Elementär logik och mängdlära

Transkript

1 Elementär logik och mängdlära Mängd En mängd är en ihopsamling av noll eller flera saker, där ordningen mellan de ihopsamlade sakerna är oväsentlig. Sakerna kallas för mängdens element. EXEMPEL {1, 2, 4, 8, 16, 32} eller {32, 16, 8, 4, 2, 1}! = {0, 1, 2, 3, } De naturliga talen.! = {, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } De hela talen. 1 2 Element i en mängd Presentation av en mängd När vi skriver x! menar vi att x är ett element i mängden. x Vanligtvis presenteras en mängd genom att man anger vilka egenskaper som mängdens element har: {x villkor} = mängden av de x som uppfyller villkor Uttalas: x tillhör EXEMPEL {2 k k!! och k!5 } Mängden {1, 2, 4, 8, 16, 32}. EXEMPEL 8! {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} 3 4

2 Presentation av en mängd Kardinalitet En variant Det är vanligt att en del av villkoret flyttas till vänster om separatorn. ntalet element i en mängd kallas för :s kardinalitet och betecknas med EXEMPEL {n!! n är delbar med 2} EXEMPEL {1, 4, 16, 64} = Delmängd När vi skriver D " menar vi att varje element som tillhör D också tillhör : För alla x gäller x! D x! Uttalas: D är en delmängd av EXEMPEL {1, 4, 16} " {1, 2, 4, 8, 16, 32}. OBS {x} " ó x. D ntalet delmängder EXEMPEL Mängden {1, 2, 3} har åtta delmängder: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Som synes är antalet delmängder av {1, 2, 3} lika med 2 {1, 2, 3}. llmänt gäller för varje ändlig mängd att har 2 delmängder. Detta följer av multiplikationsprincipen. Hur då? 7 8

3 Om B inte är en delmängd av Union, snitt, differens Om B inte är en delmängd av vi skriver B " så finns det något element inuti B som ligger utanför. B $ B = {x x! eller x! B} B Därmed följer för varje mängd att den tomma mängden # är en delmängd av. % B = {x x! och x! B} Om # " skulle det ju finnas något element inuti #. Se!. B = {x x! och x & B} Den s.k. tomma mängden! = { } är innehållslös Cartesiska produkten " B = {(a, b) a! och b! B} EXEMPEL {0, 1} {1, 4, 16} = {(0, 1), (0, 4), (0, 16), (1, 1), (1, 4), (1, 16)}. Namnet Cartesiska produkten och beteckningen " B kommer sig av att storleken på en Cartesisk produkt är lika med produkten av de ingående mängdernas storlekar: " B = B En modell för datorskärmen Betrakta för enkelhets skull en svartvit skärm med 1024 punkter (pixlar) horisontellt och 768 stycken vertikalt. En svartvit bild på en sådan skärm kännetecknas av att vissa av punkterna är svarta och att resten är vita. Mängden av svarta punkter är vad ögat uppfattar som själva bilden

4 En modell för datorskärmen Hela skärmen kan beskrivas av den cartesiska produkten D = H V där H = {n!! 0! n < 1024} och V = {n!! 0! n < 768}. Varje delmängd av D representerar en bild på skärmen. En modell för datorskärmen Det betyder att antalet bilder som den svartvita skärmen kan visa är lika med antalet delmängder av D. Hur stort är detta antal? Svaret ges av följande beräkning 2 D = 2 V H = 2 V H = = " Det skulle ta ca miljarder år att se dem om man skulle se 50 stycken varje sekund Logik Resonemang (utsagor, påståenden) hävdar att individer och eller objekt har vissa egenskaper eller är relaterade till varandra på något sätt. Exempel på utsagor Lejonet Elsa är farlig. EXEMPEL Lejonet Elsa är inte farlig. Lejonet Elsa spelar fiol. Lejonet Elsa spelar fiol men inte flöjt. Lejonet Elsa spelar fiol eller flöjt. Om lejonet Elsa spelar fiol, så applåderar jag

5 Formalisering Lejon(Elsa) Farlig(Elsa) Lejon(Elsa) Farlig(Elsa) Lejon(Elsa) SpelarFiol(Elsa) Lejon(Elsa) SpelarFiol(Elsa) SpelarFlöjt(Elsa) Lejon(Elsa) (SpelarFiol(Elsa) SpelarFlöjt(Elsa)) (Lejon(Elsa) SpelarFiol(Elsa)) ö pplåderar(jag) tillräckligt villkor nödvändigt villkor Semantik med sanningstabell negation disjunktion konjunktion P Q P P Q P Q S S F S S S F F S F F F S F F F S S S F Semantiken för ö Tre ekvivalenta formler P Q P ö Q S S S S F F F F S F S S P Q P ö Q ó Q ŸP ó ŸQ ö ŸP S S S S S S F F F F F F S S S F S S S S Om du vill, så kan du. Du kan! Eller så vill du inte. Om du inte kan, så vill du inte

6 ristoteles fyra grundformer 1. lla P är Q 2. Något P är Q 3. Inget P är Q 4. Något P är inte Q lla lejon är farliga 2. Något lejon är farligt 3. Inget lejon är farligt 4. Något lejon är inte farligt NM. När man säger att något lejon är farligt menar man att det finns något farligt lejon minst ett. När man säger att att alla lejon är farliga menar man inte att det måste finns något lejon bara att om det finns något så är det farligt. Kvantifiering x(lejon(x) ö Farlig(x)) x(lejon(x) Farlig(x)) x(lejon(x) Farlig(x)) x(lejon(x) Farlig(x)) SYNTX x P(x) x P(x) variabel allkvantorn existenskvantorn SEMNTIK x P(x) sann i en värld om någon individ i världen har egenskapen P x P(x) sann i en värld om alla individer i världen har egenskapen P 22