Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Transkript

1 F9: Intensiteter 3 september 213

2 Egenskaper Återstående livslängd Storm Poissonprocess (igen) Händelsen A inträffar enligt en Poissonprocess med intensitet l. N A (t) = antal gånger A inträffar i (, t) N A (t) Po(lt), lt (lt)k P(N A (t) = k) = e, k =, 1, 2,... k! Tiden fram till första händelsen = T är exponentialfördelad: F T (t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 P(N A (t) = ) lt (lt) = 1 e = 1 e lt,! f T (t) = F T (t) = le lt, t > dvs en exponentialfördelning med väntevärde 1/l.

3 Egenskaper Återstående livslängd Storm Poissonprocess (forts) N A (t) t t t t S 1 S 2 S 3 S 4 T = T 1 T 2 T 3 Tiderna T 1, T 2,... mellan händelserna är oberoende och exponentialfördelade med väntevärde 1/l. T 4 t

4 Egenskaper Återstående livslängd Storm Poissonprocess: Återstående livslängd Antag att T > s (dvs tiden fram till första händelsen är större än s). Vad är då sannolikheten att T > s + t (dvs ingen händelse i nästa t enheter). P(T > s + t T > s) = P(T > s + t T > s) P(T > s) = e l(s+t) e ls = P(T > t) = = e l(s+t)+ls = e lt P(T > s + t) P(T > s) Den återstående väntetiden är lika stor oavsett hur länge vi redan väntat!

5 Egenskaper Återstående livslängd Storm Ex: Storm (igen) Under perioden hade Sverige 26 individuella stormar där skadorna översteg en million m 3 skog. Man har noterat tidsperioden (dagar) mellan dessa svåra stormar: Hypotesen H : Tidpunkterna mellan stormarna är exponentialfördelade testades tidigare med ett q 2 -test och kunde inte förkastas. Om stormarna kommer som en poissonprocess med intensitet l så är T = tiden mellan två stormar exponentialfördelad med väntevärde 1/l. Medelvärdet för de 25 tidsperioderna är 1/l = t = 173 dagar så l = 1/ t = 1/173 =.93 (dagar 1 ).

6 Egenskaper Återstående livslängd Storm Ex: Storm (forts) Hur stor är sannolikheten att det dröjer mer än ett år mellan två stormar? P(T > 365) e l 365 = e 365/173 =.71. Hur stor är sannolikheten att det dröjer mer än två år mellan två stormar? P(T > 365 2) e l 73 = e 73/173 =.51. Antag att vi väntat ett år men det har inte kommit någon storm. Hur stor är sannolikheten att det kommer att dröja minst ett år till innan nästa storm? P(T > T > 365) = e l (73 365) = e 365/173 =.71. P(T > 73) P(T > 365) =

7 Generaliseringar av Poissonprocessen Låt händelserna ske i planet. Låt intensiteten vara beroende av tiden (dvs inte konstant). Specialstudera tiden fram till första händelsen. Livslängdsprocess Studera tiden fram till död. död levande T t

8 Felintensitetsfunktion Överlevnadsfunktion för T: R(t) = P(T > t) = 1 F(t) = e L(t) Kumulativ felintensitetsfunktion för T: L(t) = ln R(t) = t l(u) du Felintensitetsfunktion för T: l(t) = dl(t) = f(t) dt 1 F(t) Återstående livslängd: P(T > s + t T > s) = s+t = e l(u) du e s = e l(u) du P(T > s + t) P(T > s) = R(s + t) R(s) s+t s l(u) du = e (L(s+t) L(s)) = e L(s+t) e L(s) =

9 Tolkning av l(t) Man kan visa att dvs, för små värden på t, är l(s) = lim t P(T s + t T > s) t l(s) t P(en komponent som är s tidsenheter gammal går sönder inom t tidsenheter) Olika typer av felintensiteter Växande (increasing failure rate). Enheterna slits. Konstant (constant failure rate). Enheterna är oförändrade. Avtagande (decreasing failure rate). Enheterna blir starkare.

10 Både avtagande och växande: Sveriges befolkning (SCB) 3 25 Män Kvinnor Antal döda per 1 personer Ålder Log skala Män Kvinnor Antal döda per 1 personer Ålder

11 Ex: Storm (forts) Vi har att T = tiden till nästa storm är exponentialfördelad med väntevärde 1/l, dvs med fördelningsfunktion överlevnadsfunktion kumulativ felintensitetsfunktion och felintensitetsfunktion F(t) = P(T t) = 1 e lt, R(t) = 1 F(t) = e lt, L(t) = ln R(t) = ln e lt = lt, l(t) = dl(t) dt = d lt = l (konstant). dt

12 Ex: Storm (forts) Empirisk fördelning Fördelningsfunktion F(t) Överlevnadsfunktion R(t) Tid mellan stormar 4 Λ(t) x λ(t)

13 Exempel: Kullager I ett experiment studerade man livstiden (miljoner rotationer) hos kullager. Man fick 22 observationer Empirisk fördeln Exponential Rayleigh livslängd En Rayleighfördelning tycks passa bra till de observerade livstiderna. Parametern i Rayleighfördelningen skattas till a = 81.3.

14 Ex: Kullager (forts) (a) Bestäm felintensitetsfunktionen. (b) Hur stor är sannolikheten att ett kullager klarar minst 6 miljoner rotationer? (c) Antag att ett kullager används i 6 miljoner rotationer. Vad är sannolikheten att den klarar ytterligare 6 miljoner rotationer? (d) Antag att ett system innehåller fyra kullager av den studerade typen. Systement fungerar så länge som alla kullager är ok. Beräkna systemets felintensitet. Intensiteten för kullager att gå sönder är inte konstant (i så fall hade T varit exponentialfördelad). Den beror på förslitning och bör alltså vara växande. Men hur?

15 Ex: Kullager (forts) (a) Bestäm felintensitetsfunktionen. En Rayleigh-fördelning med parameter a har fördelningfunktion F(t) = P(T t) = 1 e t2 /a 2, överlevnadsfunktion R(t) = 1 F(t) = e t2 /a 2, kumulativ felintensitetsfunktion L(t) = ln R(t) = ln e t2 /a 2 = t 2 /a 2, och felintensitetsfunktion l(t) = dl(t) dt = d dt t 2 a 2 = 2t a 2 (växande).

16 Ex: Kullager (forts) Empirisk fördeln Fördelningsfkn F(t) Överlevnadsfkn R(t) livslängd Λ(t) λ(t)

17 Ex: Kullager (forts): (b) Hur stor är sannolikheten att ett kullager klarar minst 6 miljoner rotationer? P(T > 6) = R(6) = e 62 /a 2 e 62 / =.58 (c) Antag att ett kullager används i 6 miljoner rotationer. Vad är sannolikheten att den klarar ytterligare 6 miljoner rotationer? P(T > T > 6) = P(T > 12) P(T > 6) = e 122/a2 e 62 /a 2 = e ( )/a 2 e ( )/ =.2

18 Ex: Kullager (forts): (d) Antag att ett system innehåller fyra kullager av den studerade typen. Systement fungerar så länge som alla kullager är ok. Beräkna systemets felintensitet. Vi har T i = livslängd hos kullager i, i = 1, 2, 3, 4, och T = livslängd hos systemet = min(t 1, T 2, T 3, T 4 ). R(t) = P(T > t) = P(T 1 > t, T 2 > t, T 3 > t, T 4 > t) = P(T 1 > t) P(T 2 > t) P(T 3 > t) T 4 > t) ( = e t2 /a 2) 4 = e 4t 2 /a 2, L(t) = ln R(t) = 4t 2 /a 2, l(t) = d dt 4t 2 a 2 = 8t a 2 = 4 2t a 2 = 4 l i(t) Systemet har fyra gånger så hög felintensitet som ett kullager.

19 Ex: Kullager (forts) 1.8 Överlevnadsfkn för 1 kullager Överlevnadsfunktion för systemet livslängd 2 1 Λ(t) för 1 kullager Λ(t) för systemet λ(t) för 1 kullager λ(t) för systemet

20 Exempel: Alarmsystem I ett elektroniskt alarmsystem kan fel uppstå p.g.a. åsknedslag. Från insamlade data och erfarenheter av liknande system har man funnit att fördelningen för systemets funktionstid T (uttryckt i dagar) ges av fördelningsfunktionen F T (t) = 1 e.1t, t (a) Bestäm felintensiteten l(t). (b) Beräkna sannolikheterna att systemet fungerar längre än en vecka (7 dagar), en månad (3 dagar), 1 dagar. (c) Man har installerat ett skydd mot åsknedslag. Emellertid måste dock hänsyn tas till att detta skydd åldras; antag därför en felintensitet på systemet l(t) =.1t. Är detta system säkrare?

21 Ex: Alarmsystem (forts) (a) Bestäm felintensiteten l(t). F(t) = 1 e.1t R(t) = 1 F(t) = e.1t L(t) = ln R(t) =.1t l(t) = dl(t) dt Konstant, dvs exponentialfördelning! =.1 (b) Beräkna sannolikheterna att systemet fungerar längre än en vecka (7 dagar), en månad (3 dagar), 1 dagar. P(T > 7) = R(7) = e.1 7 =.932, P(T > 3) = R(3) = e.1 3 =.741, P(T > 1) = R(1) = e.1 1 =.368.

22 Ex: Alarmsystem (forts) (c) Man har installerat ett skydd mot åsknedslag. Emellertid måste dock hänsyn tas till att detta skydd åldras; antag därför en felintensitet på systemet l(t) =.1t. Är detta system säkrare? P(T > t) = e L(t) = e t l(u) du = e t = e [.1u2 /2] t = e.1t2 /2, P(T > 7) = e.1 72 /2 =.976, P(T > 3) = e.1 32 /2 =.638, P(T > 1) = e.1 12 /2 =.67. Njä, inte på längre sikt..1u du

23 Ex: Alarmsystem (forts) Överlevnadsfunktion utan åskskydd Överlevnadsfunktion med åskskydd Livslängd (dagar) Λ(t) utan åskskydd Λ(t) med åskskydd Livslängd (dagar).6 λ(t) utan åskskydd.4 λ(t) med åskskydd Livslängd (dagar)