Datorövning 3 Bootstrap och Bayesiansk analys
|
|
- Erika Ek
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövning 3 Bootstrap och Bayesiansk analys I denna datorövning ska vi fokusera på två olika angreppssätt för att studera osäkerheten hos skattningar: bootstrap och bayesiansk analys. I den första delen ska vi undersöka tiden mellan jordbävningar, och, i den andra, livslängden hos kullager. Data finns i filerna quakeper.mat respektive ballbearings.mat på hemsidan. 1 Förberedelseuppgifter 1. Läs igenom laborationshandledningen samt kapitel och 6 i boken. 2. Skriv ner Bayes formel för uppdatering av en a priori-täthetsfunktion till en a posteriori-täthetsfunktion. 2 Jordbävningsdata Tidsintervallen mellan successiva allvarliga jordbävningar (> 7.5 på Richterskalan eller mer än 1000 dödsfall) över hela jorden har noterats. Sammanlagt 63 allvarliga jordbävningar, dvs 62 tidsintervall, finns registrerade. Detta datamaterial täcker perioden 16 december 1902 till 4 mars Vårt mål är att få en uppfattning om sannolikheter att få en period av mer än 1500 dagar ( 4 år) mellan jordbävningar. Vi ska skatta denna sannoklikhet och rita ett histogram för att beskriva osäkerheten hos denna skattning. Vi ska också göra ett konfidensintervall för sannolikheten. Läs in jordbävningsdata i Matlab och rita in data i ett (normerat) histogram: >> load quakeper >> histpdf(quakeper) % histpdf från kurshemsidan. >> xlabel( dagar ) % Sätter titel på x-axeln Från tidigare studier (och histogrammet) tror vi att en exponentialfördelning borde passa bra för att modellera tiderna mellan jordbävningar. Exponentialfördelningen har en parameter, ( = förväntad tid mellan jordbävningar): F X (x; ) = 1 e x/. (1) och vi söker sannolikheten p = P(X > 1500) = 1 F X (1500; ) = e 1500/. (2) Först ska vi skriva ner skattningen av p och (försöka) beräkna variansen. Antag att vi har n slumpvariabler X k, k = 1,... n, som är oberoende och vars fördelning ges av ekvation 1. ML-skattningen av ges då av
2 ii  = 1 n n X k. Ekvation 2 ger sedan att k=1 P = e 1500/Â. (3) Notera att, eftersom variablerna X k är slumpmässiga så är även  and P slumpmässiga. Osäkerheten hos skattningen P mäts med hjälp av dess varians. Ett sätt att beräkna variansen för P är att utnyttja att V (P ) = E((P ) 2 ) E 2 (P ). Uppgift: Skriv upp de integraler som ger E(P ) och E((P ) 2 ). Verkar de enkla att beräkna? Variansen är uppenbarligen inte så lätt att beräkna. Därför ska vi istället använda bootstrap för att lösa problemet. 2.1 Punktskattning av p För att få en skattning p av p beräknar vi först ML-skattningen av och utnyttjar ekvation 3: >> thetastar = mean(quakeper) >> pstar = exp(-1500/thetastar) Uppgift: Skriv upp skattningen av p. Ett annat sätt att skatta sannolikheten är att använda den empiriska fördelningsfunktionen. Rita upp den empiriska fördelningsfunktionen och avläs sannolikheten att överstiga värdet 1500: >> [x,ratios] = empcdf(quakeper); >> plot(x,ratios) Man kan också få den empiriska skattningen på följande vis: >> pemp = sum(quakeper>1500)/length(quakeper) % Jämför lab1. Uppgift: Ligger skattningarna pstar och pemp nära varandra? Om de inte legat nära varandra, vad kunde det berott på? Nu är frågan hur bra skattningen är, framförallt hur osäker den är. Vi vill inte beräkna den teoretiska variansen eftersom det är ganska besvärligt. Istället utnyttjar vi bootstrap-tekniken för att undersöka osäkerheten hos p.
3 iii 2.2 Uppskattning av osäkerheten hos p med hjälp av bootstrap Under de senaste årtiondena har bootstrap-tekniker varit föremål för stort intresse. Bootstrap-tekniken kombinerar klassisk inferensteori med datorintensiva metoder. Vi ska bara beröra några grundläggande idéer 1 och demonstrera hur man använder bootstrap för att hitta fördelningen för skattningsfelet E = p p. Vi kan ju inte beräkna fördelningen fullständigt eftersom vi bara har en skattning p och p är okänt. Men med hjälp av bootstrap kan vi åtminstone skatta fördelningen för felet E. För att förstå den grundläggande idén bakom bootstrap, använder vi först ett litet datamaterial: >> y = [23, 45, 67, 89, 132, 171] % Ett litet datamaterial >> n = length(y) % med n observationer. Följande två rader ger ett boostrap-stickprov från vektorny: >> help randi % Vad gör funktionen randi? >> Iboot = randi(n,1,n) % En (1 x n)-vektor med slumptal från 1,...,n. >> yboot = y(iboot) % Ett bootstrap-stickprov från y % med y-värdena från platserna i Iboot. Se till att du förstår huryboot uppstod frånymed hjälp aviboot. Upprepa raderna >> Iboot = randi(n,1,n) >> yboot = y(iboot) för att få nya stickprov. Vektorn yboot innehåller 6 värden där varje element i yboot tar något av värdena [23, 45, 67, 89, 132, 171] med lika sannolikhet. Nu ska vi använda de 62 observationerna i quakeper. Vi har antagit att de är oberoende av varandra. Från värdena i quakeper fick vi skattningen p av p. Nu ska vi undersöka hur p varierar när vi slumpmässigt, med återläggning, väljer 62 värden från stickprovet quakeper: >> n = length(quakeper); >> Iboot = randi(n,n,1) % (n x 1)-vektor istället. >> yboot = quakeper(iboot) % Ett bootstrap-stickprov. >> thetaboot = mean(yboot) % En bootstrapskattning av theta. >> pboot = exp(-1500/thetaboot) % En bootstrapskattning av p. Värdetpboot är en ny skattning av p, skattad med bootstrap-stickprovet yboot. Uppgift: Hur stämmerpboot med de tidigare skattningarnapstar ochpemp? Vårt syfte med att bootstrapa från quakeper var ju att få fram fördelningen för E = p p. Man kan visa att E = p p har approximativt samma fördelning som skillnaden pstar-pboot. Så om vi upprepar kommandona ovan för att göra flera skattningar pboot, kan vi sedan göra ett histogram för skillnaden pstar-pboot, som beskriver variationen hos felet p p och därmed osäkerheten hos skattningen p : 1 Den som vill lära sig mer om bootstrap kan läsa FMS091 Monte Carlo-baserade statistiska metoder
4 iv >> NB = 1000; % Antal bootstrap-replikat. >> for k=1:nb yboot(:,k) = quakeper(randi(n,n,1); % (:,k) betyder end; % "alla rader men bara kolumn k". % Vi får alltså en n x NB-matris med % med de olika bootstrap-stickproven % i varsin kolumn. >> thetaboot = mean(yboot); % Ett medelvärde för varje kolumn. >> pboot = exp(-1500./thetaboot); % Divisionen./ betyder elementvis % division, inte matrisdivision som är % default i Matlab. Rita upp bootstrap-skattningarna för att se hur de varierar: >> figure(1) >> histpdf(pboot,20) % Histogram med 20 klasser. Beräkna bootstrap-felen och se hur de varierar: >> esterror = pstar-pboot; >> figure(2) >> histpdf(esterror,20) Uppgift: Jämför de två histogrammen. Hur relaterar de till varandra? Uppgift: Enligt teorin är ML-skattningar approximativt normalfördelade om n är stort. Man kan fråga sig om 62 är tillräckligt stort. Ser det normalfördelat ut? 2.3 Bootstrap-konfidensintervall Eftersom skattningsfelen inte är särskilt normalfördelade är det inte någon bra idé att använda ett normalfördelningsbaserat konfidensintervall även om vi kunnat beräkna variansen. Istället gör vi ett konfidensintervall baserat direkt på fördelningen för felen med hjälp av kvantilerna för de bootstrapade felen. Vi vill göra ett 95 % konfidensintervall och behöver därför ta fram 2.5 %- och 97.5 %-kvantilerna för bootstrap-felen: >> help prctile % Empiriska kvantiler. >> q = prctile(esterror,[ ]) Vi har nu att 95 % av felen ligger i intervallet [q(1), q(2)]. Eftersom felen ges av E = p p, så blir intervallet för p: >> confint = [pstar+q(1),pstar+q(2)] Uppgift: Beräkna bootstrap-konfidensintervallet för p.
5 v 3 Bayesiansk analys av jordbävningsdata Istället för bootstrap-tekniken ska vi nu analysera samma data med Bayesiansk teknik. Vi ska undersöka intensiteten Ä = 1/Â istället för återkomsttiden Â. Den sannolikhet vi är intresserade av är P = P(X > 1500) = e 1500/Â = e Ä I likhet med i bootstrap-exemplet, vill vi hitta fördelningen för P. I en Bayesiansk ansats är intensiteten Ä en slumpvariabel, därför betecknas den med stor bokstav. I klassisk ansats är Ð en fix, men okänd, konstant medan skattningen är slumpmässig. I den Bayesianska ansatsen är P en funktion av slumpvariabeln Ä och alltså också en slumpvariabel. Vi tar fram fördelningen för P genom att utgå från fördelningen för Ä. Vi antar, som tidigare, att tiderna mellan jordbävningar är exponentialfördelade. Det medför att antalet jordbävningar, N, under tidsintervallet [0, t] är Poissonfördelat, givet att vi känner värdet på intensiteten, Ä. Det ger att sannolikheten för k jordbävningar är: Ðt (Ðt)k P(N = k Ä = Ð) = e, för k = 0, 1,... k! Den Bayesianska tekniken kräver att vi har en a priori-fördelning för Ä. Sedan använder vi informationen om att det inträffade 63 jordbävningar under perioden för att få a posteriori-fördelningen. Uppdateringen görs med formeln f post Ä prior (Ð) = c P(N = 63 Ä = Ð) f (Ð), (4) Ä där c är en konstant, dvs. den beror inte på Ð. 3.1 Val av a priori-fördelning Första steget i en Bayesiansk analys är att välja a priori-fördelning. A priori-fördelningen ska återspegla vår kunskap om Ä innan vi gjort mätningarna. Om vi inte vet så mycket om Ä ska vi välja en platt fördelning. Här ska vi välja en oegentlig ( improper ) a priori-fördelning: f prior Ä (Ð) = 1/Ð, för Ð > 0. Detta ger en icke-informativ a priori-fördelning. Vi ritar upp en bit av den: >> lambda = linspace(0.001,0.005); % Jämnt fördelade tal mellan och >> f_prior = 1./lambda; %./ för elementvis division. >> plot(l,f_prior) Uppgift: Varför är denna a priori-fördelning oegentlig?
6 vi 3.2 Beräkning av a posteriori-fördelningen För att beräkna a posteriori-fördelningen behöver vi ta hänsyn till att vi vet att det blev 63 jordbävningar på days (16 december 1902 till 4 mars 1977). Vi beräknar a posteriori-fördelningen med hjälp av ekvation 4. Eftersom N = antal jordbävningar, är poissonfördelad, får vi att Ð (Ð 27120)63 P(N = 63 Ä = Ð) = e 63! och a posteriori-fördelningen blir f post (Ð) = c c Ä 1 e Ð Ð }{{ 63 } Ð 1 }{{} uppdateringssannolikhet a prior-fördelning = c 1 e Ð Ð 63 = c 2 Ð 63 1 e Ð vilket är en gammafördelning med parametrar a = 63 och b = (Matlab använder parametrarna a och 1/b). Vi ritar a posteriori-fördelningen i samma diagram som a priori-fördelningen: >> a=63; b=27120; >> hold on >> plot(lambda,gampdf(lambda,a,1/b), r ) >> hold off Uppgift: Jämför a priori- och a posteriori-fördelningarna. Nu är vi ju egentligen intresserade av a posteriori-fördelningen för P = e Ä Eftersom ln P = 1500 Ä ska vi beräkna fördelningen för logaritmen av en gamma-fördelningen. Det går bra eftersom det är en monoton funktion. Vi får att fördelningsfunktionen för P ges av F p (p) = P(P p) = P(e Ä 1500 p) = P(Ä ln p) = 1 F Ä( med täthetsfunktionen f P (p) = F P (p) = d dp (1 F Ð( ln p) = p f Ä( Eftersom Matlab har funktioner för gammafördelningen behöver vi inte räkna ut exakt hur funktionerna ser ut. Vi ritar upp a posteriori-fördelningen för p: ln p). >> p = exp(-lambda*1500); >> subplot(211) % Delfigurer i samma fönster med 2 rader och 1 % kolumn. Rita i första delfönstret. >> plot(p,1-gamcdf(-log(p)/1500,a,1/b)) >> title( A posteriori-fördelningsfunktion för p ) >> xlabel( p ) >> subplot(212) % Rita i andra delfönstret. >> plot(p,1./(1500*p).*gampdf(-log(p)/1500,a,1/b)) >> title( A posteriori-täthetsfunktion för p ) >> xlabel( p ) Vi kan nu läsa av gränserna för ett 95 % trolighetsintervall för p i den övre figuren. Vi kan också räkna ut det med hjälp av kvantilerna i gamma-fördelningen: ln p)
7 vii >> q_lambda = gaminv([ ],a,1/b) >> q_p = exp(-[q_lambda(2) q_lambda(1)]*1500) Uppgift: Avläs trolighetsintervallet i figuren och kontrollera att det stämmer med kvantilberäkningen. Uppgift: Jämför trolighetsintervallet med konfidensintervallet från förra avsnitten. Verkar de lika? Vi ritar in histogrammet över bootstrapskattningarna från förra avsnittet i samma figur som a posterioritäthetsfunktionen: >> hold on >> histpdf(pboot) >> hold off Uppgift: Verkar det som om de två skattnings-teknikerna ger liknande fördelning på osäkerheten? 4 Kullager Vi avslutar med en ny bootstrap. Vi ska studera mätningar av livslängden på kullager. Vi anpassar en fördelning och vill undersöka osäkerheten hos skattningen av kvantilen x 0.9. Läs in data i Matlab: >> load ballbearings Livslängdsmätningarna ligger i variablenball. Mätenheten är millioner cykler. Av erfarenhet vet man ett en Weibullfördelning ofta är en lämplig model för denna typ av data. Rita data i ett Weibull-papper för att kolla att det kan stämma: >> wblplot(ball) Uppgift: Verkar det passa med en Weibullfördelning? Weibullfördelningen har två parameterar, a och c: F X (x) = 1 e (x/a)c (5) Nu påstår en expert att bara 10 % av kullagren har en livslängd på mindre än 40 million cykler. Vi vill undersöka detta påstående med hjälp av bootstrap.
8 viii 5 Kullager en bootstrap-studie Vi ska nu undersöka den intressanta kvantilen, x 0.9. Mer precist, ska vi skatta kvantilen och undersöka variationen hos skattningen med hjälp av bootstrap. Först skattar vi parametrarna a och c i Weibull-fördelningen och ritar upp den empiriska fördelningsfunktionen tillsammans med den skattade fördelningsfunktionen: >> par = wblfit(ball); >> a=par(1), c=par(2) >> [x,ratios] = empcdf(ball); >> plot(x,ratios) >> hold on >> plot(x,wblcdf(x,a,c), r ) >> hold off Vi kan beräkna den empiriska skattningen av x 0.9 genom att läsa av den empiriska fördelningsfunktionen eller genom >> x09emp = prctile(ball,10) Vi kan också använda ML-skattningen och läsa av den skattade fördelningsfunktionen eller använda >> x09star = a*(-log(0.9))^(1/c) Uppgift: Skatta x 0.9 på båda sätten och jämför skattningarna. För att få en uppfattning om variationen hos skattningen bootstrapar vi materialet för att få fler skattningar av x 0.9 : >> n = length(ball) >> NB = 1000; >> for k=1:nb xboot = ball(randi(n,n,1)); pboot = wblfit(xboot); x09boot(k) = pboot(1)*(-log(0.9))^(1/pboot(2)); end Rita ett histogram över bootstrap-skattningarna och beräkna ett bootstrap-konfidensintervall: >> figure >> histpdf(x09boot,20) >> esterror = x09star-x09boot; >> q = prctile(esterror,[ ]); >> x09ci = [x09star+q(1) x09star+q(2)] Uppgift: Verkar experten ha rätt i att bara 10 % av kullagren har en livslängd på mindre än 40 million cykler?
Datorövning 3 Bootstrap och Bayesiansk analys
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-17 Datorövning 3 Bootstrap och Bayesiansk analys I denna datorövning ska vi fokusera på
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merDatorövning 6 Extremvärden och Peak over Threshold
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövning 6 Extremvärden och Peak over Threshold I denna datorövning ska vi använda mätningarna
Läs merrepetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merDatorövning 6 Extremvärden och Peaks over Threshold
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-16 Datorövning 6 Extremvärden och Peaks over Threshold I denna datorövning ska vi använda
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF45/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-18 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merDatorövning 1 Introduktion till Matlab Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-12 Datorövning 1 Introduktion till Matlab Fördelningar I denna datorövning ska du först
Läs merbli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate
Läs merLaboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning 1 Syfte Syftet
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merDATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F7: Bayesiansk inferens Klassisk vs Bayesiansk Två problem Klassisk statistisk inferens Frekventistisk tolkning av sannolikhet Parametrar fixa (ofta okända) storheter Skattningar och konfidensintervall
Läs merDatorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merWeibullanalys. Maximum-likelihoodskattning
1 Weibullanalys Jan Enger Matematisk statistik KTH Weibull-fördelningen är en mycket viktig fördelning inom tillförlitlighetsanalysen. Den används ofta för att modellera mekaniska komponenters livslängder.
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL
Matematisk Statistik SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Introduktion Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.
Läs merMatematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs mer1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Angående grafisk presentation
UNDS TEKNISKA ÖGSKOA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR, FMS 33, T-3!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av
Läs merSimulering av Poissonprocesser Olle Nerman, Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp)
Simulering av Poissonprocesser Olle Nerman, 2015-09-28 Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp) Frågeställning: Hur åstadkommer man en realisering av en Poissonprocess på ett tidsintervall
Läs merLaboration 1: Beskrivande statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 1: Beskrivande statistik 1 Syfte Syftet med den här laborationen
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merträna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merLaboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merDiskussionsproblem för Statistik för ingenjörer
Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merLunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS035: MATEMATISK STATISTIK FÖR M DATORLABORATION 1 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna på att hantera olika numeriska
Läs merI den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin Statistik för ingenjörer 1MS008 VT 2011 DATORÖVNING 2: SKATTNINGAR OCH KONFIDENSINTERVALL 1 Inledning I den här datorövningen ser vi hur R kan
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merLunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS035: MATEMATISK STATISTIK FÖR M DATORLABORATION 1, 2012-03-30 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna på att hantera olika
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merMatematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg. Laboration 1. Simulering
Matematikcentrum (7) Matematisk Statistik Lunds Universitet Per-Erik Isberg Laboration Simulering HT 006 Introduktion Syftet med laborationen är dels att vi skall bekanta oss med lite av de olika funktioner
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merLaboration med Minitab
MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merMatematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT2007. Laboration. Simulering
Matematikcentrum 1(7) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs HT007 Laboration Simulering Grupp A: 007-11-1, 8.15-.00 Grupp B: 007-11-1, 13.15-15.00 Introduktion Syftet
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merIntroduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab
Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merSF1910 Tillämpad statistik, HT 2016 Laboration 1 för CSAMHS, CLGYM-TEMI
Matematisk Statistik Introduktion SF1910 Tillämpad statistik, HT 2016 Laboration 1 för CSAMHS, CLGYM-TEMI Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merFöreläsning 4, Matematisk statistik för M
Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merFöreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori
Föreläsning 4 Kapitel 5, sid 127-152 Stickprovsteori 2 Agenda Stickprovsteori Väntevärdesriktiga skattningar Samplingfördelningar Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen 3 Statistisk inferens Population:
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 2018-09-19 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merLaboration 2: Styrkefunktion samt Regression
Lunds Tekniska Högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Styrkefunktion & Regression FMSF70&MASB02, HT19 Laboration 2: Styrkefunktion samt Regression Syfte Styrkefunktion Syftet med dagens
Läs mer1 Förberedelser. 2 Teoretisk härledning av värmeförlust LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01
LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 1 Förberedelser I denna laboration modelleras värmeförlusten i ett kraftverk
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merLaboration 4: Lineär regression
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 4: Lineär regression 1 Syfte Denna laboration handlar om regressionsanalys och
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merMålet för D3 är att studenterna ska kunna följande: Dra slumptal från olika sannolikhetsfördelningar med hjälp av SAS
Datorövning 3 Statistisk teori med tillämpningar Simulering i SAS Syfte Att simulera data är en metod som ofta används inom forskning inom ett stort antal ämnen, exempelvis nationalekonomi, fysik, miljövetenskap
Läs merFöreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar
Läs merSannolikhet och statistik med Matlab. Måns Eriksson
Sannolikhet och statistik med Matlab Måns Eriksson 1 Inledning Det här kompiet är tänkt att användas för självstudier under kursen Sannolikhet och statistik vid Uppsala universitet. Målet är att använda
Läs merDATORÖVNING 2: STATISTISK INFERENS.
DATORÖVNING 2: STATISTISK INFERENS. START Logga in och starta Minitab. Se till att du kan skriva Minitab-kommandon direkt i Session-fönstret (se föregående datorövning). CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN Enligt
Läs merKontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)
Statistiska institutionen VT 2012 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs mer