Matematik F Ett försök till kursmaterial

Transkript

1 Matematik F Ett försök till kursmaterial Olle the Greatest Donnergymnasiet, Sverige Skrivet i L A TEXε juni 005

2 Innehåll Inledning 4 Matematisk grammatik 5. Skriva matematik Läsa matematik Matematikens struktur 8. Axiom Logik Implikation Ekvivalens Bevis Modus ponens Modus tollens Induktionsbevis Abstrakt algebra 5 4. Grundläggande begrepp Paradoxala mängder Bevisföring Mängdlära i analys Avbildningar Surjektion Injektion Bijektion Invers funktion Algebraiska strukturer Grupp Ring Kropp Linjär algebra 7 5. Addition av matriser Multiplikation av matriser Speciella matriser A A T Linjära ekvationssystem Ekvationssystem på matrisform Gauss-Jordan-elimination Konstruktion av A Determinanten

3 5.5. Reducerad matris och cofaktorer adj(a) Translation och rotation med matriser Förflyttning Förstoring Rotation med matriser Linjärkombination Vektorprodukter Dotprodukt Kryssprodukt Egenvärden och egenvektorer Analys Gränsvärden Typer av gränsvärden l Hôpitals regel Implicit derivering Integrationsmetoder Variabelsubstitution Partialintegration Partialbråksuppdelning Byte av koordinatsystem Differentialekvationer (diffar) Första ordningens diffar Andra ordningens diffar Seriers konvergens Rottestet Kvottestet Gränsjämförelsetestet [Limit Comparison Test] Integraltestet Taylors formel Tillämpningar Talteori Kongruens Kongruens modulo p Uppgifter Lösningsförslag Matematisk notation 8 0 Slutord av författaren 84

4 INLEDNING Inledning En sån här bok borde inte ha en inledning, utan en slutledning, men eftersom det är just slutledningar som den ska handla om, är det ju dumt att avslöja slutet i början. Därför är inledningen full av dumheter, som det ovan, så att man ska tappa sugen att läsa den och istället ge sig på det väsentliga, dvs det som kommer efter inledningen. Förhoppningsvis har man redan gjort det, men om man envisas och håller sig kvar här för att se om det kommer nåt av värde längre ner, så kan jag glädja er med att det gör det. Kanske. Det beror ju lite på vad man tycker är värt någonting. Jag har samlat ett antal matematiska områden i en liten skrift som förhoppningsvis kan fungera som studiematerial för en förberedande kurs för högskola/universitet. Jag har, förutom en del kanske abstrakta utsvävningar, försökt hålla mig inom de områden som man oftast stöter på under första terminen på naturvetenskapliga utbildningar som kräver matematik. Egentligen borde jag ju skrivit på engelska också, eftersom majoriteten av litteraturen på universitet och högskolor är skrivna på detta språk. Men å andra sidan kan det ha sina fördelar att ha sett det först på svenska, vem vet? Tanken med detta lilla alster är alltså att man som glad elev i gymnasiet ska få en liten förhandsvisning av vad man kan vänta sig när man börjar läsa matematik på universitet och högskola. Jag har också försökt att knyta ihop de olika kapitlen, eftersom matematik inte är en samling fristående grenar utan ett gytter där allt hamnar överallt. Mängdläran kommer in både i talteorin, matrisalgebran och funktionsläran, matrisalgebran kommer in i geometrin och funktionsläran osv. Hoppas det är läsbart. Olle the Greatest (olle the greatest@donnergymnasiet.se) Donnergymnasiet juni 005 Inte om. 4

5 MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik. Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk regel bör nämnas. Regel. Skriv matematik som om det vore vanlig text. Punkt skall följa efter ett matematiskt uttryck om ny mening börjar direkt efter, komma om situationen så kräver. Viktiga uttryck och formler får en egen rad. Exempel. Om + = 4 och + 4 = 6 blir givetvis 6 =. Alla begriper ju att det blir fel annars. När man till exempel ska förtydliga något i vanlig text, lägger man in ett ord/en mening som en bisats. Detsamma gäller för matematiska uttryck. Jämför strukturerna i exemplet nedan. Exempel. Donners bästa lärare, Olle the Greatest, hatar kaffe. Newton härledde Newtons gravitationslag, F = G Mm r ˆr, vilket är den mest sannolika orsaken till att den bär hans namn. Oändliga decimaltal kan man av utrymmesskäl inte skriva ut. Att de fortsätter illustreras med tre punkter. En talföljd som antingen är oändlig eller har många element vilka inte är praktiska att skriva ut men som följer ett tydligt mönster, t.ex. geometriska eller aritmetiska talföljder, illustreras på samma sätt. Exempel. 7 = 0, Till skillnad från 0, Exempel 4. Heltalen, N = {,,, 4,...}, är uppräkneligt oändliga till antalet. Exempel 5. De hundra första talen, {,,..., 99, 00}, är 00 till antalet. 5

6 . Läsa matematik MATEMATISK GRAMMATIK. Läsa matematik Att skriva är en sak, men att kunna läsa matematik kan vara en konst i sig. Matematiska begrepp har ofta vardagliga motsvarigheter, så att man kan ha en känsla för vad man menar, men det räcker inte för att få en strikt och korrekt bild av vad det handlar om. Om något är kontinuerligt kan man tänka sig vad som menas, även om man pratar om matematiska funktioner. Man kan tänka sig att grafen till funktionen inte har några hack, avbrott eller liknande. Men det är ingen strikt definition. Istället formulerar man sig t.ex. enligt följande. Definition. (Kontinuerlig funktion). f(x) är kontinuerlig, om dvs lim f(x) = f(a) x a ε > 0 δ > 0 sådant att f(x) f(a) < ε då x a < δ. Vi kan försöka uttyda vad som står i den. Första formuleringen är [förhoppningsvis] bekant till viss del, då ju limesbegreppet introducerades redan på C-kursen. Vi vill alltså att funktionens värde när x närmar sig a, skall närma sig f(a). Detta utesluter hack i grafen, eftersom vi ju inte har specificerat talet a, utan det ska gälla för alla reella tal a. Den andra formuleringen kan vi uttyda bit för bit. ε > 0 för varje epsilon, större än noll Vi väljer ett tal, helt godtyckligt och så litet vi vill, bara det inte är noll. Vi kallar detta talet ε. δ > 0 finns [minst ett] delta, större än noll Oavsett hur vi väljer vårt epsilon, så kommer det att finnas ett tal som vi kallar delta, som också är större än noll (även om det kan vara hysteriskt litet) som uppfyller vissa kriterier, vilka är sådant att f(x) f(a) < ε då x a < δ. sådant att avståndet mellan funktionsvärdet för a och funktionsvärdet för varje tal x, som ligger närmre a [på x-axeln] än δ, är mindre än ε. Om vi väljer ett epsilon som är förbaskat litet, finns det trots allt ett delta, som är litet, större eller mindre än epsilon är det ingen som vet, men om x och a ligger närmre varandra än detta delta, kommer f(x) och f(a) att ligga närmre varandra än epsilon. Man kan illustrera detta med en liten figur. 6

7 MATEMATISK GRAMMATIK. Läsa matematik { f(a) ε > f(x) xa <δ Figur : Funktionen f(x), med f(x) f(a) < ε och x a < δ Vi har nu valt ett ε så att f(x) och f(a) ligger närmre varandra på y-axeln än ε, men fortfarande åtskilda, dvs att f(x) f(a) < ε. Då måste ju x och a vara åtskilda, för om de inte vore det, skulle vi ha två y-värden till samma x-värde, och då är inte f(x) en funktion. Alltså måste det finnas ett δ som uppfyller olikheten x a < δ. Ett exempel på detta i praktiken kommer här. Exempel 6. Visa att lim x = 0. x 0 Tag ε > 0. För x > 0 har vi att x 0 = x = x < ε, om vi ser till att välja ε > x. Om vi då låter δ = ε, så medför x 0 = x < δ att x 0 < ε. Alltså är lim x 0 x = 0. Det vi nu visade var i princip alltså att funktionen f(x) = x är kontinuerlig i punkten x = 0. En funktion är ju definierad att ge ett enda y-värde för varje instoppat x-värde 7

8 MATEMATIKENS STRUKTUR Axiom, logik och bevis. Axiom Matematiken består av ett enormt antal satser eller teorem, vilka med logiska slutledningar kunnat bevisas vara sanna, samt ett antal definitioner. Men för att detta ska fungera tillfredsställande, måste man utgå ifrån något, något som kan anses vara sant, men vars sanningsvärde inte går att bevisa. Sådana påståenden kallas axiom, och den moderna matematiken 4 har 5 sådana vilka är uppkallade efter en 800-talsmatematiker. Förenklat kan man formulera dem enligt nedan: Peanos axiom. är ett heltal. Till varje heltal hör ett unikt heltal, som kallas efterföljare. är inte efterföljare till något heltal 4. Olika heltal har olika efterföljare 5. Om A är en mängd 5 heltal, tillhör A, och om det medför att efterföljaren till p tillhör A förutsatt att p gör det, så innehåller A alla heltal. Det är lättare 6 att uttrycka dessa axiom på matematiska: Peanos axiom 7. N. p N, p N. p N, p 4. n, m N, n m, n m 5. Om A N, A, och om p A p A, då ära = N Dessa axiom utgår man alltså ifrån, och konstruerar sedan alla tal, binära operationer (de fyra räknesätten) och algebraiska räkneregler, t.ex. distributiva lagen [a(b + c) = ab + ac]. För att undvika hönan eller ägget 4 Geometrin har egna axiom som kan härledas till Euklides 5 Se avsnitt 4 [Abstrakt algebra] 6 Snyggare, alltså 7 Axiom 5 kallas induktionsaxiomet, se kap... 8

9 MATEMATIKENS STRUKTUR. Logik. Logik En matematisk sats [ett teorem] är antingen på formen eller där både p och q har värdet sant... Implikation Om vi låter p q p q, p : det regnar q : det finns moln på himlen så motsvaras påståendet om det regnar, så finns det moln på himlen av den logiska implikationen p q. Om p är sann, dvs om det regnar, så är q sann. (om inte mina meteorologikunskaper är skeva) Dock kan q vara sann utan att p är det, det kan finnas moln på himlen utan att det regnar. Man säger att p implicerar q eller p medför q... Ekvivalens Om vi låter p : det är den första januari q : det är nyårsdagen så motsvaras påståendet det är den första januari om och endast om det är nyårsdagen av den logiska ekvivalensen p q. Om p är sann, dvs om det är den första januari, så är q sann. Men också om q är sann, dvs om det är nyårsdagen, är p sann. Man säger att p är ekvivalent med q. Fundera över formuleringen, man kan dela upp påståendet: om det är nyårsdagen, så är det den första januari och endast om det är nyårsdagen, så är det den första januari. Det rör sig egentligen om två implikationer, p q p q, och när man bevisar en ekvivalens måste man bevisa båda implikationerna, var och en för sig. 9

10 . Logik MATEMATIKENS STRUKTUR Det är inte alltid tydligt att en matematisk sats är på den ena eller andra formen, så för att hjälpa sig själv kan man formulera om den, även om man inte ska blanda ord och matematiska uttryck. Exempel 7. Sats.. En konstant funktion har derivatan noll Implikation eller ekvivalens? Ja vi säger ju ingenting om vad som kan tänkas hända för andra funktioner än konstanta. Det kan alltså existera icke-konstanta funktioner med derivatan noll. Men om en funktion är konstant, vet vi att derivatan är noll. Vi har en implikation, konstant funktion derivatan noll Övning Formulera nedanstående teorem som en implikation eller ekvivalens. Notera att du inte behöver veta vad teoremet innebär för att kunna göra detta. Formulera dem i termer om p och q, och definiera p respektive q vid sidan om.. d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x). Varje kompakt mängd har en ändlig öppen övertäckning.. För en rätvinklig triangel gäller att, om a och b är kateter och c är hypotenusan, a + b = c, och omvänt. 4. Man kan inte, med penna, passare och ograderad linjal som enda hjälpmedel, till en cirkel med given area konstruera en kvadrat med samma area. 5. R är tät. 0

11 MATEMATIKENS STRUKTUR. Bevis. Bevis En sats kan ofta bevisas på olika sätt, och vissa satser kan vara omöjliga att bevisa på ena sättet, men busenkelt på det andra. Jag ska ge exempel på tre olika varianter... Slutledningsbevis (modus ponens) Jag ska bevisa sats.. Med slutledningsbevis menar jag att vi utgår ifrån det som vi kunde identifiera som vänsterledet i implikationen, dvs vi börjar med en konstant funktion och sedan kommer fram till slutsatsen att högerledet är sant. Observera att vi inte får ta någon specifik funktion, utan en helt godtycklig, konstant funktion f(x) = k. Bevis av sats. Låt f(x) = k = k. = x 0, så f(x) = k x 0. Deriveringsregeln för polynom ( d dx kxn = nkx n ) ger oss att f (x) = 0 kx = 0 Övning Utgå från derivatans definition och. bevisa kedjeregeln. bevisa produktregeln f f(x + h) f(x) (x) = lim, h 0 h d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x). d dx f(x)g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x)... Motsägelsebevis (modus tollens) Ibland kan det vara fördel att utgå från högerledet i implikationen, i sats. handlar det om att derivatan är noll. Man antar helt sonika att högerledet är falskt, dvs att derivatan inte är noll, och försöker komma fram till att funktionen man har deriverat inte kan vara konstant. Förvissa dig om att detta faktiskt innebär att satsen är sann. Sats. var väldigt enkel att bevisa, som synes här ovan. Ett motsägelsebevis hade varit jobbigare, eftersom det finns oändligt många derivator som inte är noll, och vi måste visa att var och en av dem inte kommer från en konstant funktion. Jag ska bevisa en annan sats istället, för att demonstrera tillvägagångssättet.

12 . Bevis MATEMATIKENS STRUKTUR Sats.. / Q. även och Detta är en implikation, löst omformulerad kan man skriva ett tal x är lika med x kan inte skrivas som ett bråk av två heltal, roten ur två är irrationell x = x a b, a, b Z är trevliga formuleringar. 8 Vi ser hur kraftfullt det är med matematiskt språk. Låt oss nu bevisa satsen.. Bevis av sats. Antag att Q, dvs att roten ur två är rationellt, dvs att det finns ett tal x Q, sådant att x =. Då kan vi skriva x = a b, där a och b inte har några gemensamma faktorer (bråket är förkortat så långt det går). Då är x = = a b, dvs b = a. Eftersom vänsterledet nu är delbart med, är även högerledet det. Men om a är delbar med måste även a vara det 9 vilket medför att vi kan skriva a = c och a = (c) = 4c. Vi har alltså att vilket kan förkortas till b = 4c, b = c. Detta medför att även b är delbart med enligt nyss förda resonemang, och kan således skrivas b = d. Men a och b hade inga gemensamma faktorer enligt antagandet. Vi har nått en motsägelse, vilket medför att antagandet [roten ur två går att skriva som ett bråk, dvs x Q : x = ] måste vara falskt. Det finns inget sådant tal x, och satsen är bevisad... Induktionsbevis I vissa lägen kan man få användning av Peanos femte axiom (se kap..), det så kallade induktionsaxiomet. Jag ska bevisa att n = n(n + ). (.) 8 Denna sats tillskrivs Pythagoras, även om han säkert formulerade den annorlunda 9 Det finns en sats som säger detta

13 MATEMATIKENS STRUKTUR. Bevis Vi har en formel som påstås gälla för alla tal, här sägs det att vi kan beräkna summan av alla naturliga tal från till vilket som helst tal n bara genom att använda formeln i högerledet i (.). Induktionsaxiomet säger att om vi kan visa att formeln gäller för n = [eller något annat tal n = b], samt om vi genom att anta att den gäller för något tal n vilket som helst, kan visa att den då gäller även för n +, den också gäller för alla n N [eller alla tal n b]. Förvissa dig om att detta är sant. Bevis av (.) Låt n =. Summan av alla tal från till n när n = är ju. Vi kollar att formeln ger detta: ( + ) = =. Antag nu att formeln gäller för ett tal n. Då har vi att n = n(n + ). Om vi nu lägger till n + till vänsterledet, borde vi [om formeln stämmer] få n + (n + ) = (n + )((n + ) + ) Vi adderar (n + ) till båda leden i (.) och förenklar högerledet n + (n + ) = H.L = = n + n n(n + ) + n + + (n + ) = n(n + ) n(n + ) = n + n + n + Men (n + )(n + ) = n + n +, så då kan vi skriva n + n + = (n + )(n + ) = + = (n + )(n + ). + (n + ), (n + ) = = n + n +. (n + )((n + ) + ) och vi har visat att formeln gäller för n +, givet att den gäller för n. Eftersom den gäller för n =, gäller den för alla heltal. Denna formel kom den tyske matematikern Karl Friedrich Gauss på när han 0 år gammal av en trött lärare fick i uppgift att summera talen från till 00. Läraren trodde nog han skulle få en bra stunds lugn och ro, men Gauss blev klar på ett par minuter genom att se ett mönster och konstruera denna formel.

14 . Bevis MATEMATIKENS STRUKTUR Övning. Bevisa med induktion att d dx xn = nx n (du får använda andra kända deriveringsregler).. Ett triangeltal är ett tal som kan bilda en triangel, t.ex. talet 6, eftersom man kan placera 6 stycken stenkulor i triangelform, en i toppen, två under och tre längst ned. 6 är det tredje triangeltalet. Konstruera en formel för det n : te triangeltalet, och bevisa den med induktion.. Visa med induktion att n N. n m m = (n ) n+ + m=0 4. Visa, med ett induktivt resonemang 0, att om 0 < a 0 <, och a n+ ges rekursivt av formeln a n+ = a n a n n N. (Tips: kvadratkomplettera högerledet i for- så är 0 < a n < meln) 5. Bevisa med induktion att n N. n m= m = n + n + n 6 0 Du kanske inte kan räkna som i de andra uppgifterna 4

15 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4 Mängdlära 4. Grundläggande begrepp Mängdlära är ett viktigt område, bland annat för att man definierar räknesätten, algebraiska räkneregler och liknande. Man använder sig av begreppet mängd, och en mängd är egentligen bara en samling objekt. Exempel 8. A = {, 4, 5} är en mängd, där { och } kallas mängdklamrar, och där, 4 och 5 är element i mängden A. Betrakta mängderna X = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (4.) A = {, 4, 5}, (4.) B = {,, 7}, (4.) C = {4, 5}, (4.4) D = {,,, 4, 6}, (4.5) = {}, (4.6) där X är Universalmängden (i vilken alla andra element i sammanhanget ligger och kanske ännu fler) och kallas Tomma mängden och saknar element. Övning Varför är det så kallt i Tomma mängden? Mängder kan relateras till varandra, och man kan skapa nya mängder utifrån de man har från början. Det sker med hjälp av speciella symboler vilka vi ska ta en titt på nu. C A (C är en delmängd till A). (4.7) Detta betyder bara att samtliga element som finns i C (4 och 5) också finns i A. Detta kan lika gärna skrivas A C, men då uttalar man det A omsluter C, vilket i och för sig betyder samma sak. Jämför x < y och y > x. A B = {,, 4, 5, 7} (unionen av A och B). (4.8) Unionen av två mängder är en mängd vars element är elementen i A och B. Notera att även om både A och B har t.ex. som element, kommer unionen av de två mängderna bara att innehålla en gång. B D = {, } (snittet av B och D). (4.9) Snittet mellan B och D, är mängden vars element är de som är gemensamma för B och D. A \ C = {} (A minus C). (4.0) Det finns inga element 5

16 4. Grundläggande begrepp 4 ABSTRAKT ALGEBRA Notera vikten av ordning: C \ A =, (4.) De element som finns i C men ej i A, är noll till antalet. D = {5, 7, 8, 9, 0} (komplementet till D). (4.) Komplementet till D är de element som inte ligger i D, men i Universalmängden. Kan således även skrivas X \ D. Jämför de ovanstående (snitt, union etc) med de logiska operationer som man använder när man t.ex. söker på internet, AND, OR, NOT etc. Men om man skulle vilja konstruera en egen mängd helt efter behag? Låt oss t.ex. skapa mängden av irrationella tal. Innan vi gör det ska vi införa ett par symboler till som har speciell betydelse: N={,,, 4,... }, de naturliga talen. Kallas också heltalen. Z={..., -, -, 0,,,... }, de hela talen. Q, de rationella talen, dvs de tal som kan skrivas som en kvot av två heltal. R, de reella talen. Utgörs av de rationella och de irrationella talen. C, de komplexa talen. Utgörs av de reella och de imaginära talen. Vi ser att N Z Q R C. Vi kan nu skriva mängden av rationella tal på ett sätt som ger oss tillfälle att stifta bekantskap med mängdbyggaren. Exempel 9. Q = {x : x = a, a, b Z, b 0}. (4.) b Detta utläses: Q är mängden av de tal x, sådana att de kan skrivas som en kvot mellan två hela tal. Mängdbyggaren är symbolerna {:}, dvs mängdklamrar och tecknet : som utläses sådana att eller vilka uppfyller eller nåt i den stilen, helt enligt tycke, smak, och mängdens utseende. uttalas tillhör, och anger att de tal som står till vänster finns i den mängd som står till höger. Exempel 0. a R utläses a tillhör R och betyder att a är ett reellt tal. Istället för att skriva upp själva mängden kan man uttrycka den genom att nämna egenskaperna hos de element som ingår, som vi gör i exempel. N infördes redan i kapitel. 6

17 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4. Grundläggande begrepp Exempel. x : x / Q, (4.4) vilket betyder det finns [minst ett] tal x som inte finns i Q, dvs det finns tal som inte är rationella (de irrationella, och de imaginära). Vi inser nu att de irrationella talen enkelt kan skrivas som och att mängden beskriven i (4.4) kan skrivas Övning R \ Q, (4.5) R \ Q C \ R. (4.6). Skriv mängden av jämna kvadrater {, 4, 9, 6, 5,... } på minst ett sätt med hjälp av mängdbyggaren.. Skriv mängden av komplexa tal C på minst ett sätt med hjälp av mängdbyggaren.. Vad är D för mängd? N 6 = {,,, 4, 5, 6}. D = {(x, y) : x, y N 6 }. Ge exempel på ett försök som har denna mängd som utfallsrum. Utfallsrum är den totala mängden av alla tänkbara utfall vid ett slumpförsök eller en statistisk undersökning, t.ex. om jag plockar en veckodag slumpmässigt är mitt utfallsrum mängden X = {måndag, tisdag, onsdag, torsdag, fredag, lördag, söndag}. Mängden D kan också skrivas som N 6 N 6, den Cartesiska produkten av N 6 och N 6 (Jämför planet, R R, vilket ger koordinaterna (x, y) där x, y R). 4. Två mängder kallas disjunkta (eng disjoint) om snittet är tomt (A B = ). Förklara i ord vad detta innebär. Ge ett exempel på två disjunkta mängder. Vad är B för mängd om (B B) (B B) =? 5. Skriv mängden av primtal med hjälp av mängdbyggaren. a b betyder att = k, k, a, b N b a 6. Vilken mängd avses? (R \ N) (Z \ {0}) 7

18 4. Paradoxala mängder 4 ABSTRAKT ALGEBRA 7. Betrakta mängden av alla intervall I n = {x R : a n x < b n }, där a n och b n är reella och < a n < 0, b n. Bestäm snittet och unionen av alla mängderna, dvs finn I n = I 0 I I... n=0 och I n = I 0 I I... n=0 8. Låt E och F vara delmängder av universalmängden M. F har element, E har 7 element, E F har element, och (E F) \ (E F) har 6 element. Hur många element har E? 4. Paradoxala mängder Mängdbegreppet är inte helt trivialt alla gånger. Betrakta mängden M = {A : A A}, (4.7) dvs mängden av mängder som inte har sig själv som element. Frågan är: är det sant att M M? Om M M, så har ju M sig själv som element. Men då kan den ju inte ingå i M... Det är en matematisk variant på utsagan jag ljuger, den utesluter sig själv på ett mycket trevligt men irriterande vis. En annan variant i samma linje är barberaren i en by, han rakar bara de som inte rakar sig själva. Men vem ser då till att barberaren får sin rakning? Det är kanske enklare att greppa problematiken om man formulerar det i ord, men det blir mer allmängiltigt om man uttrycker det enligt (4.7) 8

19 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4. Bevisföring 4. Att bevisa satser i mängdlära Satser i mänglära är ofta av typen mängden A är lika med mängden B, där A och B har olika trevliga egenskaper. Om man ska visa en sådan likhet brukar man först visa att A är en delmängd av B, och sedan att B är en delmängd av A, ungefär som att x 4 och x 4 innebär att x = 4. Jag ska visa genom att bevisa den första av de Morgans lagar, Sats 4. (de Morgans lag). (B C) = B C Bevis. Låt x (B C). Då gäller att x / (B C), dvs x / B och x / C. Men detta betyder att x B och x C, således även att x ( B C). Varje element som finns i V.L. finns alltså i H.L., och vi har visat att (B C) ( B C) Ett liknande resonemang visar det omvända, och vi har likhet. Och på engelska bara för sakens skull... Theorem 4. (de Morgan s law). (B C) = B C Proof. Let x (B C). Then x / (B C), i.e. x / B and x / C. But then x B and x C, thus x ( B C). Since x was arbitrary, (B C) ( B C). The inverse inclusion is shown in a similar manner and is left as an exercise for the reader. Notera kraften i orden then och thus. De enda ord 4 man behöver kunna. Ett exempel kan klargöra vad lagen innebär: Exempel. B = {,, 5, 8, 9, 0}, (4.8) C = {,, 5, 7, 9}, (4.9) X = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}(universalmängden). (4.0) B C = {,,, 5, 7, 8, 9, 0}, dvs (B C) = X \ B C = {4, 6}. B = {, 4, 6, 7} och C = {, 4, 6, 8, 0}, så B C = {4, 6}. Alltså (B C) = B C. Detta är alltså en ekvivalens (Se..) 4 Engelska ord, alltså 9

20 4.4 Mängdlära i analys 4 ABSTRAKT ALGEBRA Övning. Bevisa den andra inklusionen i de Morgans första lag.. de Morgans andra lag lyder (B C) = B C. Försök bevisa den enligt samma resonemang som i mitt bevis av den första lagen.. Bevisa de distributiva lagarna (jfr a(b + c) = ab + ac) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4.4 Mängdlära i analys Man brukar inleda böcker i analys med att definiera mängden N, sedan Z, Q och R, för att avsluta med C. Sedan definierar man binära operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division) i dessa mängder. Hade man inte dessa mängder med sina operationer skulle man ju inte kunna göra mycket inom matematiken. Dock har man inte använt själva mängdbegreppet mer än ett par hundra år, så man kan tycka att det som gick bra förut borde gå bra även i framtiden, men mängdläran har, förutom strukturerat upp matematiken, även öppnat nya dörrar och vidgat matematiken på vitt skilda områden. Om du tänker efter har vi redan ägnat oss åt mängder, när vi studerat just funktioner. Värdemängd och definitionsmängd är begrepp som du förhoppningsvis känner igen. 5 Definitionsmängden brukar vara ett eller flera intervall på x-axeln, och skrivas t.ex. 5 < x < 4, men vanligast är att skriva det (-5,4), då man kallar det det öppna intervallet -5 till 4, öppet eftersom det inte har någon gräns (man kan komma hur nära 4 som helst). Det kan kännas förvirrande (det ser ju ut som en koordinat) så det gäller att man är tydlig när man beskriver vad man gör 6. På samma sätt säger man att 5 x 4 är det slutna intervallet -5 till 4 och skrivs [-5,4]. Hakparentes innebär alltså att gränstalen är med i mängden. Nu kan vi alltså skriva [-5,4) och (-5,4] då vi menar 5 x < 4 och 5 < x 4. Dessa kallas halvöppna intervall 7. 5 Se även kap En variant är ]-5,4[, vilket minimerar risken för förväxling 7 Andra varianter är [-5,4[ och ]-5,4] 0

21 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.4 Mängdlära i analys Om vi nu ska sätta samman två funktioner med olika definitionsmängder, kan den sammansatta funktionens definitionsmängd bli väldigt olik de båda andra. Exempel. Betrakta funktionerna f(x) = x och g(x) = x+. De har definitionsmängderna A = (, 0) (0, ) och B = (, ) (, ) eftersom nämnaren inte kan vara noll. Om vi nu bildar f(x) + g(x), blir definitionsmängden istället C = A B = (, ) (, 0) (0, ). f(x) g(x) = x x+ g(x) f(x) = x+ x har definitionsmängden A. har definitionsmängd B. f(g(x)) = x+ g(f(x)) = x + = = x + har definitionsmängden R. x +x har definitionsmängden (, ) (, ), osv. Övning Beskriv definitionsmängden och värdemängden till nedanstående funktioners sammansättningar enligt. f(x) = lnx, g(x) = x. f(x) = sin x, g(x) = x. f(x) = e x, g(x) = x f(x) g(x), g(x), f(g(x)), g(f(x)). f(x)

22 4.5 Avbildningar 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.5 Avbildningar Detta avsnitt behandlar avbildningar från en mängd till en annan. Vissa avbildningar uppfyller kriterier vilket gör att de kan gå under benämningen funktioner, och det är dessa vi ska titta på här. Definition 4.. En funktion 8 är en avbildning från A till B, sådan att bilden av ett element i A utgörs av ett element i B. Jag illustrerar med två exempel: Exempel 4. x x är en avbildning från R till R +. Den är även en funktion. Exempel 5. x ± x är en avbildning från R + till R. Den är inte en funktion. Vi har i exemplen grundmängden A och bildmängden B, där definitionsmängden D = A och värdemängden V B Surjektion En funktion från A till B sägs vara surjektiv (en surjektion från A till B) om alla element i B är en avbildning av något element i A. Man brukar säga att avbildningen är på. För en surjektiv avbildning gäller således att V = B Injektion En funktion från A till B sägs vara injektiv (en injektion från A till B) om följande gäller: A x y B, A x y B x = x. Man brukar säga att avbildningen är -, ett-ett, eller inverterbar Bijektion En funktion från A till B sägs vara bijektiv (en bijektion från A till B) om den både är surjektiv och injektiv. Man brukar säga att funktionen är - och på. Låt oss titta på de tre typerna utgående från ett exempel. Exempel 6. a R, a. Visa att funktionen f : x x avbildar hela A = {x R : x a} på B = {y R : 0 y }. Avgör för olika val av a ifall f är en surjektion, injektion eller bijektion. Om x A så är x vilket medför att 0 x, alltså y B oavsett hur a väljs. Låt oss titta på olika val av a. 8 Jämför fotnoten på sid 7

23 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.5 Avbildningar a < 0 x A x 0, så 0 / V. V B så här är funktionen inte surjektiv a 0 x A innebär att åtminstone x 0, så 0 y, dvs V = B och funktionen är surjektiv. a 0 x A medför att x 0, så 0 y. Dessutom finns det bara ett x A till varje y B, så funktionen är både surjektiv och injektiv, dvs bijektiv. a > 0 Om x = a och x = a gäller ju att f(x ) = f(x ) = y B. Funktionen är således inte injektiv, även om den är surjektiv. Om vi summerar ser vi alltså att funktionen f : x x är Injektiv, men ej surjektiv, då a < 0. Bijektiv, då a = 0. Surjektiv, men ej injektiv, då 0 < a Invers funktion Vi såg i kap 4.5. att en funktion är inverterbar om den är injektiv. Vårt exempel ovan visar då på att en given funktion kan vara inverterbar i ett visst intervall, även om den inte är det överallt. Den ovan angivna funktionen är inverterbar i intervallet x 0, då detta ger oss bilden 0 y. Vår inversa funktion f (y) = y ger oss tillbaka exakt det x som vi utgick ifrån. Låt oss ge en mer generell bild av detta. Låt f : E F vara en funktion som avbildar E på F. Låt G E vara den mängd vars element kan avbildas på F med f. Om E G, är f ej inverterbar. Exempel 7. Låt f : x x vara en avbildning från E till F. E = [, ] ger oss f(e) = F = [0, 4]. f (F) = G = [, ] E, så f är inte en inverterbar funktion, även om vi kan skapa den inversa bilden av F, som ju är G. Övning Avgör om funktionen f(x) = sin x är surjektiv, injektiv eller bijektiv, lokalt eller överallt. Om den är injektiv, vad är dess invers?

24 4.6 Algebraiska strukturer 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.6 Algebraiska strukturer Man kan till en mängd koppla en binär operation, som verkar mellan elementen i mängden. Ett exempel är t.ex. N tillsammans med, vilket skrivs {N, }, där vi kan definiera den binära operationen 9 så att den passar in i vår gamla hederliga uppfattning om hur multiplikation går till. Om operationen uppfyller vissa kriterier i mängden, kan man klassificera dessa strukturer Grupp Definition 4.. En grupp är en mängd tillsammans med en operation, {G, }, vilka uppfyller följande kriterier:. a, b G a b G, G är sluten under.. (a b) c = a (b c), är associativ.. I : a G I a = a I = a, G har en identitet. 4. a G b G : a b = b a = I, varje element i G har en invers. Om talet noll ingår i mängden, kan den utgöra ett undantag från kriterium 4. Definition 4.. Z 5 = {0,,,, 4}, Z Z 5 mod 5 Exempel 8. {Z 5, }, där är vanlig multiplikation, är en grupp. Jag visar hur den uppfyller kriterierna för grupp och gör ju inget överraskande, så vi tittar på de tre övriga talen. = 5 0 mod 5, 4 = 8 mod 5, 4 = mod 5, så det ser ut som att produkterna av element i Z 5 också är element i Z 5, dvs Z 5 är sluten under multiplikation.. ( ) 4 = mod 5 = 4, ( 4) = mod 5 = 4, och vi kan visa detsamma för övriga element om vi vill.. är ju givetvis identiteten i detta exempel har ingen invers, men vi kan hitta de övriga talens inverser. har sig själv som invers. = 6 mod 5, så =, och =. 4 4 = 6 mod 5, så 4 har sig själv som invers. 9 Binär eftersom den verkar mellan två element i taget 0 Vad gäller moduloräkning, se kap. 7. 4

25 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.6 Algebraiska strukturer Andra exempel på grupper är ortogonala gruppen [se kap 5.6.], mängden av linjära translationer [se kap 5.6] med addition, Q med multiplikation etc. Märk väl skillnaden mellan additiv och multiplikativ identitet respektive invers: Identitet: Genom att operera på element med identiteten, ska vi erhålla samma element som vi började med. Multiplikation: Talet, eftersom a = a = a. Addition: Talet 0, eftersom 0 + a = a + 0 = a. Invers: Genom att operera på element med inversen, ska vi erhålla identiteten. Multiplikation: Talet a = a, eftersom a a = a a =. Addition: Talet a, eftersom a + ( a) = ( a) + a = 0. Jämför med grupperna för matrismultiplikation respektive addition, vilken har lite speciella identiteter och inverser (Se kap 5.. till 5..). Övning. Visa att {Q, } är en grupp, om är vanlig multiplikation.. Visa att en analog urtavla med addition, är en grupp. Hur borde man benämna den?. Gruppen Z 5 benämns den cykliska gruppen Z 5, vilken kan beskriva rotationer av en femhörning. Motivera detta med ett exempel. 5

26 4.6 Algebraiska strukturer 4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.6. Ring Definition 4.4. En ring är en mängd G och två binära operationer + och, vanligen tolkade som addition och multiplikation, vilka uppfyller följande kriterier:. a, b, c G, (a + b) + c = a + (b + c), additiv associativitet.. a, b G, a + b = b + a, additiv kommutativitet.. 0 G : a G, 0 + a = a + 0 = a, additiv identitet. 4. a G, ( a) G : a + ( a) = ( a) + a = 0, additiv invers. 5. a, b, c G, (a b) c = a (b c), multiplikativ associativitet. 6. a, b, c G, a (b + c) = (a b) + (a c) och (b + c) a = (b a) + (c a), additiv och multiplikativ distributivitet. Övning Ett exempel på en ring är Z[ ] = {a + b + c 4, a, b, c Z}. Visa att Z[ ] uppfyller kriterierna för en ring Kropp Definition 4.5. En kropp är en mängd och två binära operationer som båda uppfyller krav på kommutativitet associativitet distributivitet identitet invers Övning Diskutera skillnaden mellan en ring och en kropp. 6

27 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering och datavetenskap, är matrisalgebran. Algebra är ju bekant, den vi sysslat med i skolan är ju t.ex. förenkling av uttryck, så som att (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4, vilket som nu är enklare av de två... Man det behöver inte gå till på det sätt som vi är vana vid. Hittills har vi lekt med kommutativ algebra, dvs ordningen har ingen betydelse, a + b = b + a. Matrisalgebra, som vi snart ska bekanta oss med, är bara kommutativ i addition, medan vi har att det mycket väl kan vara så att A B B A, eller att multiplikation inte ens är definierad, om A och B är två matriser. En matris är inget annat än en uppställning av tal i rader och kolumner. En m n-matris (matris av dimension m n) har m rader och n kolumner, så en 4 -matris kan se ut som 0 a 0, 4 5 i Bengt Som du ser spelar det ingen roll vilka element det är i matrisen, om det finns flera rader som liknar varandra, eller om det är komplexa tal eller bokstäver eller vad som helst. Vi är ju givetvis intresserade av matriser med reella tal som element. Räkneregler för matriser är lite mystiska, och jag visar här kort hur det går till. 5. Addition av matriser En matrisaddition kan bara ske om matriserna har samma dimension, och då adderar man helt enkelt de element som står på samma plats. Subtraktion sker på samma vis. Exempel = = Där den är definierad I alla fall i den här kursen 7

28 5. Multiplikation av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5. Multiplikation av matriser En matris kan multipliceras med en skalär genom att man multiplicerar alla element med samma skalär. Multiplikation mellan två matriser är lite mer invecklat. Om den ena (vänstra som jag kommer att kalla den) matrisen är av dimension m n måste den andra (högra) vara av dimension n r för att man överhuvudtaget ska kunna multiplicera dem, annars är produkten ej definierad. Man multiplicerar den ena (den vänstra, här kommer icke-kommutativiteten in) matrisens första element i första raden med den andra (den högra) matrisens första element i första kolumnen. Sedan multiplicerar man den vänstra matrisens andra element i första raden med den högra matrisens andra element i den första kolumnen, osv. När man gjort det med en hel rad, adderar man alla resultat och sätter i övre vänstra hörnet på resultatmatrisen. Jag illustrerar detta första element med ett litet exempel ( ) a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 Notera den smidiga notationen a ij för det element som står i rad i och kolumn j. Nästa element i första raden blir nu (har räknat ut det första) a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 Notera också att slutmatrisen inte nödvändigtvis har samma dimension som de man började med heller. Övning. Beräkna matrisprodukten ovan.. Beräkna nedanstående matrismultiplikation

29 5 LINJÄR ALGEBRA 5. Speciella matriser 5. Speciella matriser Vi har ett par matriser som är värda lite extra uppmärksamhet. Det är dels den som kallas enhetsmatrisen, dels nollmatrisen och slutligen den inversa matrisen. Ingen av dessa är egentligen en enda matris, utan ett oändligt antal, men de har speciella egenskaper och dessa ska vi nu titta på. 5.. Enhetsmatrisen Denna matris fungerar som talet i vanlig matematik (usch, linjär algebra är lika vanlig som all annan matematik, men ni fattar nog vad jag menar), dvs resultatet av en matris som multipliceras med enhetsmatrisen är samma matris som man började med, precis som att a = a. Den är konstruerad så att den är kvadratisk, dvs har lika många rader som kolumner, med ettor längs diagonalen och nollor överallt annars. Ex Den betecknas [en etta med fet stil] eller I [identitetsmatrisen] Övning Visa att enhetsmatrisen fungerar som en etta vid multiplikation med godtycklig matris. Välj dimension själv. Multiplicera både från höger och vänster. 5.. Nollmatrisen Denna matris fungerar som talet 0 i (hu, nu kommer det igen) vanlig matematik, och är en matris full med nollor. Den kan ha vilken dimension som helst och vad det blir för resultat när man multiplicerar en matris med den kan man ju räkna ut med förbundna ögon. Ett exempel: [ Den betecknas 0 (en nolla med fet stil) 5.. Den inversa matrisen Den inversa matrisen till en matris A är den matris A - som gör att. ]. A A - = A - A =. Det är samma princip som att är inversen till och ju också kan skrivas som, ty =. Notera att bara kvadratiska matriser har en invers. 9

30 5. Speciella matriser 5 LINJÄR ALGEBRA Nu kanske man kan önska att det bara är att ta inversen av varje element i matrisen A och tadaa, A - är skapad! Men riktigt så enkelt är det ju inte, eftersom multiplikationen av matriser inte ser ut som man är van vid med vanliga tal. För en -matris är dock inversen relativt enkel att beräkna. Om a, b, c och d är reella tal, ad bc, [ ] a b A = c d så är Övning A - = [ ad bc d b c a ].. Visa att A A - = A - A = med ovanstående matriser.. Förklara varför endast kvadratiska matriser kan ha en invers Man får jobba mycket mer Med större matriser än får man jobba mycket mer om man vill hitta inversen. Men eftersom vi tycker det är kul att jobba med matematik ska vi göra det lite senare. (Se kap. 5.5) 5..4 Den transponerade matrisen Den transponerade matrisen till en matris A skrivs A T och är bara ett byte rad-kolumn. [ ] a b c A =, d e f A T = a d b e. c f Denna kommer vi att använda när vi ska ta fram invers matris till större matriser. Notera att dimensionen ändras så även om A B är definierad, är kanske inte A T B det. 0

31 5 LINJÄR ALGEBRA 5.4 Linjära ekvationssystem 5.4 Att lösa ekvationssystem med matriser Man kan använda sig av den inversa matrisen för att lösa ett ekvationssystem. Det blir ganska jobbigt om man har en stor matris och inte råkar sitta bredvid en dator med ett matematikprogram. Då finns det en trevlig metod som heter Gauss-Jordan-elimination, men först måste vi ju kunna skriva ekvationssystem på matrisform Att beskriva ett ekvationssystem med en matris Ekvationssystemet x + y = 5 x + y = 7 kan beskrivas dels som en enda matris, [ 5 B = 7 ], (5.) dels som matrismultiplikationen [ Ax = Övning Visa att (5.) ger (5.). ] [ x y ] [ = 5 7 ]. (5.) Idén med det senare är att lösningen (dvs vad [ x och ] y är som löser båda ekvationerna) ges av vektorn (kolonnmatrisen). Precis som vanligt när vi x y löser ekvationer vill vi då helt enkelt ha denna matris ensam på ena sidan av likhetstecknet, och ett svar på andra sidan, dvs nåt i stil med [ ] [ ] x a =, y b där a och b alltså är lösningen (x = a, y = b). Detta kan vi få om vi lyckas bli av med matrisen till vänster, i exemplet den som ser ut som (jag kallar den A) [ ] A =. A - är det vi söker, eftersom vi kan multiplicera från vänster enligt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A - x x x x = A y - A = =. y y y

32 5.4 Linjära ekvationssystem 5 LINJÄR ALGEBRA Högerledet i ekvationen [ ] måste [ ] ju också multipliceras med A -, i detta fall får vi alltså att A - 5 a = enligt tidigare definition på a och b. 7 b Således måste vi ha ett sätt att hitta inversen till en godtycklig matris. Detta ska vi göra lite senare. Övning Det är bara kvadratiska matriser som har invers, hur kan vi veta att ett ekvationssystem beskrivet på det här viset ger en kvadratisk matris? Om vi istället tittar på den första matrisen B, så skulle ju en lösning till ekvationssystemet ges av [ ] 0 a, 0 b dvs { x + 0 y = a 0 x + y = b, eftersom ju den vänstra kolumnen motsvarar [ x-koefficienterna, ] och[ den mittersta ] 5 0 a y-koefficienterna. Frågan är, hur kan vi få att bli? 7 0 b Svaret på den senare frågan är Gauss-Jordan-elimination. Vi får dessutom, som en bonus, reda på den inversa matrisen till vår ekvationssystemmatris. Vi har i och för sig ingen nytta av den för att lösa ekvationssystemet, eftersom vi ju just har löst det Gauss-Jordan-elimination Det finns vissa regler för hur man får behandla matriserna.. Man får byta plats på rader hur som helst. Man får multiplicera en rad med vilket tal som helst. Man får addera eller subtrahera en rad med en annan rad Varje rad motsvarar ju en ekvation i ett ekvationssystem, och dessa operationer brukar vi ju göra när vi försöker lösa systemet. Hitta den kolumn som står längst till vänster som inte innehåller enbart nollor. Se till att det inte är en nolla längst upp (byt annars plats på översta raden med någon annan) Om det inte är en etta [ längst till vänster ] i första raden, utan ett annat tal a 5 (i vårt exempel med är det ju en trea), multiplicerar du raden 7 med a. [ 5 7 ] [ = 5 7 ].

33 5 LINJÄR ALGEBRA 5.4 Linjära ekvationssystem Du har nu en etta längst till vänster i den översta raden. Se nu till att alla andra rader har noll i denna kolumn. I vårt exempel fixar vi ju det genom att multiplicera första raden med, och addera till den andra. Med matriser ser det ut som [ ] + [ 5 7 ] [ = Nu vill vi ju ha en etta i nästa rads vänstraste kolumn som inte innehåller noll, och då får vi multiplicera den raden med a, och i vårt fall är ju a = 7 så a = 7. 7 [ ] [ = Så håller man på, tills man har ettor i fallande ordning från vänster till höger, och nollor under ettorna. Nu hade vi ju bara två ekvationer, vilket ger oss två rader, så vi är klara. Det som kvarstår är nu att få nollor även ovanför ettorna, och då jobbar vi oss uppåt istället för neråt, genom att addera olika multipler av en rad till raderna ovanför. I vårt exempel vill vi alltså få bort från mitten av övre raden. Då multiplicerar vi ju andra raden med, och adderar den sedan till den första: [ ] [ ] [ ] = Vi har nu fått vår lösning, x = 57, y = 7, vilket ju enkelt verifieras genom att stoppa in dem i de ursprungliga ekvationerna. När man fått upp flytet går det ganska snabbt att lösa ekvationssystem på det här viset, och mycket snabbare än om man ska joxa med det på gammalt klassiskt vis även om det väsentligen är samma sak. Vi har, som synes, transformerat vår kvadratiska matris [ ] till en enhetsmatris. Om man då utgår från en enhetsmatris och gör samma operationer, kommer inversen till den ursprungliga matrisen att erhållas. Vi testar. Våra operationer är alltså: Multiplicera första raden med, multiplicera den med och addera till den andra, Multiplicera den andra med 7, multiplicera den andra med och addera till den första. [ 0 0 ] [ > 0 0 ] [ > 0 ] [ > ]. ]. ] [ > ].

34 5.4 Linjära ekvationssystem 5 LINJÄR ALGEBRA Övning. Verifiera att vi fann inversen alldeles här ovan Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordan-elimination: { x + 6y =. 5x y = x + y 5z =. 4x y z = 5 6x + y + z = 4 x + x + x = x 4. + x 4 = x + x = 6 x + x 4 = 7 5. Beräkna inversen till Verifiera lösningarna. 4) ger även lösningen till övning 8, sid 8, om x är antalet element i E F, etc. Formulera gärna lösningen i denna form. 4

35 5 LINJÄR ALGEBRA 5.5 Konstruktion av A Att hitta inversa matrisen till en given matris Om man inte vill ägna sig åt Gauss-Jordan-elimination, finns det andra tekniker för att hitta inversen till en given matris. En hel del arbete krävs, men som tur är finns det datorprogram som tar fram dem (och miniräknare). Vi ska nu titta på hur vi gör med en -matris, vilket inte bara är för skojs skull utan för att den bl.a. kan beskriva ett tredimensionellt koordinatsystem och därför förekommer både här och där Determinanten Ett mycket vanligt begrepp inom linjär algebra är determinant. Matrisen [ ] a a A = a a har determinanten det(a) = a a a a = a a a a. Man kan säga att man går längs diagonalerna, och tar skillnaden mellan summan av produkterna av elementen från övre vänstra till nedre högra, och från övre högra till nedre vänstra. Nu har vi ju bara en diagonal åt respektive håll, men en -matris ger en tydligare bild av vad som avses. [denna utbyggnadsprocess funkar bara på matriser] A = a a a a a a, a a a om man bygger ut matrisen lite, så att säga a a a a a det(a) = a a a a a = a a a + a a a + a a a a a +a a a a a a a a a a a a. Determinanten till en matris är alltså bara ett tal. Har vi större matriser går vi tillväga på nästan samma sätt, men vi låter det vara till nån annan gång. Om determinanten till en matris är noll, är matrisen inte inverterbar! En kanske inte förklaring men i alla fall en motivering till detta kommer nedan. Nånting ska ni väl ha kvar att lära er på högskolan? 5

36 5.5 Konstruktion av A - 5 LINJÄR ALGEBRA 5.5. Reducerad matris och cofaktorer Om man har en n n-matris, låt oss för enkelhetens skull använda en - matris hädanefter, så har varje element i den något som kallas den reducerade matrisen till det elementet. Matrisen A = a a a a a a a a a har till elementet a den reducerade matrisen R, vilken fås genom att stryka alla element i A som står i samma kolumn eller samma rad som a. [ ] a a R =. a a det(r ) betecknas M och kallas på engelska the minor of a. Cofaktorn c ij till elementet a ij är c ij = ( ) i+j M ij Den transponerade cofaktormatrisen adj(a) och A - Om man skapar en matris, vars element utgörs av cofaktorerna till elementen i A, får man cofaktormatrisen till A; c c c C = c c c. c c c Om man nu transponerar denna matris (se kap. 5..4), får man C T = adj(a) = c c c c c c c c c på engelska the adjoint of A, därav förkortningen. Vad ska man med detta till? Jo... A - = det(a) adj(a). Detta gäller för alla matriser, så länge determinanten inte är noll, för då bryter man ju mot det elfte budet 4. Övning Lös ekvationssystemen i övningarna och på sidan 4 genom inversa matris-metoden som beskrevs i kap Du skall icke dividera med noll, 6

37 5 LINJÄR ALGEBRA 5.6 Translation och rotation med matriser 5.6 Translation och rotation med matriser Matriser kan användas till att flytta punkter, förstora, rotera och liknande. Jag tänkte visa på några sådana transformationer, men först måste vi ju kunna beskriva punkter med hjälp av matriser. Jag ger ett tvådimensionellt exempel, hur det blir i fler dimensioner kan du nog filura ut. En punkt i planet R kan beskrivas med en vektor, som utgår från origo. Denna vektor är en x -matris. Exempel 0. Punkten [ ](, ) representeras av vektorn [, ], vilken på matrisform skrivs 5 V =. Vi kan illustrera detta i ett koordinatsystem Förflyttning Om vi nu vill flytta denna punkt någon annanstans, adderar vi bara en vektor till den. Detta är inget annat än vanlig vektoraddition, bara att den ser ut annorlunda än vad man kanske är van vid. Exempel. Jag vill flytta min punkt (,) ett steg i x-led och två steg i y-led. Jag utför matrisadditionen [ ] [ ] [ ] 4 + =. Vi ritar in det i koordinatsystemet och ser hur det blev Jämför lösningsmatrisen till ett ekvationssystem, linjerna skär varandra i en punkt. Se kap