Uppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Uppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag"

Linnéa Jakobsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL Examinator: Gunnar Englund tel Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 5 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 0 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 20 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med 8 9 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift Vi tänker oss att personer lever för evigt och inte åldras. En person kan antingen ha arbete, vara arbetslös eller vara förtidspensionerad. Sannolikheten att en person som har arbete under en kort tidsperiod t (år) övergår till arbetslös är 0.2 t (dvs. med intensiteten 0.2 per år). Sannolikheten att en arbetslös person under tiden t får ett arbete är 4 t och sannolikheten att kan blir förtidspensionerad (av arbetsmarknadsmässiga skäl) är 0.5 t. En person som har arbete blir aldrig förtidspensionerad direkt, och en förtidspensionerad person förblir så för evigt. a) En person börjar ett arbete och tjänar kronor om året medan han arbetar, och har kronor om året i arbetslöshetsersättning när han är arbetslös. Som förtidspensionerad har han ingen inkomst, utan lever på luft. Bestäm personens förväntade totala inkomst. (5 p) b) En person som börjar med arbete blir så småningom förtidspensionerad och måste då uppenbarligen varit arbetslös vid åtminstone ett tillfälle (en period av arbetslöshet). Bestäm sannolikhetsfördelningen för X = antalet arbetslöshetsperioder, dvs P (X = k) för k =, 2,.... (5 p) Uppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden 0 = solig dag och = regnig dag och med övergångsmatris P = ( 0.7 )

Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 5 uppgifter.

2 forts tentamen i SF a) Beräkna sannolikheten för att en viss lördag är solig. (4 p) b) Beräkna sannolikheten för att en viss lördag och även den närmast följande söndagen är soliga. (2 p) c) Om en viss fredag är solig, hur stor är sannolikheten att närmast följande lördag och söndag är soliga? (2 p) d) Om en viss fredag är solig, hur stor är sannolikheten att närmast följande söndag är solig? (2 p) Uppgift 3 En Markovkedja {X n ; n 0} med tillståndsrum {, 2, 3, 4} har övergångsmatrisen P = Kedjan startar vid tidpunkt 0 i tillstånd. a) Beräkna förväntat antal steg tills kedjan för första gången hamnar i tillstånd 4. (5 p) b) Låt T vara tiden tills kedjan för första gången hamnar i tillstånd 4. Visa att det finns två konstanter a och b, 0 < a, b < sådana att a n P (T > n) b n samt ange värden på dessa två konstanter. Ledning: Betrakta vad som kan hända i de enskilda tidsstegen. (5 p) Uppgift 4 Till en nord-sydgående 2 km lång tunnel anländer bilar norrifrån enligt en poissonprocess med intensitet bilar per minut och söderifrån enligt en poissonprocess med intensitet 0.5 bilar per minut. Poissonprocesserna är oberoende av varandra. Bilar som anländer till tunneln kör med exakt 60 km/timme. a) Beräkna sannolikheten att vid en fix tidpunkt t, högst 5 bilar finns i tunneln. (5 p) b) Vad är sannolikheten att en norrifrån kommande bil inte möter någon bil under sin färd genom tunneln? (5 p) Uppgift 5 Ett system består av två parallellkopplade komponenter, dvs systemet fungerar om åtminstone en av komponenterna fungerar. Dessa har dels felintensiteten λ var för sig då systemet är helt, dels en gemensam felintensitet (höga spänningar, t.ex. åsknedslag, slår ut bägge komponenterna samtidigt) med intensiteten λ. När den ena komponenten är sönder, har den återstående felintensiteten λ 2 (> λ ) (och dessutom den gemensamma felintensiteten λ). Beräkna förväntad livslängd för systemet om man startar med två hela komponenter. (0 p)

(2 p) d) Om en viss fredag är solig, hur stor är sannolikheten att närmast följande söndag är solig? (2 p) Uppgift 3 En Markovkedja {X n ; n 0} med tillståndsrum {, 2, 3, 4} har övergångsmatrisen 0.

3 Avd. Matematisk statistik LöSNINGAR TILL TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL Uppgift a) Texten ger Q-matrisen i infinitesimal form. Om vi låter tillstånden vara =Arbetande, 2=Arbetslös och 3=Förtidspensionerad erhåller vi matrisen Q = där sista raden innebär att 3 är ett absorberande tillstånd. Låt x vara den förväntade inkomsten om man börjar i arbete, och y vara den förväntade inkomsten om man börjar som arbetslös. Man får då ekvationssystemet x = y = /0.2 + y / /4.5x eftersom vi ligger i i genomsnitt /0.2 och då erhåller i genomsnitt /0.2 och sen hoppar till 2 och då i fortsättningen får y. På liknande sätt ligger vi vid ett besök i tilltånd 2 där i genomsnitt /4.5 och erhåller därför /4.5 och hoppar sen till tillstånd med sannolikhet 4/4.5 och erhåller därefter i genomsnitt x. Ekvationssystemet ger x = kronor. b) Betrakta hoppkedjan. Sannolikheten att man från arbetslöshet går till att ha arbete, betingat att man byter tillstånd, är 4 = 8 medan sannolikheten att man går till förtidspension, betingat att man byter tillstånd, är. Varje gång man får ett arbete kommer man senare att bli arbetslös igen, medan om man blir förtidspensionerad så stannat man där för evigt. Sannolikheten 9 P (antal perioder av arbetslöshet = k) är alltså ( 8 9 )k, dvs. vi har en ffg( ). 9 9 Uppgift 2 a) Den stationära fördelningen π = (π 0, π ) bestäms av ekvationssystemet πp = π eller 0.7π π = π 0 0.3π π = π vilket ger 3π 0 = 2π. Av detta och π 0 + π = fås π = (0.4, 0.6). Således fås π 0 = 0.4. b) Vi har P (X n+ = 0, X n = 0) = P (X n = 0)P (X n+ = 0 X n = 0) = π 0 p 00 = = 0.28.

Låt x vara den förväntade inkomsten om man börjar i arbete, och y vara den förväntade inkomsten om man börjar som arbetslös. Man får då ekvationssystemet x = y = 280 000/0.2 + y 224 000/4.5 + 4/4.

4 forts tentamen i SF c) Pga. Markovegenskapen fås P (X n+ = 0, X n = 0 X n = 0) = p 00 p 00 = = d) Enligt Chapman-Kolmogorovs ekvationer följer P (X n+ = 0 X n = 0) = p 00 p 00 + p 0 p 0 = = Uppgift 3 Vi gör om tillstånd 4 till ett absorberande tillstånd och betraktar alltså tiden tills absorbtion. a) Sätt t i =förväntad tid tills absorbtion i tillstånd 4 vid start i tillstånd i, i =, 2, 3. Vi erhåller då ekvationssystemet d.v.s. t = + 0.4t + 0.2t t 3 t 2 = + 0.4t + 0.5t 2 t 3 = + 0.3t + 0.4t t 3 6t = 0 + 2t 2 + 2t 3 5t 2 = 0 + 4t Detta ekvationssystem löses lätt och vi erhåller 8t 3 = 0 + 3t + 4t 2 t = 370/57 t 2 = 40/57 t 3 = 45/57 Den sökta förväntade tiden är alltså t = 370/ b) Om kedjan ligger i något av genomgångstillstånden,2 eller 3, är sannolikheten att vid nästa tidpunkt absorberas i tillstånd 4 lika med 0. eller 0.2, d.v.s. sannolikheten att i ett enskilt tidssteg inte absorberas ligger mellan 0.8 och 0.9. Händelsen {T > n} är händelsen att inte absorberas i tidstegen, 2,..., n och p.g.a. markovegenskapen är denna sannolikhet högst lika med = 0.9 n och minst lika med = 0.8 n. Det gäller alltså att 0.8 n P (T > n) 0.9 n. Konstanterna kan alltså sättas till a = 0.8 och b = 0.9. Uppgift 4 a) Eftersom de bilar som vid en tidpunkt finns i tunneln är de som kommit norrifrån eller söderifrån under de två senaste minuterna (det tar två minuter för en bil att köra genom tunneln), är antalet bilar i tunneln lika med X + Y där X Po(2 ) = Po(2) och Y Po(2 0.5) = Po()). Totala antalet bilar är X + Y är då Po(2 + ) = Po(3) och P (X + Y 5) = 0.96 enligt tabell 7. b) När en norrifrån kommande bil kommer till tunneln är de söderifrån kommande bilarna som finns i tunneln de som anlänt under de senaste två minuterna. Dessa kommer den norrifrån kommande bilen att möta liksom de bilar som anländer söderifrån till tunneln under de två minuter som

Uppgift 3 Vi gör om tillstånd 4 till ett absorberande tillstånd och betraktar alltså tiden tills absorbtion.

5 forts tentamen i SF det tar för den norrifrån kommande bilen att fara genom tunneln. Antalet bilar, Z, som anländer söderifrån till tunneln under dessa fyra minuter är Po(4 0.5) = Po(2) och P (Z = 0) = e 2 = 0.35 Vi inför tillstånden Vi får intensitetsmatrisen Uppgift 5 E i = i stycken enheter fungerar, i = 0,, Q = (λ 2 + λ) (λ 2 + λ) 0 λ 2λ ( ) Sätt Vi får då (FS 4.2.5), som ger t i = förväntad tid till absorption i E 0 givet start i E i, i =, 2. t 2 = t = λ 2 + λ och t 2 = + 2λ t ( + 2λ ) = + λ 2 λ 2 + λ ( )(λ 2 + λ).

35 Vi inför tillstånden Vi får intensitetsmatrisen Uppgift 5 E i = i stycken enheter fungerar, i = 0,, 2.

Relevanta dokument

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 208 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel: