729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag"

Transkript

1 729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag 1 Uppgifter 1.1 Relationer 1. Vi ges mängden A = {p, q, r, s, t}. Är följande mängder relationer på A? Om inte, ge ett exempel som visar vad som gör att det inte är det. a) {(p, q), (p, r), (p, s), (p, t)}. JA b) {(q, p), (s, p), (r, q), (s, p), (t, p)}. JA c) {(p, s, s, t), (s, p, q, r)} Nej Till exempel är (p, s, s, t) A A (och en relation på A måste vara en delmängd av A A) d) {(p, p), (q, q), (r, r), (s, s)}. JA e) {(t, t)} JA f) {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (p, 4} NEJ. (p, 1) A A. g) {} (= ) JA h) {(, )} NEJ. A, så (, ) A A 2. Du får mängden A = {a, b, c, d, e}. För vart och en av egenskaperna nedan, skriv upp ett exempel på en relation på A som uppfyller den. Det behöver inte vara samma relation du beskriver i alla deluppgifterna. Tips: Det kan vara värt att rita ut en grafisk visualisering av relationen medan du skriver den (punkter och pilar) för att hålla koll på vilka element du lagt till i relationen. 1

2 Nedan ges lite ledning för att bedöma relationerna du skapat. Detta ersätter inte att kunna definitionerna (slå upp dem i dina anteckningar!), utan är bara praktiska tips. a) reflexiv Varje relation R som innehåller alla elementen i {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)} fungerar. b) irreflexiv Varje relation R som inte innehåller något av elementen i {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)} fungerar. c) symmetrisk Så fort (a, b) R så måste (b, a) R och så vidare. (Detta gäller alla möjliga par av element i A.) d) antisymmetrisk Så fort (a, b) R så måste (b, a) R och så vidare. Detta gäller alla möjliga par av element i A, utom tupler där båda elementen är samma (det är alltså ok att ha med (a, a) i relationen). e) transitiv Här är det lättast att hänvisa till definitionen! I en graf med A som noder och relationen som bågar ser man det tydligaste genom att om man har en (direkt) båge a b och en b c så måste det finnas en direkt båge a c också. Observera att detta kan ge upphov till öglor. Om (a, b), (b, a) R så måste också (a, a) R (kan du ta dig från a till a via b, måste det finnas en direkt båge a a också). f) en ekvivalensrelation Relationen ska uppfylla kraven (1) reflexiv, (2) symmetrisk och (3) transitiv. Intuitivt: Tänk i termer av att en ekvivalensrelation R säger att om arb så liknar a och b varandra på något vis. Så om a liknar b och b liknar c så måste relationen säga att a, b, c liknar varandra (och sig själva). g) en partialordning Relationen ska uppfylla kraven reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. 3. Vi utökar nu mängden A från uppgiften ovan, så att den innehåller A = {a, b, c, d, e, f }. Antag att du har kvar de olika relationerna du beskrev 2

3 i uppgiften ovan. Vilka av egenskaperna du skrev ovan kommer att påverkas? Nu när vi har en ny mängd, är den (tidigare) reflexiva relationen du skrev fortfarande reflexiv, den (tidigare) symmetriska fortfarande symmetrisk och så vidare? Bekräfta. Svar Enbart reflexiv påverkas. Vi har inget som f är relaterat till, eller relateras till (grafiskt: inga nya bågar). Så vi inte behöver fundera över symmetri, antisymmetri, irreflexivitet eller transitivitet. Om relationen ska vara reflexiv, måste vi däremot lägga till elementet (f, f). 4. Vi ges D = {1, 2,..., 15}, och relationen R där xry om både x och y är jämna eller om både x och y är udda. (Så exv 2 R 10, 7 R 3, 2 R 7). a) Visa att detta är en ekvivalensrelation. Visa (i ord) att de tre egenskaperna uppfylls. reflexiv. Om x är jämnt så gäller xrx ( båda x är jämna), om x är udda så gäller xrx. symmetrisk. Om xry så är antingen båda jämna eller båda udda. I det första fallet: om vi antar att xry eftersom båda x, y D är jämna, gäller ju såklart att yrx. På samma sätt visas det för fallet där x, y udda. transitiv. Antag att xry, yrz. Vi får två fall: x är jämnt. Då måste y också vara jämnt (eftersom xry). Om y är jämnt måste z vara jämnt (yrz). Därmed: om x är jämnt så gäller xrz. På samma sätt visar man det för x udda. b) Visa att D 1 = {x D : xr1}, D 2 = {x D : xr2} är en partition av D. Svar D 1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, D 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Ser man till definitionen av en partition, krävs att elementen i D 1 och D 2 tillsammans ska utgöra hela D, och att D 1 och D 2 inte får ha några gemensamma element. Detta stämmer. D 1 D 2 = D, och D 1 D 2 =. c) (*) Betrakta relationen R på N som definieras på samma sätt som R ovan (x R y om båda jämna...). Beskriv partitionen av N. Återigen: D 1 = {x N : xr1} = / x R 1 om både x och 1 är jämna eller x och 1 är udda / = {x N : x udda }, D 2 motsvarande för jämnt. N = D 1 D 2, D 1 D 2 = (för inget tal är både udda och jämnt). 5. Vi ges följande data, som vi vill ordna och dela upp: 3

4 Person Födelseår Anders 1985 Tesco 2004 Bill 1964 Dennis 1941 Eddie 1962 a) Skriv upp mängden personer P. Klassificera relationen äldre än (eller lika gammal som) (reflexiv, antireflexiv, symmetrisk, antisymmetrisk, transitiv). Avgör också om det är en ekvivalensrelation, partialordning eller båda (eller om inget av dem gäller). Svar P = {anders, tesco, bill, dennis, eddie}. Relationen är symmetrisk (alla är lika gamla som sig själva), transitiv (om person x är äldre än, eller lika gammal som, person y och y i sin tur är äldre än z så är x äldre än z). och antisymmetrisk. Partialordning. b) Gör samma sak för relationen R = {(x, y) : x är född samma årtionde som y}. Ekvivalensrelation. Reflexiv, symmetrisk, transitiv. 6. Vi ges A = {x, y, z}. Potensmängden P(A) består som bekant av alla delmängder till A (totalt 8 st). Vi ges nu relationen R = {(D, E) : D E} på P(A). Exempelvis gäller att {x}r{x, y} eftersom {x} {x, y}. a) Intuitivt, borde detta vara en ekvivalensrelation eller en partialordning (eller båda)? Svar Det är inte en ekvivalensrelation iallafall. Intuitivt: vi har inte en relation som på något sätt kan sägas handla om likhet. Till exempel är relationen inte symmetrisk. Vi säger att {x}r{x, y}, men inte {x, y}r{x}. (Att hitta ett sådant motexempel räcker dessutom för att visa formellt att den inte är en ekvivalensrelation.) Däremot är det en partialordning. Vi ges något slags ordning på elementen (där xry om elementen i x finns med i y, men y potentiellt är större). Vi kan också bekräfta att egenskaperna reflexiv, antisymmetrisk och transitiv uppfylls. b) Visa din slutsats. Det vill säga, gå igenom de (tre) olika egenskaperna en sådan relation ska ha, en i taget, och bekräfta att relationen uppfyller dem. Intuition: 4

5 Reflexiv: Y Y för alla mängder Y P(A). Antisymmetrisk: Y Z, Y R Z Z R Y. Vi kan gå igenom alla värden och se om detta håller (det gör det). Vi kan också fråga oss hur man skulle kunna bryta mot villkoret. Det kan man bara om man hittar två mängder Y, Z P(A) där Y Z och Z Y, men Y Z. Men det går inte (varför inte?). Transitiv: om Y Z, Y W så Y W. c) Vi säger att en ordning R är en totalordning av en mängd om den säger något om förhållandet mellan varje element i mängden. Mer formellt: om vi för varje x, y kan säga att xry eller yrx (eller båda). Är en totalordning på mängden ovan? Nej. Vi kan varken säga att {x, y} {y, z} eller {y, z} {x, y}. d) Om vi ersatt med ovan, vilka egenskaperna i uppgift a/b hade påverkats? Vi hade inte längre haft en reflexiv relation. Exempelvis hade inte {x}r{x} längre. e) (*) Gäller detta för relationen på P(B) för valfri icke-tom mängd B? Svar: Ja. Notera att detta är en överkursuppgift. Reflexiv: Välj X P(B) godtyckligt. Då gäller X R X, eftersom X X gäller för alla mängder. Antisymmetrisk: Välj X, Y P(B) godtyckligt. Om X Y och Y X så gäller X = Y (bevis, se Kuhlmann & Dahllöf). Därmed kan vi inte hitta några element som bryter mot villkoret. Transitiv: Låt X, Y, Z vara godtyckliga element i P(A) sådana att X Y, Y Z. Vi fångar alltså precis sådana fall där mängderna X, Y, Z uppfyller om -delen av transitivitetsvillkoret. Nu ska vi visa att så -delen isåfall måste uppfyllas (att X Z följer). Välj ett element e X godtyckligt. Enligt antagandet gäller X Y, så e Y enligt definitionen av (alla element i X finns också i Y ). e Y och Y Z ger e Z. Eftersom e X valdes godtyckligt gäller att X Z (det vill säga, oavsett vilket element i X vi väljer, så finns det i Z. Alla element i X måste alltså finnas med i Z) 5

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet

Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet Mikael Asplund 19 oktober 2016 Uppgifter 1. Avgör om följande relationer utgör partialordningar. Motivera varför eller varför inte.

Läs mer

Relationer och funktioner

Relationer och funktioner Relationer och funktioner Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Relationer: Binära relationer på mängder Mängd-, graf- och matrisnotation Egenskaper hos relationer

Läs mer

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik 729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik Instruktioner Dessa uppgifter utgör del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt,

Läs mer

Kap. 8 Relationer och funktioner

Kap. 8 Relationer och funktioner Begrepp och egenskaper: Kap. 8 elationer och funktioner relation, relationsgraf och matris, sammansatt relation reflexivitet, symmetri, anti-symmetri, transitivitet ekvivalensrelation, partialordning,

Läs mer

TDP015: Lektion 5 - Svar

TDP015: Lektion 5 - Svar TDP015: Lektion 5 - Svar 11 maj 015 1. Huvudsaken här är att det spelar roll vilket initialvärde vi har. Nedan har jag valt beräkningar som slutar när f(x) < ɛ, där ɛ 10 10. Detta behöver ni såklart inte

Läs mer

Relationer och funktioner

Relationer och funktioner MAAA26 Diskret Matematik för Yrkeshögskoleutbildning-IT Block 11 BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Relationer 2. Funktioner 3. Övningsuppgifter Assignment 11 & 12 Referenser Relationer och funktioner

Läs mer

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Övningens syfte är att bekanta sig med begreppet relation på en mängd M. Begreppet relation i matematiska sammanhang anknyter till betydelsen av samma ord

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

729G04 - Diskret matematik. Lektion 4

729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 1 Lösningsförslag 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c, d, f, g, h, i, j}, E = {{a, b}, {b, c}, {a, c}, {f, g}, {c, d},

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Diskret matematik, lektion 2

Diskret matematik, lektion 2 Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska)

Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) MITTHÖGSKOLAN TFM Tentamen 2004 MAAA98 Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 3 juni 2004 Denna tentamen omfattar 10 frågor, där varje fråga kan ge 12 poäng. Delfrågornas poäng

Läs mer

Matematik för språkteknologer

Matematik för språkteknologer 1 / 27 Matematik för språkteknologer 2.3 (Relationer och funktioner) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014 2 / 27 Dagens nya punkter Relationer Definitioner Egenskaper hos

Läs mer

Lösningar till Omtentamen i Datavetenskapens grunder för D1, Sim & spel, TDV A

Lösningar till Omtentamen i Datavetenskapens grunder för D1, Sim & spel, TDV A Lösningar till Omtentamen i Datavetenskapens grunder för D1, Sim & spel, TDV A Tid och plats: Lördagen 2005-12-17 kl 14:00-19:00 i sal L001 Examinator: Lars Karlsson Hjälpmedel: penna Jourhavande lärare:

Läs mer

Mängder, funktioner och naturliga tal

Mängder, funktioner och naturliga tal Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en

Läs mer

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00 Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 2018-08-31 kl 1:00 18:00 1 Om argumentet inte är giltigt går det att hitta ett motexempel, dvs en uppsättning sanningsvärden för vilka alla hypoteserna är

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

KTHs Matematiska Cirkel. Reella tal. Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom

KTHs Matematiska Cirkel. Reella tal. Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom KTHs Matematiska Cirkel Reella tal Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Mängdlära 7 1.1 Mängder...............................

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om funktioner och relationer Mikael Hindgren 1 oktober 2018 Funktionsbegreppet Exempel 1 f (x) = x 2 + 1, g(x) = x 3 och y = sin x är funktioner. Exempel 2 Kan

Läs mer

Diofantiska ekvationer

Diofantiska ekvationer Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 19. Diofantiska ekvationer Vi börjar med en observation som rör den största gemensamma delaren till

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Diskret matematik: Övningstentamen 4 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel:

Läs mer

729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift.

729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift. 729G04 - Diskret matematik. Hemuppgift. 2016-08-31 Instruktioner Dessa uppgifter utgör en del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt

Läs mer

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p. HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som

Läs mer

729G04 - Diskret matematik. Lektion 4

729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 Ett generellt råd är att rita upp noder och bågar för graferna nedan. 1 Uppgifter 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar S6 Grafteori

Föreläsningsanteckningar S6 Grafteori HT 009 Tobias Wrigstad Introduktion till grafteori På den här föreläsningen tar vi upp elementär grafteori och försöker introducera termer och begrepp som blir viktigare i senare kurser. Subjektivt tycker

Läs mer

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Algebra och Diskret Matematik A (svenska) MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 7 juni 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal

Läs mer

729G04: Inlämningsuppgift Diskret matematik

729G04: Inlämningsuppgift Diskret matematik 729G04: Inlämningsuppgift Diskret matematik Instruktioner Dessa uppgifter utgör del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt,

Läs mer

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2 Tentamen TMV20 Inledande Diskret Matematik, D/DI2 208-0-27 kl. 4.00 8.00 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anton Johansson, telefon: 5325 (alt. Peter Hegarty 070-5705475)

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +

Läs mer

Definitionsmängd, urbild, domän

Definitionsmängd, urbild, domän 5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är

Läs mer

Om ordinaltal och kardinaltal

Om ordinaltal och kardinaltal Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om ordinaltal och kardinaltal (Ännu ofullständig version) Mängdteorin kan ses som grunden för all matematik Här skall

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.

Läs mer

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter

Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för

Läs mer

IX Diskret matematik

IX Diskret matematik Lösning till tentamen 101213 IX1500 - Diskret matematik 1 Betrakta det finska ordet m a t e m a t i i k k a. Hur många arrangemang av bokstäverna i detta ord innehåller varken orden matematik eller matte?

Läs mer

Mängdlära. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Mängdlära - 1

Mängdlära. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Mängdlära - 1 Mängdlära Bell-talen (1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597,...) beskriver det antal olika sätt n element kan delas upp i disjunkta icke-tomma delmängder. Så kan t ex mängden

Läs mer

Uppgifter 6: Grafteori

Uppgifter 6: Grafteori Grunder i matematik och logik (2017) Uppgifter 6: Grafteori Marco Kuhlmann Nivå 6.01 nge antalet noder och bågar. a) b) a) 7 noder, 10 bågar b) 9 noder, 10 bågar 6.02 nge gradtalet för varje nod. a) b)

Läs mer

Dagens Teori. Figur 4.1:

Dagens Teori. Figur 4.1: Dagens Teori 4.1 Funktioner En funktion är en regel som till varje objekt i en mängd A associerar ett objekt i en annan mängd B Figur 4.1: Första gången vi normalt hör talas om funktioner i matematisk

Läs mer

Kaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på

Kaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på Grunder i matematik och logik (2018) Grafteori Marco Kuhlmann Grafteori är det område inom matematiken som undersöker egenskaper hos grafer. Inom grafteorin har begreppet graf en annan betydelse än graf

Läs mer

σ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56).

σ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56). MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Övningstenta i Algebra och Kombinatorik 7,5 hp 2015-11-24 Exempel på hur tentan skulle kunna se ut om alla uppgifter var från

Läs mer

Om modeller och teorier

Om modeller och teorier Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om modeller och teorier Hittills i kursen har vi studerat flera olika typer av matematiska strukturer, bl.a. (partial)ordnade

Läs mer

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, 1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,

Läs mer

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går

Läs mer

Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag)

Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag) Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag) 21 december 2007 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer Mikael Hindgren 26 september 2018 roarna i Königsberg De sju broarna i Königsberg (nuvarande Kaliningrad) på 1700-talet: (a) Königsberg 1652 (b) Graf

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I v. 2.0, den 24/4 2013 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet är

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Från positiva heltal till reella tal av Sara Olsson 2017 - No 13 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106

Läs mer

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007 MITTUNIVERSITETET TFM Modelltenta 2007 MA014G Algebra och Diskret Matematik Skrivtid: 5 timmar Datum: 1 oktober 2007 Den obligatoriska delen av denna (modell)tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v , den 24/

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v , den 24/ Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v. 2.1.1, den 24/11 2014 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga

Läs mer

KTH Matematik B.Ek Lösningar tentamen 5B1928 Logik för D (och IT), 29 augusti 2007

KTH Matematik B.Ek Lösningar tentamen 5B1928 Logik för D (och IT), 29 augusti 2007 KTH Matematik B.Ek Lösningar tentamen 5B1928 Logik för D (och IT), 29 augusti 2007 1) Det handlar om knarröborna A, B och C. A säger: Om C är kung är vi alla det. B säger: A och C är olika sorter. Vad

Läs mer

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Algebra och Diskret Matematik A (svenska) MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2005 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 2 november 2005 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal

Läs mer

MITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007

MITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007 MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 9 januari 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal

Läs mer

Specialkurs i matematik 2007

Specialkurs i matematik 2007 Matematiska institutionen Specialkurs i matematik 2007 Föreläsningsanteckningar och övningar UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet

Läs mer

12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI.

12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI. 75 12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI. I slutet av 1800-talet uppfann Cantor mängdteorin som ett hjälpmedel vid sitt arbete med integrationsteori. Med en mängd menade Cantor "vilken som

Läs mer

Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960

Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 21 december 2007 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng från övningarna tillkommer.) Betygsgränser,

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den juni 015, kl 1.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann

Sannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,

Läs mer

Om relationer och algebraiska

Om relationer och algebraiska Om relationer och algebraiska strukturer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Även i analysen behöver man en del algebraiska begrepp. I den här artikeln definierar vi

Läs mer

Definition Låt n vara ett positivt heltal. Heltalen a och b sägs vara kongruenta modulo n om n är en faktor i a-b eller med andra ord om. n (a-b).

Definition Låt n vara ett positivt heltal. Heltalen a och b sägs vara kongruenta modulo n om n är en faktor i a-b eller med andra ord om. n (a-b). Block 4 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Kongruens modulo n 2. Z n -- heltalen modulo n 3. Ekvationer modulo n 4. Relationer 5. Funktioner Golv och tak funktionerna

Läs mer

Ekvivalensrelationer

Ekvivalensrelationer Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0. 5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är

Läs mer

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan). Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 208-0-2 kl. 4:00 8:00. Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan). Alternativ (induktionsbevis): Vi inför predikatet P (n) : 2 + 2 3 + + n(n

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Mängdlära. Kapitel Mängder

Mängdlära. Kapitel Mängder Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt

Läs mer

Hemuppgifter till fredagen den 16 september Exercises to Friday, September 16

Hemuppgifter till fredagen den 16 september Exercises to Friday, September 16 Introduction to Semigroups Hemuppgifter till fredagen den 16 september Exercises to Friday, September 16 Övningsuppgifterna lämnas in senast onsdagen 14.9. till David Stenlund, per e-post den 16 september.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl 08.00 13.00. Examinator: Petter Brändén Kursansvarig: Olof Sisask Hjälpmedel:

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.

Läs mer

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Mängder Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Operationer på mängder: Union och snitt Differens och komplement

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 2. Föreläsning 3 Jody Foo,

729G74 IT och programmering, grundkurs. Tema 2. Föreläsning 3 Jody Foo, 729G74 IT och programmering, grundkurs Tema 2. Föreläsning 3 Jody Foo, jody.foo@liu.se Föreläsningsöversikt Information i grafstrukturer Diskret matematik Relationer: kopplingar mellan mängder Funktioner

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Slumpförsök för åk 1-3

Slumpförsök för åk 1-3 Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Pga att (Nummer och Typ) tillsammans bestämmer övriga attribut funktionellt väljer vi (Nummer, Typ) till primärnyckel:

Pga att (Nummer och Typ) tillsammans bestämmer övriga attribut funktionellt väljer vi (Nummer, Typ) till primärnyckel: ÖVNING 1. PRODUKT(Nummer, Namn, Typ, Klass, Prisklass, Vikt, Volym, Fraktkostnad) Nummer, Typ Namn, Klass, Pris, Prisklass, Vikt, Volym, Fraktkostnad Namn, Typ Nummer Typ Klass Pris Prisklass Vikt, Volym,

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

, S(6, 2). = = = =

, S(6, 2). = = = = 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 17 april 2010 kl 09.00-14.00. Examinator: Olof Heden. DEL I 1.

Läs mer

f(x) = x 1 g(x) = x 2 2x + 3.

f(x) = x 1 g(x) = x 2 2x + 3. Kapitel 1 Uppgifter 1 Heltal 2 Mängder och funktioner 2.1 Betrakta funktionerna f : Z Z och g : Z Z som ges av f(x) = x 1 och Visa att a fg gf; g(x) = x 2 2x + 3. b det finns ett x Z sådant att fg(x) =

Läs mer

1. (3p) Bestäm den minsta positiva resten vid division av talet med talet 31.

1. (3p) Bestäm den minsta positiva resten vid division av talet med talet 31. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 7 juni 2011 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.

Läs mer

Matematik 1c. address: URL: Daniel Bosk

Matematik 1c.  address: URL:   Daniel Bosk Matematik 1c E-mail address: dbosk@kth.se URL: http://www.bosk.se/ Daniel Bosk Innehåll Kapitel 1. Introduktion 1 1.1. Vad är då matematik? 1 Kapitel 2. Logik och bevis 3 2.1. Logik 3 2.2. Axiom 5 2.3.

Läs mer

Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.

Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom. Dagens teman Mängdlära orts. Relationer och unktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Deinition av de naturliga talen, Peanos axiom. Relationer och unktioner Relationer Generell deinition: En relation R på mängden

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Resultat av kursvärdering

Resultat av kursvärdering DAT 501: Diskret matematik vt 2003 Resultat av kursvärdering Antal svar: 19 av 37. Kursvärderingsblanketter delades ut på tentan och kunde lämnas in separat då eller efteråt i kursskåpet. Tycker du att

Läs mer

Efternamn förnamn pnr kodnr

Efternamn förnamn pnr kodnr KTH Matematik Olof Heden Σ p G/U bonus Efternamn förnamn pnr kodnr Lösning till kontrollskrivning 5A, 21 maj 2015, 13.15 14.15, i SF1610 Diskret matematik för CINTE, CMETE mfl. Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer