Kap. 8 Relationer och funktioner

Transkript

1 Begrepp och egenskaper: Kap. 8 elationer och funktioner relation, relationsgraf och matris, sammansatt relation reflexivitet, symmetri, anti-symmetri, transitivitet ekvivalensrelation, partialordning, hassediagram funktion, sammansatt funktion injektion, surjektion, bijektion kardinalitet ekommenderade uppgifter: 8.4, 8.5, 8.9, 8.7, 8.2, 8.23, 8.26, 8.27, 8.32, 8.36, 8.40, 8.4, 8.63, 8.64, 8.65, 8.66, 8.67, 8.68, 8.69, 8.70, 8.7, 8.72, 8.73, 8.74.

2 elationer Låt X vara en mängd. Begrepp: En relation på X är en delmängd av produktmängden X X, dvs X X. Vi betecknar ( x, y) som x y. elationsgraf: en riktad graf med öglor, där har man en nod för varje element i mängden och drar en pil från x till y om x y. elationsmatris relationsgrafen. M : att ta fram matrisrepresentationen av Bipartitgraf: en relation mellan olika mängder. Den sammansatta relationen av och 2 betecknas med o och definieras genom 2 ( x y z x z z y) x y o 2 ( 2. Matrisen för den sammansatta relationen o 2 är M o = M M. 2 2 med addition och multiplikation i den booleska algebran { 0,}.

3 Egenskaper: En relation är reflexiv om x( x x). Det vill säga x x för varje x X. En relation är symmetrisk om Det vill säga att, för ( x y y x) x y. x, y X, x y medför y x. En relation är antisymmetrisk om Det vill säga att, för ( x y y x x y) x y =. x, y X, x y och y x medför x = y. En relation är transitiv om Det vill säga att, för är reflexiv omm ( x y y z x z) x y z. x, y, z X, x y och y z medför x z. I n M. T är symmetrisk omm M = M. T är anti-symmetrisk omm M M In. är transitiv omm M M M.

4 Ekvivalensrelation: En relation på X kallas en ekvivalensrelation om är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Låt vara en ekvivalensrelation på X, och låt Ekvivalensklassen av x är mängden [] x { y X : y x } =. x X. Varje ekvivalensklass motsvarar en enskild komponent i relationsgrafen. Partitionssatsen: ) En ekvivalensrelation på X ger en partition av X i ekvivalensklasser. 2) En partition av X ger en ekvivalensrelation på X. Partialordning: En relation på X kallas en partialordning om är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. Partialordningen kan beskrivas av hassediagramet.

5 Funktioner Antag att A och B är två mängder. Funktion: En funktion f : A B är en regel som, till varje x A, kopplar till ett entydigt värde y = f ( x) B. f (x) funktionsvärdet i x A = Dom (f) definitionsmängden av f (domän) f (A) = an (f) målmängden av f (kodomän) Sammansatt funktion: Om f : A B och g : B C är funktioner, så definieras sammansatta funktionen g o f : A C genom ( g f ) x) = g( f ( ) o ( x ).

6 Injektion: En funktion f : A B kallas injektiv om Det vill säga att, för Surjektion: ( x x f x ) f ( )) x2 2 ( x2 x. x 2 x, x A, 2 ( ) ( x 2 x medför f x f ). En funktion f : A B kallas surjektiv om ( y B x( x A f x y) ) y ( ) =. Det vill säga att, för varje f ( x) = y. y B, finns det x A så att Bijektion: En funktion f : A B kallas bijektiv om den är såväl injektiv som surjektiv. Varje bijektion f : A B har en inversfunktion f : B A som uppfyller och f o f ( x) = x för alla x A f o f ( y) = y för alla y B.

7 Antal funktioner av olika sorter: Antag att A och B är två ändliga mängder med A = m och B = n m Antalet funktioner från A till B = n. Antalet injektioner från A till B Annars finns det inga alls. n! = om m n. ( n m)! Det finns surjektioner från A till B om och endast om m n. Det finns bijektioner från A till B om och endast om m = n. I så fall, är en injektion också surjektiv (och vice versa). Antalet bijektioner från A till B = n!.

8 Kardinalitet: Två mängder har samma kardinalitet om det finns en bijektion mellan dem. Två ändliga mängder har samma kardinalitet om och endast om de har lika många element. En mängd som har samma kardinalitet som N sägs vara uppräkneligt oändligt. Mängden av alla reella tal är överuppräkneligt oändligt.