Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Boolesk algebra

Transkript

1 Föreläsningsantekningar oh övningar till logik mängdlära Boolesk algebra I kursen matematiska metoder, del A (TMA04 behandlar vi i lv logik, mängdlära oh Boolesk algebra I satslogik oh mängdalgebra, två exempel på Boolesk algebra, inörs grundbegrepp som används sedan i allt kommande; Boolesk algebra tillämpas även i parallellkursen digital- oh datorteknik Dessa öreläsningsantekningar innehåller kortattat det vi går igenom lv samt övningar De kompletterar kap 0 oh appendix B i Persson/Böiers (Analys i en variabel oh avsn i Johnson/Larsson/Arebrink (Grundläggande digital- oh datorteknik De skall underlätta inlärningen, men ingalunda ersätta öreläsningarna Fler oh utörliga exempel samt bevis görs på öreläsningarna 1 Satslogik Vi skall örsöka att skapa ett entydigt (vetenskapligt språk med hjälp av vardagssvenskan genom att inöra strängt deinierade termer (sk aktermer, grundbegrepp oh "operatorer" ör att generera nya termer 11 UTSAGOR DEF: En MATEMATISK UTSAGA är en utsaga som är antingen sann eller alsk ("tertium non datur" oh vars sanningshalt kan avgöras på ett objektivt sätt [ DEFIITIO är ett astslående vad ett visst begrepp skall betyda ] EX 1: Betrakta öljande uttryk: A: 1+ = 3 B : 1+ = 5 C : < 3 D : det regnar oh E : 003 är ett stort tal F : skål F är ingen utsaga; A E är utsagor, men D oh E är inte matematiska utsagor (sanningshalten kan ej avgöras objektivt; A C är matematiska utsagor: A oh C är sanna, B är alsk; vi aepterar här redan begrepp som 1,,3,5,+, < mm EX : För varje reellt tal x är A ( x : x = 5 en matematisk utsaga, ty ör varje reellt tal x 5 kan det avgöras om A ( x är sann eller alsk (t ex är A ( alsk, A ( sann A( x kallas "öppen utsaga" ty den innehåller en ri variabel x, som måste deklareras ("x reellt tal" matematiska metoder, TMA04, del A 1

2 1 LOGISKA OPERATORER Med hjälp av logiska operatorer kan vi bilda nya matematiska utsagor: symbol läs namn oh (and konjunktion eller (or disjunktion ike (not negation medör implikation ekvivalent ekvivalens dvs: om P oh Q är matematiska utsagor så skall även P Q, P Q, P, P Q oh P Q vara matematiska utsagor Vi deinierar dessa utsagor genom att ange sanningsvärdet ör alla möjliga sanningsvärden på P oh Q : Vi skriver 0 (eller ör "alsk" resp 1 (eller s ör "sann": P Q P Q P Q P Q P Q P Komplierade utsagor kan ota örenklas med hjälp av regler ("ormler", dvs ersättas med ekvivalenta, enklare utsagor Två utsagor är ekvivalenta om de har samma sanningstabell (dvs samma sanningsvärde ör alla möjliga sanningsvärden av alla ingående utsagor: SATS: För matematiska utsagor P, Q, R gäller: 1 ( P Q (( P Q ( Q P ( ( P P 3 ( P Q (( P Q 4 ( P Q (( Q ( P 5 P ( Q P 6 ( P ( Q R (( P Q ( P R 7 a ( ( P Q (( P ( Q b ( ( P Q (( P ( Q (de Morgan 8 a ( P ( Q R (( P Q ( P R b ( P ( Q R (( P Q ( P R (distributivitet matematiska metoder, TMA04, del A

3 Mängdalgebra 1 MÄGDER Den "naiva mängdläran" skapades av Cantor Han deinierade (1895 "En MÄGD M är en sammanattning av bestämda objekt, verkliga eller tänkta, som kallas ELEMET I M, till en enhet" Vi lägger till: Det måste på ett objektivt sätt kunna avgöras om ett x är element i M eller inte Denna grundläggande "elementrelation" beteknas med : DEF 1: Vi skriver resp x M om x är element i M (x tillhör M, x ligger i M x M om x ej är element i M Vi betraktar här endast mängder som är deinierade genom matematiska utsagor oh därmed väldeinierade För en öppen matematisk utsaga P sätter vi S P = { x : P( x är sann} = { x : P( x} = mängden av alla x sådana att P( x är sann SP kallas "sanningsmängden till P", { oh } kallas "mängdparenteser" EX 1: M = { x : x = 1 x = x = 3} Vi skriver kort M = { 1,, 3}, dvs vi skriver helt enkelt upp mängdens elment mellan mängdparenteserna om det är möjligt DEF : Vi säger M är en ÄDLIG mängd, om antalet element i M är ändligt, resp M är en OÄDLIG mängd om antalet element i M ej är ändligt Viktiga mängder är (oh kommer alltid att beteknas så: DEF 3: = { x : x x} den TOMMA mängden I = { 1,,3,4, L} de ATURLIGA TALE (obs: vi tar ej med 0 = { 0,1, 1,,,3, 3,L} HELTALE m = { n : m, n heltal, n 0} de RATIOELLA TALE I R de REELLA TALE För a, b IR, a b inör vi ITERVALL-betekningarna [ a, b] = { x IR : a x b}, ] a, b [ = { x IR : a < x < b}, [ a, b [ = { x IR : a x < b}, ] a, b] = { x IR : a < x b}, [ a, [ = { x IR : a x}, ] a, [ = { x IR : a < x}, ], b] = { x IR : x b}, ], b [ = { x IR : x < b} Dessa mängder kallas slutet intervall resp öppet intervall resp halvöppet intervall OBS: oh är inte element i I R (inte reella tal! = I R oh a, a = a, a, a ( a IR Det gäller ], [ [ ] { } ] [ =, [, ] a är odeinierat! matematiska metoder, TMA04, del A 3

4 MÄGDOPERATORER Vi översätter nu operatorerna,,,, mellan utsagor till operatorer mellan mängder Vi tänker oss att alla x ligger i en grundmängd U ("universum", tex U = IR DEF 1: För mängder A, B deinieras ( A = SP, B = SQ, P, Q matematiska utsagor 1 (union: A B = { x : x A x B} ( SP Q = SP SQ (snitt: A B = { x : x A x B} ( SP Q = SP SQ 3 (delmängd: ( A B (( x A ( x B ( P( x Q( x, x U 4 = (likhet: ( A = B (( x A ( x B ( P( x Q( x, x U 5 (komplement: A = { x : x A } ( S = ( Vidare skriver vi resp P S P A B ör ( A = B A B (äkta delmängd ör ( A B ( A B EX 1: a { 1,,3} = {,3,1 } = { 1,,,1,3,3,1, } osv (det spelar ingen roll hur vi skriver upp en mängd b = I { n : n I } { 0} (],0] = ] 0, [ ( U = IR d I (sista inklusionen visas snart I R Det underlättar myket att åskådliggöra mängder som punktmängder i planet (Venndiagram eter den brittiske logikern John Venn, , se öreläsningen Vi deinierar nu ytterligare några operatorer som vi kommer att ha nytta av: DEF : För två mängder A, B deinierar vi a MÄGDDIFFERESE \: A \ B = { x : x A x B} (alla x som ligger i A men inte i B b den SYMMETRISKA MÄGDDIFFERESE : A B = (A \ B ( B \ A För mängder gäller motsvarande regler som ör utsagor: SATS: För mängder A, B, C gäller 1 ( A = B (( A B ( B A B = U \ B, A \ B = A B 3 A B = B A 4 A B = ( A B \ ( A B 5 a ( A B = A B b ( A B = A B (de Morgan 6 a A ( B C = ( A B ( A C b A ( B C = ( A B ( A C (distributivitet matematiska metoder, TMA04, del A 4

5 Regel 4 visar att den operator ör utsagor som motsvarar, är XOR (exlusive or: ( P XOR Q (( P Q ( ( P Q (( P ( Q ( Q ( P, alltså "antingen P eller Q men ej bägge" (P oh Q två matematiska utsagor Till sist konstruerar vi två nya, viktiga mängder: DEF 3: Låt M, vara två mängder 1 Mängden P( M = { A : A M} = mängden av alla delmängder till M kallas POTESMÄGDE AV M Mängden M = {( m, n : m M n } = mängden av alla "ordnade par" ( m, n med m M oh n kallas CARTESISKA MÄGDPRODUKTE AV M oh EX : a Alltid gäller P( M oh M P( M (M en mängd b IR IR = {( x, y : x IR y IR } är "planet", beteknas I R Då kan vi deiniera "relation" oh, som speiell relation, "unktion": DEF 4: Låt M, vara två mängder 1 En delmängd R M kallas RELATIO FRÅ M TILL, en relation R M M kallas (BIÄR RELATIO I M, D R = { x M : det inns y så att ( x, y R} kallas DEFIITIOSMÄGD, V R = { y : det inns x M så att ( x, y R} kallas VÄRDEMÄGD (till R; vi skriver även xry ör ( x, y R ( "y står i relation R till x" En relation M kallas FUKTIO FRÅ M TILL om är "högerentydig", dvs om ör x M, y1, y gäller (( xy 1 ( xy ( y1 = y I så all inns det till varje x i :s deinitionsmängd preis ett y i :s värdemängd som står i relation till x, dvs vi kan se som en tillordning : x a y som ordnar till varje x D ett entydigt bestämt y V ; ör att ramhäva detta skriver vi y = ( x ("y är en unktion av x" i stället ör x y oh (vi använder något missbrukligt samma symbol : : M läs: " är en unktion rån M till som ordnar till x a ( x ett element x D elementet y = ( x V " Observera att vi använder pilen ör avbildningen (" går rån M till " oh pilen a ör den elementvisa tillordningen (" ordnar till x bildpunkten ( x " Själva relationen kallas då GRAFE TILL oh beteknas G : G = ( x, y M : x D y ( x En avbildning : M M med { } = D = M kallas även UITÄR OPERATOR PÅ M oh en avbildning : M M M med D = M M kallas BIÄR OPERATOR PÅ M matematiska metoder, TMA04, del A 5

6 EX 3: a Ordningsrelationen < på I R är halvplanet < = ( x, y IR : y x är positivt IR I { } R b Funktionen "kvadrera" skriver vi upp så här: : IR IR ; här är =, = [ 0, [ IR V x a x Additionen + är avbildningen (rita! D, = {( x, x : x IR } G (rita! + : IR IR IR ( x, y a x+ y (en binär operator på I R Binära relationer spelar en viktig roll i tex swithnätteorin; vi nämner en speiell relation som gör det möjligt att dela upp en mängd i "klasser" av element som anses vara likvärdiga i någon mening: DEF 5: En relation ~ M M på M kallas a REFLEXIV om x ~ x ör alla x M b SYMMETRISK om x ~ y y ~ x ör alla x M, y M TRASITIV om (( x ~ y ( y ~ z ( x ~ z ör alla x M, y M, z M d EKVIVALESRELATIO PÅ M om ~ är relexiv, symmetrisk oh transitiv EX 4: a är en ekvivalensrelation på mängden av alla matematiska utsagor b = är en ekvivalensrelation på P ( M (M en mängd "Modulo-räkning" ger en ekvivalensrelation på : Låt p I, m, n ; man säger "m är kongruent n modulo p", bet m n(mod p, om m n = kp ör något k "kongruent modulo p" är en ekvivalensrelation på, tal som ger samma rest vid division med p är ekvivalenta Ett exempel är klokan: vi räknar modulo 1 Satslogik oh mängdlära är två viktiga, självständiga matematiska disipliner Men de "unkar" på samma sätt som (är speialall av, exempel på, modeller ör en mera generell matematisk struktur (= mängd av vissa objekt med operationer som lyder vissa regler, nämligen en "Boolesk algebra" Vi skriver operationerna då "algebraiskt" Målet är att du lär dig att räkna med dessa I kursen digital- oh datorteknik studerar du ysikaliska modeller (realiseringar av Booleska algebror George Boole ( : The Mathematial Analysis o Logi (1847 An Investigation o the Laws o Thought (1854 matematiska metoder, TMA04, del A 6

7 3 BOOLESK ALGEBRA DEF 1: M, +,,',0, 1 kallas BOOLESK ALGEBRA om M är en ike tom mängd ' är en unitär operator på M, + oh är binära operatorer på M 0 oh 1 är två element i M så att öljande axiom gäller: ör x, y,z M gäller + y = y + x A1: (kommutativitet y = y x ( y + z = ( x y + ( x z A: (distributivitet + ( y z = ( x + y ( x + z + 0 = x A3: 1 = x (0 resp 1 är neutralt element ör + resp + x' = 1 A4: x' = 0 (komplementregeln Ta gärna med öljande regel A0: + ( y + z = ( x + y + z ( y z = ( x y z (assoiativitet, kan härledas ur A1 A4 Observera "dualitetsprinipen": byter man i en giltig sats överallt + mot mot + så ås igen en giltig sats (klart, axiomen är ju duala 0 mot 1 1 mot 0 EX: (Satslogik mängder a M,,,,, s där M är mängden av alla matematiska utsagor, ekvivalenta utsagor identiierade, med tex : 1 = oh s : = 1+ 1 b P( M,,,,, M där M är en mängd ( A = M \ A En viktig binär operator är XOR-operatorn (eller ring summan : DEF : I en Boolesk algebra M, +,,',0, 1 deinieras ör x, y M : x y = x y + x y För utsagor (ex a är P Q = P XOR Q (se sid 5, ör mängder (ex b är A B = A B (se sid 4 Regler ör : se sats matematiska metoder, TMA04, del A 7

8 AMÄRKIG Att ' är en unitär operator på M innebär att ' är en avbildning rån M till M som ordnar till ett element x M ett entydigt bestämt element x M ' : M M x a x' Att +, resp, resp är en binär operator på M innebär att +, resp, resp är en avbildning rån M M till M som ordnar till ett element ( x, y M M (alltså till två element x, y ur M ett entydigt bestämt element x + y M resp x y M resp x y M + : M M M, : M M M, : M M M ( x, y a x+ y ( x, y a x y ( x, y a x y SATS 1 (REGLER, visas på öreläsningen I en Boolesk algebra M, +,,',0, 1 gäller ör x, y, z M : + x = x + 1 = 1 1 (idempotenslagarna (dominanslagarna x = x 0 = 0 + x y = x 3 (absorptionslagarna 4 ( x + z = 1 oh x z = 0 z = x' ( x + y = x 0' = 1 ( x + y = x y 5 ( x' = x, (' är idempotent 6 (de Morgan 1' = 0 ( x y = x + y VARIG: Ingen av öljande 4 implikationer gäller: + y = x + z y = z y = x z y = z + y = x y = 0 resp y = x y = 1 Enkla motexempel ås i en mängdalgebra: För A = { 1, }, B = { 1, 3},C = {, 3}, D = { 1}, (,B,C,D P( I A B = A C = { 1,, 3} men B C, B = A D = { 1} A gäller A men B D, A D = A men D /O oh D A = D men A I OBS: det räker att vederlägga två implikationer, vilka oh varör? SATS (REGLER ör I en Boolesk algebra M, +,,',0, 1 gäller ör x, y, z M : 1 x y = y x (kommutativitet x ( y z = ( x y ( x z (distributivitet 3 x ( y z = ( x y z (assoiativitet 4 x y = x z y = z (strykningslagen, bevis sid 10 matematiska metoder, TMA04, del A 8

9 5 x x = 0, x x = 1, x 0 = x, x 1 = x ( ( 6 x y = x + y x y 7 ( x y + ( x y = x + y x y = x y = x y = x y + x y 8 ( (= det till 9 ( x y ( y z = x y z + x y z 10 ( x y + ( y z = x y + y z + z x x y duala uttryket ÖVIGAR 1 a Visa ( (( x < y ( y < x ( x = y ( x IR, y IR b Bestäm sanningsmängderna S, oh S till P S Q P ( x : ( x > x ( ( x > 1, R ( x : ( x > x ( ( x > 1 oh Q ( x : ( x = 3x x = ( x IR ( ( a Bestäm A B, A B, A \ B, B \ A oh A B ör A = { 1,,3,4}, B = { 3,4, 5} b Bestäm A B, A B, A \ B, B \ A oh A B ör A = [ 8,9], B = ] 5, [ Bestäm P ( M ör M = { 1,,3} d Bestäm A B oh B A ör A = { 1,}, B = {,3,4} e Bestäm A B oh B A ör A = [ 0,1], B = [ 1, [ (rita! Förenkla öljande uttryk ör mängder A, B: 1 A \(B \ A, A \(A \ B, 3 A (A\ B, 4 A (A\ B, 5 A (B\ A, 6 A (B\ A, 7 (A\ B ( A B (B\ A, 8 A B 3 Låt M, +,,',0, 1 vara en Boolesk algebra, x, y, z M Visa a x + y = x x y = y b x y + x y = 1 x = y x + x y = x + y d x + y = x y x y = 0 e Visa att ör alla I gäller x k = xk oh x k = xk k= 1 k= 1 k= 1 k= 1 ( x1, x, L, x M; xk = x1 xl x = produkten av x 1, x, L, x k = 1 4 Formulera oh bevisa sats 1 (6 (sid algebraiskt 5 Lös uppgit genom att räkna algebraiskt 6 Uttryk x y mha enbart oh ' (AD-grind oh OT-grind 7 Formulera reglerna i uppg 3 oh uppg 5 ör utsagor oh ör mängder R ( matematiska metoder, TMA04, del A 9

10 SVAR 1b S P = SQ = IR, SR = ],0 [ a { 1,,3,4,5}, { 3,4}, { 1,}{}{, 5, 1,,5} b [ 8, [, ] 5,9], [ 8, 5], ] 9, [, [ 8, 5] ] 9, [ {, {} 1, { }, { 3}, { 1,}, { 1,3}, {,3}, { 1,,3 }} d A B = {( 1,,( 1,3,( 1,4,(,,(,3,(,4 } B A = {(,1,(,,( 3,1 (, 3,(, 4,1 (, 4, } e A B = {( x, y : 0 x 1, y 1} B A = {( x, y : x 1, 0 y 1} 1 A, A B, 3 A, 4 A \ B, 5 A B, 6 /O, 7 A B, 8 A B ( 6 ( x y ( x y eller ( ( x y x y 7 tex 3m: I A k = U A k=1 k=1 Lösning av uppgit 3d: Det är ett "om oh endast om"-påstående (en ekvivalens av två utsagor, vi visar de två implikationerna var ör sig (se (1 i sats sid : " " : Om x y = 0 gäller, så gäller x + y = x y : bev: x + y = x ( y + y + y ( x + x = x y + x y + y x + y x = x y + y x (ty x y = 0 Vi utnyttjade x + x = 1, x 1 = x, 0 + x = x vsv [alternativt: sats (7 sid 8!] " " : Om x + y = x y gäller, så gäller x y = 0 : bev: x + y = x y x y ( x + y = x y ( x y + x y x y + x y = x y = 0 Vi utnyttjade x x = x, x x = 0, x y + x y = x y vsv Ett annat (njaa, myket liknande bevis av " " år du med identiteten x y = ( x + y ( x y (sats (6 sid 9: x y = x x y + x y y = ( x + y ( x y = ( x y ( x y = ( x + y ( x y ( x y = 0 bevis av "strykningslagen" " " : trivialt x y = x z y = z : " " : x y = x z x y + x y = x z + x z, multiplikation med x resp x ger ( x y = x z resp x y = x z Därmed kan vi nu visa att z + y = 1 oh z y = 0, sats 1 (4 ger då att y = z oh därmed y = z pga sats 1 (5: z + y = [ multipliera med 1 = x + x ] = z x + z x + y x + y x = ( = = z x + x y + x z + y x = x + x= 1 y = [ x + x ] = z x y + z x y = ( = z x z + x y y 0 z multiplie ra med = (eller multipliera ( med z resp med y' så år du x y' z = 0 resp x z y' = 0, addition ger ( x + x y' z = 0, alltså y' z = 0 k vsv matematiska metoder, TMA04, del A 10