Matematik för språkteknologer

Transkript

1 1 / 27 Matematik för språkteknologer 2.3 (Relationer och funktioner) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014

2 2 / 27 Dagens nya punkter Relationer Definitioner Egenskaper hos relationer Typer av relationer Funktioner Definition Egenskaper hos funktioner

3 3 / 27 Relationer En relation är något som råder (eller inte råder) mellan två eller fler objekt. T.ex.: far-till, barn-till, tyngre-än, <,,. Notationssätt: R(x,y), Rxy och xrx, m.fl. (där R är relationssymbolen). Olika lässätt: relation R råder mellan x och y x har relationen R till y, x < y blir x är mindre än y, x M blir x är ett element i M, etc.

4 4 / 27 Binära (tvåställiga) relationer Mer formellt: En binär relation mellan två mängder M och N är något som råder (eller inte råder) mellan par (x,y) av objekt, där a M och y N. Om M = N en (binär) relation på M.

5 Relationen möjlig-pos-tagg mellan fyra graford och fyra pos-taggar. 5 / 27 Relation, konkretare en ett får fick DT NN RO VB

6 Två olika relationer a e a e b f b f c g c g d h d h M = {a,b,c,d} och N = {e, f,g,h} 6 / 27

7 Relation på en mängd sil hus bil tal sol pil bus sal Uppgift: Beskriv relationen, om vi tänker oss att detta skall föreställa en lingvistiskt eller språkteknologiskt intressant sådan. 7 / 27

8 8 / 27 Relation på en mängd, nytt ex. a h b g c f e d

9 9 / 27 Relationer som mängder av par En relation R mellan två mängder M och N kan representeras som en mängd R av ordnade par (x,y), där x M och y N. Alternativt uttryckt: R M N. Ett exempel: R = kommer före i alfabetet (begränsad) R = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)} Obs! Om vi tolkar bokstäverna som namn på det uppenbara sättet.

10 10 / 27 Relationer som mängder av par Som sagt: R M N. Fråga: Hur många olika relationer mellan två mängder M och N kan vi på detta sätt skilja på?

11 11 / 27 Egenskaper hos relationer Obs! Handlar om generella egenskaper! En relation R på en mängd A kallas: reflexiv om Raa, för alla a A irreflexiv om inte Raa, för alla a A total om Rab eller Rba, för alla a,b A (Obs! total implicerar reflexiv! Varför?)

12 12 / 27 Egenskaper hos relationer En relation R på en mängd A kallas: symmetrisk om Rab implicerar Rba, asymmetrisk om Rab implicerar inte Rba, för alla a,b A för alla a,b A antisymmetrisk om Rab och Rba implicerar a = b, för alla a,b A

13 13 / 27 Egenskaper hos relationer transitiv om Rab och Rbc implicerar Rac, för alla a,b,c A antitransitiv/intransitiv om Rab och Rbc implicerar inte Rac, för alla a,b,c A

14 14 / 27 Relationer speciella typer ekvivalensrelation En relation R på en mängd A är en ekvivalensrelation om den är reflexiv, transitiv och symmetrisk. T.ex. =, vara-lika-lång-som (människor), ha-samma-kardinalitet-som (mängder). Kolla (tänk efter)!

15 Ekvivalensrelation här (ha-samma-kardinalitet-som): Def. R(A, B) omm A = B. 15 / 27 Ekvivalensklasser En ekvivalensrelation på M grupperar elementen i M. {1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3} /0

16 16 / 27 Annat exempel hus, ljus, bus, rus rimma, simma, strimma häst, bäst, näst tom, bom Ekvivalensrelation här: rimma-på.

17 17 / 27 Relationer speciella typer partialordning En relation R på en mängd A är en partialordning om den är reflexiv, transitiv och antisymmetrisk. T.ex. på P(M) (för någon mängd M). Kolla!

18 18 / 27 Relationer speciella typer totalordning En relation R på en mängd A är en totalordning om den är total, transitiv och antisymmetrisk. T.ex. på heltalen. Kolla! strikt totalordning En relation R på en mängd A är en strikt totalordning om den är den största irreflexiva delmängden till en totalordning. T.ex. < på heltalen. Kolla! a < b omm (a b och a b), för alla heltal a,b.

19 19 / 27 Funktioner En funktion f från A till B är en regel som tilldelar varje element i A ett (och endast ett) element i B. Formell notation: f : A B Funktionens värde för ett argument a skrivs f (a) Alltså: om a A, så f (a) B. Mängden A kallas funktionens domän. Mängden B kallas funktionens kodomän.

20 20 / 27 Funktioner f : A B Mängden av alla element i B som verkligen kan nås från A kallas funktionens värdemängd. V = {x det finns ett a A och f (a) = x}. Och då: V B.

21 21 / 27 Funktioner, exempel Fibonaccitalen: 0 om n = 0 f (n) = 1 om n = 1 f (n 1) + f (n 2) om n > 1 f : N N (d.v.s. domän och kodomän de naturliga talen) Många tal ingår inte i värdemängden, t.ex. 7.

22 22 / 27 Funktioner, sammansättning Fibonaccifunktionen.

23 23 / 27 Funktioner, sammansättning g(x) = 2x

24 24 / 27 Funktioner, sammansättning Sammansatta

25 25 / 27 Funktioner, sammansättning Resulat.

26 26 / 27 Funktioner, sammansättning Två funktioner f : A B och g : B C kan alltså sättas ihop till en ny funktion h : A C. h(x) = g( f (x)) eller h(x) = (g f )(x)

27 27 / 27 Egenskaper hos funktioner Avser en funktion: f : A B injektiv (olika argument olika värde) om f (a 0 ) = f (a 1 ) implicerar a 0 = a 1, för alla a 0,a 1 A surjektiv (hela kodomänen kan nås) om b B, så finns det ett a A sådant att f (a) = b, för alla b B bijektiv innebär både injektiv och surjektiv (elementen i A och B matchas ett-till-ett)