Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.

Transkript

1 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., , 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination, som är en systematisk metod att lösa linjära ekvationssystem. Ekvationssystem med få ekvationer och obekanta kan man ibland lösa på andra sätt också, men du bör trots detta bemöda dig att använda eliminationsmetoden när du löser övningarna. Det finns flera skäl till det: Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder. Gausselimination kan programmeras i en dator och är den metod som man i praktiken använder i datorer. Det finns vissa aspekter hos Gausselimination som är viktiga i den allmänna teorin för linjära ekvationssystem. Försumma alltså inte det här tillfället att lära dig Gausselimination! Metoden är uppkallad efter den store tyske matematikern Karl Friedrich Gauss ( I Exempel 4. och 4.5 löses två ekvationssystem som båda har oändligt många lösningar. I det förra reduceras systemet till en enda ekvation 2x y = 4. Här kan man välja antingen x eller y fritt och sedan är den andra obekanta bestämd vi har ju y = 2x 4 eller alternativt x = (y + 4/2. Man brukar redovisa lösningen så att man tilldelar t ex x ett värde x = r och får då y = 2r 4. Lösningen ges av formeln (x, y = (r, 2r 4, där den s k parametern r är vilket reellt tal som helst. Det finns oändligt många sätt att införa en parameter. Man kan exempelvis istället sätta y = s och får då x = (s + 4/2, varvid lösningen skrivs (x, y = ((s + 4/2, s, där s R. De två lösningarna (x, y = (r, 2r 4 och (x, y = ((s + 4/2, s ser ju väldigt olika ut, men de beskriver samma mängd av talpar, nämligen lösningarna till 2x y = 4. Ett tredje sätt att införa en parameter är genom att sätta y = 2t. Då blir x = (y + 4/2 = t + 2 och lösningarna skrivs i så fall (x, y = (t + 2, 2t, där t R. Ibland är det nödvändigt att införa flera parametrar för att beskriva lösningen till ett ekvationssystem. Ett trivialt exempel är systemet x y 2z =, som har tre obekanta, men bara en enda ekvation. Här kan vi t ex sätta y = r, z = s och får x = +y +2z = +r +2s, så att lösningen är (x, y, z = (r, s, +r +2s, där r, s R kan vara vilka tal som helst. Ett annat sätt att införa parametrar är att sätta x = 2r, y = 2s, varvid z = (x y /2 = r s /2 och lösningen kan skrivas (x, y, z = (2r, 2s, r s /2.

2 Avsnitt 4.2 Definitionen av matrismultiplikation kan vara svår att genomskåda och lära sig i början, att räkna övningar är utan tvivel det bästa sättet. Om A = (a ij r k och B = (b ij k l, så kan elementet på plats i, j i produkten AB med summasymbolen skrivas k a ip b pj. p= Man kan naturligtvis fråga sig varför man definierar matrisprodukt på det här krångliga sättet. Ett svar på den här frågan ges i slutet av avsnittet, där ett visst ekvationssystem skrivs med hjälp av matriser. Det finns fler svar på frågan, men dem kan vi inte ta upp här. Exempel 4. är viktigt, eftersom det visar att matrismultiplikation inte är kommutativ, dvs att i allmänhet är AB BA. Som framgår av a behöver inte ens BA vara definierad, även om AB är det. Det är i själva verket mycket sällsynt att AB = BA. Däremot har matrisoperationerna några av de andra egenskaperna som man är van vid från räkning med tal. Som det står på slutet av avsnittet är multiplikationen associativ, dvs (ABC = A(BC och den är distributiv över addition, A(B + C = AB + AC och (B + CA = BA + CA. De här likheterna gäller så snart produkterna och summorna är definierade. Låt oss bevisa den associativa lagen och antag att storlekarna av A och B är r k respektive k l. Då har AB storlek r l, så för att (ABC skall vara definierad måste C ha storlek l s för något s. Vi ser att i så fall är även BC definierad och har storlek k s. Men då är även A(BC definierad och den har storlek r s. Vi ser att om antingen (ABC eller A(BC är definierad, så gäller detsamma om den andra. Vi skall nu visa att de är lika. Låt A = (a ij r k, B = (b ij k l och C = (c ij l s. Elementet på plats i, j i AB är d ij = så elementet på plats i, j i (ABC är k a ip b pj, p= ( l l k d iq c qj = a ip b pq c qj = q= q= p= p k q l a ip b pq c qj. Räknar man på samma sätt ut elementet på plats i, j i A(BC så får man samma sak. Avsnitt 4. Den viktiga egenskapen hos enhetsmatrisen E n av storlek n n är att AE n = E n A för alla n n-matriser A. Man bevisar det så här. Låt elementen i A vara 2

3 a ij, i, j n och beteckna elementen i E n med e ij, där { om i = j e ij = om i j Elementet på plats i, j i produkten AE n är enligt definitionen av matrismultiplikation a i e j + a i2 e 2j a in e nj. Eftersom e kj = då k j, så blir det bara en enda term kvar, nämligen den för k = j, som är a ij e jj = a ij. Att för hand bestämma inversen till en matris kan vara synnerligen arbetskrävande, men det finns datorprogram och räknare som gör det på nolltid. Detta är dock ingen ursäkt att inte lära sig hur man gör i princip genom att räkna några enkla exempel. När man lärt sig vad en invers är och hur man räknar fram den, så kan man med gott samvete låta en maskin göra jobbet. Lägg märke till att ett nödvändigt krav för att en matris skall vara inverterbar (dvs ha invers är att den är kvadratisk. Även om en matris är kvadratisk, så är det inte säkert att den har invers; ett exempel ges i Exempel 4.. Notera hur enkelt det blir att lösa ekvationssystemet AX = B om man vet inversen till A; då får man ju X = A B. Men om man inte känner A så måste man ta till Gausselimination för att bestämma den, dvs arbetsinsatsen är lika stor som för att lösa systemet direkt. Lösningar till några övningar 4..c Totalmatrisen är och Gausselimination ger /2 2/2 2 /2 Lösningen är x =, y =, z = / /2 4 /2 /2 /2

4 4.2.c Totalmatrisen är 2 2 och Gausselimination ger Systemet är alltså ekvivalent med x + y z =, y 2z = och det går inte att eliminera längre än så. Inför en parameter t genom t ex z = t. Då blir y = (+2z/ = +2t och x = y +z + = 2+t. Lösningen kan således skrivas (x, y, z = (2 + t, + 2t, t. Lägg märke till att man kan införa en parameter (här t på många olika sätt. I bokens facit heter parametern s och det gäller s = t. Anledningen till att vi väljer att sätta z = t snarare än z = t är att vi får heltalskoefficienter då. Men det är ju helt och hållet en smakfråga om man vill ha det. 4..a Systemet är ekvivalent med x + y + z = (a y = a y z = och här måste vi dela upp i två fall beroende på om a = eller a. Om a = så lyder den andra ekvationen =. Om vi sätter z = t så blir y = + t och x = y z = 2 2t, där t R. Om a, så kan vi dividera den andra ekvationen med a och får y =. Då blir z = 2 och x = 2. Svar: Om a så är lösningen (x, y, z = ( 2,, 2 och om a = så är den (x, y, z = (2 2t, + t, t För att en produkt AB skall vara definierad måste antalet kolonner i A vara lika med antalet rader i B. För att AA skall vara definierad måste A därför ha lika många rader som kolonner, dvs den måste vara kvadratisk. 4..a Som i Exempel 4.2 skall vi försöka lösa de två ekvationssystem som har totalmatriserna (

5 Gausselimination ger ( 4 7 ( 4 /5 /5 ( 4 5 ( 7/5 4/5 /5 /5 Vi ser att matrisen är inverterbar och att inversen är ( 7/5 4/5. /5 /5 d Gausselimination ger Inversen är alltså