729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift.

Transkript

1 729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift Instruktioner Dessa uppgifter utgör en del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt. Dessutom skall du vara beredd på att vid behov kunna redovisa dina lösningar muntligt. Eventuella frågor kring inlämningsuppgiften kan skickas till jody.foo@liu.se. Svar på frågan skickas till hemuppgiftslistan utan att avslöja vem som ställt frågan. Om du vill vara med på den listan, skicka ett e-post till jody.foo@liu.se och säg till! Hjälpmedel: Du får använda kursmaterialet som hjälpmedel. Inlämning Hemuppgiften släpps 31 augusti 2016 och ska lämnas in 7 september 2016 (senast kl 23.59). Nedan följer anvisningar för inlämningen. Digital inlämning: En PDF med dina svar (ej en PDF-fil för varje sida) skickas in till 729g04@ida.liu.se med ämnesraden Hemuppgift dittliuid [jodfo01]. Ersätter dittliuid med just ditt LiU-ID. Pappersinlämning: Svar på papper lämnas i Jodys fack utanför hans dörr. Häfta ihop dina papper (att vika ena hörnet räknas inte). Namn, LiU-ID och personnummer ska innas högst upp på varje sida. Detta gäller ÄVEN digitala inlämningar. Påbörja en ny sida för varje uppgift. Deluppgifter (a, b, c... ) behöver inte börja på ny sida. Gäller ÄVEN digitala inlämningar. Det ska vara tydligt vilken uppgift som svaret hör till Avvikelser från ovanstående som försvårar rättning kan leda till att inlämningen underkänns. 1

2 Krav för betyget godkänd Hemuppgiften är indelad i fyra delar som motsvarar de områden vi täckt i kursen. För betyget godkänd krävs godkänt på samtliga delar. Om du i webbreg för kursomgången HT2015 har en del registrerad som godkänd behöver du ej göra den. Vid betyget underkänd ges nästa hemuppgift i oktober Inga godkända delar kan dock plockas med till det tillfället. Se kurshemsidan under Examination för datum. 2

3 Mängdlära (4+3=7p) För godkänt på denna del krävs 4p 1. I en affär har 10 anställda. Alla anställda går till jobbet en gång varje dag. 6 av dem börjar jobba kl 8 på morgonen. Några av dessa slutar kl. 15 samtidigt som andra börjar jobba. Vid stängningsdags kl. 20 går 8 personer hem. Ingen har gått hem eller börjat sitt skift sedan kl. 15. Hur många går hem tidigare? Formalisera problemet med mängdnotation, och visa dina beräkningar. Gör gärna Venndiagram också, men notera att det inte ett tillräckligt svar. 2. Vi har följande mängder U = {x : x N, 1 x 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {x : x U, x är jämn}, C = {x : x U, x > 4}, D = {x : x U, x < 7}, E = {1, 2, 3}. Lös nedanstående uppgifter. (3p) a) Visa mängderna i ett tydligt Venndiagram. b) Ta fram potensmängden av A. c) Använd mängderna och mängdoperationer för att få fram mängden {4}. d) Gäller E A? Varför? Varför inte? e) Beräkna (B C) E f) Beräkna U \ A 3

4 Funktioner (2+2+2=6p) För godkänt på denna del krävs 4p 1. Ange för nedanstående funktioner om de är injektiva, surjektiva eller bijektiva. Skissa en graf och motivera din kategorisering utifrån den. a) f : R R, f(x) = x 2 b) f : R R, f(x) = 2x c) f : R R, f(x) = sin(x) d) f : N N, f(x) = 2x 2. f : R R. a) Ge ett exempel på f där värdemängden är {p : p är siffran på månaden i ditt personnummer} b) Skissa en graf för ett exempel på f där f inte är injektiv. Ge ett argument för varför den inte är injektiv. 3. Vi har f : R R, där f(x) = 2x. a) Beskriv funktionens värdemängd med mängdnotation. b) Beskriv funktionens målmängd med mängdnotation. 4

5 Relationer (3+4=7p) För att få godkänt på denna del krävs 4p 1. Mängden D = {hus, mus, snus, grus, sten, ben, gran} är kodnamnen på fyra hemliga agenter. Använd matematisk notation och beskriv relationen rimmar på (R) på D. Är relationen R reflexiv? Irreflexiv? Symmetrisk? Antisymmetrisk? Transitiv? Motivera ditt svar. 2. Vi har följande relationer på A, där A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(2, 4), (2, 2), (4, 2), (4, 1), (4, 4)} R 3 = {(1, 4), (2, 2), (4, 2), (4, 4), (4, 1)} a) Är relationen R 1 transitiv? Skriv ner definitionen av en transitiv relation och motivera ditt svar med hjälp av den. b) Är relationen R 2 irreflexiv? Skriv ner definitionen av en irreflexiv relation och motivera ditt svar med hjälp av den. c) Är relationen R 2 antisymmetrisk? Skriv ner definitionen av en antisymmetrisk relation och motivera ditt svar med hjälp av den. d) Ge ett exempel på en relation E på A där E = 4. 5

6 Grafer (1+2+2=5p) För att få godkänt på denna del krävs 3 poäng Skriv vilka dina siffror D 1 och D 2 (se figur 1). 2 A 1 A A D 2 3 A 4 A 5 D 1 5 A 6 Figure 1: D 1 är den första siffran i ditt personnummer på formen ÅÅMMDD och D 2 den sista siffran i ditt personnummer på formen ÅÅMMDD. 1. Beskriv grafen i figur 1 på formen G = (V, E). 2. Lös följande uppgifter för grafen i figur 1. a) Räkna ut graden av varje nod. b) Använd grafnotation och beskriv två vägar i grafen i figur 1 som båda har längden 4. c) Är grafen i figur 1 komplett? Varför/Varför inte? d) Ge ett exempel på information i någon domän som skulle kunna representeras som en viktad, riktad graf. Beskriv vad noderna, bågarna, vikterna och riktningarna skulle kunna representera. 3. Försök att använda Dijkstras algoritm för att hitta den kortaste vägen mellan A 6 och A 3 i figur 1. Visa tydligt hur du gått tillväga för att göra det. Om du hittar den kortaste vägen med Dijkstras algoritm, ange särskilt den kortaste vägens längd, vilken den kortaste vägen är och i vilken ordning som noderna avsökts (eller markerats som klara). 6