Mängder och kardinalitet
|
|
- Carl-Johan Jakobsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är inte fullständig utan måste kompletteras med egna anteckningar och problemlösningar. 1. Mängdlära En mängd är en påse som innehåller element. Denna naiva definition är dock problematisk... Speciellt finns en tom påse, som kallas tomma mängden och betecknas. Om A är en mängd, är {A} också en mängd. Den har ett element nämligen A. Vad är egentligen ett element...? Vi skriver x A om x är ett element i A, annars x A. Låt A och B vara mängder. Om x(x B = x A), säger vi att B är en delmängd till A och skriver B A. Om dessutom A B talar man om en äkta delmängd. Jämför begreppet strikt olikhet. Har man en samling mängder kan man bilda nya genom diverse konstruktioner. Låt A och B vara två mängder. Man kan bilda unionen, A B, och snittet A B. Om A B = säger man att mängderna är disjunkta: de saknar gemensamma element. Om C = A B gäller x(x C (x A x B)). Formalisera snittet! Vi kan bilda produktmängden av två mängder A B = {(a, b); a A b B}. Det är alltså mängden av ordnade par. Övning 1: Vad är A? Vi skriver A n för A A A då n N (Jämför R n ). Vad ska vi mena med A 0? Kanske är A 0 = { }. Varför skulle det vara naturligt? Om A är en mängd, är P(A) mängden av alla delmängder till A. Speciellt gäller P(A) och A P(A). Jag vill tacka Christer Kiselman och Lars-Åke Lindahl, som jag lånat några idéer av till övningar och upplägg. 1
2 1.1. Relationer En relation, R mellan elementen i två mängder A och B är en delmängd av A B. Vi skriver att arb om (a, b) R. Om A = B talar man om en relation på A. Vi ska återkomma till relationsbegreppet senare. Ett exempel på en relation är = på mängden A. Formellt har vi = = {(x, x); x A}. Övning 2: Formalisera, d.v.s. skriv upp som en mängd, relationen < på N! 1.2. Funktioner och avbildningar Vad är en funktion (eller avbildning)? Vad betyder skrivsättet f : X Y och x f(x)? Formellt är en funktion f : X Y en relation mellan X och Y som uppfyller x(x X = y(y Y (x, y) f z(z y = (x, y) f))) Tolkad som en delmängd av X Y är funktionen inget annat än funktionens graf, G f = {(x, y) X Y ; y = f(x)}. Mängden av avbildningar X Y brukar betecknas Y X. Ett litet sidospår Låt n = {1, 2,..., n} och 0 =. Låt X vara en icke-tom mängd. Vi ser att X 1 naturligt kan identifieras med X. För varje x X finns ju funktionen f x : 1 X som avbildar 1 på x, och varje funktion 1 X är av den typen. Övertyga dig nu om att X 2 på liknande sätt kan identifieras med X X d.v.s. med X 2. Och att X n kan identifieras med X n. Hur kan vi använda detta för att definiera X 0 och oändliga produkter...? Bilder och urbilder Låt f : X Y. Om A X så kallas f(a) = {f(x); x A} bilden av A. Om B Y så definierar vi f 1 (B) = {x X, f(x) B}, kallad urbilden eller den inversa bilden av B. Observera att f(x) inte behöver vara lika med Y. Övning 3: Låt f : R R, x x 2. Bestäm f(r, ) f 1 ([0, 1]) och f 1 ([ 1, 0]). Låt sin beteckna den vanliga, reella sinusfunktionen. Bestäm sin 1 ([0, 1/ 2]). (Observera att det inte är frågan om arcsin! Utred gärna sambandet...) Injektioner och surjektioner En avbildning f : X Y kallas injektiv om x y medför f(x) f(y). Om f är injektiv kan man bilda en avbildning f 1 : f(x) X, som har 2
3 egenskapen att f 1 (f(x)) = x och f(f 1 (y)) = y för alla x X och alla y f(x) Y. Man säger att f är surjektiv om f(x) = Y. Om f är både surjektiv och injektiv sägs f vara bijektiv. Övning 4: Sök på nätet efter dessa termer. Finns svenska ord? Finns olika definitioner? Överensstämmer de? 2. Kardinaltal Hur kan man mäta storlek (mäktighet) på mängder? Genom avbildningar! Två mängder X och Y sägs ha samma kardinaltal om det finns en bijektion f : X Y. Man skriver då X Y och card X = card Y. Vad är card X? Kanske card X är mängden av alla mängder Y så att X Y? Men detta leder till svårigheter... Relationen är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Relationen = mellan kardinaltal ärver dessa tre egenskaper. Man säger att X har kardinaltal högst lika med kardinaltalet för Y om det finns en injektiv avbildning f : X Y. Man skriver då card X card Y. Om cardx = card Y gäller uppenbarligen card X card Y och card Y card X. Är omvändningen sann, d.v.s. gäller det att card X card Y och card Y card X medför att card X = card Y. Ja, enligt Cantor Bernsteins sats från Vi återkommer till den Ändliga kardinaltal Om X och Y är ändliga mängder är det lätt att förstå och räkna med kardinaltal. Det är helt enkelt antalet element i mängden. Ofta identifierar man (kanske lite slarvigt) card X med antalet element i X. Låt x = card X och y = card Y. Vi definierar x + y = card(x Y ). (Vi förutsätter att X och Y är disjunkta.) Detta stämmer för ändliga mängder. På samma sätt definierar vi produkten xy = card(x Y ). Potenser. Notera att antalet avbildningar från X in i Y är y x, åtminstone om X inte är tom. Så vi definierar y x = card(y X ). Speciellt är card( X ) = 0, om X ; det finns inga sätt att avbilda en icke-tom mängd in i tomma mängden. Övning 5: Visa att xx = x card 2 för alla ändliga kardinaltal x Oändliga kardinaltal Det minsta oändliga kardinaltalet betecknas med ℵ 0, vilket uttalas alef-noll. Bokstaven ℵ är den första i det hebreiska alfabetet. Det näst minsta betecknas ℵ 1, och så vidare. 3
4 Är två kardinaltal, x, y, alltid jämförbara, dvs gäller alltid x y eller y x? Svaret är ja, OM man accepterar urvalsaxiomet... Det följer att det finns ett minsta oändligt kardinaltal. Det minsta oändliga kardinaltalet, ℵ 0 är lika med kardinaliteten för det naturliga talen N. (Varför?) Man kan visa att ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 och ℵ 2 0 = ℵ 0. Det är ungefär samma sak som att visa att card Z = card N och card Q = card N. Man kan visa att för oändliga kardianaltal x och y, där x y, gäller: x + x = x, x n = x (n N) och att x + y = xy = y. Jämför räkneregler för vanliga tal! Däremot gäller att x 2 x men 2 x x för alla kardinaltal x. Vi skriver då x < 2 x. Kontinuumhypotesen kan nu formuleras: ℵ 1 = 2 ℵ 0. Övning 6: Sök på nätet och ta reda på något om Kontinuumhypotesen. Om X är en mängd med kardinalitet x, så är 2 x kardinaliteten hos en mängd Y X där Y har två element, t.ex. Y = {0, 1}. Detta är mängden av alla avbildningar X {0, 1}. Det är lätt att se att den mängden har samma kardinalitet som potensmängden till X, P(X), genom följande konstruktion. För varje A X, låter vi χ A : X {0, 1} vara den karaktäristiska funktionen som definieras genom χ A (p) = 1 om p A och χ A (p) = 0 om p A. Vi ser att avbildningen A χ A är en bijektion mellan P(X) och Y X. Sats 1. För varje kardinaltal x gäller att x < 2 x, d.v.s. att potensmängden alltid har strikt större kardinalitet än mängden. Bevis. Låt X vara än mängd med kardinalitet x. Vi ser lätt att x 2 x. Avbildningen f : X P(X), x {x} är nämligen injektiv. (Vad händer om X =?). Antag nu att card P(X) card X. Då skulle det finnas en injektion g : P(X) X. Vi ska se att det antagandet är motsägelsefullt. Låt B = {g(a); A P(X) och g(a) A}. Låt b = g(b). Undersök om b B! Det leder till en motsägelse mot antagandet att en sådan injektion g finns. Cantor Bernsteins sats Sats 2. Om det för två kardinaltal x och y gäller x y och y x, så gäller x = y. Bevis. Översatt till mängder X och Y betyder förutsättningarna att vi har två injektiva avbildningar f : X Y och g : Y X. Vi ska använda dessa för att konstruera en bijektion h: X Y. För att göra detta ska vi använda f och g för att gå fram och tillbaka mellan X och Y, och så att säga sy ihop avbildningen h. 4
5 Definiera A 0 = X g(y ). Sedan definierar vi, steg för steg B k = f(a k 1 ) och A k = g(b k ), för k = 1, 2, 3,.... Låt A = A 0 A 1 A 2 = A k, och definiera: { f(x) x A h(x) = g 1 (x) x A Det återstår att kontrollera att h är injektiv och surjektiv genom att studera ett antal olika fall. Något om talmängder De naturliga talen N har kardinaltal ℵ 0. Eftersom det är naturligt att lista de naturliga talen genom att räkna upp dem: 0, 1, 2, 3,... kallas denna mängd, och alla mängder med kardinaltal ℵ 0 (oändligt) uppräkneliga mängder. Vi har följande resultat. Sats 3. N, Z och Q är uppräkneliga mängder. R och C är inte uppräkneliga. Vi har ℵ 0 = card N = card Z = card Q < card R = card C. Bevis. Den första likheten (från vänster) är per definition sann. De två följande visas genom att räkna upp mängderna. För att visa att card N < card R kan vi anta att det finns en bijektiv avbildning f : R N (vi vet att card N card R). Genom ett diagonaliseringsförfarande kan vi hitta ett reellt tal som missas av avbildningen. Det finns dock några tekniska små bekymmer. Den sista likheten följer av att xx = x för alla oändliga kardinaltal x, och satsen är visad. Vi ser alltså att det finns lika många naturliga som rationella tal, fast de rationella talen ligger mycket tätare på tallinjen. Däremot finns det många fler reella tal än rationella tal. Samtidigt finns det lika många punkter i komplexa talplanet (och mer allmänt i R n, n 1) som på tallinjen. Ändå verkar planet (och rummet) vara mycket större än tallinjen. För att förklara detta behöver man dimensionsteori och måtteori; mängdteorien ensam räcker inte. Dessa begrepp studeras inom analys och topologi. De reella tal som inte är rationella kallas irrationella. De irrationella talen är alltså inte uppräkneliga. (Varför?) Vad är då ett reellt tal? Ett noggrant svar är ganska komplicerat att ge, och förtjänar nästan en hel kurs... Ett sätt är att säga att ett reellt tal gränsvärdet av en följd av rationella tal som konvergerar. Alltså är r ett reellt tal om r = lim n q n, där q n Q och lim diam{q n; n N} = 0. N Om A R är diam(a) längden (diametern) på det minsta slutna intervall som innehåller alla punkter i A. Om A bara består av rationella tal så är diametern ett rationellt tal (eller + ). 5
6 Man kan också beskriva reella tal genom decimalutveckling (som ett decimalbråk): ett reellt tal är ett heltal plus ett tal av typen 0, a 1 a 2 a 3 a 4 = i=0 a i 10 i där 0 a i 9. Denna beskrivning är dock inte oproblematisk. Vi har inte entydighet, t.ex. är = (Bevisa det!) 2.3. Övningar Övning 7: Visa att A (B C) = (A B) (A C) genom att språkligt formulera vad det innebär att x tillhör högerledet respektive vänsterledet. Illustrera också med ett Venndiagram. Övning 8: Låt A och B vara ändliga mängder. Visa att card(a B) = card(a) + card(b) card(a B). (card A ska alltså tolkas som antalet element i A, så att är väldefinierat.) Övning 9: Härled en analog formel för card(a B C) =... Högerledet ska innehålla kardinaltal för olika snitt av de inblandade mängderna. [Ledning: Skriv först A B C = A (B C) och utnyttja föregående övning flera gånger.] Övning 10: Visa att card([0, 1]) = card(]0, 1[) (ledning: Använd Cantor Bernstein) och att card(]0, 1[) = card(r). I det sista fallet borde du explicit kunna ange en bijektion mellan mängderna. Kan du göra det också i det fösta fallet? Övning 11: Vi vet att card N < card R och card N < card P(N). Visa att card R = card P(N). [Denna övning är kanske ganska svår, innan man klarat av första analyskursen. Den som kan något om oändliga serier kan gärna försöka. Kanske kan du visa card R card P(N) eller card P(N) card R.] Övning 12: Vi har sett att varje reellt tal kan skrivas som ett oändligt decimalbråk. Ett decimalbråk kallas periodiskt om det har formen r = A, a 1 a 2... a m b 1 b 2... b n b 1 b 2... b n... där sekvensen b 1 b 2... b n upprepas i oändlighet. a) Visa att det periodiska decimalbråket 0, är rationellt och skriv det på formen p/q. 6
7 b) Bevisa att varje periodiskt decimalbråk är rationellt. c) Gäller omvändningen, d.v.s. är varje rationellt tal ett periodiskt decimalbråk? Bevis? Övning 13: Ett reellt tal kallas algebraiskt om det är en rot till polynomekvation av typen a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 = 0, där varje a i är ett heltal. Många irrationella tal är algebraiska, men man kan visa att t.ex. π och e inte är algebraiska. Sådana tal kallas transcendenta. a) Visa att varje rationellt tal är algebraiskt b) Visa att och är algebraiska. c) Bevisa att om α > 0 är algebraiskt så är α algebraiskt. d) Bevisa att mängden av algebraiska tal är uppräknelig. [Ledning: Hur många algebraiska tal finns det som kommer från ekvationer av grad högst M N och med a i M, i = 0... M? Kanske hjälper det att visa att en uppräknelig union (d.v.s. en union av uppräkneligt många mängder) av ändliga mängder är uppräknelig?] Övning 14: Visa att card C = card R genom att konstruera en injektiv avbildning från R 2 R. [Ledning: Arbeta med decimalutvecklingar.] Övning 15: Ett reellt tal r kallas beräkningsbart om det finns ett datorprogram som räknar ut det. Vi tolkar detta (utan att bli allt för tekniska) som att det existerar ett datorprogram som tar ett naturligt tal N som indata och svarar genom att räkna ut de N första decimalerna r (Eller bättre, producerar ett rationellt tal r N så att r N r 10 N, vilket inte riktigt är samma sak). Det finns ingen över gräns för hur många instruktioner programmet får utföra eller hur mycket minne som får gå åt men programet måste vara ändligt stort och det måste bli klart i ändlig tid. Det innebär att bara ändligt många instruktioner har utförts när programmet är klart. Och att bara ändligt mycket minne använts. Det typiska är att tids- och minnesåtgången ökar med storleken på N. Det spelar egentligen ingen roll vilken sorts dator som är inblandad, men låt oss anta att det är en binär dator, där ett datorprogram alltså består av en (ändlig, men hur lång som helst!) följd ettor och nollor. a) Låt C vara mängden av datorprogram. Bestäm card C! Man kan visa att alla algebraiska tal är beräkningsbara. Likaså är π och e beräkningsbara. Om α och β är beräkningsbara, är α + β, αβ, α/β och 7
8 α β beräkningbara, de två senare under förutsättning att operationen är väldefinierad. b) Låt B beteckna mängden av beräkningsbara reella tal. Använd resultatet i a) för att bestämma card B. c) Vilket kardinaltal har mängden av icke beräkningsbara reella tal? Kan ge något exempel på ett sådant tal? Motivera! Behövs de icke beräkningsbara talen alls? 8
1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merRelationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är
Läs merSpecialkurs i matematik 2007
Matematiska institutionen Specialkurs i matematik 2007 Föreläsningsanteckningar och övningar UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merSådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en funktion f : A B. Vi har oftast krav
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merKap. 8 Relationer och funktioner
Begrepp och egenskaper: Kap. 8 elationer och funktioner relation, relationsgraf och matris, sammansatt relation reflexivitet, symmetri, anti-symmetri, transitivitet ekvivalensrelation, partialordning,
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merGrundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.
5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är
Läs merRelationer och funktioner
Relationer och funktioner Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Relationer: Binära relationer på mängder Mängd-, graf- och matrisnotation Egenskaper hos relationer
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära
Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,
Läs merFöreläsning 5: Kardinalitet. Funktioners tillväxt
Föreläsning 5: Kardinalitet. Funktioners tillväxt A = B om det finns en bijektion från A till B. Om A har samma kardinalitet som en delmängd av naturliga talen, N, så är A uppräknelig. Om A = N så är A
Läs merI kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merGrupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merFöreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar
Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merDiskret matematik, lektion 2
Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A
Läs mer12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI.
75 12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI. I slutet av 1800-talet uppfann Cantor mängdteorin som ett hjälpmedel vid sitt arbete med integrationsteori. Med en mängd menade Cantor "vilken som
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.
Inversa unktion BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merMängder, funktioner och naturliga tal
Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Om urvalsaxiomet mm. Axiom som är ekvivalenta med urvalsaxiomet
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om urvalsaxiomet mm Vi har tidigare nämnt Zermelo-Fraenkels axiom för mängdläran, de upprepas på sista sidan av dessa
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merMängdlära. Kapitel Mängder
Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merFöreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)
Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merMetriska rum, R och p-adiska tal
Metriska rum, R och p-adiska tal Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 När vi säger avståndet mellan punkt X och punkt Y där X och Y är punkter i planet (säg) är
Läs merRELATIONER OCH FUNKTIONER
RELATIONER OCH FUNKTIONER 1 ORDNADE LISTOR (n-tipplar) Ordningen i en mängd spelar ingen roll Exempelvis {1,,3}={3,1,}={1,3,} För att beskriva listor med objekt där ordningen är viktigt använder vi rundparenteser
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merAlgebra och kryptografi Facit till udda uppgifter
VK Algebra och kryptografi Facit till udda uppgifter Tomas Ekholm Niklas Eriksen Magnus Rosenlund Matematiska institutionen, 2002 48 Grupper. Lösning 1.1. Vi väljer att studera varje element i G H för
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merTema Oändligheten Oändligheten - 1
Tema Oändligheten Människan har alltid funderat över oändligheten. Vem har inte tänkt att om universum inte var oändligt så måste det ha en gräns och vad skulle i så fall finnas på andra sidan. Ett motargument
Läs merKinesiska restsatsen
Matematik, KTH Bengt Ek juli 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Kinesiska restsatsen Vi vet att för varje m Z + och varje a Z, ges alla x Z som uppfyller x a (mod m) av x
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001 1. Låt M = {0, 1, 2,..., 99} och definiera en funktion f : M
Läs merTentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2018-10-23, lösningsförslag 1 1. (a) Sanningstabell för uttrycken p q r p q p r r q r p q 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merGruppteori. Ilyas Ahmed och Qusay Naji. 23 maj Tack till professor Dan Laksov I samarbete med Kungilga Tekniska Högskolan (KTH)
Gruppteori Ilyas Ahmed och Qusay Naji 23 maj 2007 Tack till professor Dan Laksov I samarbete med Kungilga Tekniska Högskolan (KTH) 1 Contents 1 INTRODUKTION 3 1.1 Tacksägelse............................
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merLOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER
LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS VÅRTERMINEN 2014 ERIK DARPÖ 1. Utsagor, implikation och ekvivalens En utsaga är en påstående, formulerat med
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Läs mer1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M
Läs merMängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.
Läs meravbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen
Läs merOm relationer och algebraiska
Om relationer och algebraiska strukturer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Även i analysen behöver man en del algebraiska begrepp. I den här artikeln definierar vi
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal
Läs merA B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merVäxjö University. Mängdlära och kardinalitet. - Cantors paradis. School of Mathematics and System Engineering. Reports from MSI - Rapporter från MSI
School of Mathematics and System Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Växjö University Mängdlära och kardinalitet - Cantors paradis Magnus Dahlström Jan 2005 MSI Växjö University SE-351 95
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merOm ordinaltal och kardinaltal
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om ordinaltal och kardinaltal (Ännu ofullständig version) Mängdteorin kan ses som grunden för all matematik Här skall
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v , den 24/
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v. 2.1.1, den 24/11 2014 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet
Läs merBanach-Tarskis paradox
Banach-Tarskis paradox Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 Banach-Tarskis paradox, bevisad 1924 och döpt efter Stefan Banach och Alfred Tarski, är en sats inom
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merDE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA
DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA Grubblande över evigheten leder lätt till mental ohälsa! Det får man lära sig i en ovanligt läsvärd bok om de matematiska oändligheterna Det berättas att några judiska rabbiner
Läs merKTHs Matematiska Cirkel. Reella tal. Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom
KTHs Matematiska Cirkel Reella tal Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Mängdlära 7 1.1 Mängder...............................
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merTDP015: Lektion 5 - Svar
TDP015: Lektion 5 - Svar 11 maj 015 1. Huvudsaken här är att det spelar roll vilket initialvärde vi har. Nedan har jag valt beräkningar som slutar när f(x) < ɛ, där ɛ 10 10. Detta behöver ni såklart inte
Läs mer0.1 Antalet primtal är oändligt.
0.1 Antalet primtal är oändligt. I Euklides Elementa (ca 300 f. kr.) påstås (och bevisas) att antalet primtal är oändligt. För att förstå påståendet och beviset måste vi först försöka klargöra betydelsen
Läs merσ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56).
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Övningstenta i Algebra och Kombinatorik 7,5 hp 2015-11-24 Exempel på hur tentan skulle kunna se ut om alla uppgifter var från
Läs mer10. Mängder och språk
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merAlgebra och kombinatorik 28/4 och 5/ Föreläsning 9 och 10
Grupper En grupp är ett par (G,*) där G är en mängd och * är en binär operation på G som uppfyller följande villkor: G1 (sluten) x,yϵg så x*yϵg G2 (associativ) x,y,z ϵg (x*y)*z=x*(y*z) G3 (identitet) Det
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merLösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +
Läs merExplorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER
Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Övningens syfte är att bekanta sig med begreppet relation på en mängd M. Begreppet relation i matematiska sammanhang anknyter till betydelsen av samma ord
Läs merUppgifter om funktioner
Uppgifter om funktioner Mikael Forsberg September 27, 2004 1. Med hjälp av uttrycket y = x 2 så definierar vi tre funktioner: f 1 : R x x 2 R, f 2 : R x x 2 R f 3 : R x x 2 R, där R = {x R : x 0} Eftersom
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk
ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs mer