Algebra och kombinatorik 10/ Föreläsning 4. Låt X vara en ändlig mängd. En permutation av X är en bijektiv funktion X X. Sats: S n =n!

Transkript

1 Permutationer Låt X vara en ändlig mängd. En permutation av X är en bijektiv funktion X X. Mängden permutationer av N n för n N är S n (S 0 är mängden av permutationer av ) Sats: S n =n! Ex S 3 =3! Låt f N 3 N 3 vara en godtycklig bijektiv funktion f(1) kan väljas på tre sätt, f(2) kan väljas på två sätt och f(3) kan väljas på ett sätt. Två permutationer α och β i S 5 α och β kan också skrivas i tabellform α α(1) = 2, α(2) = 1, α(3) = 3, α(4) = 4 och α(5) = 1 β(1) = 5, β(2) = 4, β(3) = 3, β(4) = 2 och β(5) = 1 β Vi kan definiera sammansättningen av permutationer (β α): i β(α(i)) och αβ (α β) : α(β(i)) β α betyder α först och βsedan. Vi beräknar sammansättningen βα A l f a B e t a Det ger βα På samma sätt beräknar vi αβ I allmänhet gäller som här att βα αβ 1

2 Föreläsning 4 Spelkortsexempel Se forum (Olyckligt ex med spelkort förra gången utrett på forumet) Def: En permutation av ändlig mängd X är en bijektiv funktion X X Speciellt kallar vi mängden av permutationer av N n för S n Sats: Mängden S n har följande egenskaper i) Om α, β S n så gäller att βα (β α) S n ii) Om α, β och γ S n så gäller att γ(βα) = γβ (α) (associativ) iii) Det finns ett speciellt element id S n sådant att α id = id α = α för α S n iv) För varje α S n finns ett unikt element α -1 sådant att α -1 α= α α -1 =id Exempel: Här följer de två permutationerna α och β i tabellnotation Alfa Alfa(-1) α β Cyklisk notation α och β ovan skrivs i cyklisk notation α=(1 2)(3)(4)(5) och β=(1 5)(2 4)(3) βα Βα=( )(3) Förkortat kan man låta bli att skriva ut cykler av längd

3 Binomialtal Ex: På hur många sätt kan man välja ett tremannalag från 5 personer? Svar: Först kan vi välja vilken som helst av de fem, näste väljer vi en av de fyra som är kvar och slutligen en av tre. Totala antalet kombinationer blir 5x4x3, eftersom ordningen är oviktig för resultatet (det spelar ingen roll om en spelare är vald först eller vid tredje valet) dividerar vi med de antal kombinationer som ger samma resultat d.v.s. 3x2x1 5x4x3 3x2x1 = 10 ätt = (5 3 ) Def: Låt n,r vara icke-negativa heltal. Då definieras ( n r ) = {B N n B = r} Antalet delmängder till N n av storlek r. Talen ( n ) kallas binomialkoefficienter r Viktiga egenskaper Rekursiv formel ( n r ) = (n 1 r )+(n 1 r 1 ) ( i boken theorem se bevis samma sida) Binomialkoefficienterna ( n ) heter på svenska n över r och på engelska n choose r r Pascals triangel Sluten formel: ( n r ) = n! (n r)!r! n Binomialsatsen: (a + b) n = ( n k )ak b n k k=0 Ex: ( n k ) k=0 = 2 n Tillämpa binomialsatsen på : (1 + 1) n = (2) n 3

4 Fruktkorgsexempel Vi vill kombinera frukterna äpplen, bananer och apelsiner i en korg med sju frukter. Vi har oändligt antal att plocka av och vill nu räkna ut på hur många sätt vi kan göra det. Lösning: Frukterna får utgöra tre grupper med två skiljeväggar i mellan på följande sätt xx x xxxx Det ger oss ett problem att lösa som består av 9 positioner varav 7 är frukter och 2 avskiljare Detta ger oss ( ) = ( )*sätt? 3-1 avskiljare och 3 fruktsorter, 7 frukter. Urnmodeller En urna innehåller n kulor numrerade från 1 till n. På hur många sätt kan man välja r kulor? 1. Ordnad 2. Oordnad (dvs 113=131=311) A Utan återläggning n! (n r)! ( n r ) = n! (n r)!r! B Med återläggning A1. Antalet injektiva funktioner N r N n B1. Antalet funktioner N r N n n r ( n+r 1 r )* A2. Antalet r-delmängder till N n B2. Fruktkorgar (r frukter och n funktioner) Köexempel En kö A har 3 personer och en kö B har 4 personer. Sedan stänger kassa A och B och kön ska bildas om vid kassa C. På hur många sätt kan köerna bli en ny kö med inbördes ordning bevarad? A B B A B B A a 1 b 1 b 2 a 2 b 3 b 4 A 3 Samma som antalet strängar med 7 symboler från {A, B} ( 7 3 ) = (7 4 ) = 28 4

5 Partitioner Def: En partition P av en mängd X är en mängd P={X 1,, X r }av icke tomma delmängder till X sådana att varje element x X ligger i precis en delmängd X i P. En delmängd X i P kallas del av partitionen. Ex Partitionen av N 12 i 3 delar Ringa i 1,2,3 och 5 i en del, 4 och 9 i en och 6,7,8,10,11 och 12 i en. De inringade talen utgör delar av den gemensamma partitionen. Exempelvis 1 och 3 är då ekvivalenta (skrivs 1R3) och 4 och 8 är inte det. Ex. Sats: Låt R vara en ekvivalensrelation på X. Då utgör mängden av ekvivalensklasser för R en partition av X Det finns ett ett-till-ett-förhållande (en bijektion) mellan mängden av partitioner av X och mängden av ekvivalensrelationer på X Stirlingtalet Def: Antalet partitioner av n-mängder i r-delar betecknas S(n,r) och kallas Stirlingtalet (av andra typen) Sats S(n,1)=S(n,n)=1 Om vi väljer alla var för sig (ringa in alla talen i N 12 ovan) kan vi bara göra det på ett sätt. Samma gäller om vi väljer alla tillsammans (sätta en ring runt alla) Sats S(n,r)=S(n-1,r-1)+rS(n-1,r) Obs! Beviset bra och viktigt men hinns inte med nu. Läs det i boken s. 127 Stirlingtalen kan beskrivas i en tabell som liknar Pascals triangel 5

6 n r=1 1 r=2 1 1 r=3 n= r=4 n= r=5 n= Tabellen ska läsas så att r- värdena ger en sned axel och n en rak. Båda uppifrån och ner. Ex. S(3,2)=S(2,1)+2S(2,2)=3 (fetstilt i tabellen) Ex. Använd triangeln för att svara på frågan: Hur många ekvivalensrelationer finns det på N 5? 5 Svar: r=1 S(5, r) = =52 Där slutade Daniels föreläsning och Olof fortsatte efter pausen Principen om inklusion och exklusion (Sållprincipen) Ex. I en klass finns personer med röd eller blå tröjor. 12 har röda och 13 blå. Hur stor är klassen? Svar: Antalet röda +antalet blå=12+13=25 Princip: Om X=A 1 A 2 och A 1 A 2= då gäller X = A 1 + A 2 Ex. I en klass finns personer med röd tröja (17),blå (20) samt blåröd (12) eller blå tröjor. Hur stor är klassen? Svar: Antalet röda +antalet blå-antalet blåröda= =25 A B = A + B A B A B C = A + B + C A B A C C B + A B C 6

7 Sats Principen om inklusion och exklusion PIE n n i=1 i I = Låt A 1,, A n vara ändliga mängder. Då gäller A i = 1( 1) I 1 A i A A n A 1 A 2 A 1 A 3 A n 1 A n + + ( 1) n 1 A 1 A n Se bevis I boken och fråga om något är oklart. Man brukar använda PIE tillsammans med observationen A X A X = X A Exklusionordsexempel Hur många ord (boksstavskombinationer) med 9 bokstäver kan man bilda av ordet exklusion som inte innehåller bokstavskombinationerna LEK, KEX eller SKE. Läsning: Börja med att räkna totala antalet ord X. X =9! Låt S LEK S KEX och S SKE vara mängder av ord som innehåller LEK, KEX och SKE. Vi får då alfabet av LEK,X,U,S,I,O,N S LEK =7! På samma sätt får vi S KEX =7! och S SKE =7! S LEK S KEX = 0 Eftersom E står före K i LEK men efter i KEX S KEX S SKE = 6! Alfabet SKEX,L,U,I,O,N S LEK S KEX S SKE = 0 PIE: X S LEK S KEX S SKE = X S LEK S KEX S SKE + S LEK S KEX + S LEK S SKE + S KEX S SKE S LEK S KEX S SKE =9!-7!-7!-7!+0+0+6!-0=9!-3. 7!+6! Surjektionsexempel Beräkna antalet surjektioner från A = {1, n} till B={1, k} Lösning: Låt F(A,B) vara mängden av funktioner A B F(A,B) = B A =k n Låt M i vara mängden av funktioner som missar i B M i = (k 1) n för f M i är en funktion A B {i} 7

8 M i M j = (k 2) n M i M j M r = (k 3) n s M i = (k s) n i=1 k PIE: F(A, B) i=1 M i = F(A, B) M 1 M 2 M k + M k 1 M k + ( 1) k k M 1 M k = ( 1) i ( k i ) (k i) n i=0 8