729G04 - Diskret matematik. Lektion 4
|
|
- Peter Månsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 1 Lösningsförslag 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c, d, f, g, h, i, j}, E = {{a, b}, {b, c}, {a, c}, {f, g}, {c, d}, {b, d}, {d, i}, {j, i}}. a) Beskriv en promenad i grafen. Exempelvis a{a, b}b{b, c}c. När vi har en enkel graf och det är helt entydigt vilken båge som leder från a till b kan vi skriva detta lite kortare som a b c. b) Beskriv en väg i grafen. Finns det en väg som inte är en stig? Beskriv den isåfall. En väg har inga upprepade kanter/bågar. Ett exempel är j i d c b d. Denna är inte heller en stig (för vi upprepar noden d). c) Beskriv en stig i grafen. Finns det en stig som inte är en väg? Beskriv den isåfall. En stig har inga upprepade noder (utom möjligen om första = sista nod). Ett exempel är a b c. d) Är grafen cykelfri? Nej. Vi kan till exempel hitta a b c a. 1.2 Sammanhängandebegreppet, komponenter 2. Konstruera en delgraf G G (G från uppgiften ovan) som är en skog (en samling träd). Vi behöver åtminstone två träd. En enkel variant: G = (V, E ) där V = {a, b, c, f, g}, E = {{a,b}, {b, c}, {f, g}} 1
2 3. Betrakta grafen från uppgift 1 ovan. a) Vilka är komponenterna i grafen? Grafen med noderna a, b, c, d, i, j (och bågarna dem emellan) är en komponent. Grafen med f, g (och bågen dem emellan) en annan. Slutligen är grafen med (den isolerade) noden h en komponent. b) Är G = (V, E ), V = {a, b, c}, E = {{a, b}, {b, c}, {c, a}} en komponent i grafen? Bevis eller motexempel. Nej. Vi kan hitta en större sammanhängande delgraf, som G bara är en delgraf av. Informellt: lägg till noden d och (åtminstone en) båge till den för att hitta en större komponent. Mer formellt: Låt G = (V, E ), V = {a, b, c, d}, E = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {b, d}, {c, d}}. (Här har vi lagt till d och alla bågar till den.). Då är G G (G delgraf, men G innehåller något ytterligare), och G är sammanhängande. Därmed är inte G maximal, och inte en komponent. 4. Vi ges den riktade grafen G=(V,E), V={a, b, c, d, f, g, h}, E = {(a, f), (f, a), (a, b), (b, c), (c, g), (c, d), (d, b)}. Vilka är komponenterna i grafen? Här avses maximal strongly connected components. Informellt har vi följande uppdelning (fyll gärna ut till en fullständig beskrivning av grafer): Noderna {a, f} och bågarna dem emellan. Noderna {b, c, d} och bågarna dem emellan. Noden {g}. Noden {h} (Uppdaterat). 5. Den riktade grafen ovan är inte acyklisk. a) Bekräfta det. Vi har exempelvis en cykel a f a (fler finns, vi behöver bara påvisa en). b) Antag att du kan ta bort- eller vända på bågar. Vilket är det minsta antal bågar som behöver tas bort/vändas för att grafen ska bli acyklisk? Två. Vi måste bryta cyklerna a f a och b c d b. Detta går att göra genom att ta bort en av bågarna (a, f) eller (f, a), och att vända någon av bågarna mellan b, c, d. När vi gör detta uppstår inga nya cykler (potentiellt problem i en större graf, så det måste bekräftas). 2
3 6. Vi ges en (oriktad) graf över ett nätverk med skådespelare. Det finns en båge mellan två skådespelare om de varit med i samma film. Grafen är inte sammanhängande. Berätta något som vi kan säga om personerna, och deras kopplingar. Det finns ingen som direkt eller indirekt samarbetat med alla (spelat i samma film som någon som spelat i samma film som...). 1.3 Billigaste vägar (med mera) 7. Vi ges den riktade, viktade grafen G=(V,E) med V={a, b, c, d, f, g, h, i}, viktade kanter E som nedan. Båge Vikt (a, b) 0 (a, c) 5 (b, d) 1 (b, h) 2 (h, d) 2 (c, f) 5 (d, c) 2 (d, g) 8 (f, g) 0 (f, d) 0 (g, f) 1 (g, i) 3 (f, i) 4 a) Hitta den billigaste vägen från a till i (om den finns). Vilken blir kostnaden? Vilken är vägen? Kortaste vägen är a b d c f g i, kostnad = 11. Vi beskriver ett par steg i sökprocessen: Initialt: vi sätter distans = för alla noder utom startnoden, och distans för startnoden till 0. Ingen nod har föregångare. Vi har noder att avsöka ( active set ) som enbart består av startnoden a, och inga klara än. Vi markerar de aktiva noderna nedan fetstilt. Strikt taget behöver vi inte hålla koll på detta (och pseudokoden inkluderar inte sådant, även om föreläsningsgenomgången gjorde det). Det finns däremot ofta praktiska skäl att göra det. Framförallt blir det färre noder att söka igenom i varje varv, och det blir möjligt att söka i 3
4 extremt stora grafer (tänk: personer på facebook, datorer på internet) utan att behöva lagra hela grafen i minnet 1 a 0 - c - d - g - Vi väljer den billigaste noden av de aktiva, nämligen a. Den har grannar b och c. Granne c har inte avsökts sedan tidigare, och den har distans[c] = > distans[a] + c ac = (c ac här utläses kostnaden för bågen a c). Därför uppdaterar vi grannen c:s distans och föregångare, och lägger till den till noder att avsöka. Vi gör samma sak med b. a 0 - Klar b 0 a c 5 a d - g - Billigast nu är b. Vi väljer den, undersöker grannar d, h och får tabellen: a 0 - Klar b 0 a Klar c 5 a d 1 b g - h 2 b 1 Teknisk detalj, som bara är relevant om du vill skriva en egen implementation (och inte annars): en lätt modifikation krävs såklart av lagrade vägkostnader isåfall, så att man inte behöver sätta d = för allt i världen. 4
5 När vi nu väljer att avsöka d märker vi att vi hittar en kortare väg till c. distans[c] = 5 från början, men distans[d] + c dc = = 3. Så vi uppdaterar distans[c] och föregångare: a 0 - Klar b 0 a Klar c 5 3 a d d 1 b Klar g 9 d h 2 b Vi bygger vidare, och efter ett antal steg får vi a 0 - Klar b 0 a Klar c 5 3 a d Klar d 1 b Klar f 8 c Klar g 9 8 d f Klar h 2 b Klar i f g Nu börjar vi söka utifrån målet i. I detta steg kan vi avsluta. Vi hittar kortaste vägen genom att se på slutmålet i. I tabellen kan vi avläsa vilken dess närmsta föregångare på kortaste vägen 2 är g. Föregångaren på kortaste vägen g, så kedjan ser ut som a... g i. Föregångare till g är f, så vi har kortaste vägen a... f g i. Fortsätter vi söka hela vägen tillbaka ser vi vägen a b c f g i. b) Hitta den billigaste vägen från g till b (om den finns). Vilken blir kostnaden? Vilken är vägen? Det finns ingen sådan väg. Detta märker vi genom körning av Dijkstras algoritm (eller t ex komponentuppdelning). 2 I denna graf finns bara en kortaste väg. Dijkstra kommer, om man inte modifierar den, ge en av de kortaste vägarna om det finns flera som är lika långa. 5
6 c - d - g 0 - Vi uppdaterar grannarna f, i. c - d - f 1 g i 3 g Utgå från nod f. Grannar: d, i. c - d 1 f f 1 g Klar i 3 g Utgå från nod d. Grannar: c, g. (g redan klar). c 3 d d 1 f Klar f 1 g Klar i 3 g Utgå från nod c (vi kunde valt i - som har samma beräknad distans 6
7 - också, det hade inte spelat någon roll för slutresultatet). Grannar: f. (f redan klar). c 3 d Klar d 1 f Klar f 1 g Klar i 3 g Utgå från nod i. Inga grannar. c 3 d Klar d 1 f Klar f 1 g Klar i 3 g Klar Och därmed är vi klara. Vi har inga aktiva noder att avsöka, och vi har inte kunnat nå målet. Därmed kan vi konstatera att det inte finns en väg g b i grafen. c) Du vill nu hitta alla noder som är nåbara från f (noder v sådana att det finns en väg f... v i grafen). Det kan man göra enkelt här, men vi söker helst en mer generell algoritm. Modifiera Dijkstras algoritm så att du kan hitta alla noder, och hitta sedan alla noder som är nåbara från f. Algoritmidé: se på sökningen ovan. Om vi istället för att sluta när vi hittat ett visst mål, fortsätter fylla på tabellen tills vi hittat alla kortaste vägar med start i f, så kommer vi att hitta alla nåbara noder. De nåbara noderna är samma som ovan: c, d, f, g, i. 8. När vi ser på strukturen för ett nätverk kan det vara intressant att se på dess diameter sett utifrån en viss nod v. I en vänskapsgraf innebär det att vi bildar kedjor av vänner till v, vänner-till-vänner-till-v och så vidare. Diametern sett från v är längden av den allra längsta sådana vänskapskedjan. Använd (en lätt modifierad) Dijkstras algoritm för att räkna ut diametern i grafen från uppgift 1, sett från nod j. 7
8 Idé Vi använder samma modifierade algoritm som i uppgiften ovan. Det enda vi behöver tänka på här är att vi ska räkna antalet steg, så vi tar grafen i uppgiften och ger varje båge vikten 1. Diametern blir Blandat 9. Vi ges grafen från avsnitt 7 ovan. Vilka komponenter har den? Beskriv de respektive delgraferna. Informellt (återigen: beskriv graferna!) Komponenten med noden a. Komponenten med noden b. Komponenten med noden h. Komponenten med noden i. (Uppdaterat) Komponenten med noderna c, d, f, g. 10. I grafen från 7 kan vi ta hitta en väg a i. Hur många bågar behöver vi ta bort för att det inte ska finnas en sådan väg? Om vi försöker ta bort bågar så att a i, samtidigt som w(e) e är en borttagen båge minimeras, vilka ska vi ta bort då? Svar Bågarna (a, b), (a, c), total vikt = Nej! Grafen har åtminstone två noder v i v j. Eftersom den är starkt sammanhängande så finns det vägar mellan varje par av noder. Så det finns (åtminstone) en väg v i v j och (åtminstone) en väg v j v i. Men då finns det en cykel v i v j v i. 12. (*) Vi har en riktad graf G=(V, E), och relationen R = {(v i, v j ) : v i tillhör samma komponent i G som v j } på V. Visa (eller troliggör) att R är en ekvivalensrelation. Reflexiv. För varje nod v V så tillhör v samma komponent som sig själv. 8
9 Symmetrisk. Om u V och v V tillhör samma komponent (urv), så tillhör v och u samma komponent (vru). Detta är självklart när man skriver ut det, men det vi behövde bekräfta var urv vru u, v V. Transitiv. Antag att vi har noder u, v, w V sådana att urv, vrw. Vi ska visa att urw. Här behöver vi se lite mer noga på vad det innebär att de tillhör samma komponent. Då urv så tillhör u och v samma komponent i grafen. Det finns därmed en promenad u v, och en v u (det finns kanske flera, men vi intresserar oss bara för att det går att ta sig mellan noderna på något sätt). Då vrw så finns en promenad v w och vice versa. Vi vill visa att det finns en promenad u w och en w u i grafen. Sätter vi ihop resultaten ovan får vi u v w i komponenten och w v u i komponenten. Därmed tillhör u, w samma komponent, och urw. 9
729G04 - Diskret matematik. Lektion 4
729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 Ett generellt råd är att rita upp noder och bågar för graferna nedan. 1 Uppgifter 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c,
Läs mer729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag
729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag 1 Uppgifter 1.1 Relationer 1. Vi ges mängden A = {p, q, r, s, t}. Är följande mängder relationer på A? Om inte, ge ett exempel som visar vad
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk
Läs merFöreläsning 5: Grafer Del 1
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 5: Grafer Del 1 Datum: 2006-10-02 Skribent(er): Henrik Sjögren, Patrik Glas Föreläsare: Gunnar Kreitz Den här föreläsningen var den första
Läs merGrafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar
Läs merDiskret Matematik A för CVI 4p (svenska)
MITTHÖGSKOLAN TFM Tentamen 2004 MAAA98 Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 3 juni 2004 Denna tentamen omfattar 10 frågor, där varje fråga kan ge 12 poäng. Delfrågornas poäng
Läs merFöreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 15 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs merFöreläsning 7 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 7 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-21 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merFöreläsningsanteckningar S6 Grafteori
HT 009 Tobias Wrigstad Introduktion till grafteori På den här föreläsningen tar vi upp elementär grafteori och försöker introducera termer och begrepp som blir viktigare i senare kurser. Subjektivt tycker
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-23 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Djupet först-sökning. Minsta uppspännande träd Träd (utan rot)
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Broarna i Königsberg, Euler, 17 Grafer
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Läs merFöreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Läs merFöreläsning 8 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-23 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-18 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Prims algoritm. Kruskals algoritm. Djupet först-sökning. Cykel
Läs merKaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på
Grunder i matematik och logik (2018) Grafteori Marco Kuhlmann Grafteori är det område inom matematiken som undersöker egenskaper hos grafer. Inom grafteorin har begreppet graf en annan betydelse än graf
Läs merGrafer, allmänt. Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges).
Grafer, allmänt Allmänt Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges). En graf kan vara riktad (directed) eller oriktad (undirected). En graf kan vara
Läs merFöreläsning 5: Giriga algoritmer. Kruskals och Prims algoritmer
Föreläsning 5: Giriga algoritmer Kruskals och Prims algoritmer Spännande träd: Om G är en sammanhängande graf så är ett spännande träd ett träd som innehåller alla noder i V (G). Viantarattviharkantvikterw(e)
Läs merGrafer MST Top. sortering Starkt samm. komponenter Kortaste avstånd. Grafalgoritmer 1. Douglas Wikström KTH Stockholm
Grafalgoritmer 1 Douglas Wikström KTH Stockholm popup-help@csc.kth.se Oriktade och riktade grafer Definition. En oriktad graf består av en mängd noder V och en mängd kanter E, där en kant är ett oordnat
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-20 Idag Grafer: Terminologi. Datastrukturer. Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. (Vi får
Läs merUppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet
Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet Mikael Asplund 19 oktober 2016 Uppgifter 1. Avgör om följande relationer utgör partialordningar. Motivera varför eller varför inte.
Läs merDiskret matematik, lektion 2
Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A
Läs merFöreläsning 5: Giriga algoritmer. Kruskals och Prims algoritmer
Föreläsning 5: Giriga algoritmer Kruskals och Prims algoritmer Spännande träd: Om G är en sammanhängande graf så är ett spännande träd ett träd som innehåller alla noder i V (G). Viantarattviharkantvikterw(e)
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-13 Idag Grafer: Terminologi. Datastrukturer. Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. (Vi får
Läs merMatematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Författare: Marco Kuhlmann 2013
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Författare: Marco Kuhlmann 2013 4 Grafer En graf är en struktur av prickar förbundna med streck.
Läs merAlgebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2005 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 2 november 2005 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer Mikael Hindgren 26 september 2018 roarna i Königsberg De sju broarna i Königsberg (nuvarande Kaliningrad) på 1700-talet: (a) Königsberg 1652 (b) Graf
Läs merFöreläsningsanteckningar F6
Föreläsningsanteckningar F6 Martin Andersson & Patrik Falkman Kortaste vägen mellan en nod och alla andra noder Detta problem innebär att givet en graf G = (E,V) hitta den kortaste vägen över E från en
Läs merTrädstrukturer och grafer
Översikt Trädstrukturer och grafer Trädstrukturer Grundbegrepp Binära träd Sökning i träd Grafer Sökning i grafer Programmering tillämpningar och datastrukturer Varför olika datastrukturer? Olika datastrukturer
Läs merAlgebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 7 juni 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merFöreläsning 8 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 22 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Läs mer18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.
HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som
Läs merFöreläsning 9: NP-fullständighet
Föreläsning 9: NP-fullständighet Olika typer av problem: 1. Beslutsproblem: A(x) =Ja. 2. Optimeringsproblem: A(x) =m Vanligen max/min. 3. Konstruktionsproblem: A(x) =En struktur. Vanligen lösningen till
Läs merFöreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer
Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan
Läs merOptimering Kruskal s algoritm Prim-Jarník s algoritm
Optimering Kruskal s Prim-Jarník s 0.7 1.3 0.5 0.3 2.1 0.7 1.3 0.5 0.3 2.1 Viktad graf raf där varje kant har en vikt Vikterna kan motsvara Kostnad Avstånd Tidsåtgång ur hittar man kortaste vägen från
Läs merTrafiksimulering: Grafalgoritmer
1 (38) Trafiksimulering: Grafalgoritmer Michael Hanke Skolan för teknikvetenskap SF1538 Projekt i simuleringsteknik 2 (38) Introduktion Varför grafalgoritmer? Grafer möjliggör en enkel och systematisk
Läs merMITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007
MITTUNIVERSITETET TFM Modelltenta 2007 MA014G Algebra och Diskret Matematik Skrivtid: 5 timmar Datum: 1 oktober 2007 Den obligatoriska delen av denna (modell)tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan
Läs merGrafer, traversering. Koffman & Wolfgang kapitel 10, avsnitt 4
Grafer, traversering Koffman & Wolfgang kapitel 1, avsnitt 4 1 Traversering av grafer De flesta grafalgoritmer innebär att besöka varje nod i någon systematisk ordning precis som med träd så finns det
Läs merLektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler
Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Till denna lektion hör uppgift 2, 6 och 0 i lärobokens avsnitt.6 (sid. 255). Lös uppgift 2 genom att konstruera en semantisk tablå. Följande
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 1
Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1
Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens
Läs merTentamen Datastrukturer (DAT037)
Tentamen Datastrukturer (DAT07) Datum och tid för tentamen: 2016-01-09, 14:00 18:00. Ansvarig: Nils Anders Danielsson. Nås på 0700 620 602 eller anknytning 1680. Besöker tentamenssalarna ca 15:00 och ca
Läs merKap. 8 Relationer och funktioner
Begrepp och egenskaper: Kap. 8 elationer och funktioner relation, relationsgraf och matris, sammansatt relation reflexivitet, symmetri, anti-symmetri, transitivitet ekvivalensrelation, partialordning,
Läs merFöreläsning 2. Kortaste vägar i grafer.
Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer. Problem: KORTASTE VÄGAR Den enklaste varianten är om vi inte har kantvikter och kortaste väg är en väg med såfåkanter som möjligt. Indata: En riktad graf G och en
Läs merFöreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-17 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 18 november 2015 Anton Grensjö ADK Övning 10 18 november 2015 1 / 20 Översikt Kursplanering Ö9: NP-fullständighetsbevis
Läs merFöreläsning 1. Introduktion och sökning i graf. Vad är en algoritm?
Föreläsning 1. Introduktion och sökning i graf Vad är en algoritm? Först: Vad är ett problem? Består av indata och ett mål. Indata: [En beskrivning av en struktur.] Mål: [Kan vara Ja/Nej, ett tal eller
Läs merTentamen Datastrukturer för D2 DAT 035
Tentamen Datastrukturer för D2 DAT 035 17 december 2005 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng från övningarna tillkommer.) Betygsgränser:
Läs merTentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2018-10-23, lösningsförslag 1 1. (a) Sanningstabell för uttrycken p q r p q p r r q r p q 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift
Läs mer729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik
79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.
Läs merMITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 9 januari 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merFöreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2012-11-13 Idag Mer om grafer: Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. Floyd-Warshall. Topologisk sortering
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 november 2017 1 Idag En konstruktionsreduktion Fler bevis av NP-fullständighet 2 Teori Repetition Ett problem tillhör
Läs merLösningar Datastrukturer TDA
Lösningar Datastrukturer TDA416 2016 12 21 roblem 1. roblem 2. a) Falskt. Urvalssortering gör alltid samma mängd av jobb. b) Sant. Genom att ha en referens till sista och första elementet, kan man nå både
Läs merN = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.
Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller
Läs merAlgoritmer och datastrukturer, föreläsning 11
lgoritmer och datastrukturer, föreläsning 11 enna föreläsning behandlar grafer. En graf har en mängd noder (vertex) och en mängd bågar (edge). Ett exempel är: E F G H Z enna graf har följande mängd av
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merTDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Träd Traversering Insättning, borttagning
Läs merFöreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori
Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Formalisering av rimlig tid En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1
Läs merFöreläsning 11. Giriga algoritmer
Föreläsning 11 Giriga algoritmer Föreläsning 11 Giriga algoritmer Användning Växelproblemet Kappsäcksproblemet Schemaläggning Färgläggning Handelsresandeproblemet Giriga algoritmer (Greedy algorithms)
Läs mer729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift.
729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift. 2016-08-31 Instruktioner Dessa uppgifter utgör en del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt
Läs merDatastrukturer. föreläsning 8. Lecture 6 1
atastrukturer föreläsning 8 Lecture 6 1 jupet-först sökning (S) och bredden-först sökning (S) Två metoder att genomsöka en graf; två grafiteratorer! Kan även användas för att avgöra om två noder är sammanbundna.
Läs merLösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 2018-08-31 kl 1:00 18:00 1 Om argumentet inte är giltigt går det att hitta ett motexempel, dvs en uppsättning sanningsvärden för vilka alla hypoteserna är
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 10
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 10 Agenda Kursens status Repetition Flödesnätverk Optimalitetsvillkor LP och Minkostandsflöde (MKF) Nätverkssimplex Känslighetsanalys Exempel: MKF
Läs merGraphs (chapter 14) 1
Graphs (chapter ) Terminologi En graf är en datastruktur som består av en mängd noder (vertices) och en mängd bågar (edges) en båge är ett par (a, b) av två noder en båge kan vara cyklisk peka på sig själv
Läs merTDP015: Lektion 5 - Svar
TDP015: Lektion 5 - Svar 11 maj 015 1. Huvudsaken här är att det spelar roll vilket initialvärde vi har. Nedan har jag valt beräkningar som slutar när f(x) < ɛ, där ɛ 10 10. Detta behöver ni såklart inte
Läs merAlgebra och kryptografi Facit till udda uppgifter
VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för
Läs merRelationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är
Läs merOm plana och planära grafer
Matematik, KTH Bengt Ek november 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs merFöreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)
Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element
Läs merOm plana och planära grafer
KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Läs merTentamen Datastrukturer (DAT036)
Tentamen Datastrukturer (DAT036) Det här är inte originaltesen. Uppgift 6 var felaktigt formulerad, och har rättats till. Datum och tid för tentamen: 2011-12-16, 8:30 12:30. Ansvarig: Nils Anders Danielsson.
Läs merFöreläsning 2. Kortaste vägar i grafer.
Föreläsning 2. Kortaste vägar i grafer. Problem: KORTASTE VÄGAR Den enklaste varianten är om vi inte har kantvikter och kortaste väg är en väg med såfåkanter som möjligt. Indata: En riktad graf G och en
Läs merEkvivalensrelationer
Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel:
Läs merTentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag)
Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag) 21 december 2007 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merIX Diskret matematik
Lösning till tentamen 101213 IX1500 - Diskret matematik 1 Betrakta det finska ordet m a t e m a t i i k k a. Hur många arrangemang av bokstäverna i detta ord innehåller varken orden matematik eller matte?
Läs merVägen till ett framgångsrikare liv. Framgång föder framgång
Framgång föder framgång I din strävan till ett framgångsrikare liv, finns det en fundamental ingrediens som de flesta människor missar. Nämligen att se till det de redan har, och göra detta med en tacksamhet.
Läs mer729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik
729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik Instruktioner Dessa uppgifter utgör del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt,
Läs merUndflyende delgrafer Några elementära bevis
1 Natur, Matte- spets Gymnasiearbetet Läsåret 2014-2015 Undflyende delgrafer Några elementära bevis Författare: Sarah Tovatt Handledare: Ulf Backlund ABSTRACT Title: Undflyende delgrafer Date: 2014-03-23
Läs merInstruktioner - Datortentamen TDDD73 Funktionell och imperativ programmering i Python
Instruktioner - Datortentamen TDDD73 Funktionell och imperativ programmering i Python Hjälpmedel Följande hjälpmedel är tillåtna: Exakt en valfri bok, t.ex. den rekommenderade kursboken. Boken får ha anteckningar,
Läs merKap.6 Grafer. Egenskaper: Handskakningslemmat och Eulers formel Sats om eulerkrets/väg Isomorfi och representation av grafer Graffärgning
Kap.6 Grafer Allmänna begrepp: graf, delraf, multigraf, enkelgraf, riktad graf, nodsgrad vandring, väg, stig, krets, cykel sammanhängande graf, sammanhängande komponenter Speciella grafer: komplett graf,
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF131 och SF130, den 10 januari 2011 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.
Läs mer729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 2. Föreläsning 3 Jody Foo,
729G74 IT och programmering, grundkurs Tema 2. Föreläsning 3 Jody Foo, jody.foo@liu.se Föreläsningsöversikt Information i grafstrukturer Diskret matematik Relationer: kopplingar mellan mängder Funktioner
Läs merMatematik för språkteknologer
1 / 27 Matematik för språkteknologer 2.3 (Relationer och funktioner) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014 2 / 27 Dagens nya punkter Relationer Definitioner Egenskaper hos
Läs merAlgebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2006 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 10 januari 2006 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merLösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 208-0-2 kl. 4:00 8:00. Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan). Alternativ (induktionsbevis): Vi inför predikatet P (n) : 2 + 2 3 + + n(n
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5
TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem 28--5 4 Hittills Föreläsning
Läs merAvancerad Problemlösning och Programmering i Praktiken
Avancerad Problemlösning och Programmering i Praktiken Grafalgoritmer II High Performance Computing Center North (HPC2N) Grafrepresentation Igår: Grafrepresentation DFS BFS Kortaste vägen MST Kortaste
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: januari 0 Tid: 8.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merKapitel 9: Grafalgoritmer
Kapitel 9: Grafalgoritmer En graf G = (V, E) karakteriseras av två mängder en ändlig icke-tom mängd V av noder (vertex) en mängd E av bågar (edges eller arcs) varje båge är ett par (v, w), där v, w är
Läs merFÖRELÄSNING 11 DATALOGI I
Föreläsning I07 FÖRELÄSNING DATALOGI I Grafer Beatrice Åkerblom beatrice@dsv.su.se Institutionen för Data- och Systemvetenskap SU/KTH Föreläsning I07 Läsanvisningar Michael Main Data Structures & Other
Läs mer