Axiom för de reella talen
|
|
- Rebecka Berglund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Axiom för de reella talen Sara Maad Sasane Matematikcentrum Lunds universitet 28 augusti 2017
2 1 Kroppsaxiomen (räknelagar) 2 Ordningsaxiomen 3 Axiomet om övre gräns
3 Kroppsaxiomen del 1 Axiom (Kroppsaxiomen) R är en mängd med två operationer, addition + och multiplikation som uppfyller + (K1) Associativitet För alla x, y, z R, x +(y +z) = (x +y)+z. (K2) Nolla För alla x R, x + 0 = 0+x = x. (K3) Negation/ För alla x R, existerar x R additiv invers sådant att x +( x) = 0 = x +x. (K4) Kommutativitet För alla x,y R, x +y = y +x.
4 Axiom (Kroppsaxiomen, forts.) Kroppsaxiomen del 2 (K5) Associativitet För alla x, y, z R, x (y z) = (x y) z. (K6) Etta 1 0 och för alla x R, x 1 = x = 1 x. (K7) (Multiplikativ) För alla x R\{0}, så existerar 1 invers x R sådant att x 1 x = 1 x x = 1. (K8) Kommutativitet För alla x, y R, x y = y x. { (K9) Distributivitet För alla x,y,z R, +, x (y +z) = x y +x z.
5 Härledningar av andra räknelagar Med hjälp av dessa kan man (med en hel del arbete) härleda alla de andra vanliga räknelagarna, d.v.s. de som står i Månsson Nordbeck, sid (addition, subtraktion, multiplikation, division). T.ex. gäller även (x +y) z (K8) = z (x +y) (K9) = z x +z y (K8) = x z +y z. Vi kommer inte att kräva att ni kan härleda dessa räknelagar från kroppsaxiomen. Det räcker att veta att det är möjligt. Ni behöver inte heller memorera axiomen.
6 1 Kroppsaxiomen (räknelagar) 2 Ordningsaxiomen 3 Axiomet om övre gräns
7 Ordningsaxiomen Ordningsaxiomen gör så att vi kan jämföra reella tal med varandra, med relationerna <, >, och. Mängden P nedan representerar de positiva reella talen. Axiom (Ordningsaxiomen) Det finns en delmängd P av R sådan att (O1) Om x,y P så gäller x +y P och x y P. (O2) För alla x R gäller precis ett av följande alternativ: (i) x = 0, (ii) x P, (iii) x P.
8 Ordningsaxiomen, forts. Mängden P i ordningsaxiomen representerar som sagt de positiva talen. Nu kan vi definiera >, <, och enligt följande: Definition Vi säger att x > y om x y P, x < y om y x P, x y om x > y eller x = y, x y om x < y eller x = y.
9 1 Kroppsaxiomen (räknelagar) 2 Ordningsaxiomen 3 Axiomet om övre gräns
10 Övre begränsning Axiomet om övre gräns är det axiom som skiljer R från Q. Lägg märke till att både kroppsaxiomen och ordningsaxiomen är uppfyllda för såväl R som Q. Vi behöver lite terminologi för att kunna formulera axiomet. Definition Låt A vara en delmängd av R. Ett tal M som uppfyller M x för alla x A sägs vara en övre begränsning till A. Om det finns ett sådant tal M så säger vi att A är uppåt begränsad. Lägg märke till att en övre begränsning i allmänhet inte är unik. T ex har mängden {1,2,3} många övre begränsningar (alla tal 3 duger).
11 Axiomet om övre gräns Axiom Varje icketom, uppåt begränsad delmängd av R har en minsta övre begränsning (som ligger i R). Exempel En minsta övre begränsning till {1,2,3} är 3. Exempel Låt A = {x R x 2 2}. Enligt Axiomet om övre gräns har A en minsta övre begränsning. Övertyga dig själv om att detta tal måste vara 2. Det går att använda detta exempel för att visa att axiomet om övre gräns inte är uppfyllt om R ersätts med Q.
12 Avslutning Avslutningsvis vill jag nämna att namnet Axiomet om övre gräns kommer från att ett annat namn för minsta övre begränsning är just övre gräns. Materialet fråna denna presentation kommer huvudsakligen från [1]. Axiomet om övre gräns presenteras även i [2]. Med axiomen i detta material har vi listat de egenskaper som vi vill att R ska ha. En annan fråga är om det existerar en mängd med alla de egenskaperna. Det visar sig att så är fallet, och att det går att konstruera R med hjälp av Q. En sådan konstruktion ges i [3], men det faller utanför ramarna för denna kurs.
13 References Amol Sasane, The how and why of one variable calculus. Wiley, Jonas Månsson och Patrik Nordbeck, Extramaterial till boken Endimensionell analys. Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, McGraw Hill, 1976.
Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merDenna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används
Läs merKTHs Matematiska Cirkel. Reella tal. Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom
KTHs Matematiska Cirkel Reella tal Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Mängdlära 7 1.1 Mängder...............................
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merFöreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)
Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs mer1 Suddig logik och gitter
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Palmgren Kompletterande material Algebra DV2 ht-2000 1 Suddig logik och gitter Suddig logik (engelska: fuzzy logic) är en utvidgning av vanlig boolesk
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merGrupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merPASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens
PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade
Läs merVi börjar med en viktig definition som inte finns i avsnitt 3.4 i [EG], den formella definitionen av kongruens modulo n:
MAAA26 Diskret Matematik för Yrkeshögskoleutbildning-IT Block 6 BLOCK INNEHÅLL Referenser Modulär aritmetik. Inledning 1. Kongruens modulo n 2. Z n -- heltalen modulo n 3. Ekvationer modulo n 4. Övningsuppgifter
Läs merGrunderna i stegkodsprogrammering
Kapitel 1 Grunderna i stegkodsprogrammering Följande bilaga innehåller grunderna i stegkodsprogrammering i den form som används under kursen. Vi kommer att kort diskutera olika datatyper, villkor, operationer
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs mer0, 1, 2, 3,...,9, 10, 11,... I, II, III, IV, V, VI,...
Olika typer av tal Efter att tränat upp säkerheten på algebraiska räkningar med reella tal skall vi se hur vi utgående från de naturliga talen kan konstruera de hela talen, de rationella talen och de reella
Läs merAlgebra och kombinatorik 28/4 och 5/ Föreläsning 9 och 10
Grupper En grupp är ett par (G,*) där G är en mängd och * är en binär operation på G som uppfyller följande villkor: G1 (sluten) x,yϵg så x*yϵg G2 (associativ) x,y,z ϵg (x*y)*z=x*(y*z) G3 (identitet) Det
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt 1 Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (asen 10) skrivs dessa 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,.... Samma
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som
Läs merAnteckningar i. Inledande Matematik
Anteckningar i Inledande Matematik Anders Logg Chalmers tekniska högskola (Utkast, version 3 oktober 2016) Copyright 2016 Anders Logg Förord och läsanvisningar Dessa anteckningar är avsedda att användas
Läs merDagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.
Dagens teman Mängdlära orts. Relationer och unktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Deinition av de naturliga talen, Peanos axiom. Relationer och unktioner Relationer Generell deinition: En relation R på mängden
Läs merTALBEGREPPET AVSNITT 11
AVSNITT 11 TALBEGREPPET Vi har redan mött olika typer av tal: naturliga, hela, rationella, reella och komplexa, betecknade med N, Z, Q, R resp. C. Vad är det som skiljer olika talmängder? Finns det andra
Läs merImz. Rez. Bo E. Sernelius
KKKA 2005 Imz Rez Bo E. Sernelius Kort kurs i komplex analys Förord Den här kursen är avsedd som en kort introduktion till komplex analys för studenter som går på Fysikprogrammet. Avsikten är delvis att
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs mer0.1 Antalet primtal är oändligt.
0.1 Antalet primtal är oändligt. I Euklides Elementa (ca 300 f. kr.) påstås (och bevisas) att antalet primtal är oändligt. För att förstå påståendet och beviset måste vi först försöka klargöra betydelsen
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den
Läs merTALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER. Juliusz Brzezinski
TALSYSTEM OCH RESTARITMETIKER Juliusz Brzezinski MATEMATISKA INSTITUTIONEN CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2002 FÖRORD Detta häfte handlar om talsystem, restaritmetiker och polynomringar
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen
Läs merMINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER
MINNESANTECKNINGAR FÖR DELTAGARNA I WORKSHOP GRUPPER SONJA KOVALEVSKYDAGARNA 2008; HANNA USCKA-WEHLOU 0. Praktiska anmärkningar Det finns följande moment i workshop: en föreläsningsdel - jag berättar om
Läs merTänka, resonera och räkna
Tänka, resonera och räkna 2018.06.11 Anna Ida Säfström, HH Ola Helenius, NCM Görel Sterner, NCM En strukturerad undervisningsmodell Bakomliggande principer för innehållet Modellens faser Materialet en
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.
Läs merANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson
ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merGruppteori. Ilyas Ahmed och Qusay Naji. 23 maj Tack till professor Dan Laksov I samarbete med Kungilga Tekniska Högskolan (KTH)
Gruppteori Ilyas Ahmed och Qusay Naji 23 maj 2007 Tack till professor Dan Laksov I samarbete med Kungilga Tekniska Högskolan (KTH) 1 Contents 1 INTRODUKTION 3 1.1 Tacksägelse............................
Läs merMatematisk kommunikation (FMA085 4,5hp) Läsperiod 2, HT 2015
Matematisk kommunikation (FMA085 4,5hp) Läsperiod 2, HT 2015 Kurschef: Niels Chr. Overgaard (NCO), tel. 046-222 85 32, epost nco@maths.lth.se, rum MH:551B. Föreläsningar: NCO Fr 13 15 E:1406 läsvecka 1,
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Boolesk algebra
Föreläsningsantekningar oh övningar till logik mängdlära Boolesk algebra I kursen matematiska metoder, del A (TMA04 behandlar vi i lv logik, mängdlära oh Boolesk algebra I satslogik oh mängdalgebra, två
Läs merLinjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Läs merQuine McCluskys algoritm
Quine McCluskys algoritm Tabellmetod för att systematiskt finna alla primimplikatorer ƒ(a,b,c,d) = m(4,5,6,8,9,0,3) + d(0,7,5) Moment : Finn alla primimplikatorer Steg: Fyll i alla mintermer i kolumn.
Läs merNär vi tänker på någon situation eller händelse där multiplikation
Maria Flodström & Lina Johnsson Framställningen av multiplikation påverkar taluppfattningen Multiplikation i läromedel för årskurs 1 3 Här ger 2011 års Göran Emanuelssonstipendiater sin analys av hur multiplikation
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II
ANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II OLOF BERGVALL Contents Vektorrum och delrum Vektorrum I Vektorrum II 6 Delrum 9 4 Övningar 4 Linjärt oberoende, baser och koordinater 5 Linjärt oberoende 5 Baser 7 Koordinater
Läs mer9. Predikatlogik och mängdlära
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik
Läs merHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matematisk-naturvetenskapliga Tekijä Författare Author Ilkka
Läs merRelationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merI kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går
Läs merRepetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.
Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära
Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,
Läs merAbstract Vi betraktar ringen R = Z 2 [x 1,...,x n ]/(x 2 1 x 1,...,x 2 n x n ). Vi visar att det finns en naturlig 1-1-motsvarighet mellan elementen
ËÂ ÄÎËÌ Æ Á Ê Ì Æ Á Å Ì Å ÌÁÃ Å Ì Å ÌÁËÃ ÁÆËÌÁÌÍÌÁÇÆ Æ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Z 2 [x 1,...,x n ] Ú ÌÓ Ò Ö Ò ¾¼½ ¹ ÆÓ ½ Å Ì Å ÌÁËÃ ÁÆËÌÁÌÍÌÁÇÆ Æ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ½¼ ½ ËÌÇ ÃÀÇÄÅ Ú Ø ÓÒ
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs merLösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,
Läs merDefinition Låt n vara ett positivt heltal. Heltalen a och b sägs vara kongruenta modulo n om n är en faktor i a-b eller med andra ord om. n (a-b).
Block 4 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Kongruens modulo n 2. Z n -- heltalen modulo n 3. Ekvationer modulo n 4. Relationer 5. Funktioner Golv och tak funktionerna
Läs merHurwitz 1, 2, 4, 8-sats
U.U.D.M. Project Report 2013:14 Hurwitz 1, 2, 4, 8-sats Anton Kronosjö Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Seidon Alsaody Juni 2013 Department of Mathematics Uppsala University
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merArbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen 0,1 0,5 0,9 0,2 0,8 0,3 0,8 1,1 1,5 1,6 2,1 2,4 1,1 1,4 2,6 3,2 3,8
Arbetsblad 1:1 Tiondelar på tallinjen 1 Skriv rätt tal på pilarna. 0,1 0,5 0,9 1,2 0 1 2 0,3 0,8 1,1 1,5 0 1 3 1,1 1,6 2,1 2,4 1 2 4 5 0,2 0,8 1,4 2,6 0 1 2 3 1,4 2,6 3,2 3,8 1 2 3 4 6 Sätt ut pilar som
Läs merArbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen 0,9 1,1 0,8. 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4
Arbetsblad 1:1 Tiondelar på tallinjen 1 Skriv rätt tal på pilarna. 0,9 0 1 2 0 1 3 1,1 1 2 4 0,8 0 1 2 3 5 1 2 3 4 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4 0 1 7 Sätt ut pilar som pekar
Läs merArbetsblad 1:1. Tiondelar på tallinjen. 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4
Arbetsblad 1:1 Tiondelar på tallinjen 1 Skriv rätt tal på pilarna. 0 1 2 0 1 3 1 2 4 0 1 2 3 5 1 2 3 4 6 Sätt ut pilar som pekar på talen: A = 0,3 B = 0,8 C = 1,4 0 1 7 Sätt ut pilar som pekar på talen:
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merEXAMENSARBETEN I MATEMATIK
EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Matematiska bevis Beskrivning av olika bevismetoder och hur de används av Åsa Wall Månsson 2005 - No 2 MATEMATISKA INSTITUTIONEN,
Läs merK2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Från positiva heltal till reella tal av Sara Olsson 2017 - No 13 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106
Läs merTAL, RESTER OCH POLYNOM
TAL, RESTER OCH POLYNOM 1 Juliusz Brzezinski Med all säkerhet har Du redan mött olika typer av tal: naturliga, hela, rationella, reella och komplexa. Vad är det som skiljer olika talmängder? Finns det
Läs merEXAMENSARBETEN I MATEMATIK
EXAMENSARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET AKS-algoritmen för att bestämma om ett tal är ett primtal eller inte av Per Westerlund 2005 - No 14 MATEMATISKA INSTITUTIONEN,
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
Läs mer1 Fortsätt talmönstret. (2) 46, 47, 48, 49, 50, Fortsätt talmönstret. (2) 64, 63, 62, 61, 60, 59
Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som för testet i den ursprungliga versionen. I denna version är små förändringar av ingående tal gjorda och någon uppgift är formulerad på annat sätt.
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs mer5 Olga fyller hundra år idag. Vilket år föddes hon? (3) [Du kan muntligt tala om vilket år det är nu. Visa det inte skriftligt.
Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift
Läs merUppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder
Mängder Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Grundbegrepp: Mängder och element Delmängder Operationer på mängder: Union och snitt Differens och komplement
Läs merLektion 1. Förenklingar. Valentina Chapovalova. vårterminen IT-Gymnasiet. Valentina Chapovalova Lektion 1
Lektion 1 Förenklingar Valentina Chapovalova IT-Gymnasiet vårterminen 2011 Valentina Har magisterexamen i matematik Undervisar på mattekollo varje sommar Tycker om brädspel Matematiken förenklar Matematikens
Läs merSätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3
Lektion 7, Flervariabelanalys den februari 000 9 Bestäm Taylorserien till funktionen log( + x + y + xy) i punkten (0, 0) Vi kan faktorisera argumentet till logaritmen och förenkla funktionen log( + x +
Läs merMatematik F Ett försök till kursmaterial
Matematik F Ett försök till kursmaterial Olle the Greatest Donnergymnasiet, Sverige Skrivet i L A TEXε juni 005 Innehåll Inledning 4 Matematisk grammatik 5. Skriva matematik...........................
Läs merSommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 2 juni 2008
Sommarmatte Matematiska Vetenskaper juni 008 Innehåll 1 Aritmetik och Algebra 6 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 6 1.1.1 Naturliga tal.......................... 7 1.1. Negativa
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merUtdrag ur Sommarmatte
Utdrag ur Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 21 augusti 2008 Innehåll 1 Aritmetik och Algebra 3 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 3 1.1.1 Naturliga tal..........................
Läs merOm ordinaltal och kardinaltal
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om ordinaltal och kardinaltal (Ännu ofullständig version) Mängdteorin kan ses som grunden för all matematik Här skall
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs mer1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000
Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift
Läs merOm relationer och algebraiska
Om relationer och algebraiska strukturer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Även i analysen behöver man en del algebraiska begrepp. I den här artikeln definierar vi
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs mer