Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Transkript

1 Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19

2 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med en händelse A där P(A) = p upprepas n oberoende ggr, X = Antal ggr A inträffar. Sannolikhetsfunktion: p X (k) = ( ) n p k (1 p) n k, k k = 0, 1,..., n Egenskaper: Om X Bin(n x, p) och Y Bin(n y, p) så är X + Y Bin(n x + n y, p) Moment: E[X] = n x p och V[X] = n x p(1 p) Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 2/19

3 Binomialkoefficienten Uttrycket ( ) n = k n! k!(n k)!. kallas för binomialkoefficienten. Härledning: Hur många kombinationer finns om vi drar k tal från n? Svar: n... (n k + 1) = n! (n k)! Hur många av dessa är dubbletter? Svar k... 1 = k! Då blir antalet sätt att få exakt k av n n! (n k)! k! = ( ) n k Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 3/19

4 Poissonfördelningen Poissonfördelningen mäter antalet händelser givet en fix intensitet l Sannolikhetsfunktion: En sannolikhetsfunktion enligt Beteckning: X Po(l) p X (k) = lk exp( l) k! kallas för Poissonfördelning med parameter l. Egenskaper: Om X Po(l1) och Y Po(l2) så är X + Y Po(l1 + l2) Moment: E[X] = l och V[X] = l Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 4/19

5 Fördelningsfunktion För att räkna ut sannolikheter behöver täthetsfunktioner f X (x). Det kan därför vara användbart att ha en fördelningsfunktion (borde heta kumulativ förd.funk.) F X (x) = P(X x) Några egenskaper: 0 F X (x) 1, eftersom det är en sannolikhet F X (x) är växande. Kontinerlig F X (x) = x f X(t)dt f X (k) = F X(x) x Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 5/19

6 Hur beräknas P(A)? Antag att A = [a, b] Då får vi att I P(A) = b a f X(t)dt II P(A) = F X (b) F X (a) Vad händer om jag byter A = [a, b] mot A = [a, b)? Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 6/19

7 Tolkning av f X (x) Rita på tavlan. Vad betyder f X (x) Skev/symmetrisk täthet Vad innebär E[X] = xf X (x)dx Vad innebär V[X] = E[(X E[X]) 2 ] Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 7/19

8 Exempel a-kvantil, x a En kvantil, x a, till en s.v. X är en gräns som överskrids med slh a. Den fås som lösning till någon av följande ekvationer. F X (x a ) = 1 α xa f X (x) dx = 1 α x a f X (x) dx = α f 1 a a x_a x Eller direkt ur x a = F 1 X (1 α) Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 8/19

9 Exempel Exempel Glödlampa (forts.) Låt X = Livslängden hos en glödlampa i år. Antag att fördelningen för X beskrivs av följande täthetsfunktion { e x, x 0 f X (x) = 0 x < 0 a) Beräkna kvantilen x a som funktion av a. b) Beräkna numeriskt de tre kvartilerna x 0.25, x 0.50 och x (x 0.50 kallas även median) c) Gör en konkret tolkning av x Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 9/19

10 Rektangel- eller likformig fördelning Beteckning: X R(a, b) eller X U(a, b) (eng. uniform) Täthetsfunktion: f X (x) = { 1 b a, 0 f.ö. a x b 1/(b a) 0 a b Generalisering: Beta fördelningen. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 10/19

11 Exponentialfördelning Beteckning: X Exp(l) eller X G(1, l) Täthetsfunktion: { le lx, x 0 f X (x) = 0 x < 0 f X (x) λ = 2 λ = 1 λ = 1/2 λ = 1/ x Anm. I bland (t.ex i Matlab) används bet. Exp(μ) där μ = 1/λ. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 11/19

12 Gamma-fördelning (generalisering av Exp) Beteckning: X G(p, l) Täthetsfunktion: f X (x) = { l c G(c) xc 1 e lx, x 0 0 x < 0 Egenskaper Om X i Exp(l) p i=1 X i G(p, l) Egenskaper Ej monotont avtagande täthet Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 12/19

13 Weibull-fördelning (generalisering av Exp) Täthetsfunktion: f X (x) = { lc(lx) c 1 e (lx)c, x 0 0 x < 0 Egenskaper Beskriver ofta livslängder, utmattningsgränser osv. Specialfall c = 1 Exponentialfördelningen, c = 2 Rayleighfördelningen Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 13/19

14 EXEMPEL: För laster som varierar långsamt i tiden, t ex snö, utgår man vid statisk dimensioneringfrån årsmaximivärden. Med karakteristisk last menas den last som överstigs med en viss given sannolikhet p. Ett vanligt värde på p är 0.02, motsvarande lastvärde kallas populärt 50-årslasten. Från Umeåtrakten har man samlat in årsmaxima för snödjupet vid 51 år under 1900-talet antal år årsmaximum i snödjup (enhet=?) 0.2 anpassad gammafördelning årsmaximum i snödjup Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 14/19

15 (a) 50-årslasten är ett exempel på en s.k. återkomsttid. Vad är tolkningen av begreppet återkomsttid? (b) Vad är fördelningen för X-årsmaxima? (c) Bestäm 50-årslasten. Lämplig typ av modell (gammafördelning, G(p, a)): f(x) = 1 a p G(p) xp 1 e x a, x 0 Från observerade årsmaxima kunde man göra följande uppskattningar (kommer senare i kursen): a = och p = Detta ger följande täthetsfunktion f(x) = x e x 1.074, x 0 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 15/19

16 Normalfördelning Beteckning: X N(m, s) Täthetsfunktion: f X (x) = 1 (x m) e 2s 2, 2 < x < 2ps µ = σ = 2 σ = 1 f X (x) f X (x) µ = 0 µ = 10 σ = x x Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 16/19

17 Log-normal Fås då man transformerar normalfördelningen där X N(m, s) Täthetsfunktion: f X (x) = Y = exp(x) Egenskaper Skev, strikt positiv fördelning 1 x (ln(x) m) 2ps 2 e 2s 2, 2 0 < x < Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 17/19

18 q 2 -fördelning Antag att X i N(0, 1). Då definieras Y q 2 (k) variabeln som Y = k i=1 X 2 i Täthetsfunktion: f X (x) = xk/2 1 exp( x/2) G(k/2)2 k/2, 0 < x < Egenskaper Skev, strikt positiv fördelning Egenskaper Notera att q 2 (k) = G(k/2, 2) Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 18/19

19 Transformationer av s.v. (3.10 i boken) Hur beräknar vi tätheten för en log-normal variabel? Definera Y = exp(x) Söker f Y (y) Börja från P(Y y) Vilket ger P(exp(X) y) Vilket ger P(X log(y)) = F X (log(y)) Derivering ger svaret. Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 19/19