheten att exakt k kunder är i systemet vid tid t
5 2.2 Little s formel 5 k = genomsnittlig ankomstintensitet då k kunder finns i systemet k = genomsnittlig betjäningsintensitet då k kunder finns i systemet (Obs. Den sammanlagda netjäningsintensiteten) ρ = betjäningsstationens utnyttjandegrad (0 ρ ) Notation för analys efter att systemet är i jämvikt: P k = lim t P k (t) = sannolikheten att det finns k kunder i systemet vid steady state L = förväntat antal kunder i systemet L q = förväntat antal kunder i kö W = tid i systemet för en godt. kund (Obs. en stokastisk variabel) W = E(W) = förväntad tid en kund tillbringar i systemet W q = tid i kön för en godt. kund (Obs. en stokastisk variabel) W q = E(W q ) = förväntad tid en kund tillbringar i kön 2.2 Little s formel Little bevisade 96 ett enkelt samband mellan L och W (respektive L q och W q ). Följande samband gäller L = W (2) L q = W q (3) där = kp k är den genomsnittliga ankomstintensiteten. Notera att om k = för alla k så är =. Beviset för Little s formel ligger utanför denna kurs eftersom det är ganska komplicerat. Se t.ex. Kleinrock (974) för uttömmande information. I fall att betjäningstiderna för olika betjänare är likafördelade och oberoende av varandra (samt givet att de finns köplatser), W = W q +. (4) Om vi multiplicerar (4) med så erhålles (enligt Little s formel), L = L q +. (5) Vi ska här betrakta ett illustrativt exempel innan vi kastar oss in i teorin för kösystem. Exempel Antag att bilar anländer till en bensinpump enligt en Poissonprocess med intensitet (antal per tidsenhet). Betjäningstiden antas vara exponentialfördelad med väntevärde /. Då en bil anländer till pumpen och finner tre bilar i systemet (dvs, tankande bil plus köande bilar) så kör denna bil till en annan bensinpump. Följande frågor vill vi ha svar på:
6 6 2 INLEDANDE KÖTEORI Vad är den statinära sannolikheten att det finns 0,,2,3 bilar i systemet? Hur många bilar befinner sig i medeltal i systemet? Hur många bilar befinner sig i medeltal i kön? Vad är den förväntade tiden i systemet? Vad är den förväntade tiden i kön? Med andra ord, det vi söker efter är P k (0 k 3), L, L q, W, och W q. Ett vanligt sätt att beskriva köproblem är att rita en s.k. tillståndsgraf (eller tillståndsdiagram). I Figur 2 ses tillståndsgrafen för problemet med bensinmacken. I tillståndsgrafen ses tillstånden: 0,,2, Figur 2: Tillståndsgraf. respektive 3 bilar i systemet. Pilarna anger till vilka tillstånd det är möjligt att övergå till. T.ex. finns det två bilar i systemet kan övergång endast ske till tillstånd eller tillstånd 3. Mer precist, befinner vi oss i tillstånd 2 hoppar vi till tillstånd 3 om en bil anländer till systemet (notera att bilar anländer med intensitet ). Befinner vi oss i tillstånd 2 hoppar vi till tillstånd om en bil blir färdigtankad och därmed försvinner ur systemet (en bil blir färdigtankad med intensitet ). För att hitta de stationära sannolikheterna att befinna sig i tillstånden 0,,2, och 3 ska vi använda metoden flöde in-flöde ut vilken beskrivs i nästkommande avsnitt. 2.3 Flöde in Flöde ut Betrakta tillstånd k och definiera: E k (t) = antal gånger processen anländer till tillstånd k under intervallet (0,t). L k (t) = antal gånger processen lämnar tillstånd k under intervallet (0,t). Det är klart att skillnaden mellan E k (t) och L k (t) är maximalt, d.v.s E k (t) L k (t). Division med t resulterar i, E k (t) L k(t) t t = lim E k (t) t t L k(t) t t = 0 Notera att lim t E k(t)/t = medelintensitet för vilken processen anländer till tillstånd k. lim t L k(t)/t = medelintensitet för vilken processen lämnar tillstånd k.
7 7 Alltså har vi visat att medelintensiteten för vilken processen anländer till tillstånd k måste vara lika med medelintensitet för vilken processen lämnar tillstånd k (i stationaritet). Denna princip ska vi använda flitigt för att beräkna stationära tillståndssannolikheter, P k. Fortsättning av Exempel bensinmack: Här ska vi använda principen Flöde in-flöde ut för att beräkna P k, k = 0,,2,3. Enligt Figur 2 får vi tillstånd 0 : P 0 = P tillstånd : (+)P = P 0 +P 2 tillstånd 2 : (+)P 2 = P +P 3 tillstånd 3 : P 2 = P 3 Givetvis måste vi även ha villkoret, 3 P k =, eftersom P k är sannolikheter. Ett gångbart sätt att beräkna tillståndssannolikheterna är att uttrycka P, P 2, och P 3 som funktion av P 0 och sedan använda villkoret 3 P k = för att beräkna P 0. Enkla räkningar ger P k = ( ) k P 0, k =,2,3. Från normeringsvillkoret, 3 P k =, kan P 0 beräknas enligt P 0 = +/+(/) 2 +(/) 3. Nu när tillståndssannolikheterna är beräknade kan vi enkelt beräkna L, L q, W och W q enligt L = L q = 3 kp k k= 3 (k )P k k=2 W = L W q = L q där = 3 kp k = ( P 3 ) (läsaren uppmanas att tänka efter varför detta måste gälla). 3 M/M/-systemet I detta avsnitt ska vi analysera den enklaste standardtypen av kösystem; M/M/-systemet. Här antar vi alltså att tiden mellan kundankomster samt att betjäningstider är exponentialfördelade. Vi antar även att det inte finns någon begränsning på antalet köplatser, samt att alla intensiteter är konstanta (dvs, k =, k = för k = 0,,2,...). Vi har även kravet att / < (läsaren uppmanas att tänka efter varför detta antagande görs). Kunder
8 8 3 M/M/-SYSTEMET betjänas enligt principen FIFO (first in-first out). Kunder tillåts ej lämna kön om de väl har bestämt sig för att gå in i kön. Låt oss på samma sätt som i Exempel rita en tillståndsgraf för köproblemet, se Figur 3. Med hjälp av Flöde in-flöde ut metodiken får vi följande balansekvationer k-... k... Figur 3: Tillståndsgraf för ett M/M/-system. P 0 = P (6) (+)P k = P k +P k+, k =,2,3,... (7) Lemma Ekvationerna (6) och (7) kan reduceras till P k = P k+, k = 0,,2,... Bevis: Beviset görs enklast med induktion. Till att börja med är det klart att påståendet är sant för k = 0. För k = får vi (+)P = P 0 }{{} =P +P 2 = P = P 2,OK! För att visa att påståendet gäller för alla heltal k > så gör vi induktionsantagandet att påståendet är sant för k = n, dvs P n = P n. Kan vi nu visa att påståendet även gäller för k = n så är vi klara. Vi får (+)P n = P n }{{} =P n +P n+ = P n = P n+. Beviset är därmed klart. I ord säger Lemma att, medelintensiteten som passerar ett snitt mellan två tillstånd från vänster ska vara lika med medelintensiteten som passerar snittet från höger, se Figur 4. Enligt beteckningar i Figur 4 gäller alltså, ( k +2 k )P k = ( k +2 k )P k. 3. Stationär tillståndsfördelning Vi fortsätter med att ta fram de stationära sannolikheterna P k för M/M/-systemet. Snittmetoden ger P 0 = P = P = P 0 P = P 2 = P 2 = P = P 2 =. P k = P k = P k = P k = P k = ( ) 2 P 0 ( ) k P 0.
9 3.2 Medelantal kunder och medeltid i systemet 9 Ett snitt k 2 k... k k... 2 k k Figur 4: Snitt mellan två tillstånd. Alltså, är P 0 kändså kan övriga tillståndssannolikheter beräknas enligt ovan. Sannolikheten P 0 fås ur normeringsvillkoret, P k =, dvs P k = ( ) k P 0 = P 0 / = = P 0 = /. Här har vi utnyttjat formeln för geometrisk serie samt att / <. Vi har alltså kommit fram till att tillståndssannolikheterna i ett M/M/-system fås genom ( ) k ( P k = ), där <. (8) Det bör tilläggas att det finns många andra sätt att ta fram tillståndssannolikheterna, P k. Några exempel på andra metoder är att utnyttja genererande funktioner, differensekvationer, Markovprocesser, etc. 3.2 Medelantal kunder och medeltid i systemet Här ska vi demonstrera hur medelantalet kunder i systemet, L, kan beräknas. För enkelhets skull, sätt ρ = / <. Till en början är det klart att L kan skrivas som L = kp k = k( ρ)ρ k = ρ( ρ) kρ k. Tricket är nu att den sista summan kan skrivas som en derivata, dvs ( ρ( ρ) kρ k = ρ( ρ) d ) ρ k. dρ Eftersom k 0 ρk = /( ρ) följer det direkt att ( L = ρ( ρ) d ) ρ k = ρ( ρ) d ( ) dρ dρ ρ = ρ( ρ) ( ρ) 2 = ρ ρ =.
10 0 4 M/M/S-SYSTEMET Beräkning av det förväntade antalet kunder i kö, L q, kan göras genom att utnyttja ovanstående uttryck för L. Vi får L q = (k )P k = k= kp k k= k= P k = L ( P 0 ) = = 2 ( ). Ett annat sätt att beräkna L q är att utnyttja (5). Detta ger direkt, L q = L /. Medeltiden i systemet beräknas genom att använda Little s formel. W = L/ = L/ = W q = L q / = L q / = ( ) (9) 4 M/M/s-systemet I detta system finns alltså s betjänare. Vi förutsätter att kunder ställer sig i en gemensam kö, där de blir betjänade i tur och ordning. Tillståndsgrafen ses i Figur s-... s 2 3 (s-) s s... Snittmetoden ger för k s: Figur 5: Tillståndsgraf för ett M/M/s-system. För k > s erhålles P 0 = P = P = P 0 P = 2P 2 = P 2 = 2 P = P 2 = 2 P 2 = 3P 2 = P 2 = 3 P = P 2 =. 2 3 P k = kp k = P k = k P k = P k = k! ( ) 2 P 0 ( ) 3 P 0 ( ) k P 0. P s = sp s+ = P s+ = s P s P s+ = sp s+2 = P s+2 = s P s+ =. P s+k = sp s+k = P s+k = s P s+k = ( ) 2 s ( ) k s
11 Detta resulterar i ( ) k P s+k = P s = s ( ) k s s! Ett variabelbyte ger följande ekvivalenta uttryck: ( ) s P 0 = (/)s+k s k P 0, för k 0. s! P k = (/)k s k s s! P 0, för k s. Sammanfattningsvis så fås tillståndssannolikheterna för ett M/M/s-system ur följande uttryck: P k = k! P k = (/)k s k s s! P 0 ( ) k P 0 för k s för k s Genom att utnyttja villkoret k 0 P k =, erhålles efter några förenklingar P 0 = ( s (/) k k! + (/)s s! ) /(s) där / < s. 5 Köteori med allmänna fördelningar Anledningen att kömodeller med exponentialfördelade ankomsttider och betjäningstider används flitigt är många. I många fall ankommer kunder helt slumpmässigt, vilket betyder ankomstprocessen med god grund kan modelleras som en Poissonprocess. En annan uppenbar fördel är att det är enkelt att matematiskt analysera sådana system. Å andra sidan finns många fall då kunder ankommer enligt ett visst mönster eller schema. I dessa fall är det helt orimligt att modellera ankomstiderna som exponentialfördelade. Även då det gäller betjäningstider, så är exponentialfördelningen ett orimligt antagande i många situationer. Antag t ex att kunder är produkter som anländer till en maskin för bearbetning. Betjäningstiden är i detta fall alltså tiden det tar för maskinen att bearbeta en produkt. Eftersom betjäningstiden antagligen är ungefär samma för varje produkt som anländer till maskinen så vore det bättre att antaga att betjäningstiden är konstant istället för exponentialfördelad. I följande avsnitt ska vi behandla några fall som behandlar andra fördelningar än just exponentialfördelningen. 5. M/G/-system I denna modell tillåter vi alltså att betjäningstiderna kan ha vilken statistisk fördelning som helst. Att ta fram explicita uttryck för tillståndssannolikheterna i ett M/G/ system är i princip omöjligt. Å andra sidan är man ofta intresserad av medelvärden, typ; förväntat antal kunder i kön, förväntat antal kunder i systemet, förväntad tid i systemet, etc. Genom att använda genererande funktioner för antalet kunder i systemet, samt Laplacetransformen
12 2 5 KÖTEORI MED ALLMÄNNA FÖRDELNINGAR för tiden i systemet kan dessa förväntade värden härledas ganska enkelt. Tyvärr leder det för långt att behandla detta i denna kurs, se t ex Kleinrock (974) för mer information. Vi återger här ett resultat som visades av Pollaczek-Khintchine på 30-talet. Antag att vi känner medelvärdet / och variansen σ 2 av betjäningstidsfördelningen. Då gäller att P 0 = ρ (0) L q = 2 σ 2 +ρ 2 2( ρ) () L = L q +ρ (2) W q = L q / (3) W = W q +/ (4) Uttrycket för L q i () har fått namnet Pollaczek-Khintchine s formel. Notera att L q ökar linjärt med variansen. Alltså, ju större spridning av betjäningstiderna, desto längre medelkö. Som en kontroll, betrakta ett M/M/-system där betjäningstiderna som bekant är exponentialfördelade med medelvärde / och varians / 2. Insättning i () ger, L q = ρ 2 /( ρ) vilket stämmer med våra tidigare resultat (vilken tur!). Tyvärr är det mycket svårare att härleda liknande resultat för ett M/G/s-system, s >. I dagens läge finns inga generella resultat för sådana system. Exempel 2 Vid en motortrafikled planeras att öppna en dygnet runt bensinmack med endast en bensinpump, samt försäljning av korv med bröd. Enligt mätningar anländer kunder som en Poissonprocess med intensiteten 6 kunder per timme som vill tanka. Tiden det tar att tanka en bil är exponentialfördelad med väntevärde 5 minuter. När kunden tankat färdigt går han och ställer sig i kö inne vid kassan för att betala (det finns enbart en kassa). Förutom de tankande kunderna så kommer kunder som bara vill köpa korv med bröd. Dessa antas anlända som en Poissonprocess med intensiteten kund per timme. Dessa ställer sig i samma kassakö som de som har tankat. Betjäningstiden i kassan för en godtycklig kund är konstant 3 minuter.. Vilken typ av köer uppkommer vid de olika instanserna? 2. Beräkna L q och W q för kön vid kassan. Lösning: M/M/ (bensinpump) M/D/ (kassa) b b k Figur 6: Köer i serie.. Låt b = 6 beteckna ankomstintensiteten för bensin-kunder, samt låt k = vara ankomstintensiteten för korv-kunder. Enligt förutsättningar kan problemet modelleras
13 5.2 M/E k /-system 3 som två kösystem i serie där den första kön är en M/M/ kö (bensin-kön), medan den slutliga kön är en M/D/ kö (kassa-kön), se Figur. Här har vi använt att utprocessen från ett M/M/ system är en Poissonprocess samt att superposition av Poissonprocesser ger en ny Poissonprocess. 2. Eftersom betjäningstiden är konstant så gäller att, σ 2 = 0. Pollaczek-Khintchine s formel ger, ( b + k ) 2 / 2 L q = 2( ( b + k )/) = 72 /20 2 2( 7/20) = W q = L q /( b + k ) = 0.03 timmar = 0.8 minuter där är betjäningsintensiteten för kassan ( = 20 per timme). Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en M/D/ kö är Pollaczek-Khintchine s formel reducerad till L q = ρ 2 /(2( ρ)). Notera att L q i M/D/ fallet är exakt hälften av L q i M/M/ fallet. Alltså, genom att minska variansen, σ 2, så kan bättre system-prestanda uppnås. 5.2 M/E k /-system Erlang-k fördelningen,vilkenoftabenämnssome k -fördelningen,bildasgenomattsummera k oberoende exponentialfördelade stokastiska variabler, var och en med intensitet k. Med andra ord, X = k X i, där X i Exp(/(k)), X i oberoende av X j, i j = X E k (/). i= Fördelnings- och täthetsfunktionen för en E k -fördelad stokastisk variabel är k F(t) = e kt f(t) = df(t) dt i=0 (kt) i, t 0, i! = k (kt)k (k )! e kt, med medelvärde / och varians σ 2 = /(k 2 ). Notera att i M/D/ modellen är σ 2 = 0, medan variansen i M/M/ modellen är σ 2 = / 2. För M/E k / modellen ligger variansen någonstans mitt emellan, 0 < σ 2 < /. Lägg också märke till att M/D/ och M/M/ modellerna är specialfall av M/E k / modellen. Då k = är M/E k / ekvivalent med M/M/, medan då k är M/E k / ekvivalent med M/D/. Detta betyder att vi kan approximera en konstant tid med en Erlang-k fördelad tid (med ett ganska stort k) då det visar sig vara nödvändigt (d.v.s. det kan vara svårt att lösa komplicerade kömodeller med konstanta tider). Pollaczek-Khintchine s formel för M/E k / modellen kan enligt () skrivas som L q = 2 /(k 2 )+ρ 2 2( ρ) = k+ 2k 2 ( ). (5)
14 4 5 KÖTEORI MED ALLMÄNNA FÖRDELNINGAR k=20 3 f(t) k= k=5.5 k= t Figur 7: Täthetsfunktionen f(t) plottad i fallen k =,2,5,20, för = M/E k / - upptaget system Vi ska i detta avsnitt lösa ett M/E k / system underantagandet att inget köandeär tillåtet. Observera att det endast kan finnas en kund eller ingen kund alls i sytemet under detta antagande. Eftersom köande är tillåtet i ett allmänt M/E k / sytem, så kan inte Pollaczek- Khintchine s formel användas. Vi söker tillståndsfördelningen för antal kunder i systemet, d.v.s. P k, k = 0,. Låt oss dela upp den Erlang-k fördelade betjäningstiden i k exponentialfördelade steg. Vi inför tillstånden n: n = 0: Ingen kund i betjänaren, n > 0: En kund i betänaren som har n exponentialfördelade steg kvar av sin totala betjäningstid. Denna definition av tillstånd ger motsvarande definition av tillståndssannolikheter: P 0 P n = P(ingen kund i betjänaren), = P(kunden i betjänaren har n exponentialfördelade steg kvar av sin betjäningstid). De sökta tillståndssannolikheterna P k, k = 0,, kan nu uttryckas i P n, 0 n k, enligt P 0 = P 0 k P = P n. Nu kan vi lösa systemet på vanligt sätt genom att analysera tillståndsgrafen. n=
15 5.3 M/E k / - upptaget system k- k k k k k k Figur 8: Tillståndsgraf. Med snittmetoden fås P 0 = kp P 0 = kp 2. P 0 = kp k Normeringsvillkoret, k n=0 P n ( P 0 n= = P = P 2 =... = P k = k P 0. =, ger att ) k + = P 0 = k +/. Detta ger direkt de tillståndssannolikheter vi ursprungligen var intresserade av, d.v.s. P 0 = P 0 = +/, samt P = k n= P n = / +/. Exempel 3 Antag att kunder kommer till kassan (det finns enbart en kassa) i en klädesbutik som en Poissonprocess med intensitet per minut. Kassarutinen är som brukligt, d.v.s. först packas klädesplaggen i en elegant förpackning. Därefter tar kassapersonalen betalt. Antag att varje moment tar en exponentialfördelad tid med medelvärde 0.25 minuter i anspråk. Tiden för inpackning är oberoende av tiden för betalning.. Vilket sorts kösystem ger förfarandet vid kassan upphov till? Beräkna förväntat antal kunder systemet (kassa+kö), samt förväntad tid i kön. 2. Försök att lösa delproblem. utan att använda Pollaczek-Khintchine s formel. Lösning:. Detta är ett M/E 2 / kösystem eftersom betjäningstiden är summan av två oberoende exponentialfördelade tider, och eftersom att kunder ankommer som en Poissonprocess. Eftersom /(k) = 0.25 samt k = 2 = 2. Alltså, den totala betäningstiden är E 2 (/2) fördelad. Med k = 2, =, och = 2 kan vi beräkna medelkölängden enligt (5) L q = (2 ) = 3 8. Detta ger att medelantal kunder i systemet är, L = L q + ρ = 3/8 + /2 = 7/8. Medeltiden i kön blir, W q = L q / = 3/8 minuter.
16 6 6 TILLÄMPNING AV KÖTEORI Figur 9: Tillståndsgraf för antalet kunder klädbutikens kösystem. 2. Problemet kan även beskrivas enligt följande tillståndsdiagram, se Figur 4. Här betyder, tillstånd 0: inga kunder i systemet, tillstånd : en kund i kassan där kunden har ej ännu har betalt, tillstånd 2: en kund i kassan där kunden ännu ej har fått varorna packade och ej heller betalt, etc. Uppgiften är nu att ta fram tillståndssannolikheterna, P n, för alla n 0. Då vi har ett uttryck för P n kan vi enkelt beräkna de sannolikheter vi egentligen är ute efter, d.v.s., P n = P(n kunder i systemet) = P 2n +P 2n. Med andra ord, P 0 = P 0 P = P +P 2 P 2 = P 3 +P 4 etc. Snittmetoden ger följande differensekvation, P = 4 P 0 P n+ = 4 (P n +P n), n =,2,3... (6) Att lösa (6) genom att hitta ett allmänt mönster i rekursionerna (som vi har gjort tidigare då vi hittade fördelningen för ett M/M/ system, etc) är inte att föredra i detta fall. Ett mer elegant och behändigt förfarande är att använda genererande funktioner. Tyvärr ligger detta utanför denna kurs, därför lämnar vi problemet i befintligt skick för vidare reflektioner. 6 Tillämpning av köteori Design av kösystem involverar någon form av kapacitetsbeslut. Vanligen rörande Antal betjäningsstationer Antal betjänare per betjäningsstation Betjäningshastighet hos enskilda betjänare
17 6. Definition av kostnader 7 Tillhörande beslutsvariabler är, s och. Exempel 4 Antal läkare på en akutmottagning, antal kassor/utgångar i ett snabbköp, val av maskintyp vid investeringar, etc. En grundläggande fråga är vilken servicenivå som bör väljas. Problemet är alltså att balansera kostnaden för ökad kapacitet mot reduktionen i väntetider. För att kunna göra detta så måste först väntekostnad (bristkostnad) och servicekostnad definieras. 6. Definition av kostnader Här finns två olika situationer att beakta, då kunder är interna respektive externa. Givet en bristkosnadsfunktion så kan problemet formuleras som följande optimeringsproblem W C = Väntekostnad Total bristkostnad SC = Servicekostnad Kapacitetskostnad TC = Totalkostnad Problem: mine(tc) = min{e(wc)+e(sc)} 6.. Interna kunder När interna kunder kommer till systemet så beror väntetidskostnaden främst på antal kunder i systemet. Detta pga att väntetidskostnaden (bristkostnaden) är relaterad till produktionsbortfall och tillhörande vinstbortfall. Definiera g(n) som bristkostnaden som funktion av antal kunder i systemet, N. När den stationära tillståndsfördelningen p k har bestämts så kan den förväntade bristkostnaden skrivas som E(WC) = E(g(N)) = g(k)p k. (7) Då g(n) är linjär: Detta betyder att g(n) = C W N, där C W är kostnad per tidsenhet för en kund i systemet. Den förväntade bristkostnaden blir då 6..2 Externa kunder E(WC) = C W kp k = C W L. I detta fallet kommer bristkostnaden vara baserad på väntetiden i systemet. I stora drag finns här två olika varianter. Vinstdrivande organisation: = Bristkostnaden är relaterad till förlorade försäljningsintäkter, Bad will. 2. Icke-vinstdrivande organisation: = Bristkostnaden är relaterad till en samhällskostnad.
18 8 6 TILLÄMPNING AV KÖTEORI Låt h(w) beteckna bristkostnaden som funktion av tiden i sytemet, W. Det betyder att den förväntade bristkostnaden per kund blir E(h(W)) = 0 h(u)f W (u)du (8) För att få fram den totala förväntade bristkostnaden per tidsenhet måste vi multiplicera E(h(W)) med, dvs E(WC) = E(h(W)). Då h(w) är linjär: Det betyder att h(w) = C W W. Den förväntade bristkostnaden blir alltså E(WC) = E(C W W) = C W E(W) = C W L. Notera att då bristkostnadsfunktionerna är linjära så betyder det att h(w) och g(n) ger samma totalkostnad. 6.2 Beslutsmodeller Modell - Bestämning av antal betjänare, s: Definitioner: C s = Kostnad per betjänare och tidsenhet = Betjäningsintensitet = Ankomstintensitet s = Antal betjänare Målfunktion: min s E(TC) = min s {sc s +E(WC)}. Optimering: Önskvärt är att målfunktionen vore en konvex funktion av s. I så fall beräkna E(TC) för s = och fortsätt att höja s tills E(TC) ökar för första gången. I annat fall, beräkna E(T C) för de aktuella diskreta s-värdena, och välj det billigaste alternativet. Modell 2 - Bestämning av antal betjänare, s och betjäningsintensiteten : I detta fallet kan alltså både s och varieras. I många fall finns endast ett fåtal möjliga alternativ att beakta, t ex då mängden av tillåtna -värden är ändlig. Skulle det finnas oändligt antal att välja mellan får man hoppas på att strukturen på kostnadsfunktionen är så pass enkel att det går att minimera analytiskt. I annat fall får numeriska metoder tas i bruk. Definitioner: f() = Kostnad per betjänare och tidsenhet som funktion av A = Mängden tillåtna värden på Målfunktion: min A,s E(TC) = min A,s {sf()+e(wc)}. Innan vi visar att endast en server är optimal under vissa omständigheter behöver vi först följande lemma.
19 6.2 Beslutsmodeller 9 Lemma 2 D s (ρ) = P(en anländande kund behöver vänta) = ρs s! s s ρ p 0 (Erlang-C) E s (ρ) = P(alla s betjänarna är upptagna) = ρ s /s! s ρk /k! (Erlang-B) Vidare kan D s (ρ) skrivas som D s (ρ) = se s (ρ) s ρ( E s (ρ)). Bevis: Visa som en övning till kap.7 i Hillier & Lieberman. Sats 3 Ett köstystem med endast en betjänare är optimal om det värde på som minimerar E(TC) för s = är tillåtet, f() är antingen linjär eller konkav. Bevis: Vi ska visa att s = är optimalt under inskränkningen av linjära kostnadsuttryck. Antag att kunder anländer till punkt I med intensiteten per tidsenhet. Varje kund som s I II Figur 0: s stycken betjänare från punkt I till punkt II. anländer har n stycken paket som ska skickas från punkt I till punkt II. Antal paket n är exponentialfördelat med medelvärde / stycken. Det finns s stycken betjänare för överföring mellan punkt I och punkt II, se Figur 0. Om den totala betjäningskapaciteten är K, så kan alltså varje betjänare överföra K/s paket per sekund. Detta betyder att överföringstiderna är exponentialfördelade med medelvärde α = s/(k) tidsenheter, samt att ρ = s/(k). Sätt f(α) = C s och benämn den totala förväntade kostnaden som C(s), som nu kan skrivas som ( ) s C(s) = sc s +E(WC) = sc s +C W W = sc s +C W K +D s s(ρ), K(s ρ) Sätt för enkelhets skull β = /(K). C(s) = (C s +βc W )s+βc W D s (ρ) β Lemma 2 ger att Erlang-C formeln kan skrivas som D s (ρ) = se s (βs) s βs( E s (βs)).
20 20 REFERENSER Detta ger att se s (βs) C(s) = (C s +βc W )s+βc W s βs+βse s (βs) β = (C s +βc W )s+βc W ( β)e s (βs) +β β Notera att inversen av Erlang-B formeln, E s (βs), kan uppskattas uppåt mha en geometrisk summa E s (βs) = s! (βs) s s (βs) k = s k! β s β k s! k!s s k β s s β k = β s β β Olikheten följer ur att s!/(k!s s k ) för alla s och 0 k s, vilket kan visas t ex med induktion över s och k. Från denna uppskattning följer att C(s) (C s +βc W )s+βc W β s β. Betrakta nu skillnaden C(s) C(). Kan vi visa att C(s) C() > 0 för alla s > så är vi klara. Eftersom C() = C s +βc W +βc W β/( β) följer att β( β s ) C(s) C() (C s +βc W )(s ) βc W β ( s 2 ) s 2 = C s (s )+βc W β k+ s 2 = C s (s )+βc W ( β k+ ) > 0 för alla s >. Denna sats säger att det är bättre att koncentrera resurserna till en snabb betjänare istället för att sprida ut kapaciteten på många långsamma betjänare. Referenser [] Hillier F. S. och G. J. Lieberman Introduction to Operations Research, McGraw-Hill, 8th edition, [2] Kleinrock, L. Queueing Systems, Volume I: Theory. Wiley, 974. [3] Körner, U. Köteori och tillförlitlighetsteori. Studentlitteratur, 997.
Fö relä sning 2, Kö system 2015
Fö relä sning 2, Kö system 2015 Vi ska börja titta på enskilda kösystem som ser ut på följande sätt: Det kan finnas en eller fler betjänare och bufferten kan vara ändlig eller oändlig. Om bufferten är
Läs merKunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.
Övning 3 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem. Känna till begreppen ankomstintensitet, avgångsintensitet, medelavstånd mellan ankomster och medelbetjäningstid
Läs merKunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.
Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna λ eff. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare. Problem. Antag
Läs merKunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.
Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om t ex ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet
Läs merKunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.
Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem. Känna till begreppen ankomstintensitet, avgångsintensitet, medelavstånd mellan ankomster och medelbetjäningstid
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 7 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.
Läs merTILLSTÅNDSGRAFEN. Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :
Föreläsning 3. TILLSTÅNDSGRAFEN Slutligen erhålls den mycket viktiga så kallade Snittmetoden :... Snittmetoden kommer vi flitigt att använda för att bestämma tillståndssannolikheterna! Exempel på beräkning
Läs merKunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.
Övning 3 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet när
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 6 Markovprocesser 9 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 6 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Johan Westerborn
Läs merTiden i ett tillstånd
Föreläsning 3 I denna föreläsning ska vi behandla markovska kösystem som har ett begränsat antal buffertplatser och även ett begränsat antal kunder. För att kunna göra detta behöver man några resultat
Läs merFö relä sning 1, Kö system vä ren 2014
Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014 Här följer en mycket kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Observera att dessa anteckningar inte kan ersätta läroboken, de är alltför kortfattade
Läs merM/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem
Allmänt om KÖSYSTEM (=betjäningssystem). För att definiera ett kösystem måste vi ange ankomstrocessen ( dvs hur kunder ankommer till systemet) och betjäningsrocess (dvs hur lång tid det tar att betjäna
Läs merKursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,
Läs merFö relä sning 1, Kö system 2015
Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha
Läs merKunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.
Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den medelantal upptagna betjänare i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning
Läs merKunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.
Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den avverkade och erbjudna trafiken i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till enheten Erlang för
Läs mer2 Laborationsuppgifter, upptagetsystem
Laboration 2 i Kösystem Denna laboration behandlar upptagetsystem och könät. När man kommer till en uppgift som är markerad med en stjärna (*) är det tänkt att man ska visa sina resultat för handledaren
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merKurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
KONTROLLSKRIVNING Kurs: HF Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 8 maj 9 Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälmedel: Miniräknare av vilken ty som helst och bifogade formelblad (sida ). Förbjudna hjälmedel:
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO0 OPTIMERING
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 8 AUGUSTI 207 KL 08.00 3.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merPerformance QoS Köteori SNMP. Felsökning. Jens A Andersson (Maria Kihl) GET request GET response SET request TRAP MIB. Att mäta är att veta ping
Performance QoS Köteori Jens A Andersson (Maria Kihl) SNMP GET request GET response SET request TRAP MIB Management Information Base 2 Felsökning Att mäta är att veta ping icmp echo traceroute avlyssning
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs mer1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen
1 Stokastiska processer En stokastisk process är en stokastisk variabel X(t), som beror på en parameter t, kallad tiden. Tiden kan vara kontinuerlig, eller diskret (i vilket fall man brukar beteckna processen
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 2 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 24 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merKunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.
Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Kunna beräkna
Läs merPoisson Drivna Processer, Hagelbrus
Kapitel 6 Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Poissonprocessen (igen) Vi har använt Poissonprocessen en hel del som exempel. I den här föreläsningen kommer vi att titta närmare på den, och även andra processer
Läs merPerformance QoS Köteori. Jens A Andersson (Maria Kihl)
Performance QoS Köteori Jens A Andersson (Maria Kihl) Internet Består av ett antal sammankopplade nät som utbyter data enligt egna trafikavtal. Alla delnät som utgör Internet har en gemensam nämnare: Alla
Läs merb) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 05 KL 4.00 9.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 maj
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd. Matematisk statistik 24 maj 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 maj 2016 9 14
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merHur måttsätta osäkerheter?
Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för
Läs merFöreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013
Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merTAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010
TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 1 1 Stokastiska processer Definition 1.1 En stokastisk process är en familj {X(t);t T } (kan även skrivas {X
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät med återkopplingar.
Läs merMIO310 Optimering & Simulering. Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson Produktionsekonomi Lunds tekniska högskola
MIO310 Optimering & Simulering 2015 Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson Produktionsekonomi Lunds tekniska högskola Antal poäng: 6 hp. Obligatorisk för: Industriell Ekonomi åk 3. Nivå: G2 Rek.
Läs merStokastiska processer
Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merMIO310 Optimering & Simulering. Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson, Produktionsekonomi, Lunds tekniska högskola
MIO310 Optimering & Simulering 2013 Kursansvarig: Universitetslektor Fredrik Olsson, Produktionsekonomi, Lunds tekniska högskola Antal poäng: 6 hp. Obligatorisk för: Industriell Ekonomi åk 3. Nivå: G2
Läs merKapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs meraug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13
Tentamen TEN, HF, aug 7 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: :-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken
Läs merFöreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integraler och statistik Krzysztof Marciniak ITN, Campus Norrköping, krzma@itn.liu.se www.itn.liu.se/ krzma ver. - 9--6 Inledning - lite om statistik Statistik är en gren av tillämpad
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merFöreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 16 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 13 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merStokastiska Processer
Kapitel 3 Stokastiska Processer Karakteristisk funktion: Den karakteristiska funktionen φ ξ : R n C för en R n -värd s.v. definieras för t R n. φ ξ (t) = E{e iπ(t ξ +...+t nξ n) } = E{e iπtt ξ } Den karakteristiska
Läs merUr en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få
Tentamen TEN, HF, aug 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 8:-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentamen TEN, HF, 9 maj 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 4:-8: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 208 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F9: Intensiteter 3 september 213 Egenskaper Återstående livslängd Storm Poissonprocess (igen) Händelsen A inträffar enligt en Poissonprocess med intensitet l. N A (t) = antal gånger A inträffar i (, t)
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merNedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):
EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merMIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p
Uppvisat terminsräkning ( ) Ja ( ) Nej Inst. för teknisk ekonomi och logistik Avd. för Produktionsekonomi Jag tillåter att mitt tentamensresultat publiceras på Internet Ja Nej TENTAMEN: MIO310 OPTIMERING
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs mera) Använd samtal.mat för att beräkna antalet samtal som blir spärrade i de olika cellerna under den givna timmen.
Inlämningsuppgift Svaren lämnas in i kursfacket märkt TNK090 på plan 5 i Täppan, senast 2016-10-28. Alla svar ska motiveras, tankegången i lösningen förklaras och notation definieras. Uppgifterna utförs
Läs merSimulering av Poissonprocesser Olle Nerman, Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp)
Simulering av Poissonprocesser Olle Nerman, 2015-09-28 Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp) Frågeställning: Hur åstadkommer man en realisering av en Poissonprocess på ett tidsintervall
Läs mer** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 19 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Jimmy Olsson tel. 790 72 01. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merP(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2
Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett
Läs merResträkning och ekvationer
64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merOptimering och Simulering (MIO310) Kursinformation HT 2016
INSTITUTIONEN FÖR TEKNISK EKONOMI OCH LOGISTIK AVDELNINGEN FÖR PRODUKTIONSEKONOMI www.pm.lth.se Optimering och Simulering (MIO310) Kursinformation HT 2016 AVD F PRODUKTIONSEKONOMI GATUADRESS: TELEN: HEMSIDA:
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merTAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning
TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,
Läs mer