ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson

Transkript

1 ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson

2 Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr ), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra baser än tio Till Geometrikapitlet: Konstruktion av plana geometriska figurer och Avbildningar Tanken är boken Matematikens grunder för lärare ska vara en bok som lärarutbildningarna runt om i Sverige vill använda. Är därför tacksam för återkoppling på boken, om saker som läsare och lärarutbildningspersonal anser borde funnits i boken, borde ändras, borde tas bort, etc. Vänd er då till förlaget, se under rubriken Kontakt. Anders Månsson Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bok utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Författaren och Studentlitteratur Studentlitteratur AB, Lund

3 25 januari 2016 sida 1 # 1 ANDRA BASER ÄN TIO Anta att det finns utomjordiskt liv och att de precis som vi har två händer, men bara fyra fingrar på varje hand, dvs. åtta fingrar totalt (se figur 0.1). FIGUR 0.1 Har de en matematik som liknar vår, använder de antagligen bara åtta siffror, nämligen siffrorna 0 till 7. Talen vi kallar åtta, nio och tio, skriver de 10, 11 respektive 12 (se figur 0.2). FIGUR 0.2 Utomjordingarna räknar alltså i en annan bas, nämligen basen åtta. Vi människor räknar i basen tio (dvs. A som vi införde på sidan 54 i boken). Datorer räknar i basen två med siffrorna 0 och 1. På samma sätt som vi människor inte använder¹ siffran A, använder utomjordingarna inte siffran 8 och datorer använder inte siffran 2. Vi, utomjordingarna och datorerna använder istället sifferkombinationen 10 för att beteckna basen. För oavsett vilken bas man räknar i, betecknar man basen med 10. Men 10 representerar alltså olika tal för oss, utomjordingarna och datorerna. För att undvika missförstånd kan man när det behövs indexera tal med basen man använder. T.ex. är 238 talet 23 i basen åtta. Finns inget index som visar basen, antar vi att den är underförstådd, vanligtvis basen tio (dvs. A). Allt det vi gått igenom för tiosystemet, gäller också för andra baser. Exempelvis är sju = 4 10sju +3 10sju +6 10sju +1 = sju sju +6 10sju Ibland gör vi det, t.ex. om vi räknar i en bas som är större än tio. F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R 1

4 Här har vi skrivit basen sju med bokstäver för att göra det mer läsligt. I figur 0.3 visas hur 10-högarna, 100-högarna och högarna ser ut i basen sju. FIGUR sju, 100 sju och sju. För en sifferkombination med n siffror i en godtycklig bas gäller: eller abc...wx yz bas = a 10 n 1 bas + b 10 n 2 bas + c 10 n 3 bas w 10 3 bas + x 10 2 bas + y 10 bas + z, (1) n 1 st n 2 st n 3 st abc...wx yz bas = a bas + b bas + c bas w bas + x 100 bas + y 10 bas + z. (2) Observera att man bara använder siffror som är mindre än basen. Till exempel är 45 fem eller 172 sex inte tillåtna sifferkombinationer. Notera att en sifferkombination representerar olika tal i olika baser. Exempelvis är 45 sex = = 29, medan 45 sju = = 33. Exempel fem i basen tio är fem fem + 2 = = FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR

5 25 januari 2016 sida 3 # 3 Exempel 0.2 Vi ska uttrycka 789 i basen sex. Eftersom 63 < 789 < 64 kommer sifferkombinationen att bli fyrsiffrig. Första siffran är 3, eftersom 3 63 < 789 < Det återstår = 141 av 789. Andra siffran är 3, eftersom 3 62 < 141 < Det återstår = 33 av 141. Tredje siffran är 5, eftersom 5 6 < 33 < 6 6. Det återstår = 3 av 33, dvs. den fjärde siffran är 3. Alltså är 789 = 3 353sex. Räkna i en annan bas än tio Att räkna i en godtycklig bas fungerar på samma sätt som i basen tio (dvs. A). Skillnaden är att man använder en annan uppsättning av siffror, och andra additions- och multiplikationstabeller. Exempelvis använder man i basen fem bara siffrorna 0, 1, 2, 3, 4. När man adderar eller subtraherar tal, t.ex och 125 3, kan det vara en fördel att använda en tallinje som i figur 0.4.² Figuren visar att = 215 och att = 4. FIGUR 0.4 För att multiplicera kan man använda definition (1.7) på sidan 16 i boken, dvs. multiplikation som upprepad addition. Division är enligt (1.22) på sidan 27 i boken definierad utifrån multiplikation, så också här kan man använda upprepad addition. För större uträkningar kan man använda räknealgoritmerna för de fyra räknesätten. Proceduren och logiken i räknealgoritmerna för en godtycklig bas, är samma som för basen tio. Man kan såklart också göra om talen till basen tio, göra uträkningarna i basen tio och därefter göra om till den ursprungliga basen. Men då försvinner delvis meningen med att räkna i andra baser. För anledningen till att vi gör det i denna bok, är för att det hjälper oss att förstå hur tiosystemet fungerar. 2 Notera att man inte behöver indexera en siffra med basen. F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R 3

6 Exempel 0.3 Nedanför visas additions- och multiplikationstabellen i basen fem Multiplikationstabellen har vi här konstruerat genom att använda upprepad addition, t.ex. 2 3 = = 11 fem. Exempel 0.4 Produkten 4 13 nio kan räknas ut med upprepad addition, t.ex. 13 nio + 13 nio + 13 nio + 13 nio = 10 nio + 10 nio + 10 nio + 10 nio = 40 nio + 13 nio = 53 nio. Man kan också använda räkneregel (1.10) på sidan 18 i boken: 4 (10 nio + 3) = 4 10 nio = 40 nio + 13 nio = 53 nio. Exempel 0.5 Divisionen 102 fyra /3 kan man göra t.ex. genom att gissa en kvot, pröva om den stämmer och korrigera utifrån det man får. Anta att vi gissar på 10 fyra. Eftersom 3 10 fyra = 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra = 30 fyra, 4 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR

7 var 10 fyra för lite. Därför gissar vi på ett större tal, t.ex. 20 fyra : 3 20 fyra = 20 fyra + 20 fyra + 20 fyra = 100 fyra + 20 fyra = 120 fyra, vilket var för mycket. Vi prövar därför en mindre kvot, t.ex. 12 fyra : 3 12 fyra = 12 fyra + 12 fyra + 12 fyra = 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra = 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra + 10 fyra + 2 = 100 fyra + 2 = 102 fyra, vilket var korrekt, dvs. 102 fyra /3 = 12 fyra. Exempel 0.6 Nedanför visas exempel på räknealgoritmerna i basen / 6 = /4 / /2 /2 /2/1 /1 / UPPGIFTER: ANDRA BASER ÄN TIO (FACIT SIDAN 9) 1. Uttryck talet i basen tio: a) 10 fem b) 10 sex c) 10 tretton d) 11 elva e) 12 tolv f) 102 tre g) 234 fem h) två i) 7A2 tolv j) BAD femton k) ABC D l) KL M 2. Uttryck talet 100 A i alla baser fr.o.m. 2 t.o.m. E. FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 5

8 3. Uttryck talet a) 123 i basen 4 b) 567 i basen Gör en additions- och multiplikationstabell för baserna 3, 8 och Räkna ut i angiven bas (dvs. utan att göra om till basen tio): a) i bas 7 b) 12 åtta 4 c) 2A tretton B d) AB tolv 7 e) 11 sex sex 5 f) 5 12 sju g) två två 6. Förklara varför följande gäller för en godtycklig bas b: a) 10b k = b k st b) 10 m b 10n b = 10m+n b c) 10 b 100 b = b, b 10 b = b, 100 b 100 b = b, etc. Dvs. det är samma antal nollor i högerledet som i vänsterledet. d) b = b, 73 b 100 b = b, 416 b 100 b = b, etc. e) 300 b + 20 b = 320 b, b b = b, b + 50 b = b, etc. f) 12 åtta +34 åtta = 46 åtta, 324 elva +123 elva = 447 elva, 403 nio +213 nio = 616 nio, etc. Dvs. hur kommer det sig att man får summan genom att addera siffrorna var för sig? Vad händer om siffrornas summor blir lika stor som eller större än basen? g) 54 nio 12 nio = 42 nio, 324 elva 123 elva = 201 elva, 456 sju 321 sju = 135 sju, etc. Dvs. hur kommer det sig att man får differensen genom att subtrahera siffrorna var för sig? Vad händer om siffran i den första termen är mindre än siffran i den andra termen? 7. Förklara varför man kan uttrycka ett tal på följande sätt: a) 37 b = 30 b +7, 534 b = 500 b +30 b +4, b = b +40 b +2, etc. b) 50 b = 5 10 b, 300 b = b, A000 b = A b, etc. 8. För att räkna ut summor som t.ex. 40 sex + 50 sex eller 400 sex sex kan man använda additionstabellen i basen 6, bara man lägger på riktigt antal nollor i slutet av siffersumman. Eftersom = 13 sex har vi att 40 sex + 50 sex = 130 sex och 400 sex sex = sex. Principen är densamma för multiplikation. Eftersom 4 5 = 32 sex, får vi 40 sex 50 sex = sex och 40 sex 500 sex = sex. Förklara varför man kan göra på det här sättet. 6 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR

9 9. Både räkna ut och svara i angiven bas, utan att använda en räknealgoritm: a) 41 åtta + 23 åtta b) 456 tolv 321 tolv c) D D d) C C e) 718 C 517 C f) CBA D BA0 D g) h) 50 elva + 60 elva i) 100 två två j) fem fem k) A00 tolv + B00 tolv l) 220 tre + 10 tre m) fyra fyra n) 888 nio nio o) 999 tio tio p) 88 nio + 22 nio q) 88 A + 22 A r) 88 B + 22 B 10. Både räkna ut och svara i angiven bas: a) b) 417 åtta 36 åtta c) 233 fyra fyra d) e) f) 712 B 3A3 B g) AB D + AC D + BC D 11. Både räkna ut och svara i angiven bas, utan att använda en räknealgoritm: a) 3 11 fem b) 7 21 åtta c) 4 A i bas B d) e) f) g) 11 sex 12 sex h) 23 nio 74 nio i) A4 tolv 4B tolv j) 102 tre 211 tre k) två två l) 10 åtta /4 m) 11 fem /2 n) 22 nio /5 o) 54 sex /2 p) 100 fyra /10 fyra q) 100 elva /10 elva r) 220 tretton /10 tretton s) /4 t) AA C /A 12. Både räkna ut och svara i angiven bas, genom att använda en räkne- FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 7

10 algoritm: a) 324 åtta åtta b) 546 nio nio c) sju sju d) B + 1 A24 B + A1A5 B e) A7BC E + 4 BBD E f) g) fem fem h) två två i) CBA D BAC D j) k) 523 nio 34 nio l) 34 B 45 B m) n) o) tre tre p) A4B D 58C D q) r) 45 7 /3 s) /2 t) /5 u) tre /21 tre v) 591 B /14 B w) C /261 C x) /43 8 y) B /385 B 8 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR

11 FACIT ANDRA BASER ÄN TIO 1. a) 5 b) 6 c) 13 d) 12 e) 14 f) 11 g) 69 h) 39 i) j) k) l) = = = = = = = = 100 A = 91 B = 84 C = 79 D = 72 E 3. a) b) A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A B A B A A A B B A AA A B B1A A1 5. a) 21 sju b) 6 c) 1C tretton d) A4 tolv e) 11 sex f) 4 g) två k st 6. a) Enligt (1) är b = 1 10b k = 10k b b) Följer direkt från räkneregel (1.37) på sidan 42 i boken. FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 9

12 facit c) Följer av a) och b). d) T.ex. 73 b 100 b = (7 10 b + 3) 10 2 b = b b = 7300 b e) T.ex. 300 b + 20 b = b b = 320 b f) T.ex. 12 åtta + 34 åtta = 1 10 åtta åtta + 4 = (1 + 3) 10 åtta + (2 + 4) = 4 10 åtta + 6 = 46 åtta. Blir inte siffrornas summor mindre än basen, blir det mer komplicerat, eftersom man då måste växla siffrornas summor uppåt till siffror i högre tiopotenser. g) T.ex. 54 nio 12 nio = 5 10 nio nio 2 = (5 1) 10 nio +(4 2) = 4 10 nio +2 = 42 nio. Är siffran i den första termen mindre än siffran i den andra termen, blir det mer komplicerat, eftersom man då måste växla siffror nedåt från högre tiopotenser. 7. a) T.ex. 534 b = b b +4 = ( b b +0)+(3 10 b +0)+4 = 500 b + 30 b + 4 b) T.ex. 300 b = b b + 0 = b = b 8. T.ex. 400 sex +500 sex = sex sex = (4+5) 10 2 sex = 13 sex 100 sex = sex. Och t.ex. 40 sex 500 sex = 4 10 sex sex = sex 100 sex = 32 sex sex = sex 9. a) 64 åtta b) 135 tolv c) 6 76A D d) C e) 201 C f) 11A D g) h) 100 elva i) två j) fem k) tolv l) tre m) fyra n) nio o) tio p) 121 nio q) 110 A r) AA B 10. a) b) 361 åtta c) fyra d) e) f) 31A B g) 279 D 11. a) 33 fem b) 167 åtta c) 37 B d) e) f) g) 132 sex h) nio i) tolv j) tre k) två l) 2 m) 3 n) 4 o) 25 sex p) 10 fyra q) 10 elva r) 22 tretton s) t) 11 C 10 FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR

13 facit 12. a) 565 åtta b) 670 nio c) sju d) B e) 11 59B E f) g) fem h) två i) 10B D j) k) nio l) 1 3A9 B m) n) o) tre p) 46C A32 D q) r) 14 7 s) t) 52 7 u) 101 tre v) 43 B w) 106 C x) y) 658 B FÖRFAT TAREN OCH STUDENTLIT TERATUR 11