Mängdlära. Författarna och Bokförlaget Borken, Mängdlära - 1

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mängdlära. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Mängdlära - 1"

Transkript

1 Mängdlära Bell-talen (1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, , , ,...) beskriver det antal olika sätt n element kan delas upp i disjunkta icke-tomma delmängder. Så kan t ex mängden {1, 2, 3} delas upp på följande sätt: {{1}, {2}, {3}} {{1, 2}, {3}} {{1, 3}, {2}} {{1}, {2, 3}} {{1, 2, 3}}. Bilden ovan visar hur mängden{1, 2, 3, 4, 5} kan illustreras i 52 uppdelningar. 1. Grundbegrepp i mängdläran 2 Teori Union och snitt....6 Modell Syllogismer...10 Modell Hur många element? Relationer och funktioner..14 Facit.21 Bilder: s.10 A painting of John Venn by Charles E. Brock. Photograph by Christopher Hurst, Hamilton-Kerr Institute, University of Cambridge. s.26 Övriga diagram och foton av Nils-Göran och Lina Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken,

2 1 Grundbegrepp i mängdläran Teori Mängdlära Vanligt språkbruk använder ordet mängd för en grupp av föremål eller ting. Vi kan prata om mängden av vargar eller mängden av röda föremål. I matematiken kan vi diskutera egenskaper hos mängden av jämna tal eller mängden av primtal. Begreppet mängd är mycket användbart i logiken och matematiken. I stället för föremål eller ting i mängden talar vi om mängdens element. Vi har redan tidigare definierat mängderna,,, och dvs mängderna av naturliga tal, hela tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal. En mängd A säges vara en delmängd till en mängd B om varje element i A också är ett element i B. Detta betecknas A B. Symbolen används både för att visa att (i) det finns element i B som inte finns i A eller att (ii) A = B, dvs A och B innehåller samma element. Följande relationer gäller för våra tal,, samt. Ge exempel på element som finns i men inte i, som finns i men inte i, som finns i men inte i. Om antalet ting i en mängd är uppräkneliga som t ex primtalen mindre än eller lika med tio så kan vi skriva mängdens element inom en klammer A = {1, 2, 3, 5, 7}. Det spelar ingen roll i vilken ordning vi räknar upp elementen. Alltså gäller {1, 2, 3, 5, 7} = {2, 3, 1, 7, 5} Exempel 1 Om vi betecknar mängden av primtal mindre än tjugo med bokstaven B så gäller B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Alltså gäller {1, 2, 3, 5, 7} {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. 2

3 Exempel 2 Låt oss se på punkterna (3, 4) och (5, 1) i det tvådimensionella xy-planet. Då är (3, 4) och (5, 1) två element i detta plan. Det är viktigt att observera att (3, 4) inte är samma punkt eller element som (4, 3). Man säger att (3, 4) är en ordnad uppsättning av elementet. Mängden av de två punkterna ovan skrivs naturligtvis {(3, 4), (5, 1)}. Exempel 3 Om vi vill beteckna de positiva reella talen, eller någon annan mängd av specifika tal, med mängdsymboler används följande skrivsätt: {x x, x > 0} som utläses: mängden av alla x sådana att ( ) x tillhör ( ) de reella talen och x är större än noll. Exempel 4 Vilka element finns i mängden {x x, (x 2)(x 3)=0}? Lösningen är de reella tal för vilka (x 2)(x 3) = 0. Eftersom ekvationen har lösningen x 1 = 2 eller x 2 = 3 som är reella tal får vi Resultat: {x x, (x 2)(x 3) = 0} = {2, 3}. Exempel 5 Vilka element finns i mängden {x x, x 2 < 4}. Lösning Eftersom det inte finns några reella tal vars kvadrat är negativ är mängden tom. Symbolen för den tomma mängden är. Resultat: {x x, x 2 < 4} = Exempel 6 Om A B och B C så gäller A C. Varför? G1.1 Skriv med mängdsymboler a) 5 tillhör mängden av naturliga tal b) π tillhör inte mängden av hela tal c) 1/7 tillhör mängden av reella tal d) π/3 tillhör mängden av rationella tal. e) Avgör vilka av påståendena a) d) som är sanna? 3

4 G1.2 Beskriv med uttryck eller termer, mängden: a) {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} b) {Vänern, Vättern, Mälaren} c) {kub, tetraeder, oktaeder, ikosaeder, dodekaeder} d) {11, 13, 17, 19, 23, 27, 29} e) {Johannes, Matteus, Markus, Lukas} f) {Stockholm, Göteborg, Linköping, Uppsala, Lund, Umeå} G1.3 Skriv följande mängder som uppräkningar av element. a) {x x, (2x 2)(3x 6) = 0} b) {x x, (x 2)(2x 3) = 0} c) {x x, (5x + 2)(x 4) = 0} d) {x x, x 2 5x + 6 = 0} e) {x x, x 2 5x/6 + 1/6 = 0} f) {x x, x 2 1 = 0} g) {x x, (x 3) 2 9} h) {x x, 4 (x 3) 2 9} i) {x x, x 3 5x 2 /6 + x/3 = 0} j) {x x, 0 < x < 6} k) {x x, 0 < x < 6 och 3 < x < 9} l) {x x, 4 < x < 6 eller 7 < x < 9} m) {x x, 0 x 2} n) {x x, 0 x 2 och 3 x 5} o) {x x, 2 x 4 och 3 x 6} p) {x x, 2 x 4 eller 3 x 6} q) {x x, e x = 1} 4

5 G1.4 Hur många mängder A uppfyller villkoret {1, 2, 3} A {1, 2, 3, 5, 7} G1.5 Hur många delmängder har mängden av platonska kroppar: {kub, tetraeder, oktaeder, ikosaeder, dodekaeder}. G1.6 Ange en delmängd till med 3 element. G1.7 Ange en delmängd till med 4 element. G1.8 Även mängder kan vara element i en annan mängd. Alltså gäller t ex {1, 2} {1, 2, {3}} och {3} {2, {3}}. Vilka av följande påståenden är sanna? a) {1, 2, 3} {2, 3, 4} f) {2, 3, 4} {2, 3, 4} b) {4} {{2}, {4}} g) {2, 5} c) {5} {2, 5} h) {2, } d) {5} {2, 5} i) { } {2, 5} e) 5 {2, 5} j) { } {2, { }} k) Mängden av cirklar mängden av ellipser. l) Mängden av vargar mängden av däggdjur. m) {Venus, Jorden, Månen, Mars} Mängden av planeter. n) Mängden av kvadrater mängden av rektanglar. o) Om vi definierar <x, y> som {x, {x, y }} är <x, y> = <y, x>. Fundera på detta! Ge ett exempel på ändliga mängder A, B, C, D så att A B C D=, men varje snitt av mängderna är icke-tomt. 5

6 Teori Union och snitt Om vi har två mängder så kan vi bilda nya mängder på två olika sätt. 1. A B (läses: A union B) är mängden av alla element som tillhör A eller B eller bägge. Denna mängd kallas unionen av A och B. Figuren till vänster nedan visar att det finns tre olika områden, (1), (2) och (3) när mängderna A och B delvis överlappar varandra. Unionen av A och B är summan av dessa tre områden. Snittet av A och B är beteckningen för området (2), se den högra figuren. Om det sedan finns element i de olika områdena eller inte är en annan fråga. 2. A B (läses: A snitt B) är mängden av alla element som tillhör både A och B. Denna mängd kallas snittet av A och B. Modell Mängdoperationer Exempel a) {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} b) {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {3, 4} c) {2, 3, 4} {5, 6, 7} = d) Romber Rektanglar = Kvadrater Mängderna {2, 3, 4} och {5, 6, 7} som inte har några gemensamma element kallas disjunkta annars är mängderna överlappande som t ex {2, 3, 4} och {3, 4, 5}. 6

7 G1.9 Skriv följande unioner och snitt utan union- eller snittsymboler. a) {2, 4, 6} {6, 8, 10} b) {2, 4, 6} {6, 8, 10} c) Mängden av jämna tal Mängden av udda tal d) Mängden av primtal som är mindre än tio Mängden av primtal som är mindre än tjugo. e) Mängden av likbenta trianglar Liksidiga trianglar. f) g) h) {π, 1/3, 3} i) {π, 1/3, 3} Teori Grundmängder Om vi har tre mängder A, B och C så visar figuren nedan vilka relationer de tre mängderna kan ha till varandra. (1) Elementen i området (1) tillhör mängden A men inte B och C. (2) Elementen i området (2) tillhör både mängden A och B men inte C. (3) Elementen i området (3) tillhör mängden B men inte A och C. (4) Elementen i området (4) tillhör både mängden A och C men inte B. (5) Elementen i området (5) alla de tre mängderna A, B och C. (6) Elementen i området (6) tillhör både mängden B och C men inte A. (7) Elementen i området (7) tillhör mängden C men inte A och B. 7

8 Teori Grundmängd och komplement Studier av mängder sker ofta i ett visst sammanhang. Vi studerar delmängder av en viss grundmängd, U. Vi kanske är intresserade av de reella talen,, som en grundmängd, dvs = U. U så kallas de element som inte tillhör A men U för Om A komplementet till A. Detta skrivs: A. G1.10 Vad är om U =? G1.11 Om U = vad är a) [1, 6] (Ledning: [1, 6] är det slutna talintervallet mellan 1 och 6.) b) ]1, 6[ (Ledning: ]1, 6[ är det öppna talintervallet mellan 1 och 6.) c) [1, ] d) [-, 3]? V1.12 Vilka av följande påståenden är sanna? är grundmängd. a) = c) = b) ( ) = V1.13 Mängderna (1) (7) ovan kan skrivas med hjälp av våra symboler, och, kanske inte alltid så enkelt. Försök förstå varför området (1) är A (B C) [eller A B C ]! Teckna därefter områdena (2), (3), (4), (5), (6), (7) och (8). 8

9 Teori Likheter inom mängdläran Det finns ett stort antal likheter mellan delmängder A, B och C till ett givet universum, U. (1) de Morgans lagar ( A B) = A B (2) ( A B) = A B Kommutativa lagar A B = B A A B = B A (3) Hur borde de associativa la garna se ut? (4) De distributiva lagarna A ( B C) = ( A B) ( A C) Hur inser man t ex den andra distributiva lagen? ( B C) är områdena (5) och (6) till höger. Alltså är A ( B C) områdena (1), (2), (4), (5) och (6). ( A B) är (1),(2),(3),(4),(5),(6) ( A C) är (1),(2),(4),(5),(6),(7) Alltså är ( A B) ( A C) områdena (1), (2), (4), (5) och (6). Uppgift: Kan du med liknande metod bevisa de Morgans lagar? A ( B C) = ( A B) ( A C) V1.14 Vad skall man skriva i den tomma rutan för att följande två uttryck skall gälla allmänt? a) B A Û A B = b) B A Û A B = 9

10 Modell Syllogismer (överkurs) Låt oss rita de två argumenten från valargumentationen nedan i ett Venndiagram: Alla valar (V ) är däggdjur (D) ty Alla valar föder levande ungar och ger dem di (L) och Alla djur som föder levande ungar och ger dem di är däggdjur. Slutsats: Alla V är D Argument 1: Alla V är L Argument 2: Alla L är D Eftersom Alla V är L så finns inga element i områdena (1) eller (4) varför vi ritat symbolen för den tomma mängden i dessa områden. Eftersom Alla L är D så finns inga element i områdena (2) och (3). Vi ser nu att slutsatsen, Alla V är D, gäller eftersom inga element finns i områdena (1) och (2). Observera att områdena (5), (6) och (7) kan ha element. Dessa områden kan dock vara tomma (men inte i vår värld). Exempel Är följande argumentering logisk? Argument 1: Några logiker (L) är tankspridda (T). Argument 2: Alla argumentationsanalytiker (A) är logiker (L). Slutsats: Några argumentationsanalytiker (A) är tankspridda (T). 10

11 Lösning: Argument 1 är markerad genom att ett streck dragits mellan områdena (5) och (6). Detta innebär att det finns element i antingen område (5) eller (6) eller bägge områdena. Argument 2 klargörs genom att symbolen för tom mängd är markerad i områdena (1) och (4). Har vi otur så finns inget (inga) element i område (5). (Det kanske är område (6) som gäller.) Alltså kan vi inte med nödvändighet säga att slutsatsen gäller. Syllogismer är slutledningar i vilka man utgår från tre satser: två argument och en slutsats. Dessa tre satser innehåller tre begrepp eller termer. I satsen ovan är termerna argumentationsanalytiker, logiker och tankspridd. V1.15 Vilka av följande syllogismer är giltiga? a) En del miljöpartister vill att Sverige går ur EU. En del riksdagsmän tillhör miljöpartiet. Alltså: en del riksdagsmän vill att Sverige går ur EU. b) Alla svenskar är filosofer och alla matematiker är filosofer. Alltså är alla svenskar matematiker. c) Inga primtal är delbara med 9. Några udda tal är primtal. Några udda tal är inte delbara med 9. d) Alla intelligenta människor är logiska. Alla logiska människor är schackspelare. Alltså är alla intelligenta människor schackspelare. e) Inga kommunister hyllar parlamentarismen och det gör inte heller fascisterna. Alltså är alla kommunister fascister. 11

12 f) Alla romber har fyra lika långa sidor. Även kvadraterna har fyra lika långa sidor. Alltså är alla kvadrater romber. g) Varje värnare av miljön är en förklädd socialist. Några socialister är marxister. Alltså är några värnare av miljön marxister. h) Alla medlemmar av Högsta domstolen är konservativa. Det finns inga lärare i HD. Alltså är inga lärare konservativa. V1.16 Vilka av följande argumenteringar är deduktivt giltiga? a) Göran är kär i Eva. Alltså är även Eva kär i Göran. b) Tjeckien gränsar till Slovakien. Alltså gränsar även Slovakien till Tjeckien. c) Det är möjligt att kärnkraften är ofarlig. Det är alltså inte nödvändigt, att kärnkraften är farlig. d) Alla som är puritaner ogillar pornografi. Alltså är alla som ogillar pornografi puritaner. e) I en urna finns fem vita och en svart kula. Om man på måfå tar en kula ur urnan, så är sannolikheten att få en svart kula 1/6. f) Denna figur är en romb, vilket innebär att diagonalerna skär varandra under räta vinklar. g) Alla deriverbara funktioner är kontinuerliga. Alltså är alla kontinuerliga funktioner deriverbara. V1.17 Rita ett Venndiagram som åskådliggör de tre satserna: Albert tycker om att åka inlines och bor i lägenhet, Beatrice åker gärna skidor och bor liksom Carl i en villa., Carl älskar att simma. Alla tre äter gärna pizza. (Ledning: Låt de tre cirklarna representera A:s, B:s och C: s egenskaper och aktiviteter.) V1.18 Antag att (i) A B och att (ii) A C. Ange vilka av följande påståenden som är falska, vilka som är sanna, och vilka vars sanningsvärde ej kan avgöras från den givna informationen. (a) B C (c) A B C (b) A B C (d) A B C Fundera på några Venndiagram på sajten 12

13 Modell Hur många element? Exempel I en naturvetenskaplig klass läser 30 elever Kurs 5 i matematik, 25 elever Specialisering i matematik och 15 elever Filosofi. 15 elever både Kurs 5 i matematik och Specialisering i matematik. 6 elever läser både Kurs 5 och Filosofi. 10 elever läser både Filosofi och Specialisering i matematik. Endast två elever läser alla tre kurserna. Hur många av eleverna läser bara kurs 5, specialisering i matematik eller filosofi? Lösning Området (5) motsvaras av 2 elever (element). Alltså har området (2): 15 2 (= 13) element. Alltså har området (4): 6 2 (= 4) element. Området (6) har 10 2 (= 6) element. Kurs 5 läses av =11 elever Specialisering i matematik läses av = 4 elever. Filosofi läses av = =3. V1.19 I en grupp på 100 recentiorer vid universitetet planerade 51 att läsa matematik, 46 fysik, 27 kemi, 38 både matematik och fysik, 9 både matematik och kemi, 7 både fysik och kemi samt 2 alla tre ämnena. a) Hur många planerade att läsa kemi men varken fysik eller matematik? b) Hur många tänkte inte läsa något av de tre ämnena? V1.20 På en allergiklinik fanns totalt 40 patienter. 16 personer som var glutenintoleranta, 18 som var laktosintoleranta och 17 som var dammallergiska. 2 personer hade alla tre åkommorna, 7 tålde varken gluten eller laktos och 6 tålde inte gluten och damm och 5 tålde inte laktos och damm. De återstående patienterna hade ännu inte fått någon diagnos. Hur många var de? 13

14 2 Relationer och funktioner Teori Produktmängder Vi har ofta betraktat två ordnade elementpar som t ex (3, 4) och (5, 1) som två punkter i det tvådimensionella xy-planet. Det är viktigt att observera att (3, 4) inte är samma punkt som (4, 3). Man säger att (3, 4) är en ordnad uppsättning av element. Man säger att alla ordnade par (x, y) där x och y är produktmängden av mängderna och ock betecknas. Med mängdsymboler skrivs xy-planet som = {(x, y) x och y } Exempel 1 Antag att vi har mängderna A = {GB (Storbritannien), F (Frankrike), I (Italien)} och B = {London, Paris, Rom}. I detta fall är produktmängden av A och B = A B = {(GB, London), (GB, Paris), (GB, Rom), (F, London), (F, Paris), (F, Rom), (I, London), (I, Paris), (I, Rom) Exempel 2 Produktmängden av de två intervallen [1, 5] och [1, 7] är en delmängd till = 2 dvs det inre av rektangeln med hörnen i (1, 1), (1, 7), (5, 1) och (5, 7) samt omkretsen till rektangeln. 14

15 G2.1 Rita produktmängden [ 1, 5] [3, 6] i ett ortonormerat koordinatsystem. G2.2 Vilka är de grafiska tolkningarna av produktmängderna {0} och {0}? G2.3 Rita nio element som tillhör produktmängden i ett rätvinkligt koordinatsystem. Modell Rita produktmängder 2 2 x y Exempel Rita mängden {(x, y) x och y, + = 1} x y y x Lösning + = 1 medför = 1 vilket i sin tur ger x x y = 25(1 ) eller y =± 25(1 ) Grafen består alltså av två funktioners grafer. G2.4 Rita följande mängder, där x och y är reella tal. a) {(x, y) där y =2x} d) {(x, y) där x 2 + y 2 =1} b) {(x, y) där y = x 2 + 1} c) {(x, y) där y = 2x 3 + 3x 2 } 15

16 Teori Relationer I föregående teoriavsnitt definierade vi produktmängden av A och B där A = {GB, F, I} och B = {London, Paris, Rom}. Alltså är A B = {(GB, London), (GB, Paris), (GB, Rom), (F, London), (F, Paris), (F, Rom), (I, London), (I, Paris), (I, Rom)}. Delmängden {(GB, London), (F, Paris), (I, Rom)} kallas en relation, R, till produktmängden. Denna relation kan läsas som har huvudstaden och skrivas som Frankrike R Paris. Definition En relation, R, från en mängd A till en mängd B är en delmängd till A B. Om det ordnade paret (x, y) tillhör delmängden R säger vi att x har relationen R till y och detta skrivs xry eller (x, y) R. R o m P a r i s L o n d o n Storbritannien (GB) Frankrike (F) Italien (I) 16

17 G2.6 Antag att vi har en mängd A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} och en relation R på A. Relationen kan beskrivas med symbolen <. Låt relationen vara en delmängd av A A. Beskriv relationen med ordnade par inom mängdklammer. G2.7 Antag att vi har en mängd A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} och en relation R på A. Relationen kan beskrivas med är ett kvadrattal till. Låt relationen vara en delmängd av A A. Vilken är relationen? G2.8 Antag att vi har mängderna A = {Tjeckien, Slovakien, Ungern, Rumänien} och B = { Bratislava, Budapest, Bukarest, Prag}. Vika är elementen till relationen har huvudstaden. G2.9 Antag att vi har en mängd A = {1 25} och en relation R på A. Relationen kan beskrivas med är delbart med (utan rest). Låt relationen vara en delmängd av A A. Vilken är relationen? G2.10 Antag att vi har en mängd A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} och en relation på A. Relationen är kvadraten på primtalet. Låt relationen vara en delmängd av A A. Vilken är relationen? Teori Reflexiva, symmetriska och transitiva relationer Definitioner En relation, R, på en mängd A kallas reflexiv om för varje element x i A så gäller xrx. symmetrisk om för varje x och y gäller: om xry så yrx. transitiv om för alla x, y och z i A gäller om xry och yrz så xrz. Exempel Relationen lika med (=) är reflexiv för alla x A ty xrx för alla x. Relationen syskon till är symmetrisk för alla mänskliga individer, om Karin är syskon till Fredrik så är Fredrik syskon till Karin. Relationen < är transitiv för alla x A ty om x < y och y < z så är x < z. 17

18 G2.11 Är några av relationerna nedan reflexiva, symmetriska eller transitiva? a) far till b) bror till c) kusin till d) e) vän till f) på en meters avstånd från g) gränsar till h) förargad på i) kär i j) delmängd till ( ) k) liknar l) personer vars efternamn börjar med samma bokstav m) vinner över G2.12 En delmängd till A B ger de tre relationssatserna: Albert fick betyget VG i matematik, Beatrice fick betyget MVG och Carl fick betyget G. Ge exempel på vad mängderna A och B skulle kunna vara? G2.13 En relation R kallas cirkulär om xry och yrz medför att zrx. Visa att R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} är cirkulär. G2.14 En relation som är symmetrisk, reflexiv och transitiv kallas en ekvivalensrelation. Ge exempel på en ekvivalensrelation. V2.15 Alla rationella tal kan skrivas i bråkform. Bildar mängden av alla bråkformer som är lika med t ex 0,5 en ekvivalensklass? Fundera på detta! Antag att relationen bekant med är symmetrisk. I ett rum finns 50 personer där några är bekanta med varandra och några är inte detta. Bevisa att det finns två personer i rummet som har lika många bekanta. 18

19 Teori Funktionsbegreppet Ett brev som ska postas måste frankeras med rätt antal (valörlösa) frimärken för att nå mottagaren. För att ta reda på hur många märken som ska sättas på brevet väger vi det och avläser sedan i en portotabell antalet märken. I ovanstående exempel beskrivs en relation. I exemplet bestämmer brevets vikt entydigt hur många frimärken som ska sättas på. En relation av denna typ kallas en funktion. Vi säger: Antalet frimärken är en funktion av brevets vikt. Även den tidigare definierade relationen {(GB, London), (F, Paris), (I, Rom)}är en funktion, varför? Man kan betrakta en funktion som en svart låda. Ett värde som matas in resulterar i att ett värde matas ut ur lådan. Det som matas ut är entydigt bestämt av det som matas in. Lådan använder någon regel för att bestämma vilket värde den ska lämna ut. En sådan regel kan se ut på många sätt. Den kan vara en tabell med alla tänkbara indata kopplade till motsvarande utdata. Den kan också vara en regel enligt vilken lådan gör ett antal beräkningar med det insända värdet och sänder ut resultatet. På matematiskt språk är man mycket kortfattad och exakt: Om det inmatade värdet kallas x så kallas det utmatade värdet f(x). Symbolen f(x) uttalas f x eller f av x. Bokstaven f står för själva funktionen (regeln som kopplar ihop värdena). De värden på variabeln x som får förekomma bildar tillsammans funktionens definitionsmängd. Alla de värden som funktionen kan anta är funktionens värdemängd. Definition: En funktion är en regel, relation, R, som kombinerar varje element i definitionsmängden Df, med precis ett element i värdemängden, Vf. 19

20 G2.16 Funktionen f har definitionsmängden [ 2, 4]. Bestäm värdemängden om f(x) = x 2. G2.17 Funktionen f har definitionsmängden [ 2, 5]. Bestäm värdemängden om f(x) = x 3 27x. G2.18 Vilken av relationerna vars grafer är ritade nedan, är en funktion och varför? V2.19 Är relationen R en funktion om R är mängderna: y a) {(x, y) x = där x 1} y+1 b) {(x, y) x = e y där x > 0} c) 4 {(x, y) x = y där x > 0} V2.20 Låt R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} vara en relation på mängden A = {1, 2, 3, 4}. Vilka påståenden är sanna? (a) Relationen är en funktion. (b) Relationen är transitiv. 20 (c) Relationen är symmetrisk. (d) Relationen är reflexiv. Definition: En funktion f från Df kallas invers Vf om det för varje y Vf finns precis ett x Df, som uppfyller villkoret y = f(x) Exempel Om y = 10 x med D f = och V f = + så är y = lg x dess inversa funktion. Leta själv upp några inversa funktioner!

21 Facit 1.1. a) 5 är sant b) π är falskt 1.2 a) Kvadraten på talen från 0 t o m 6 b) Sveriges tre största sjöar c) 1/7 är sant d) π/3 är falskt c) De platonska kropparna / De regelbundna polyedrarna d) Primtalen från 11 t o m 29 e) De fyra evangelisterna f) Universitetsstäderna i Sverige 1.3. a) {1, 2} b) {2, 3/2} c) {-2/5, 4} d) {2, 3} e) {1/3, 1/2} f) {i, -i} g) {3, 2, 1, 0, 4, 5, 6} h) {1, 0, 5, 6} i) {0} j) {1, 2, 3, 4, 5} k) {4, 5} l) {5, 8} m) {0, 1, 2} n) o) {3, 4} p) {2, 3, 4, 5, 6} q) {0} 1.4 {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 7}{1, 2, 3, 5, 7} dvs 4 st st 1.6 {1, 2/7, 0, } 1.7 {1, 2, 9, 97} 1.8 b), d), f), g), h) j), k), l) och n) är sanna a) {2, 4, 6, 8, 10} f) b) {6} c) g) d) {1, 2, 3, 5, 7} h) {π, 1/3, 3} e) Mängden av liksidiga trianglar. i) 21

22 1.10 De irrationella talen 1.11 a) ], 1[ eller ]6, [ b) ], 1] eller [6, [ 1.12 Alla påståenden är sanna Område (2) motsvaras av A B C Område (3) motsvaras av B A C Område (4) motsvaras av A B C Område (5) motsvaras av A B C Område (6) motsvaras av A B C Område (7) motsvaras av A B A c) ], 1[ d) ] 3, [ Område (8) motsvaras av (A B C) eller A B C 1.14 a) b) A 1.15 Endast d) 1.16 b), c), e) och f) Om A B och B C så A C vilket motsäger (ii). Alltså är (a) falskt. Eftersom A B och naturligtvis B B C så gäller A B C dvs (b) är sann. Om A B C så är A C, vilket motsäger förutsättning (ii), så (c) är falskt. Eftersom A B så måste A B = A så är A B C falskt a) 13 b) 28 22

23 patienter 23

24 x-axeln respektive y-axeln i ett koordinatsystem

25 2.4 a) b) c) d) 2. 6 {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (2, 7) (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)} 2.7 {(1, 1), (4, 2), (9, 3)} 2.8 {(Tjeckien, Prag), (Slovakien, Bratislava), (Ungern, Budapest), (Rumänien, Bukarest)} 2. 9 R={(1, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3), (3, 1), (4, 4), (4, 2), (4, 1), (5, 5), (5, 1), (6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1), (7, 7), (7,1)} 2.10 R = {(1, 1), (4, 2), (9, 3), (25, 5)} 25

26 2.11 Reflexiv Symmetrisk Transitiv a) b) S c) S d) S T e) S f) R S g) S h) i) j) R T k) R S l) R S T m) 2.12 A = Personer som har gått i svensk gumnasieskola; Betygsgrader i svensk gymnasieskola = {IG, G, VG, MVG} 2.13 Om (1, 2) och (2, 3) tillhör relationen så skall även (3, 1) tillhöra relationen, vilket stämmer. Samma sak gäller för paret (2, 3), (3, 1) samt paret (3, 1), (1, 2) Relationen = är en ekvivalensrelation V f = [0, 16] 2.17 V f = [ 54, 46] 2.18 Endast den vänstra 2.19 a) Relationen kan även skrivas y = x / (1 x) som är en växande funktion. b) Relationen kan skrivas y = ln x som är en växande funktion för x > 0. c) Relationen kan skrivas 2.20 endast c) 1 y= x 4 som är en växande funktion för x > 0. 26

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går

Läs mer

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B. Kapitel 1 Mängdlära Begreppet mängd är fundamentalt i vårt tänkande; en mängd är helt allmänt en samling av objekt, vars antal kan vara ändligt eller oändligt. I matematiken kallas dessa objekt mängdens

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

Mängdlära. Kapitel Mängder

Mängdlära. Kapitel Mängder Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt

Läs mer

Mängder, funktioner och naturliga tal

Mängder, funktioner och naturliga tal Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller

Läs mer

Definitionsmängd, urbild, domän

Definitionsmängd, urbild, domän 5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

ANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk

ANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik   Matematiskt språk ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag

729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag 729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag 1 Uppgifter 1.1 Relationer 1. Vi ges mängden A = {p, q, r, s, t}. Är följande mängder relationer på A? Om inte, ge ett exempel som visar vad

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik 729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik Instruktioner Dessa uppgifter utgör del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt,

Läs mer

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.

Läs mer

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER

Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Explorativ övning 9 RELATIONER OCH FUNKTIONER Övningens syfte är att bekanta sig med begreppet relation på en mängd M. Begreppet relation i matematiska sammanhang anknyter till betydelsen av samma ord

Läs mer

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Begreppen mängd och element är grundläggande begrepp i matematiken. MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p. HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, 1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt

Läs mer

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0. 5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A

Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om funktioner och relationer Mikael Hindgren 1 oktober 2018 Funktionsbegreppet Exempel 1 f (x) = x 2 + 1, g(x) = x 3 och y = sin x är funktioner. Exempel 2 Kan

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Diofantiska ekvationer

Diofantiska ekvationer Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 19. Diofantiska ekvationer Vi börjar med en observation som rör den största gemensamma delaren till

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Diskret matematik: Övningstentamen 4 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Mängder och kardinalitet

Mängder och kardinalitet UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Semantik och pragmatik (serie 5)

Semantik och pragmatik (serie 5) Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00 Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 2018-08-31 kl 1:00 18:00 1 Om argumentet inte är giltigt går det att hitta ett motexempel, dvs en uppsättning sanningsvärden för vilka alla hypoteserna är

Läs mer

TDP015: Lektion 5 - Svar

TDP015: Lektion 5 - Svar TDP015: Lektion 5 - Svar 11 maj 015 1. Huvudsaken här är att det spelar roll vilket initialvärde vi har. Nedan har jag valt beräkningar som slutar när f(x) < ɛ, där ɛ 10 10. Detta behöver ni såklart inte

Läs mer

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar

Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om

1 Föreläsning Implikationer, om och endast om 1 Föreläsning 1 Temat för dagen, och för dessa anteckningar, är att introducera lite matematisk terminologi och notation, vissa grundkoncept som kommer att vara genomgående i kursen. I grundskolan presenteras

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 01.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 01.09.2008 1 / 48 Inledning Vi ska först ge några exempel på

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter

Läs mer

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Mängder Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Operationer på mängder: Union och snitt Differens och komplement

Läs mer

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas

Läs mer

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som

Läs mer

Arbeta vidare med aritmetik 2018

Arbeta vidare med aritmetik 2018 Arbeta vidare med aritmetik 2018 I det här materialet har vi samlat problem inom aritmetik från flera olika tävlingsklasser, från Ecolier till Student. Årtal Varje år förekommer det problem som utgår från

Läs mer

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS VÅRTERMINEN 2014 ERIK DARPÖ 1. Utsagor, implikation och ekvivalens En utsaga är en påstående, formulerat med

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I v. 2.0, den 24/4 2013 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet är

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}

{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden

Läs mer

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Lösningar till Algebra och kombinatorik Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2018-10-23, lösningsförslag 1 1. (a) Sanningstabell för uttrycken p q r p q p r r q r p q 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Läs mer

Matematisk problemlösning

Matematisk problemlösning Matematisk problemlösning För utveckling av personliga och professionella förmågor Linda Mattsson och Robert Nyqvist Blekinge tekniska högskola Institutionen för matematik och naturvetenskap 16 augusti

Läs mer

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Algebra och Diskret Matematik A (svenska) MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2005 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 2 november 2005 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal

Läs mer

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet Svar och lösningar 1: D 200 9 Ett tal är jämnt om entalssiffran är jämn. Det enda talet som uppfyller det villkoret är 200 9 = 1800 2: C 18 cm Stjärnans yttre består av 12 lika långa sidor med sammanlagd

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Några saker att tänka på inför dugga 2

Några saker att tänka på inför dugga 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades

Läs mer

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen

Statistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

MATEMATIK ÅK 9 TAL. Matematik - Måldokument Lena Folkebrant

MATEMATIK ÅK 9 TAL. Matematik - Måldokument Lena Folkebrant Matematik - Måldokument MATEMATIK ÅK 9 TAL Talet nio anses i många kulturer vara ett mystiskt och ibland också ett heligt tal. Innan kristendomen infördes i Norden ansågs talet 9 vara det mest heliga talet.

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 55, 1972 Första häftet 2863. Lös ekvationssystemet { 2sin x cos x = 1 (Svar: π + 2nπ, n Z) 2864. Visa att (1,000001) 1000000 > 2. sin x 2cos x = 2 2865. Visa att ekvationen x 4 x 2 + 2x + 3 = 0

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson

2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson 2MA105 Algebraiska strukturer I Per-Anders Svensson Föreläsning 4 Innehåll Bijektiva avbildningar en repetition Permutationsgrupper Permutationer skrivna som produkter av cykler Jämna och udda permutationer

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF131 och SF130, den 10 januari 2011 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden, tel. 0730547891.

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder

1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Junior. låda 1 låda 2 låda 3 låda 4 låda 5 B V B V. a: det är omöjligt att göra så b: A c: V d: O e: R

Junior. låda 1 låda 2 låda 3 låda 4 låda 5 B V B V. a: det är omöjligt att göra så b: A c: V d: O e: R Junior vdelning 1. Trepoängsproblem 1. I fem lådor ligger kort. arje kort är märkt med en av bokstäverna,, R, O och. Peter ska plocka bort kort så att det blir ett enda kort kvar i varje låda och så att

Läs mer

Kapitel Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter Totalt har högt blodtryck. 85 % av 80 st =68 dricker alkohol.

Kapitel Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter Totalt har högt blodtryck. 85 % av 80 st =68 dricker alkohol. Matematik 5 svar till vissa uppgifter i kapitel 1. Kapitel 1... 1 Test 1 sidan sid 56 ff... 7 Blandade Uppgifter... 10 Kapitel 1 1105. 1106. A = { 1, 0,2,3,4,5,6,7,8,9,10} och B{x: x R, x 0} A B = { 1,0}

Läs mer