Matematisk verktygslåda: formell logik och mängdlära

Transkript

1 Matematisk verktygslåda: formell logik och mängdlära Tomas Malm Detta dokument utgör ett litet matematiskt lexikon som rymmer den terminologi och notation ur formell logik och mängdlära som kommer till användning inom i stort sett alla grenar av matematiken. Lexikonet är inte alfabetiskt ordnat, utan ordnat på så sätt att varje kapitel ska kunna användas som en uppslagsbok, men också i princip som en översiktlig undervisande framställning av respektive ämnesområde. Bokförlaget Bärarna

2 c 2015 Tomas Malm & Bokförlaget Bärarna Version av texten: 2 oktober 2016 Redigering/bearbetning av text & bild: Tomas Malm Detta dokument ingår i Bokförlaget Bärarnas distribution av kostnadsfritt material för utbildning och utbyte av tankar och idéer. Det är tillåtet att ladda ned, skriva ut och kopiera materialet. Det får användas privat, i utbildningssyfte eller som underlag för diskussion. Det är inte tillåtet att: bearbeta texten, använda den utan att uppge författaren som referens, ladda upp den på andra webbsidor än Bokförlaget Bärarnas eller författarens egen, distribuera och sälja fysiska utskrifter eller nyutgåvor av texten utan skriftlig överenskommelse med Bokförlaget Bärarna. För detaljer gällande rättigheter med mera vänligen kontakta förlaget via dess hemsida. Om du har förslag på förbättringar av eller kompletteringar till texten, vänligen kontakta bokförlaget via dess hemsida. 1

3 Innehåll 1 Inledning 3 2 Satslogik Konjunktion Disjunktion Negation Implikation = Ekvivalens Predikatlogik Predikat Allkvantifikator Existenskvantifikator Mängder Mängd, mängdklamrar {}, medlemskap Mängddiagram (Eulerdiagram, Venndiagram) Mängdbyggaren {x : P (x)} Grundmängd Talmängder N, Z, Q, R, C Kardinalitet A, #A Delmängd, Den tomma mängden Disjunkta mängder Extensionalitetsprincipen Abstraktionsprincipen Den matematiska induktionsprincipen Mängdteoretiska operationer Potensmängd P(A), 2 A (Mängd)differens A B, A \ B Komplement A Snitt A B Union A B Ordnat par (a, b), n tippel (x 1, x 2,..., x n ) Cartesisk produkt A B Det euklidiska n rummet R n Funktioner och relationer 29 2

4 6.1 Funktion/avbildning f : A B, definitionsmängd D f och värdemängd V f Grafen till en funktion graf(f) Injektiv funktion Surjektiv funktion Bijektiv funktion och inversen f (Abstrakta) relationer Samband mellan funktioner och relationer Reflexiv, symmetrisk och transitiv Ekvivalensrelationer Ekvivalensklasser och partitionen A/R Inledning I läroböcker i matematik för universitet och högskola och i akademiska artiklar i ämnet förutsätts att man behärskar begrepp såsom mängd och funktion och kan tolka följande typiska symboler och skrivsätt ur mängdläran och den formella logiken: =,,,,,,,,,, {x : P (x)} P(A), 2 A, A B, A B, A B, A B f : A B, D f, V f, f 1 Det finns massor med information om så kallad formell, matematisk eller symbolisk logik och mängder och funktioner att hämta på internet. Två läroböcker för universitet och högskola som jag kan rekommendera för den som vill fördjupa sig är Anders Vretblad Algebra och kombinatorik och Dag Prawitz ABC i symbolisk logik. Prawitz är professor emeritus i teoretisk filosofi vid Stockholms universitet. Det här dokumentet är ett lexikon över terminologi och beteckningar, som är av den typen att de dyker upp inom alla grenar av matematiken; det vill säga, inte bara inom de speciella forskningsgrenar som heter formell logik och mängdlära. 3

5 2 Satslogik P, Q, R, S,... står här för påståendesatser/ påståenden/ satser. Exempel: Jorden är rund, Uppsala ligger i Sverige eller = 12. I tabellen i figur 1 visas vanlig matematisk notation för och sätt att utläsa de speciella logiska symboler som kallas för de satslogiska konnektiven eller operatorerna. Schematiskt sett svarar de mot de grammatiska konjunktionerna inte, och, eller, och så vidare. Under rubriken Logisk symbol visas några olika beteckningar som används, eller som under någon tid har använts, för samma logiska symbol. Det tecken som står överst är det som vi kommer att hålla oss till i den här verktygslådan. Under Sätt att läsa och antydd funktion visas de typiska sätten att läsa konnektiven. I Russells Principia Mathematica och Wittgensteins Tractatus Logico Philosophicus finner man skrivsätten P Q, P. Q, P Q, P. Dessa beteckningssätt är mindre vanliga i moderna läroböcker i matematisk logik (i alla fall i svenska läroböcker i ämnet). 2.1 Konjunktion P Q betyder Både P och Q är sanna. Kort sätt att utläsa: P och Q. Symbolen kallas konjunktion och satsen P Q en konjunktionssats/ konjunktion. Förväxla inte konjunktion i den här speciella matematiska betydelsen med den stora ordklassen konjunktioner i vanlig svensk grammatik (som innefattar ord som: och, eller, utan, men, för, ty, samt, fast, både och, varken eller, antingen eller, dels, såväl som, etc). I datorsammanhang motsvaras denna logiska operator av AND. Exempel: (a) Jorden är rund Jorden kretsar kring Solen i en ellips (b) 5 5 = 25 Madrid är en stad i Tyskland Påstående (a) är sant, eftersom både A = Jorden är rund och B = Jorden kretsar kring Solen i en ellips är sanna. Däremot är påstående (b) falskt. 4

6 Tekniskt namn Logisk symbol Sätt att läsa och antydd funktion (Materiell) implikation P = Q P implicerar Q P Q P Q Om P, så Q P medför Q (Materiell) ekvivalens P Q P om och endast om Q P Q P är ekvivalent med Q P Q Konjunktion P Q P och Q P & Q Både P och Q P. Q Disjunktion P Q P eller Q (eller båda) Negation P Inte P (äldre Icke P) P Det är inte så att P P är inte sann Figur 1: De satslogiska operatorerna eller konnektiven. 2.2 Disjunktion P Q betyder P är sann eller Q är sann (eller båda är sanna). Kort sätt att utläsa: P eller Q. Symbolen kallas disjunktion och satsen P Q en disjunktionssats/ disjunktion. I datorsammanhang motsvaras denna operator av OR. Exempel: (a) Napoleon var kejsare av Frankrike Alla katter är reptiler (b) 3 delar 9 3 delar 18 5

7 (c) Månen är en stjärna 10 är ett primtal Disjunktion (a) är sann eftersom A = Napoleon var kejsare av Frankrike är sann, även om B = Alla katter är reptiler är falsk. Disjunktion (b) är sann men (c) är falsk, eftersom båda delsatserna är falska. Det är viktigt att känna till att mer bestämt utgör så kallad inklusiv disjunktion. Om inte båda två av P och Q får vara sanna för att eller satsen ska kunna vara sann talar man istället om exklusiv disjunktion, vilket ibland skrivs P Q. I datorsammanhang brukar förkortningen XOR användas för exklusiv disjunktion (som utläses ksår ). I matematikens satser (teorem, definitioner, m m) ska eller dock uppfattas inklusivt, om ingenting annat är sagt. Euklides hjälpsats i talteorin, till exempel, säger att: (d) Om primtalet p delar produkten ab, så är p delare till a eller b Här ska eller i bisatsen förstås inklusivt: det är inte uteslutet att p kan vara delare till både a och b. För att ge ett exempel på ett påstående där exklusiv disjunktion är passande, låt v vara en vinkel. Påståendet Vinkeln v är antingen spetsig, rät eller trubbig, men inte två av dessa på samma gång kan med symbolen då skrivas om (e) v är spetsig v är rät v är trubbig 2.3 Negation P betyder P är inte sann. Kort sätt att utläsa: Inte P, Icke P eller Det är inte så att P. Symbolen kallas negation och satsen P en negationssats/ negation. Delsatsen P kallas ursprungssatsen. Exempel: (a) (Jorden har formen av en pyramid) (b) (Saturnus rör sig i en ellips kring Solen) (c) (Gustaf II Adolf dog år 1632 i slaget vid Lützen) Sats (a) är sann, eftersom ursprungspåståendet A = Jorden har formen av en pyramid är falskt. Negationerna (b) och (c) är falska, eftersom ursprungssatserna är sanna. 6

8 2.4 Implikation = P = Q betyder Om P är sann, så är Q sann. Kort sätt att utläsa: P medför Q, P implicerar Q eller Om P, så Q. Symbolen = kallas implikationspil och satsen P = Q en implikation/ implikationssats/ villkorssats. Delsatsen P kallas försats/ villkoret och Q eftersats/ konsekvensen. Exempel: Jämför (1) Om Oskar är i Stockholm, så är Oskar i Sverige. (2) Om det är regnigt ikväll, så går vi på bio. (3) Om figuren F är en kvadrat, så är F också en rektangel. Sats (1) och (3) är sanna. Sats (2) vet vi inte om den är sann eller falsk, det beror på vilka vi är. Med symbolen = skulle man skriva (a) Oskar är i Stockholm = Oskar är i Sverige (b) Det är regnigt ikväll = Vi går på bio (c) F är en kvadrat = F är en rektangel Implikationerna (a) och (c) är sanna, men (b) kan vi inte uttala oss om. I implikationssats (a) är villkoret P = Oskar är i Stockholm och konsekvensen Q = Oskar är i Sverige. Antag vi vet att (d) Oskar är i Stockholm (P är sant). Då kan vi ur (a) och (d) dra slutsatsen att (e) Oskar är i Sverige (Q är sant). Den omvända implikationen till P = Q är satsen Q = P. Den omvända implikationen behöver inte vara sann bara därför att den direkta implikationen är det. Den följer inte logiskt. Den omvända implikationen till (a) är (f) Oskar är i Sverige = Oskar är i Stockholm Sats (f) är falsk. Bara för att Oskar är i Sverige behöver han inte befinna sig i Stockholm. Den kontrapositiva implikationen till P = Q är satsen Q = P. Det kontrapositiva påståendet följer verkligen logiskt ur det positiva påståendet, 7

9 och vice versa. De följer logiskt ur varandra. De är, som man säger, logiskt ekvivalenta. Den kontrapositiva implikationen till (a) är (g) Oskar är inte i Sverige = Oskar är inte i Stockholm Sats (g) är sann. Dessutom följer (g) logiskt av (a): om (a) är sann så måste (g) vara sann. Om P = Q gäller säger man också att P är ett tillräckligt villkor för Q och att Q är ett nödvändigt villkor för P. Det räcker att P är sann för att Q ska vara sann, men Q måste vara sann för att P ska kunna vara det. 2.5 Ekvivalens P Q betyder P och Q implicerar varandra. Om det ena är sant, så är det andra sant, och vice versa. Kort sätt att utläsa: P om och endast om Q. Påståendet P Q är sant endast i det fall både P = Q och Q = P är sanna. Om P är sann så är Q sann, och om P är falsk så är Q falsk, och vice versa. P och Q har samma sanningsvärde. Symbolen kallas för ekvivalenspil och satsen P Q kallas för en ekvivalens/ ekvivalenssats. I matematiken används dessutom förkortningen omm för om och endast om som ett alternativ till. Exempel: (1) Jag går på bio om och endast om du går på bio. (2) Produkten x y = 0 om och endast om x = 0 eller y = 0. (3) Ett tal uppfyller x 2 = 9 om och endast om antingen x = 3 eller x = ( 3). Med logiska symboler skulle dessa påståenden skrivas: (a) Jag går på bio Du går på bio (b) x y = 0 [x = 0 y = 0] (c) Ett tal x uppfyller x 2 = 9 [x = 3 x = ( 3)] Sats (a) kan vara sann, om du är lyckligt lottad. Sats (b) är sann med anledning av att den hör till regleringarna för symbolen 0 i matematiken. Sats (c) är också sann. 8

10 Ett ekvivalenspåstående går alltid att vända på, till skillnad från en enkel implikation. Det vill säga, den omvända ekvivalensen Q P följer verkligen logiskt ur P Q, och vice versa. Liksom i samband med villkorssatser gäller att den kontrapositiva ekvivalensen P Q följer logiskt ur den positiva ekvivalensen P Q, och vice versa. 3 Predikatlogik 3.1 Predikat Med ett predikat menas i formell logik någon sorts egenskap eller relation som ett eller flera objekt kan uppfylla. Det här förklaras bäst med hjälp av några exempel. Exempel 1. Låt M(x) vara sant om och endast om x är människa. Predikatet M(x) eller x är människa är ett exempel på en egenskap som x kan ha. Man säger att M är ett 1 ställigt predikat. Exempel 2. P (x) = x är ett primtal är ett 1 ställigt predikat. Exempel 3. G(x, y) = x är gift med y är ett exempel på ett 2 ställigt predikat. Exempel 4. L(x, y, z) = x, y och z är punkter som ligger på en och samma linje och dessutom gäller att punkten y ligger mellan x och z är ett 3 ställigt predikat. Generaliserat kan P (x 1, x 2,..., x n ) användas som skrivsätt för ett variabelt n ställigt predikat. 3.2 Allkvantifikator x : P (x) betyder För alla x gäller att x uppfyller P, där man normalt låter det vara underförstått att x tillhör någon grundmängd G. Kort sätt att utläsa: För alla x P x, För alla x gäller att P x, med mera. Symbolen kallas allkvantifikator/ allkvantor och satsen x : P (x) en allutsaga (eller universell påståendesats ). 9

11 Exempel: (1) Alla människor är dödliga. (2) För alla reella tal x och y gäller att x y = y x. (3) För alla distinkta punkter x och y på en linje finns alltid minst en punkt z på linjen som ligger mellan de två givna punkterna. Inför följande lexikon av predikat: M(x) är predikatet x är människa D(x) = x är dödlig R(x) = x är ett reellt tal L(x, y, z) = y ligger mellan x och z En predikatlogisk översättning av (1) (3) vore: (a) x : ( M(x) = D(x) ) (b) x : y : ( R(x) R(y) = x y = y x ) (c) x : y : [ x y = z : L(x, z, y) ] I sats (c) låter man det vara underförstått att objekten x, y, z tillhör en grundmängd, bestående av alla punkter på en linje. I matematiken används ibland beteckningen... som ett förkortat skrivsätt. Då används det ofta på ett sätt som inte exakt följer predikatlogikens formella regler för välformade uttryck. Om det i en text står till exempel f(x) = x 2 + 1, x R så betyder det att funktionen f(x) antar värdet x 2 +1 för alla reella tal x. De flesta matematiker föredrar att använda vanliga ord och skriva fullständiga meningar, men det kan ändå vara bra att känna till de här symbolerna och skrivsätten. I en normal matematiktext (det vill säga utanför formell logik och mängdlära) brukar man inte hitta predikatlogiska översättningar av slaget (2) (b). Här är några olika formuleringar av (2) som man faktiskt kan stöta på i läroböcker: För alla reella tal x och y gäller att x y = y x xy = yx, för alla x, y R xy = yx, x, y R 10

12 3.3 Existenskvantifikator x : P (x) betyder Det finns (åtminstone) ett x som är sådant att x uppfyller P. Kort sätt att utläsa: Det finns (minst ett) x sådant att P x, För något x P x, med mera. Symbolen kallas existenskvantifikator/ existenskvantor och satsen x : P (x) en existensutsaga (eller existentiell sats ). Exempel: (1) Det finns ett reellt tal x vars kvadrat är lika med 2. (2) Sverige har en kung. (3) Om x är en punkt på en linje, så existerar två andra punkter y och z på samma linje, sådana att x ligger mellan y och z. Inför följande lexikon av predikat: R(x) är predikatet x är ett reellt tal K(x) = x är kung av Sverige L(x, y, z) = y ligger mellan x och z Möjliga översättningar in i predikatlogikens språk vore: (a) x : [ R(x) x 2 = 2 ] (b) x : K(x) (c) x : y : z [ y z L(y, x, z) ] I sats (c) låter man det vara underförstått att x, y, z tillhör en grundmängd bestående av alla punkter på en och samma räta linje. Det förekommer att... används som ett förkortat skrivsätt i matematiken, även utanför logiken och mängdläran. Låt oss ta definitionen av delbarhet för heltal som ett exempel på hur det här kan se ut i text. Definition 1.3. Låt a, b Z. Vi säger att a är en delare till b, skrivet a b om det existerar något heltal c sådant att b = ca. 11

13 Med formallogiska beteckningar hade man kunnat skriva definitionen såhär: Definition 1.3. Låt a, b Z. Då gäller att a b c Z : b = ca Denna typ av skrivsätt förekommer i den matematiska litteraturen. 4 Mängder 4.1 Mängd, mängdklamrar {}, medlemskap En mängd eller klass uppfattas i matematiken som ett slags abstrakt samling eller kollektion av olika objekt för tanken. Man kan också tala om en mängd som en typ eller datatyp (på ett mer abstrakt sätt jämfört med något visst konkret programmeringsspråk). Man får till exempel bilda mängden av heltalen 1, 2 och 3. Med mängdklamrar {, } får den här mängden betecknas {1, 2, 3} Man säger att talen eller objekten 1, 2 och 3 tillhör eller är element i eller av mängden {1, 2, 3}. Att till exempel talet 1 tillhör denna mängd får med symbolen (ett stiliserat grekiskt litet epsilon ɛ) skrivas 1 {1, 2, 3} Påståendet kan utläsas på olika sätt: 1 {1, 2, 3} 1 tillhör mängden 1, 2, 3 1 är ett element i mängden 1, 2, 3 Talet 1 tillhör mängden av talen 1, 2 och 3 Talet 1 är ett element i den mängd som består av talen 1, 2 och 3 Och så vidare. På samma sätt gäller att 2 {1, 2, 3} och 3 {1, 2, 3}. En nytta med det här sättet att skriva och uttrycka sig i matematiken är att meningar kan formuleras kort och koncist, vilket kan göra skrivarbetet i samband med 12

14 problemlösning vid tavlan eller i anteckningsblocket mindre. Exempelvis kan meningen Talet x är ett av talen 1, 2 eller 3 med mängdlärans notation nu formuleras x {1, 2, 3}. Istället för... där x, y och z är reella tal kan man skriva x, y, z R. Om x inte är ett element i mängden A kan man skriva x / A Det står: x är inte ett element i A eller x tillhör inte A. Till exempel gäller att 4 / {1, 2, 3}. En mängd kan ha andra mängder som element. Vi får till exempel bilda mängden A = {1, {1, 2}}. Denna har två element, nämligen talet 1 och mängden {1, 2}. Notera att talet 2 inte är ett element i A. 1 A {1, 2} A 2 / A 4.2 Mängddiagram (Eulerdiagram, Venndiagram) Mängddiagram heter också Eulerdiagram (efter den berömde schweiziske matematikern Leonhard Euler, som ska ha använt cirklar för att representera logiska relationer). Eulerdiagram är ett schematiskt sätt att illustrera relationer mellan mängder. Som grafiska symboler för mängder utnyttjar Eulerdiagrammet cirklar, rektanglar, med mera. Om en mängd A är en delmängd av en mängd B, så kan detta representeras genom att den cirkel som svarar mot A är helt innesluten i den cirkel som motsvarar B. Om två mängder är disjunkta, det vill säga saknar gemensamma element, kan detta representeras genom att de två områdena inte överlappar varandra i diagrammet. I figur 2 visas ett Eulerdiagram som åskådliggör relationerna mellan de i vår aritmetik sedvanliga talområdena. En speciell typ av Eulerdiagram kallas för Venndiagram. I ett Venndiagram måste alla möjliga snitt mellan mängderna vara grafiskt representerade som ett gemensamt område. Om snittet mellan två mängder är tomt så kan denna omständighet i Venndiagrammet till exempel representeras grafiskt genom att det gemensamma området i Venndiagrammet är överstruket eller skuggat. 13

15 C R Q Z Z + N (R <0 ) Figur 2: Relationerna mellan de olika taltyperna i vår moderna aritmetik åskådliggjorda med hjälp av ett Eulerdiagram. De positiva heltalen är en äkta delmängd av de naturliga talen; dessa är i sin tur en äkta delmängd av heltalen, som i sin tur är en äkta delmängd av de rationella talen; och så vidare. 14

16 4.3 Mängdbyggaren {x : P (x)} En mängd kan också, som man säger, bildas genom abstraktion. Mängden av alla heltal som är större än 0 men mindre än 500 kan till exempel skrivas som A = {x : 0 < x < 500 och x är ett heltal} istället för att lista alla dess 499 element. (Med notationen... kan just den här mängden också skrivas {1, 2, 3,..., 499}.) Ofta är det okej att använda det lite mindre styltiga skrivsättet A = {alla heltal mellan 0 och 500} I allmänhet tänker man som så att om P är någon egenskap/villkor/predikat som något slags väl avgränsad typ av objekt kan ha eller inte ha så får man i matematiken bilda mängden eller klassen av alla objekt av det här slaget som uppfyller den givna egenskapen P. Med mängdlärans skrivsätt får den här mängden skrivas A = {x : x uppfyller P } eller A = {x : P (x)} Det står: A är mängden av alla objekt x som uppfyller P eller A är mängden av alla x sådana att x har P. Ett annat vanligt skrivsätt är {x P (x)}. Vid formandet av mängder genom abstraktion kallas symbolen : eller för mängdbyggaren. Några exempel: (a) Om P (x) är predikatet x är ett heltal större än 0 och mindre än 10 så är {x : P (x)} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (b) Om P (x) är predikatet x är ett heltal delbart med 2 så är {x : P (x)} mängden av jämna heltal. (c) Om P (x) är predikatet x är ett heltal som är större än 1 och endast delbart med 1 och x så är {x : P (x)} mängden av primtal. 15

17 4.4 Grundmängd I många situationer rör man sig med en underförstådd grundmängd. (Denna grundmängd kallas också för universum eller universe of discourse.) Grundmängden skulle kunna vara mängden av reella tal eller mängden av personnummer som finns upptecknade i personregistret. 4.5 Talmängder N, Z, Q, R, C Det finns mängder som har starkt standardiserade beteckningar i matematiken. Det gäller i synnerhet våra olika talområden: de naturliga talen, heltalen, de rationella talen, och så vidare. N = mängden av alla naturliga tal = {0, 1, 2, 3...} Z = {alla heltal} = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} Z + = {alla positiva heltal} = {1, 2, 3...} Q = {alla rationella tal} = {x : x är ett tal som på något sätt kan uttryckas exakt som ett enda bråk a b delar } R = {alla reella tal} = {x : x är ett tal som entydigt kan approximeras med bråk till valfri noggrannhet (åtminstone så länge felgränsen är större än noll)} C = {alla komplexa tal} = {x : x är ett tal som kan skrivas på formen x = a+bi, där a, b R och i är den imaginära enheten, som uppfyller i 2 = ( 1)} Med de beteckningar vi infört hittills gäller att: Z + N Z Q R C Om vi låter R <0 vara mängden av negativa tal, alltså R <0 = {x : x R x < 0} så gäller att R <0 R och R <0 C, men R <0 är inte en delmängd av Q, eftersom den innehåller negativa irrationella tal såsom 2. Istället för att till exempel skriva A = {x : x är ett heltal och x är delbart med 2} kan man ange vad som är grundmängden redan före mängdbyggaren, alltså såhär: A = {x Z : x är delbart med 2} 16

18 Det står: A är mängden av alla x i Z sådana att x är delbart med 2. Eller lite mindre styltigt: A är mängden av alla heltal som är delbara med 2. Mängden av negativa reella tal kan således också skrivas R <0 = {x R : x < 0} 4.6 Kardinalitet A, #A En mängd kan antingen vara ändlig eller oändlig. Om A är en ändlig mängd så kan antalet element som tillhör den betecknas A Skrivsättet #A är också vanligt. Det gäller till exempel att {a, b, c, d, e} = 5 Påståendet kan utläsas: Antalet element i mängden... är 5 eller Kardinaliteten för mängden... är 5. A kallas för kardinaliteten hos mängden A. Begreppet kardinalitet generaliserades av 1800 talsmatematikern Cantor till att inkludera oändliga mängder, på ett sätt som tillåter att man använder skrivsättet A och även om det oändliga fallet kan tala om antalet element i mängden. 4.7 Delmängd, En mängd A säges vara en delmängd av en mängd B om varje element i A också är ett element i B. Definitionen av delmängdsrelationen kan också formuleras som så att A är en delmängd av B om och endast om x A = x B Att mängden A är en delmängd av B kan betecknas A B 17

19 Det står: A är en delmängd av B. Notera att varje mängd är en delmängd av sig själv: A A Man säger att A är en äkta delmängd av B om det finns åtminstone ett element i B som inte också tillhör A. I så fall får man skriva A B Här står det istället: A är en äkta delmängd av B. Om en mängd A inte är en delmängd av B är ett sätt att skriva detta A B Det står: A är inte en delmängd av B. Ur detta följer att det finns minst ett objekt i A som inte också tillhör B. Det kan vara nyttigt att formulera den rena definitionen av relationen delmängd av i formen av ett matematiskt giltigt påstående. Definition av delmängd: [1] Låt A och B vara mängder. Då är A B om och endast om x A = x B. Med formella logiska symboler kan definitionen skrivas: [ ] x : (x A = x B) A B Var uppmärksam på att det att vara ett element i respektive vara en delmängd av inte är samma sorts relation. Några exempel: (a) Även om mängden {1, 2} är en delmängd av mängden {1, 2, 3}, så är inget av talen 1 eller 2 en delmängd av {1, 2, 3} däremot är både 1 och 2 element i mängden. (b) Mängden { Axel, Amanda, Alfred } är en delmängd av mängden M av alla personnamn som börjar på bokstaven A, men namnet Axel är inte en delmängd av M. Däremot är Axel M. (c) Mängden A = {1, {1, 2}} har två element, talet 1 och mängden {1, 2}. Mängden {1} A, men {1, 2} A. Däremot är {{1, 2}} A: den mängd vars enda element utgörs av mängden av talen 1 och 2 är en delmängd av A. 18

20 4.8 Den tomma mängden Det finns en ganska så speciell mängd som kallas för den tomma mängden, betecknad Detta är den unika mängd som inte har några element alls. Påståendet x är med andra ord falskt för alla möjliga och omöjliga x. Det gäller att = 0 Den tomma mängden uppfattas som en delmängd av vilken mängd som helst: om A är en mängd så är A Anmärkning. Den som är bekant med satslogik kan notera att detta allmänna samband dessutom är en konsekvens av den tekniska definitionen av materiell implikation. Påståendesatsen x = x A är trivialt sann, oavsett vilken mängd A är, eftersom villkoret i den under alla omständigheter är falskt. Detta förhållande gör att ovanstående definition [1] av delmängsrelationen inte behöver omformuleras för att kunna ta hand om specialfallet med. 4.9 Disjunkta mängder Två mängder A och B säges vara disjunkta (eng. disjoint) om de inte har några gemensamma element. Definitionen kan med mängdlärans skrivsätt formuleras: A och B är disjunkta A B = 4.10 Extensionalitetsprincipen En mängd är helt och hållet bestämd genom de element den innehåller. Om A och B har precis samma element, då är mängden A lika med mängden B: alltså 19

21 A = B. Annorlunda uttryckt: antag att x A om och endast om x B. Då är A = B. Omvänt gäller att om A = B, så är x A om och endast om x B. Såsom mängder finns det ingen som helst skillnad mellan dem. En mängd kan så att säga inte ha något mer i sig bortom de element den innehåller. Detta kallas för extensionalitetsprincipen, som kan formuleras såhär kortfattat: [2] Två mängder A och B har precis samma element om och endast om A = B. Med formella logiska symboler kan definitionen också skrivas: [ ] x : (x A x B) A = B Om vi till exempel definierar A = {a, p, e, l, s, i, n} och B = mängden av alla bokstäver i det svenska ordet för apelsin, så är A = B, trots att deras explicita definitioner inte är identiska. Extensionalitetsprincipen är med andra ord själva identitetskriteriet för mängder. Som en omedelbar konsekvens av definitionen av delmängdsrelationen och extensionalitetsprincipen har vi att A = B om och endast om A är en delmängd av B och dessutom B är en delmängd av A. Med matematisk notation: A = B (A B B A) Bevis för att två mängder A och B är identiska görs ofta i två steg, baserat på extensionalitetsprincipen: (i) Visa att om x A så x B. (ii) Visa att om x B så x A. Ur (i) och (ii) följer att x A x B, vilket tillsammans med extensionalitetsprincipen ger att A = B. Problem. Låt J vara mängden av alla positiva jämna heltal. Låt K vara mängden av alla heltal som kan skrivas som summan av två positiva udda heltal. Visa att J = K. Lösning: Påståendet är att J = K. Beviset för påståendet fortskrider i två steg: (i) Implikation åt höger (x J = x K): 20

22 (1) Antag att x J, det vill säga att x är ett jämnt heltal större än noll. Det innebär att det finns ett heltal k > 0 sådant att x = 2k. (2) Ett trick är att vi nu kan skriva om talet x som x = (2k 1) + 1. (3) Eftersom både (2k 1) och 1 är positiva udda heltal följer ur (2) att x kan skrivas som summan av två positiva udda heltal, och ur definitionen av K att x K. (ii) Implikation åt vänster (x K = x J): (4) Antag att x K. Det betyder att det finns två udda heltal a = 2k 1 och b = 2m 1, där k och m är positiva heltal, sådana att x = a + b. (5) Alltså är x = (2k 1) + (2m 1) = 2k + 2m 2 = 2 (k + m 1) > 0 (6) Ur (5) följer att x är ett jämnt heltal större än 0, och ur definitionen av mängden J följer att x J. (7) Eftersom vi har visat att x J x K följer att J = K, enligt extensionalitetsprincipen. Beviset är därmed klart och problemet är löst Abstraktionsprincipen Den mängdteoretiska princip som tillåter att man formar mängder genom abstraktion kallas för abstraktionsprincipen. Här är ett sätt att formulera den: [3] Låt P vara en egenskap som objekten i en grundmängd G kan uppfylla eller inte uppfylla. Då finns det en mängd A som endast består av de element x G som är sådana att x har egenskapen P. Med formella logiska symboler kan ovanstående definition skrivas: A : x G : [ ] x A P (x) Det står: Det finns en mängd A sådan att för alla x i grundmängden G gäller att x tillhör A om och endast om x har P. Mängden A kan med mängdbyggaren skrivas A = {x G : P (x)}. Exempel. Låt P (x) = x är ett udda heltal och G = N, mängden av naturliga tal. Enligt abstraktionsprincipen existerar en mängd A som innehåller alla naturliga tal som uppfyller egenskapen P : A = {x N : P (x)} = { udda naturliga tal } = {1, 3, 5,...} 21

23 4.12 Den matematiska induktionsprincipen Den matematiska induktionsprincipen är ett namn på både en matematisk princip och en viktig matematisk metod. Matematisk induktion måste hållas isär från vad man i kunskapsfilosofin och vetenskapsteorin också talar om som induktion. Det senare syftar då på en (ej deduktivt giltig) slutledning från det partikulära till det generella, till exempel Solen har gått upp i öst och ned i väst varje dag; alltså kommer solen att gå upp i öst och ned i väst alla dagar. Matematisk induktion handlar istället om något som skulle kunna beskrivas som en dominoeffekt hos de naturliga talen. Den matematiska induktionsprincipen kan på ett allmänt sätt formuleras såhär: Antag att någon viss egenskap P gäller för det naturliga talet 0. Antag dessutom att man kan visa, att om P gäller för ett naturligt tal k, osagt vilket det är, så medför det att P även är uppfylld för därpå följande naturligt tal k + 1. I så fall gäller P för alla naturliga tal n oavsett vilket: eftersom P gäller för n = 0 gäller den för = 1; då den gäller för 1 gäller den också för = 2; sedan för = 3, och så vidare. Man kunde också uttrycka det så att predikatet eller påståendet Det naturliga talet n uppfyller egenskapen P i så fall är sann för alla naturliga tal n. Exempel. Låt S n vara summan av de första n + 1 naturliga talen, det vill säga, S n = n Definitionen ger S 0 = 0, S 1 = 1, S 2 = 5 och så vidare. Med summasymbolen kan definitionen skrivas n S n = För att illustrera induktionsprincipen ska vi ge ett induktionsbevis för följande välkända matematiska samband: [4] För varje naturligt tal n gäller att k=0 S n = 1 n(n + 1) 2 Såhär går induktionsbeviset: (1) För det första har vi att fastställa den så kallade basklausulen som utsäger att sambandet gäller för det speciella fallet n = 0. I detta fall har vi att S 0 = 0 22

24 och (0 + 1) = 0, varför likheten gäller för n = 0. (2) För det andra har vi att säkerställa den så kallade induktionsklausulen, med innebörden att om sakförhållandet gäller ett naturligt tal k, vilket som helst, så implicerar detta att samma förhållande även gäller för fallet k + 1. I detta syfte gör vi nu induktionsantagandet att likheten gäller för k, ett godtyckligt naturligt tal. Vad vi har att visa för att kunna tillämpa induktionsprincipen är att under denna förutsättning sambandet även gäller för talet k +1. Vi antar med andra ord att S k = 1 k(k + 1) 2 (3) Låt oss se vad som händer om vi till summan S k adderar termen (k + 1) och utnyttjar induktionsantagandet: S k+1 = S k + (k + 1) = 1 k(k + 1) + (k + 1) 2 = ( 1 2 k + 1)(k + 1) = 1 (k + 2)(k + 1) 2 = 1 (k + 1)(k + 2) 2 Det som står i sista ledet av kedjan av likheter ovan är resultatet av insättning av talet (k + 1) i högerledet av sats [4]. (4) Ur (3) framgår att påståendet [4] gäller för efterföljaren k+1 till det naturliga talet k under induktionsantagandet att det gäller för k. (5) Eftersom vi nu har lyckats fastställa både basklausulen och induktionsklausulen kan vi använda oss av induktionsprincipen och dra slutsatsen att likheten i [4] är uppfylld för alla naturliga tal n. Beviset är därmed klart. Det kan vara illustrativt att sammanställa det här induktionsbeviset på ett mer formellt sätt, för att på så sätt ännu tydligare visa strukturen hos själva induktionsprincipen och det metodiska bruket av den. I enlighet med beteckningssättet i den formella logiken låter vi därför P (n) beteckna den möjliga egenskapen hos ett naturligt tal n att S n = 1 n(n + 1) 2 Man kan definiera predikatet P (n) på följande kompakta sätt som synonymt med ett påstående om variabeln n: P (n) = n är ett naturligt tal och summan S n = 1 2n(n + 1) Basklausulen och induktionsklasulen lyder med denna notation: 23

25 (i) P (0) (ii) k N : P (k) = P (k + 1) Ur (i) och (ii) tillsammans med induktionsprincipen följer att P (n) är sant för alla naturliga tal n. Det följer ju nämligen ur premisserna (i) och (ii) att P (0) implicerar P (1) som implicerar P (2) som implicerar och så vidare. Med matematisk notation: P (0) = P (1) = P (2) =... Med detta kompakta skrivsätt kan den matematiska induktionsprincipen formuleras såhär: [5] Låt P (n) vara ett predikat som är definitivt sant eller falskt för varje bestämt naturligt tal n. Antag att (i) P (0) (ii) k N : P (k) = P (k + 1) Då gäller P (n) för alla naturliga tal n. I den vetenskapliga matematiska litteraturen formuleras inte sällan induktionsprincipen i termer av mängder (vilket är anledningen till att jag placerade denna artikel under rubriken Mängder ). Istället för att tala i termer av ett allmänt predikat P (n) kan man tala i termer av en allmän mängd M av naturliga tal. Med mängdbyggaren till hands kan vi (enligt abstraktionsprincipen) annars forma mängden M = {x N : P (x)} Såhär lyder formuleringen av induktionsprincipen i mängdteoretisk vokabulär och notation: [5 ] Låt M vara en mängd av naturliga tal. Antag att (i) 0 M (ii) k N : Då är M = N. [ ] k M = (k + 1) M 24

26 5 Mängdteoretiska operationer Man kan utföra ett antal operationer på mängder: potensmängd, differens, snitt, union och cartesisk produkt. För definitionen av dessa operationer, låt i det följande A och B vara två givna mängder. 5.1 Potensmängd P(A), 2 A Potensmängden till A är mängden av alla delmängder till A: P(A) = {B : B A} Kort sätt att utläsa: P av A Ett alternativt skrivsätt är 2 A. Detta kommer sig av att antalet element i potensmängden är 2 n i det fall A är en ändlig mängd med n element. Exempel: Om M = {1, 2, 3} så är P(M) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 5.2 (Mängd)differens A B, A \ B Differensen mellan mängderna A och B är mängden av alla de objekt x som tillhör A men inte B: A B = {x : x A x / B} Kort sätt att utläsa: A minus B Skrivsättet A \ B förekommer också i litteraturen. Exempel 1. Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 4, 5}. Då är A B = {1, 2} Exempel 2. Differensen mellan mängden av reella tal och mängden av rationella 25

27 tal är lika med mängden av alla irrationella tal: R Q = {x : x är ett irrationellt tal} Exempel 3. Mängden av alla nollskilda reella tal kan med mängdlärans beteckningar skrivas R \ {0} = {x R : x 0} 5.3 Komplement A Relativt en viss grundmängd G får man bilda komplementet A till mängden A, vilket är mängden av element i G som inte tillhör A: A = {x G : x / A} Vill man förtydliga vad som är grundmängden kan man också använda skrivsättet G A Skrivsättet kan utläsas komplementet till A relativt G. Exempel: Låt grundmängden G = N, mängden av alla naturliga tal, och A mängden av jämna naturliga tal. Då är A istället mängden av alla udda naturliga tal. 5.4 Snitt A B Snittet A B av A och B är mängden av alla objekt x som tillhör både A och B: A B = {x : x A x B} Kort utläst: A snitt B. Exempel 1. Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 4, 5}. Då är A B = {3} 26

28 Exempel 2. Om A = R +, mängden av alla positiva reella tal, och B = Q, så är A B mängden av alla positiva rationella tal. 5.5 Union A B Unionen A B av A och B är mängden av alla objekt x som tillhör A eller B (eller båda), som alltså ingår som ett element i minst en av mängderna: A B = {x : x A x B} Kort utläst: A union B. Exempel 1. Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 4, 5}. Då är A B = {1, 2, 3, 4, 5} Exempel 2. Om A är mängden av jämna naturliga tal och B mängden av udda naturliga tal, så är A B = N. 5.6 Ordnat par (a, b), n tippel (x 1, x 2,..., x n ) Objekten (3, 5) och (8, 13) är exempel på ordnade par. Ett ordnat par som har x på första plats och y på andra plats betecknas således (x, y) Det ordnade paret (8, 13) är inte samma ordnade par som (13, 8). Däremot är mängden {8, 13} exakt samma mängd som {13, 8}. Begreppet ordnat par är alltså inte detsamma som begreppet mängd. På liknande sätt får vi (ordnade) tripplar, såsom (1, 1, 2) eller (3, 5, 8), ordnade 4 tipplar, till exempel (3, 5, 8, 13), 5 tipplar, 6 tipplar och så vidare. Det allmänna begreppet är n tippel, en ordnad lista eller array av n objekt, där n är något positivt heltal. En allmän n tippel kan skrivas (x 1, x 2,..., x n ) 27

29 5.7 Cartesisk produkt A B Den cartesiska produkten A B av A och B definieras som mängden av alla ordnade par (x, y) där x A och y B. Med mängdlärans notation kan definitionen skrivas kortare som A B = {(x, y) : x A y B} Kort sätt att utläsa: A kryss B eller A gånger B. Skrivsättet A B och sättet att utläsa A gånger B kommer sig av att antalet element i den cartesiska produkten är lika många som produkten av de respektive mängdernas kardinalitet, åtminstone i det fall både A och B är ändliga mängder: A B = A B Exempel. Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 4, 5}. Då är A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)} 5.8 Det euklidiska n rummet R n Enligt definitionen av cartesisk produkt är mängden av alla ordnade par (x, y) av reella tal lika med den cartesiska produkten av R med sig själv: R 2 = R R = {(x, y) : x R y R} I analytisk geometri och matematisk analys ( differential och integralkalkyl ) kallas denna mängd för R 2, det tvådimensionella euklidiska rummet eller det euklidiska 2 rummet. Genom att generalisera definitionen av cartesisk produkt, så att man kan bilda produkten av fler än två mängder, får vi i analogi med ovanstående mängden av tripplar (x, y, z) av reella tal: R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R} 28

30 Generellt gäller att mängden av alla n tipplar (x 1, x 2,..., x n ) av reella tal, där n är något positivt heltal, är den upprepade cartesiska produkten R n = R R R R = {(x 1, x 2,..., x n ) : x 1, x 2,..., x n R} I analytisk geometri och vid analysen av geometriska strukturer av högre dimensioner, såsom fyrdimensionell geometri, spelar dessa mängder en grundläggande roll. Mängden R n kallas ibland för det n-dimensionella euklidiska rummet eller det euklidiska n rummet. Exempel. Låt A = {(x, y) : x, y R x 2 + y 2 = 1} Med de definitioner som infördes ovan kan samma mängd också skrivas A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} Om man ritar några element ur den här mängden av talpar i ett vanligt cartesiskt koordinatsystem med två axlar framträder en cirkel med radien 1 och centrum i origo (0, 0). Mängden A utgör den så kallade geometriska orten till villkoret x 2 + y 2 = 1 6 Funktioner och relationer 6.1 Funktion/avbildning f : A B, definitionsmängd D f och värdemängd V f Ordet funktion har förstås otaliga användningar i vardagsspråket och även i vetenskapliga sammanhang. I mängdläran och matematiken överlag utgör en funktion ett visst slags matematiskt objekt kan man säga. En funktion/ avbildning f från A till B är någon form av regel som till varje x i A tilldelar ett och endast ett element y i B. Det element y B som tilldelas x A betecknas f(x), utläst f av x. Också själva funktionen, regeln som sådan, skrivs inte sällan f(x) istället för bara f. Det att f är en funktion från A till B kan skrivas med denna knapphändiga notation: f : A B 29

31 Det står: f är en funktion från A till B. Ett annat i litteraturen förekommande skrivsätt för samma sak är A f B Istället för till exempel Låt f, g och h vara tre reellvärda funktioner av en variabel kan man skriva f, g, h : R R Mängden A kallas för funktionens definitionsmängd, som också betecknas D f Mängden av alla de y B för vilka det finns åtminstone något x D f sådant att y = f(x) kallas för funktionens värdemängd, som brukar betecknas V f Skrivsättet f(x) = 2x + 1, för alla x R betyder att funktionen f antar värdet 2x + 1 för alla reella tal x. Ett annat sätt att säga det är att funktionen f avbildar det reella talet x på 2x + 1. Kort sätt att utläsa: f av x är lika med 2x + 1 för alla reella tal x Här är några olika sätt att formulera regeln för en och samma funktion: f(x) = 2x + 1, för alla x R f(x) = 2x + 1, x R f : R R, där f(x) = 2x + 1 f : x R 2x + 1 I figur 3 visas värdetabellen till funktionen f(x) = 2x + 1 för några olika värden på x. Exempel 1. Följande regler definierar funktioner till och från reella tal för lämpliga val av definitionsmängd: f(x) = 2x + 1 g(x) = x

32 x y Figur 3: En värdetabell för funktionen y = 2x + 1 för några val av värden på x. 31

33 h(x) = x 2 Om vi låter D f = R för f(x) = 2x + 1 så blir V f = R, eftersom ekvationen y = 2x + 1 är lösbar för alla reella tal y (och dessutom entydigt). Med D g = R 0 = {x R : 0 x} blir V g = {x R : 2 x}. Med D h = R blir V h = R 0, eftersom kvadraten på ett negativt tal är positiv. Exempel 2: Låt A = {a, b, c, d} vara ett alfabet bestående av fyra bokstäver a, b, c och d. Definiera A som mängden av alla strängar, också kallat ord, över A. Det gäller till exempel att abba A och abbdbccc A, men abcdef / A. Här är två exempel på funktioner på A : l : A N, där l(w) = längden av strängen w. Exempelvis är l( abba ) = 4. Värdemängden V l = N. R : A A, där R(w) = den omkastade strängen till w. Exempelvis är R( abcd ) = dcba. Värdemängden V R = A. 6.2 Grafen till en funktion graf(f) Funktionen f : A B (och den binära relation som den motsvarar) genererar en för funktionen speciell mängd av ordnade par. Med grafen till f menas mängden av alla ordnade par (x, y), där x A och y B, sådana att f(x) = y. Med mängdlärans notation: graf(f) = {(x, y) A B : f(x) = y} Om f är en reellvärd funktion av en eller två variabler kan funktionsgrafen ofta visualiseras i ett koordinatsystem med två eller tre axlar. Exempel 1. Grafen till en funktion av formen f(x) = kx + m för några reella tal k och m, är en rät linje i det vanliga cartesiska koordinatsystemet. I figur (4) visas grafen till funktionen f(x) = 2x

34 Figur 4: Grafen till funktionen y = 2x + 1 är en rät linje i koordinatsystemet. Exempel 2. Grafen till funktionen g(x) = x 2 är en parabel. Se figur (5). Exempel 3. Låt h : N {0, 1} med h(n) = 1 n är ett primtal. Grafen till funktionen hoppar fram och tillbaka mellan 0 och 1 på y axeln. Se figur (6). Funktionen h kallas för den karakteristiska funktionen för mängden av alla primtal. 6.3 Injektiv funktion En funktion f : A B säges vara injektiv om det för varje y B finns högst ett x A sådant att f(x) = y. Ett annat sätt att uttrycka definitionen är att säga att f är injektiv om och endast om f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 33

35 Figur 5: Grafen till funktionen y = x 2 är en parabel. Figur 6: Grafen till den karakteristiska funktionen för mängden av alla primtal hoppar fram och tillbaka i koordinatsystemet: h(n) = 1 n är ett primtal. 34

36 för alla x 1, x 2 A. Den här definitionen är användbar om man behöver påvisa injektivitet, varför vi formulerar den som ett matematiskt giltigt påstående: [6] Låt f : A B. Då gäller att f är injektiv om och endast om f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 för alla x 1, x 2 A. Exempel. Funktionen f(x) = 2x + 1, definierad på de reella talen, är injektiv. Injektiviteten kan vi visa genom att titta på ekvationen f(x 1 ) = f(x 2 ) 2x = 2x x 1 = 2x 2 x 1 = x 2 Alltså gäller att f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x Surjektiv funktion En funktion säges vara surjektiv om V f = B. Annorlunda uttryckt, f är surjektiv om och endast om det för varje y B existerar ett x A sådant att f(x) = y. Eller, f är surjektiv om och endast om ekvationen f(x) = y är lösbar för alla y B. Det sistnämnda sättet att formulera definitionen av surjektivitet kan också vara värt att sätta på display: [7] Låt f : A B. Då är f surjektiv om och endast om ekvationen f(x) = y är lösbar för alla y B. Exempel. Funktionen f(x) = 2x + 1 definierad på de reella talen är surjektiv. 35

37 Surjektiviteten visar sig vid betraktelsen av ekvationen f(x) = y 2x + 1 = y 2x = y 1 x = (y 1)/2 Genom att lösa ut x i termer av y ser vi att ekvationen alltid är lösbar, varför funktionen är surjektiv. 6.5 Bijektiv funktion och inversen f 1 En funktion säges vara bijektiv (eller en ett till ett korrespondens ) om den både är injektiv och surjektiv. För att påvisa bijektivitet behöver man alltså visa att två egenskaper är uppfyllda: (a) Funktionen f är injektiv. (b) Funktionen f är surjektiv. Om det ena men inte det andra villkoret är uppfyllt, så är funktionen inte bijektiv. Till en bijektiv funktion f : A B finns en funktion f 1 : B A kallad inversen till f. Om y B så är f 1 (y) det entydigt bestämda element x A som är sådant att f(x) = y. Sambandet mellan funktionen och dess invers kan formuleras: y = f(x) x = f 1 (y) Denna definition kan också vara värt att sätta på display: [8] Låt f : A B vara bijektiv. Då finns en funktion f 1 : B A sådan att y = f(x) x = f 1 (y) för alla x A och y B. Exempel: Funktionen f(x) = 2x + 1 är injektiv och surjektiv, och alltså bijektiv (se artiklarna injektiv funktion och surjektiv funktion). Att f är bijektiv kan 36

38 man också förvänta sig av att dess graf är en rät linje i koordinatsystemet. Inversen till f är funktionen f 1 (y) = (y 1)/ (Abstrakta) relationer En (abstrakt) relation R är en mängd av ordnade n tipplar, där n är något positivt tal. Om n = 2 säges relationen vara binär och för n generellt n ställig. Om paret (x, y) R skrives detta R(x, y) eller xry och man säger att x och y står i relationen R till varandra. Kort sätt att utläsa R(x, y): R x y, x står i R till y, med mera. Det här är ett rent matematiskt begrepp relation, som liksom begreppet mängd är extensionellt. Vad som menas med att det är extensionellt begrepp är att en relation, i den här meningen, genom att definieras mängdteoretiskt är helt bestämd av de n tipplar av individuella objekt som ingår i den. Man kan säga att mängdlärans begrepp relation motsvarar predikatlogikens begrepp predikat (se relevant artikel). För att göra den här poängen tydligare, antag att R 1 och R 2 är namn på abstrakta relationer. Då gäller att x, y(r 1 (x, y) R 2 (x, y)) R 1 = R 2 Jämför artikeln extensionalitetsprincipen. Exempel 1: Definiera R(x, y) y är far till x. Uppfattad som en abstrakt, extensionell, relation är R mängden av alla par (x, y) av människor, som har egenskapen att y är far till x. Relationen R M M, där M = {alla människor}. Man säger att R är en binär relation på mängden M. Exempel 2: Definiera R(x, y) x och y är parallella linjer (eller en och samma linje). Detta är en binär relation på mängden av alla linjer i planet. Exempel 3: Ett exempel på en 3 ställig relation är R(x, y, z) punkten y ligger mellan x och z på en och samma linje. 37

39 6.7 Samband mellan funktioner och relationer En funktion går också att uppfatta som en viss sorts binär relation. Låt nämligen f : A B. Låt R(x, y) vara den relation som är sådan att den råder mellan x och y om och endast om f(x) = y: R(x, y) f(x) = y Det utmärkande för en binär relation som representerar eller svarar mot en funktion är att för varje givet x A finns ett och endast ett y B sådant att R(x, y), det vill säga, som är sådant att y står i relationen R till x: R(x, y 1 ) R(x, y 2 ) = y 1 = y 2 för alla x A och y 1, y 2 B. 6.8 Reflexiv, symmetrisk och transitiv Låt R(x, y) vara en binär relation definierad på en mängd A. Några definitioner: R säges vara reflexiv om R(x, x) för alla x A. I annat fall säges R vara irreflexiv. R är symmetrisk om R(x, y) = R(y, x) för alla x, y A. I annat fall säges R vara asymmetrisk. R är transitiv om R(x, y) R(y, z) = R(x, z), för alla x, y, z A. I annat fall säges R vara intransitiv. Exempel 1: Låt R 1 (x, y) x och y är syskon. Denna relation är symmetrisk och transitiv, men irreflexiv. Exempel 2: Låt R 2 (x, y) y är far till x. Denna relation är irreflexiv, asymmetrisk och intransitiv. Exempel 3: Låt R 3 (x, y) x är gift med y. Denna relation är symmetrisk, men irreflexiv och intransitiv. Exempel 4: Låt R 4 (x, y) x och y är skärande linjer (eller en och samma linje). Denna relation är symmetrisk och reflexiv, men intransitiv. 38

40 6.9 Ekvivalensrelationer Den binära relationen R(x, y) säges dessutom vara en ekvivalensrelation om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Ofta används skrivsättet x y när man har att göra med en ekvivalensrelation. Exempel. Alla dessa är ekvivalensrelationer: R 1 (x, y) x = y R 2 (x, y) x och y är lika långa R 3 (x, y) x och y är likformiga R 4 (x, y) x och y har samma färg på ögonen R 5 (x, y) x och y bor i samma stad R 6 (x, y) x och y har samma födelseår 6.10 Ekvivalensklasser och partitionen A/R En ekvivalensrelation på en mängd A delar in mängden i disjunkta delmängder, så kallade ekvivalensklasser. För ett givet element x A definieras ekvivalensklassen [x] R till x som mängden av alla y A som står i relationen R till x: [x] R = {y A : R(x, y)} Mängden av ekvivalensklasser kallas för en partition av A under eller modulo R. Ett sätt att beteckna partitionen under R är A/R Exempel 1: Låt R 3 (x, y) x och y är likformiga, där x, y F = {alla geometriska figurer i planet}. Då är en ekvivalensklass i F/R 3 mängden av alla trianglar med samma form som en given triangel. En speciell ekvivalensklass är mängden av alla cirklar i planet: alla cirklar har samma form. Exempel 2: Låt R 4 (x, y) x och y har samma ögonfärg, där x, y M = {alla däggdjur}. Då är en ekvivalensklass i M/R 4 mängden av alla däggdjursindivider som har blå ögon, en annan mängden av alla brunögda individer. 39