ANVISNINGAR TILL INLÄMNINGSUPPGIFTER I TILLFÖRLITLIGHETSTEORI. På inlämningsuppgiften ska alltid namn och elevnummer finnas med.

Transkript

1 ANVISNINGAR TILL INLÄMNINGSUPPGIFTER I TILLFÖRLITLIGHETSTEORI På inlämningsuppgiften ska alltid namn och elevnummer finnas med. Numeriska svar ska ges med fyra decimaler. Detta har att göra med rättningen och beror inte på att fyra decimaler är rimligt att ge. Tänk på att inte avrunda innan alla beräkningar är gjorda. INLÄMNING Inlämning ska ske SENAST angivet datum. Inlämningsuppgiften kan ges till lärare på lektion eller lämnas i svarta brevlådan i ingångshallen till matematiks elevexpedition. Om du lämnar i brevlådan så lägg uppgiften i ett kuvert med adressat Jan Enger. Den som inte lämnar in uppgifterna i tid kommer att få göra extra inlämningsuppgifter. Alla inlämningsuppgifter måste vara godkända senast den 3 juni KOMPLETTERING Inlämningsuppgifter som inte blir godkända får kompletteras. De ska lämnas in SENAST på angivet kompletteringsdatum (kommer att återfinnas på hemsidan.) För att en komplettering ska kunna rättas måste (hela) gamla inlämningsuppgiften lämnas in. Kompletteringen behöver bara bestå av de delar som ska kompletteras. RESULTAT Resultat på inlämningsuppgifter återfinns på kursens hemsida. Kontrollera uppgifterna då och då, eftersom det är dessa uppgifter som är de officiella.

2 Inlämningsuppgift nr 1, TTT- och Kaplan-Meierplott Tillförlitlighetsteori för T3 vt 2005 Inlämnas senast den 9 februari 2005 till lärare eller i svarta postlådan mittemot elevexpeditionen matematiska institutionen (ange namn och elevnumret ovan på inlämnade blad) a) Konstruera en TTT-plott, gärna med MATLAB, från livslängder enligt databladet. Avgör om livslängdsfördelningen verkar vara IFR, DFR eller ingetdera. Motivera. Användbara matlab-funktioner är sort, som sorterar elementen i en vektor i storleksordning och cumsum, som ger successiva summor av koordinaterna i en vektor. b) Man önskar en utbytesstrategi för den sorts komponenter som data kommer ifrån. Om komponenten brister är kostnaden för en ny komponent och utbyte till denna b kronor, medan en ren underhållskostnad är u kronor. Efter underhåll blir komponenten som ny. Beräkna en optimal utbytesstrategi, dvs tidsintervall mellan underhåll. c) Antag att de fyra första tiderna (understrukna) inte är livslängder utan tider då enheterna föll ur undersökningen (censurerade data). Skatta överlevnadsfunktionen med hjälp av en Kaplan-Meierplott. Kostnader och livslängder, se databladet.

3 Inlämningsuppgift nr 2, Weibullanalys, Tillförlitlighetsteori för T3 vt 2005 Inlämnas senast den 23 februari 2005 till lärare eller i svarta postlådan mittemot elevexpeditionen matematiska intitutionen (ange namn och elevnumret ovan på inlämnade blad) Data enligt databladet är från ett livslängdsprov av 50 kullager vars livslängder är weibullfördelade med formparamenter c och skalparameter a; R(t) = e (t/a)c. Man avbröt provningen när 20 kullager brustit. a) Skatta a och c med hjälp av Weibulldiagram (kan hämtas från kursens hemsida). b) Beräkna numeriskt maximum-likelihoodskattningen av a och c. Det kan vara lämpligt att sätta b = 1/a c. Man får då R(t) = e btc. Beräkna ML-skattningen av b och c. ML-skattningen för b kan enkelt utryckas i c, varför man sedan har ett optimeringsproblem i en variabel, c. För att erhålla ML-skattningen för c kan man t. ex. använda Maple eller MATLAB. I Maple kan fsolve utnyttjas. I MATLAB kan fzero eller fmin användas. c) Skatta medianen L 50 -livslängden, dels med hjälp av Weibulldiagrammet, dels med hjälp av ML-skattningarna. Det skall framgå hur du gjort skattningen. L 50 -livslängden definieras av att det är 50 % sannolikhet att livslängden är mindre än denna.

4 Inlämningsuppgift nr 3, MOCUS, Tillförlitlighetsteori för T3 vt 2005 Inlämnas senast 14 april 2005 till lärare eller i svarta postlådan mittemot elevexpeditionen matematiska institutionen (ange namn och elevnumret på inlämnade blad) a) Beräkna med hjälp av MOCUS-algoritmen minimala snitt i felträdet enligt särskilt blad. Lösningen skall innehålla alla steg i algoritmen, men det är tillåtet att i ett steg stryka brott som man direkt ser inte kan vara minimala. Bashändelserna anges med bara siffror; 1,2,... osv. Anm: Det är inte säkert att alla bashändelser i trädet är relevanta. b) Antag att alla bashändelser inträffar med sannolikhet 0.05, oberoende av varandra. Beräkna, exakt eller approximativt, sannolikheten att topphändelsen inträffar. Ange hur du erhållit din sannolikhet. Elevnummer är felträdets nummer i övre högra hörnet.

5 Inlämningsuppgift 4, Markov, Tillförlitlighetsteori för T3, vt 2005 Inlämnas senast den 29 april 2005 till lärare, eller i svarta postlådan mittemot teknologexpeditionen matematiska institutionen. Uppgift 1 a) Motivera att en asymptotisk fördelning, oberoende av startfördelning, existerar för en Markovkedja med tillståndsrum {1,2,3,4,5} och övergångsmatris P samt beräkna denna. b) Beräkna sannolikheten att befinna sig i tillstånd 3 vid tidpunkt 5 givet start i tillstånd 1, dvs givet X 0 = 1. c) Beräkna sannolikheten att komma till tillstånd 3 före tillstånd 5 vid start i tillstånd 1? d) Beräkna förväntad tid tills man för första gången hamnar i tillstånd 5 givet start i tillstånd j, j = 1, 2, 3, 4. I alla dina svar skall du motivera beräkningarna. Uppgift / I systemet enligt figuren fungerar komponenterna oberoende av varandra. Om en komponent brister repareras den. Felintensiteter, λ i, och reparationsintensiteter, µ i, är konstanta, oavsett om systemet är nere eller ej, och dess värden återfinns i databladet. Flera komponenter kan repareras samtidigt. a) Beräkna asymptotisk tillgänglighet. b) Beräkna MTTF, d.v.s. förväntad tid till första systemfel. Systemet startar med alla komponenter hela. c) Antag att komponenterna inte repareras. Beräkna i så fall systemets överlevnadsfunktion, d.v.s. R(t) = P (T > t) där T är systemets livslängd Ange även överlevndadsfunktionens värde för t = 100. d) Antag att komponenterna inte repareras. Beräkna i så fall komponenternas Vesely-Fusselsmått, I V F (i), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, vid tidpunkten t = 100. Se databladet för övergångsmatris och intensiteter.