Diskret matematik, lektion 2

Transkript

1 Diskret matematik, lektion Uppgifter med (*) är överkurs, och potentiellt lite klurigare. Ni behöver inte kunna lösa dessa. 1 Uppgifter 1. Låt A = {1,, 3}, B = {a, b}. Vilka element finns med i... a) A B = {(1, a), (1, b), (, a), (, b), (3, a), (3, b)} b) B A = {(a, 1), (b, 1), (a, ), (b, ), (a, 3), (b, 3)} c) B B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} d) B A B = {(a, 1, a), (a, 1, b), (b, 1, a), (b, 1, b), (a,, a), (a,, b), (b,, a), (b,, b), (a, 3, a), (a, 3, b)(b, 3, a), (b, 3, b)}?. Låt A = {a, b}, B = {1, }, D = {(a, ), (a, 4), (c, 3), (b, )}, E = 1,, 3, 4. a) Nej, a B. b) Ja, B E. c) Nej, {b} B (däremot {b} A). d) (a, b) A A stämmer. (a, a) A A (a,a) är ett av elementen i A, men inte en delmängd. e) Gäller det att (A B) D? Hur kommer du fram till det (vilka kontroller gör du)? Nej. (b, 1) A B men finns ej i D. f) Gäller det att D (A B)? Hur kommer du fram till det? (c, 3) D men (c, 3) A B g) Vad är D (A B)? D (B A)? D (A B) = {(a, ), (b, )} D (B A) = 1

2 3. Låt A = {a, b}, B = {1,, 3}, D = {o, p}, E = {1,,..., 10}. a) Stämmer det att A = A A? Bevis eller motexempel. Nej. a A, men a A A. b) Hur många element innehåller A D E? Hur skriver man det matematiskt (kardinaliteten av... )? A, D, E ändliga. Så A D E = A D E = 10 = 480 c) A (B E) = {a, b} {1,, 3}. Se utskrift i uppgift 1. d) A A (A D) A stämmer. Skriv ut elementen! Notera att (A D) A är alla par där första delen i paret kommer från A eller från D och andra delen från A. Så alla element i A A finns med. e) Nej, A B B A. Här det gäller att visa motsatsen räcker det med ett enda motexempel. Ett möjligt är: (a, 1) A B men (a, 1) A B. f) Gäller det i det här fallet att (A B) C A C? Ja. Skriv ut! g) Gäller det allmänt att om A, B, C mängder så är (A B) C A C? Ja. Funktioner 4. Vi har funktionen g : A B, där A = {ok, thanks, bye}, B = {k, thx, bye, heh}. g(ok) = k, g(thanks) = thx, g(bye) = bye. a) Rita upp en visualisering av A, B och hur g avbildar elementen i A. b) D g = A, Målmängd = B, V g = {g(x) : x A} = {k, thx, bye}. c) Ingen invers funktion g 1 finns. Vi har heh B, men vi kan inte hitta något x i A som avbildas på heh (formellt: x A : g(x) = heh. är betyder det finns ). d) Vad krävs för att det ska gå? Funktionen är injektiv (det finns inte två element i A som avbildas på samma element i B). Det som saknas är att funktionen måste vara surjektiv, att varje element i B ska vara bilden av något i A. 5. Vi ges A = {1,, 3}, B = {a, b, c}. Nedan beskriver vi funktioner (eller funktioner ) h i : A B. Rita upp, och besvara sedan om de alls är funktioner (om inte, ange var de brister). Om det är en funktion, besvara om den är injektiv, surjektiv och om det går att hitta en invers funktion.

3 a) h 1 (1) = a, h 1 () = a, h 1 (3) = a, h 1 () = b. Inte en funktion. Det står att h 1 () = a och sedan h 1 () = b. Men om h 1 är en funktion så måste den ta till ett unikt element i B. b) h (1) = a, h () = b, h (3) = c Funktion (se ovan). Det finns inte två olika element som avbildas på samma element (h (1) h (), h (1) h (3),...), så h 1 är injektiv. Varje element i B är bilden av något element i A (a är bilden av 1, b av, c av 3). Injektiv och surjektiv ger att funktionen är bijektiv (att den är en bijektion). Invers: h 1 : B A, h 1 (a) = 1, h 1 (b) =, h 1 (c) = 3 c) h 3 (1) = a, h 3 () = b, h 3 (3) = a Funktion, inte injektiv (h 3 (1) = h 3 (3)), inte surjektiv (inget avbildas på c). d) h 3 (1) = a, h 3 () = d, h 3 (3) = c Inte funktion från A till B, för d B. 6. A = {, 4, 6}, B = {5, 9, 13}, f : A B, f(x) = x + 1. Ange definitionsmängd, värdemängd och målmängd. Visa att funktionen är bijektiv. Definitionsmängd D f = A, målmängd = B, värdemängd V f = {f(), f(4), f(6)} = {5, 9, 13}. Injektiv: Vi kan testa oss igenom hela mängden A, och visa att det inte uppstår krockar. Vi kan också göra så här: Välj f(x) B godtyckligt. Antag nu att f(x) = f(y), det vill säga att funktionen ger samma utdata för både x och y 1. Om vi kommer fram till att Vi ska visa att det måste vara så att x = y isåfall, det vill säga att det är omöjligt att ha två olika indata som ger samma utdata: f(x) = f(y) / f:s definition / x+1 = y+1 x = y x = y Därmed har vi (bakvägen) visat att funktionen är injektiv. Surjektiv: detta stämmer också. Vilket element vi än väljer i B, finns ett element i A som avbildas på det. Funktionen är injektiv och surjektiv, det vill säga bijektiv. 7. Låt P = {p : p är människa } och N = {n : n är ett namn } Vad skulle det innebära om 1 Bilden av x och bilden av y under f är densamma. 3

4 a) påståendet "g : P N är en funktion"vore sant? Låter det rimligt? Vilka egenskaper har funktionen isåfall? Alla människor har ett namn, och enbart ett namn. Om funktionen är injektiv betyder det att alla har unika namn (inte två Anders till exempel). Om den är surjektiv så finns det inga namn som ingen människa har (om Rymdblomma eller Katten Gustaf är tillåtna namn, måste det finnas några som heter det). Rimlighet kan delvis vara beroende av hur man definierat mängden tillåtna personer och namn, men vissa slutsatser kan dras av det ovan. b) påståendet "g : N P är en funktion"vore sant? Låter det rimligt? Vilka egenskaper har funktionen isåfall? Betydelse: Varje namn svarar mot en person. Det finns inte två personer med samma namn, och oavsett vilket namn vi väljer så finns det någon som heter det. Injektiv: det finns ingen som har två namn (t ex att samme person är känd som Karl och Kalle ). (I b-uppgiften utgår vi från namnen.) Surjektiv: alla människor har (åtminstone) ett namn. 8. Korr, utökad Visa att f : R R, f(x) = x + 1 är en bijektion (injektiv och surjektiv). Börja med att troliggöra det med en skiss, och visa det sedan formellt. Det vill säga, visa att kriterierna för injektivitet och surjektivitet uppfylls (eller inte bryts). Injektivitet: Se ovan. Surjektivitet: visa att man för varje y R kan hitta åtminstone någon lösning på ekvationen f(x) = y. Det vill säga att det för varje y finns ett x R sådant att f(x) = x + 1 = y x = y 1 x = y 1 Här har vi av en händelse också hittat den inversa funktionen, eftersom det bara finns ett enda sådant svar. Om vi hittat det (och ser att alla sådana svar tillhör definitionsmängden), har vi hittat ett sätt att ta oss tillbaka från målmängden till definitionsmängden, och visat att vi har en bijektion. f 1 (y) = y 1 är inversen. 4

5 Kommentar: Det är värt att notera att någon lösning räcker för surjektiviteten. Ta t ex f : R R +, f(x) = x. För varje y R + kan vi hitta ett par lösningar x = y 1, x = y 1 R som uppfyller ekvationen. Därmed är funktionen surjektiv. Men vi det är inte så att varje y har en unik lösning, så frågan vilket element avbildas på y har inte ett bra svar. I en illustration: det finns inte bara en pil som går till y. 9. Ange om följande funktioner är injektiva, surjektiva (och om de är bijektiva). Har de en invers? Motivera svar kortfattat. a) f(x) = 5, f : N N Inte injektiv. Motexempel: f(1) = f(). Inte surjektiv. Motexempel: det finns inget x sådant att f(x) = 13. b) f(x) = x, f : N N Injektiv. f(x) = f(y) x = y. Surjektiv: välj y N godtyckligt. Då finns ett x N sådant att x = y. Alltså bijektiv. Invers existerar (f 1 (y) = x). c) f(x) = x, f : N N Injektiv (se ovan). Inte surjektiv (motexempel: 5 N men inget avbildas på 5). d) f(x) = x +, f : Z Z (Enbart kort svar). Injektiv och surjektiv. Invers: f 1 (y) = y. e) f(x) = x +, f : N N Injektiv. Inte surjektiv däremot. Motexempel: 1 N, men det finns inget som avbildas på 1 (isåfall skulle x + = 1, så x = 1. Men -1 N). f) f(x) = x, f : N N Injektiv, inte surjektiv. Enkelt motexempel för surjektiviteten: 3 N men det finns inget x N : x = 3. g) f(x) = x, f : Z Z Inte injektiv. Motexempel: f( 5) = f(5). Notera att definitionsmängden är en annan än i exemplet ovan. Inte surjektiv. h) f(x) = 1, f : {a} {x N : 11 < x < 13} Injektiv, surjektiv. Invers: f 1 (1) = a. 10. Antag att vi har två ändliga mängder A, B och en funktion f : A B, och f är bijektiv. Stämmer det att A = B? Resonera (och illustrera gärna). Formellt bevis/motbevis krävs inte (men uppmuntras). f är bijektiv, alltså injektiv och surjektiv. Detta innebär: f är en funktion. Alla element i A avbildas på något, men vi vet inte i och med det om det finns krockar. Vi vet åtminstone att A V f (alla skulle ju kunna avbildas på ett element). 5

6 Men... f injektiv, så det finns inte x, y A som avbildas på samma element. Därmed vet vi att det finns lika många unika element i värdemängden av f som i A. A = V f. f surjektiv, så varje element i B har åtminstone ett element i A som avbildas på det. Det vill säga B = V f. Tillsammans får vi A = B. Mer koncist: injektiv, så V f = A, surjektiv så B = V f. Därmed A = V f = B. 11. (*). Påståendet ovan gäller åtminstone för oändliga mängder. Visa - genom att konstruera en bijektion - att det finns lika många jämna naturliga tal som det finns naturliga tal, d v s att N = {0, 1,...} och N = {0,, 4, 6,...} har lika många element. f(n) = n är en bijektion. Injektivitet syns direkt. Vi får inga problem med surjektiviteten, eftersom vi bara har jämna naturliga tal i målmängden. 1. (**) Visa att det finns lika många naturliga tal som det finns heltal, d v s att N har lika många element som Z = {0, 1, 1,,,...}. { n om n jämnt, f(n) = (n+1) annars. Injektiv: Antag att f(n) = f(m). Då måste f(n) och f(m) vara positiva. Både m, n är icke-negativa (definitionsmängden är de naturliga talen), så isåfall måste vi ha fallet f(n) och f(m) negativa. Isåfall: f(n) = f(m) n = m n = m (n + 1) (m + 1) f(n) = f(m) = (n+1) = (m+1) n = m Surjektiv: välj y Z godtyckligt. Då gäller ett av fallen y 0. Vi konstaterar att det finns ett jämnt tal n N sådant att f(n) = n, nämligen n = y (notera här att n är jämnt, så vi har valt rätt fall av f att använda). y < 0. Vi konstaterar att f(n) = (n+1) = y för n = y 1 uppfyller detta. Ett sådant naturligt tal finns (verifiera att ett sådant tal är udda, så att vi valt rätt fall ovan!). 6