Om relationer och algebraiska

Transkript

1 Om relationer och algebraiska strukturer Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning Även i analysen behöver man en del algebraiska begrepp. I den här artikeln definierar vi några av de viktigaste av dessa. Förutom en inledande diskussion om ekvivalensrelationer och partiellt ordnade mängder inför vi de algebraiska begreppen grupp, ring och kropp och ser på deras mest fundamentala egenskaper.

2 Om relationer och algebraiska strukturer 1 (13) 1 Introduktion I denna artikel ska vi definiera och kort diskutera diverse begrepp som kommer huvudsakligen från algebran, men som ofta dyker upp i analysen för att beskriva olika funktionsrum. Vi börjar med att diskutera relationer i form av ekvivalensrelationer samt ordningsrelationer och följer upp med de vanligaste algebraiska strukturerna: grupper, ringar och kroppar. Dock görs ingen djupare analys av dessa strukturer. 2 Ekvivalensrelationer Definition Låt A och B vara två mängder. Med en relation R mellan A och B menas en delmängd av A B. Vi skriver arb om (a, b) R. En delmängd av A A kallas en binär relation på A. En funktion f från A till B är en regel som till varje element a A ordnar precis ett element f(a) i B. Det innebär att grafen för f, G f = {(a, b); b = f(a)}, är en relation mellan A och B sådan att varje a A förekommer precis en gång i G f. Exempel 1 Antag att A och B är ändliga mängder. Låt det vara m element i A och n element i B. Vi ser då att det finns n m funktioner från A till B, eftersom vi kan välja vilket element som helst i B för varje element i A. En funktion är injektiv om ekvationen f(a) = b har högst en lösning för varje b. Vi ser att det finns n(n 1)... (n m + 1) sådana funktioner (inga om m > n). En funktion sägs vara surjektiv om ekvationen f(a) = b har minst en lösning för alla b. Det kräver att m n och det finns n!s(m, n) sådana funktioner, där S(m, n) är Stirlingtalen av andra ordningen 1 (identifiera elementen i B som hål och elmenten i A som bollar). Speciellt ser vi att om A = B är en funktion injektiv precis om den är surjektiv och det finns m! sådana funktioner. Sådana funktioner kallas permutationer av elementen i A. Vi ska snart återkomma till dem. Om två funktioner f : A B och g : B C är givna, definieras deras sammansättning f g : A C av att (g f)(a) = g(f(a)). Sammansättning av funktioner är associativ, d.v.s. om A f B g C h D, så gäller att h (g f) = (h g) f. Funktionen f : A B sägs vara inverterbar om det finns en funktion g : B A sådan att g f = id A och f g = id B,

3 Om relationer och algebraiska strukturer 2 (13) där id X begtecknar funktionen id X (x) = x på X. Det finns högst en sådan funktion g, ty om g och g vore två sådana, skulle vi ha att g = g id B = g (f g ) = (g f) g = id A g = g. Funktionen g kallas inversen till f och betecknas f 1. Vi ser att en funktion f : A B är inverterbar om och endast om den är bijektiv, alltså både injektiv och surjektiv. Låt R vara en binär relation på en icke-tom mängd A. Vi är intresserade av fallet när arb ska betyda att a och b i någon mening är samma element. Då är följande egenskaper för R naturliga: Reflexivitet. ara, a A, Symmetri om arb så gäller att bra, a, b A. Transitivitet. om arb och brc så arc, a, b, c A. I ord: a är samma element som a, om a är samma element som b så är b samma element som a och, slutligen, om a är samma element som b som är samma element som c, så är a samma element som c. Definition En binär relation på A som är reflexiv, symmetrisk och transitiv kallas en ekvivalensrelation. Exempel 2 På Z, låt arb betyda att a b är delbart med n. Denna relation är reflexiv, ty a a = 0 är delbart med n, symmetrisk, om a b är delbart med n är b a det också, transitiv, om a b och b c är delbara med n, så är a c också delbart med n. Man skriver arb som a = b mod n. Exempel 3 Betrakta mängden av alla 2 2-tabeller där var och en av de fyra rutorna kan vara svart eller vit. Denna mängd innehåller 2 4 = 16 element. Inför på denna mängd relationen arb om b kan erhållas ur a med hjälp av en rotation moturs för någon vinkel k90, där k = 0, 1, 2 eller 3. Då definierar R en ekvivalensrelation. Relationen är reflexiv eftersom a erhålls ur a genom rotationen 0. Om b erhålls ur a genom en rotation k90, erhålls a ur b genom en rotation 360 k90 = (4 k)90, så relationen är symmetrisk. Slutligen är den transitiv, ty om a kan roteras till b, och b kan roteras till c med hjälp av räta vinklar, så kan uppenbarligen a roteras till c med hjälp av räta vinklar. Låt R vara en ekvivalensrelation på A och a ett element i A. Ekvivalensklassen som innehåller a är då mängden C(a) = {x A; xra}. Ett element x i C(a) kalls en representant för C(a). Det gäller att C(a) = C(b) om och endast om arb. Om-biten är trivial, och för omvändningen antar vi att arb. För x C(a) gäller då att xra, vilket tillsammans med att arb medför att xrb, d.v.s. x C(b). Vi har därmed visat att C(a) C(b), men symmetrin ger att bra, så vi måste även ha den omvända inklusionen, och därmed likhet.

4 Om relationer och algebraiska strukturer 3 (13) Sats 1 Låt R vara en ekvivalensrelation på A. Då indelas A i sinsemellan disjunkta ekvivalensklasser. Bevis. Eftesom a C(a) följer att A är unionen av alla C(a) då a genomlöper A. Antag nu att C(a) och C(b) inte är disjunkta. Då finns ett x i både C(a) och C(b), dvs xra och xrb. Använder vi R:s symmetri på den första får vi att arx och xrb, varför transitiviteten sedan ger att arb. Men det betyder att C(a) = C(b). Därmed är satsen bevisad. Man definierar kvotmängden A över R som A/R = {C(a); a A}. Elementen i A/R är alltså ekvivalensklasserna. Exempel 4 Ekvivalensrelationen a = b mod n på Z + delar in Z + i de n ekvivalensklaserna C(m) = {m + kn; k Z + }, m = 0, 1,..., n 1. En representant för Z + /mod n blir därför Z n = {0, 1,..., n 1}. Exempel 5 Rotationerna på 2 2-tabellerna ovan delar in dessa i 6 ekvivalensklaser, vilka framgår av nedanstående figur. FIGUR 3 Partiellt och totalt ordnade mängder Låt P vara en icke-tom mängd. Med en partiell ordningsrelation på P menas en relation som vi betecknar sådan att a) x x för alla x (reflexivitet) b) x y och y x = x = y (antisymmetri) c) x y och y z = x z (transitivitet) Vi skriver x y också som y x. En icke-tom mängd P på vilken vi har en partiell ordningrelation kallas en partiellt ordnad mängd. Vi säger att två element x, y i en partiell ordnad mängd är jämförbara om det antingen gäller att x y eller att y x. Om alla element i P är jämförbara sägs mängden vara en totalt ordnad mängd. Exempel 6 De reella talen är en totalt ordnad mängd med den vanliga relationen. Detsamma gäller de rationella talen, medan t.ex. det på de komplexa talen inte finns någon motsvarande operation. Exempel 7 Låt P bestå av alla delmängder till en mängd X och låt den partiella ordningsrelationen vara, d.v.s. A B betyder att A är en delmängd av B. Då är P en partiellt ordnad mängd, men inte totalt ordnad.

5 Om relationer och algebraiska strukturer 4 (13) I en partiellt ordnad mängd P sägs ett element x P vara maximalt om det för varje y P som kan jämföras med x gäller att y x. Om A är en delmängd av P, så sägs y P vara en övre begränsning till A om det gäller att x y för alla x A. Det finns många övre begränsningar, och det behöver inte finnas en minsta. Men om det gör det, är den entydigt bestämd. På samma sätt kan vi definiera nedre begränsningar och största, nedre begränsning. Exempel 8 På mängden N av de positiva heltalen inför vi relationen n m om n delar m. Den är en partiell ordningsrelation. Låt nu A = {4, 6}. Då gäller att en övre begränsning till A är ett tal som delas av både 4 och 6, t.ex. 24. Den minsta övre begränsningen är uppenbarligen 12. Om mängden A har en minsta övre begränsning betecknar vi denna med sup A, supremum av mängden A. På samma sätt betecknas en största nedre begränsning, om den finns, med inf A, infimum av mängden A. Exempel 9 Betrakta Exemplet 7, där P består av alla delmängder till en mängd X. Då gäller att om A är en mängd av delmängder till P, så är inf A lika med snittet av alla dessa delmängder, medan sup A är unionen av dem alla. Lemma 1 (Zorn s lemma) Om det för en partiellt ordnad mängd P gäller att varje totalt ordnad delmängd har en övre begränsning, så finns i P minst ett maximalt element. Är detta självklart eller inte? Det är i varje fall ekvivalent med det s.k. urvalsaxiomet, som säger att vi ur varje familj av icke-tomma delmängder till en icke-tom mängd kan bilda en ny delmängd med ett element i var en och av dessa delmängder. Ett gitter är en partiellt ordnad mängd i vilken varje par av element x, y har både en största nedre begränsning, betecknad x y, och en minsta övre begränsning, betecknad x y. Exempel 10 Mängden av reellvärda funktioner på en mängd X utgör ett gitter, med (f g)(x) = min{f(x), g(x)} och (f g)(x) = max{f(x), g(x)}. 4 Om permutationer En permutation av en mängd Ω = {1, 2,..., n} är en uppräkning av denna, alltså en bijektiv funktion π : Ω Ω. Om denna funktion avbildar 1 på a 1 2 på a 2 osv, skriver man motsvarande permutation ( ) n, a 1 a 2 a 3... a n eller, kortare, som a 1 a 2... a n. Som exempel står permutationen 132, dvs ( ) 1 2 3, 1 3 2

6 Om relationer och algebraiska strukturer 5 (13) för den funktion π : {1, 2, 3} {1, 2, 3} som definieras av π(1) = 1, π(2) = 3, π(3) = 2. Produkten π 1 π 2 av två permutationer π 1 och π 2 definierar vi som sammansättningen π 2 π 1 (observera ordningen) av motsvarande funktioner. T.ex. är ( ) ( ) ( ) = eftersom 1 avbildas på 4 av π 1, som avbildas på 3 av π 2, 2 avbildas på sig själv av π 1 som avbildas på 1 av π 2 o.s.v. Låt S n beteckna mängden av alla permutationer på Ω = {1,..., n}. En permutation som ( ) som flyttar runt alla elementen, här 1 på 2, 2 på 3 osv, kallas en cyklisk permutation. Den förkortas till ( ). Allmännare låter vi ( a 1 a 2... a m 1 a m ) beteckna den permutation som avbildar a 1 på a 2, a 2 på a 3 osv till a m 1 på a m och, slutligen, a m på 1. En cyklisk permutation kan skrivas på flera sätt, t.ex. kunde permutationen ovan ha skrivits t.ex. ( ). Vi identifierar uttryck ( a 1 a 2... a m 1 a m ) som betyder samma sak och kallar dem cykler. Vi säger att två cykler är disjunkta om de permuterar olika element, dvs π 1 och π 2 är disjunkta om de två mängderna {i; π k (i) i}, k = 1, 2 är disjunkta. Vidare definieras produkten av två cykler som produkten av motsvarande permutationer. Exempel 11 Permutationen ( ) kan skrivas som produkten ( ) ( ) Dessa två permutationer är cykliska, representerade av cyklerna ( ) respektive ( ). Vi skriver därför den ursprungliga permutationen som ( ) ( ). Sats 2 Varje permutation kan på precis ett sätt skrivas som en produkt av disjunkta cykler. Om c 1 och c 2 är två disjunkta cykler inses lätt att c 1 c 2 = c 2 c 1. När vi representerar en given permutation som en produkt av disjunkta cykler kan vi därför alltid skriva dessa efter växande längd. Vi inför nu en relation på S n Definition Två permutationer π 1 och π 2 sägs vara konjugerade om det finns en permutation σ sådan att π 1 = σπ 2 σ 1.

7 Om relationer och algebraiska strukturer 6 (13) Lemma 2 Relationen π 1 Rπ 2 om och endast om π 1 och π 2 är konjugerade, är en ekvivalensrelation på S n. Bevis. Reflexiv: om e är identitetsavbildningen är π = eπe 1 Symmetri: om π 1 = σπ 2 σ 1, så gäller att π 2 = σ 1 π 1 σ, Transitivitet: om π 1 σ = σ 1 σ 2. = σ 1 π 2 σ1 1 och π 2 = σπ 3 σ2 1, så gäller att π 1 = σπ 3 σ 1 med Vi vill nu bestämma antalet ekvivalensklasser under denna ekvivalensrelation. För det ska vi omformulera villkoret lite. En uppdelning av en permutation i S n i disjunkta cykler ger en partition av heltalet n enligt följande definition. Definition En växande svit n 1 n 2... n r kallas en partition av n om det gäller att n 1 + n n r = n. Antaget partition av n betecknas med p(n). T.ex. svarar (8)(1 2)(4 6)(3 5 7) mot partitionen {1, 2, 2, 3} av 8. Vi ska nu visa Lemma 3 Två partitioner i S n är konjugerade om och endast om de definierar samma partition av n. Speciellt följer att antalet ekvivalensklasser under denna ekvivalensrelation är p(n). Bevis. Vi börjar med att visa att permutationen σπσ 1 erhålls genom att vi ersätter i med σ(i) för alla i. Om π = c 1... c m är π:s uppdelning i cykler, så gäller att σπσ 1 = (σc 1 σ 1 )(σc 2 σ 1 )... (σc m σ 1 ), så det räcker att visa påståendet för en cykel (a 1... a m ). Men σ(a j ) avbildas av σπσ 1 på (σπ)(a j ) = σ(a j+1 ) om vi tolkar a m+1 som a 1. De tal som inte ingår i cykeln avbildas av motsvarande permutation på sig själv och det följer direkt att påståendet är sant även för dem. Att två konjugerande permutationer definierar samma partition är nu självklart. För att visa omvändningen, låt oss ta ett exempel som illustrerar bevisets gång. Låt π 1 = (1 2)(3 4 5)(6 7 8) och π 2 = (7 5)(1 3 6)(2 4 8) vara två permutationer som definierar samma partition {2, 3, 3} av 8. Låt ( ) σ = Denna s.a.s. byter 1 mot 7, 2 mot 5 o.s.v. Av första delen av beviset följer att σπ 1 σ 1 = π 2. 5 Algebraiska strukturer Definition Låt M vara en icke-tom mängd. En kompositionsregel på M är en funktion från M M till M. Bilden av (a, b) i M M betecknas med a b. En kompositionsregel sägs vara kommutativ om a b = b a, a, b M.

8 Om relationer och algebraiska strukturer 7 (13) Den sägs vara associativ om (a b) c = a (b c), a, b, c M. Om man på en mängd har definierat en eller flera kompositionsregler, sägs mängden ha fått en algebraisk struktur. Vi skriver ofta (M, ) för en mängd med en kompositionsregel. Associativiteten innebär att vi kan skriva a b c utan tolkningsproblem. Om vi inför beteckningen a n = a a... a (n gånger), så följer ur associativiteten att a n a m = a n+m. Definition Ett element på (M, ) sägs vara neutralt (för ) om e a = a e = a, a A. Det finns högst ett neutralt element för en given kompositionsregel. Antag nämligen att vi har två, e och e. Då har vi att e = e e = e. Man skriver också a 0 = e, så gäller potensregeln ovan också för n, m = 0. Låt oss nu ta några exempel. Exempel 12 På de reella talen R har vi de två kompositionsreglerna + och. Båda dessa är kommutativa och associativa. Kompositionsregeln + har 0 som neutralt element, medan har 1 som neutralt element. Exempel 13 Låt M vara mängden av funktioner från en icke-tom mängd A till de reella talen R. Om f, g M kan vi definiera nya element f + g och f g genom (f + g)(a) = f(a) + f(b) respektive (f g)(a) = f(a)g(a). Både + och är därför kompositionsregler på M. Båda är både kommutativa och associativa, vilket vi såg i föregående exempel. Neutralt element för + är nollfunktionen medan neutralt element för är funktionen som är ett överallt. Exempel 14 Låt M vara mängden av binära funktioner på en icke-tom mängd A. Sammansättningsoperationen definierar en komposition på A som är associativ men inte kommutativ. Neutralt element är identitetsavbildningen på A. Exempel 15 Låt M(n) vara mängden av n n-matriser. Låt + beteckna matrisaddition (addition av elementen) och matrismultiplikation. Båda dessa kompositionsregler är associativa och + är även kommutativ. Multiplikationen är emellertid inte kommutativ. Neutralt element under + är nollmatrisen (alla element 0) och neutralt element under är enhetsmatrisen E (med 1:or på diagonalen och 0:or f.ö.). Exempel 16 På mängden kan vi definiera + och genom Z n = {0, 1, 2,..., n 2, n 1}

9 Om relationer och algebraiska strukturer 8 (13) a + b = den rest vanlig addition av a och b ger vid division med n, a b = den rest vanlig multiplikation av a och b ger vid division med n. +-regeln är kommutativ och har 0 som neutralt element. För att se att den är associativ gäller det att visa att (a + b) + c är den rest som vanlig addition av a, b och c ger vid division med n. -regeln är också kommutativ och associativ, men saknar neutralt element. Däremot gäller att (Z n, ), där har 1 som neutralt element. Z n = {1, 2,..., n 2, n 1} Definition Låt (M, ) ha neutralt element e. Ett element a i M sägs då vara inverterbart om det finns ett a i M sådant att Ett sådant element a kallas en invers till a. a a = a a = e. Sats 3 Låt M vara en mängd med associativ kompositionsregel och neutralt element e. Då har ett element a i M högst en invers. Vi skriver a 1 för inversen till a då denna existerar. Bevis. Antag att a och a båda är inverser till a. Då gäller att a = a e = a (a a ) = (a a) a = e a = a. Den algebraiska strukturen (M, ) kallas en grupp om kompositionsregeln är associativ, har ett neutralt element och om varje element är inverterbart. Exempel 17 I (R, +) är alla element a inverterbara med invers a, så (R, +) är en grupp. I (R, ) är alla element utom 0 inverterbara, och inversen till a är 1/a. Man ser lätt att om (M, ) är en associativ kompositionsregel med neutralt element e och a är ett inverterbart element i M, så gäller att ekvationen har den entydigt bestämda lösningen a x = b x = a 1 b. Det följer också lätt att om a och b är inverterbara, så är också a b inverterbart med invers (a b) 1 = b 1 a 1. Exempel 18 Alla element i M(n) är inverterbara under + men inte alla är inverbara under. De som är inverterbara under multiplikationen utgör en delmängd som vi betecknar GL(n).

10 Om relationer och algebraiska strukturer 9 (13) Exempel 19 I (Z n, +) är alla element inverterbara. Insersen till a ges av n a. Detta gäller emellertid inte i allmänhet i (Z n, ). T.ex. gäller att 2 5 = 0 i (Z 10, ), så varken 2 eller 5 kan vara inverterbara i (Z 10, ). I (Z 5, ) är emellertid alla element inverterbara: vi har att 1 1 = 1, 2 1 = 3, 3 1 = 2 och 4 1 = 4. Låt oss nu se närmare på vilka element i (Z n, ) som är inverterbara. Om a är ett vanligt heltal, låt [a] beteckna dess rest då a divideras med n. Låt största gemensamma delaren till a och n betecknas (a, n). Det gäller att ekvationen ax + yn = c (a, y, c är alla heltal) har heltalslösningar om och endast om c är en multipel av (a, n). Dess lösningar kan i så fall hittas genom användning av Euklides algoritm 2, vilken vi snart ska illustrera. Först gör vi emellertid följande observation. Sats 4 [a] är inverterbar i Z n om och endast om (a, n) = 1. Bevis. Antag först att [a] är inverterbar med invers [x]. Det betyder att ax ger resten 1 vid division med n. Om kvoten är y betyder det att ax + ( y)n = 1, dvs att (a, n) = 1. Omvänt, om (a, n) = 1 finns heltal x och y sådana att ax + yn = 1. Detta betyder att [a][x] = [ax] = 1, dvs [a] är inverterbar med invers x. Beviset ger oss en metod att finna inversen till [a] i Z n. Exempel 20 Låt oss beräkna [25] 1 i Z 72. Euklides algoritm ger att 72 = , 25 = , 22 = , d.v.s. (25, 72) = 1, så [25] är verkligen inverterbar. Går vi baklänges i dessa räkningar finner vi att Detta i sin tur betyder att 1 = = 22 7 (25 22) =... = vilket ger oss att [25] 1 = [49] i Z = 25( 23) = 25(72 23) = mod 72, En naturlig fråga som inställer sig är hur många inverterbara element det finns i Z n. Från sats 4 får vi att detta antal är antalet positiva heltal a som är mindre än n och relativt prima med n. Detta antal betecknas φ(n) (Eulers fi-funktion). Den kan explicit bestämmas med hjälp av inklusions-exklusionsformeln 3. Sats 5 Om n = p e 1 1 p e p e k k är den entydigt bestämda uppdelningen av n i olika primtal, så gäller att φ(n) = n(1 1 p 1 )(1 1 p 2 )... (1 1 p k ).

11 Om relationer och algebraiska strukturer 10 (13) Bevis. Låt Ω = {1, 2,..., n} och låt för x Ω Vi söker då N(c 1c 2... c k ), och man har att c i : x är delbar med p i, i = 1,..., k. N(c i ) = n p i, N(c i c j ) = n p i p j,..., N(c 1... c k ) = så inklusions-exklusionsprincipen ger att n p 1... p k, φ(n) = n n... n + n ( 1) k n. p 1 p k p 1 p 2 p 1... p k Detta är bara ett annat sätt att skriva formeln i satsen. Definition En icke-tom delmängd U till M sägs vara sluten under kompositionsregeln om a b U då a, b U. Exempel 21 Q är sluten i R under både + och. Mängden av inverterbara matriser GL(n) är sluten i M(n) under men inte under +. Så här långt har vi diskuterat den kommutativa och den associativa lagen. Som bekant finns det även en distributiv lag. Denna handlar om algebraiska strukturer med två kompositionsregler. Definition Låt M vara en icke-tom mängd med två kompositionsregler + och. Man säger då att är distributiv över + om för alla a, b M. a (b + c) = a b + a c, (b + c) a = b a + b a, Definition En ring är en algebraisk struktur (R, +, ) med två kompositionsregler + och, sådana att a) (R, +) är en kommutativ grupp, b) kompositionsregeln är associativ c) är distributiv över +. Några enkla räkneregler som gäller för ringar känner vi från räkningar med de hela talen. Låt 0 beteckna det neutrala elementet, och a inversen till a i gruppen (R, +). Sats 6 I en ring (R, +, ) gäller för alla a, b, c R att a) a(b c) = ab ac och (b c)a = ba ca, b) a 0 = 0 a = 0, c) a( c) = ( a)c = ac,

12 Om relationer och algebraiska strukturer 11 (13) d) ( a)( b) = ab. Bevis. a) ab ac är den entydiga lösningen till ekvationen ac + x = ab. Men a(b c) är också en lösning, ty ac + a(b c) = a(c + (b c)) = ab, vilket visar den första likheten. Den andra visas analogt. b) Tag b = c i 1. c) Tag b = 0 i 1. d) Använd c) två gånger: ( a)( c) = ( a)c = ( ac) = ac. Definition En ring (R, +, ) sägs vara kommutativ om -regeln är kommutativ, och den sägs ha en etta om denna har ett neutralt element. Om (R, +, ) har en etta, betecknar vi denna med 1. Exempel 22 Talmängderna Z, Q och R är alla kommutativa ringar med etta. De jämna talen 2Z är en kommutativ ring utan etta. Exempel 23 M(n) är en ring under kompositionsreglerna matrisaddition och matrismultiplikation, där den senare har enhetsmatrisen som etta. Denna ring är inte kommutativ. Exempel 24 På mängden Z n = {0, 1, 2,..., n 2, n 1} har vi definierat två kompositionsregler + och. Att Z n är en kommutativ grupp under + och att multiplikationen är associativ har vi sett, liksom att den har ett neutralt element. För att se att (Z n, +, ) är en ring måste vi verifiera att multiplikationen är distributiv m.a.p. addition. För att se detta verifierar man att a) a (b + c) är den rest a(b + c) (vanliga operationer) ger vi division med n b) (a b) + (a c) är den rest ab + ac ger vid division med n. Vi ser alltså att Z n är en kommutativ ring med etta. Definition Ett element a 0 i en ring R kallas en nolldelare om det finns ett b 0 i R sådant att a b = 0 eller b a = 0. ( ) 0 0 Exempel på ringar med nolldelare är M(n) för n 2. T.ex. har M(2) nolldelarna ( ) och (deras produkt är nollmatrisen) och Z 0 1 n då n inte är ett primtal (om n = ab så är a b = 0 i Z n ). Man ser lätt att a 0 i en ring inte är en nolldelare om och endast

13 Om relationer och algebraiska strukturer 12 (13) om ax = ax = x = x och ya = y a = y = y. Speciellt betyder det att i en ring med etta kan ett inverterbart (m.a.p. multiplikationen) element inte vara en nolldelare. Låt R vara en ring med etta. Sätt R = {a R; a inverterbar m.a.p. multiplikationen}. Denna blir då en grupp med multiplikation som kompositionsregel. Som exempel har vi Z = {1, 1}, Q = {x Q; x 0}, M(n) = GL(n) = {A; det A 0}. Definition En kropp är en kommutativ ring med etta 1 0, sådan att varje element 0 är inverterbart. Anmärkning Kravet 1 0 är till för att {0} inte ska bli en kropp. En kropp saknar alltså nolldelare. Om a och b är element i en kropp så gäller att b 1 a = ab 1 eftersom multiplikationen är kommutativ. Vi skriver ofta a/b för detta element. Det är då klart att a/b är den entydiga lösningen till bx = a. Sats 7 Låt a, b, c och d vara element i en kropp K med b, d 0. Då är a) a/b = c/d ad = bc, b) a/b + c/d = (ad + bc)/bd, c) (a/b) (c/d) = ac/bd. Bevis. a) a/b = c/d b 1 a = d 1 c (bd)(b 1 a) = (bd)(d 1 c) ad = bc. b) a/b + c/d = ab 1 + cd 1 = add 1 b 1 + cbb 1 d 1 = (ad + cd)b 1 d 1 = (ad + bc)/bd c) (a/b) (c/d) = (ab 1 )(cd 1 ) = (ac)(b 1 d 1 ) = (ac)(bd) 1 = ac/bd. Exempel 25 Q, R och C är alla kroppar. Exempel 26 Z n är en kropp om och endast om n är ett proitmal, eftersom (Z n, ) är en grupp om och endast om n är ett primtal. Ett annat sätt att se detta är att använda nästa sats. Sats 8 En ändligt kommutativ ring som saknar nolldelare är en kropp. Bevis. Det gäller att visa, dels att multiplikationen har en etta, dels att varje element utom 0 är inverterbart under multiplikation. Kalla ringen för R och låt a vara ett element skiljt från 0 i R. Avbildningen x x a är då injektiv, ty om x a = y a, så är (x y) a = 0, vilket betyder att x y = 0 eftersom R saknar nolldelare. Eftersom R är ändlig måste därför avbildningen vara surjektiv. Detta betyder

14 Om relationer och algebraiska strukturer 13 (13) a) det finns ett e sådant att e a = a, b) det finns ett b sådant att b a = e. P.g.a. kommutativiteten gäller då också att a e = a och att a b = e. För att visa att e är en etta, måste vi visa att om c är ett annat element än a, skilt från 0, så gäller att e c = c. Låt b vara det element som löser ekvationen b a = c. Då gäller att c e = (b a) e = b (a e) = b a = c. Det följer att e är en etta i ringen och 2. ovan visar nu att varje element 0 är inverterbart. Vi har därmed visat att R är en kropp. Noteringar 1. Se artikeln Om användning av potensserier på kombinatorik och rekursionsformler. 2. Titta t.ex. i artikeln Varför räknar vi som vi gör. Historien om vårt talsystem. 3. Se artikeln Binomialteoremet och lite kombinatorik.