ANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II

Transkript

1 ANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II OLOF BERGVALL Contents Vektorrum och delrum Vektorrum I Vektorrum II 6 Delrum 9 4 Övningar 4 Linjärt oberoende, baser och koordinater 5 Linjärt oberoende 5 Baser 7 Koordinater 4 Övningar Dimension 5 Dimension 5 Beviset av huvudsatsen om dimension 6 Mer om baser och dimension 8 4 Övningar 4 Basbyten 4 Basbyten 4 Upprepade basbyten 7 4 Övningar 9 5 Radrum, kolonnrum, nollrum och rang 4 5 Radrum 4 5 Kolonnrum 4 5 Nollrum Övningar 5 6 Linjära transformationer 5 6 Linjära transformationer 5 6 Linjära operatorer 54 6 Övningar 59 7 Egenvärden och egenvektorer 6 7 Introduktion till egenvärden och egenvektorer 6 7 Fler exempel kring egenvärden och egenvektorer 6 7 Övningar 67 8 Diagonalisering 69 8 Egenvärden och diagonalisering 69 8 Mer om diagonalisering 7 8 Övningar 77 9 Inre produkter och Cauchy-Schwarz olikhet 79 9 Inre produkter 79

2 OLOF BERGVALL 9 Positivt denita matriser 8 9 Längd, avstånd och ortogonalitet Cauchy-Schwarz olikhet Övningar 9 Ortogonalitet och Gram-Schmidts metod 9 Ortogonalitet och ortonormalitet 9 Gram-Schmidts metod 96 Övningar Ortogonala matriser Ortogonala matriser Egenskaper hos ortogonala matriser 5 Ortogonala matriser och allmäna euklidiska rum 7 4 Övningar 9 Spektralsatsen Introduktion till spektralsatsen Bevis av spektralsatsen 5 Övningar Kvadratiska former Kvadratiska former av variabler Kvadratiska former av variabler Kvadratiska former av n variabler 7 4 Övningar 4 System av linjära dierentialekvationer 4 Diagonalisering av system av dierentialekvationer 4 Begynnelsevärdesproblem 6 4 Dierentialekvationer av högre ordning 7 44 Övningar 4

3 ANTECKNINGAR Vektorrum och delrum Vektorrum I Innan vi tittar på detionen ska vi repetera några matematiska strukturer ni sett tidigare Exemplen är på ytan ganska olika men vi ska se att de trots allt har en hel del gemensamt Exempel - Matriser Vi börjar med att titta på mängden R av matriser med rader och kolonner med reella koecienter Om vi har två matriser A och B kan vi addera dem koecientvis Exempelvis har vi ( ( ( ( Vi kan också multiplicera en matris A med en skalär λ koecientvis Då har vi till exempel ( ( ( Addition av matriser och multiplikation med skalär har en rad egenskaper: ( Det spelar ingen roll i vilken ordning man adderar två matriser Till exempel gäller ( ( ( ( ( ( Vid addition av tre matriser spelar det ingen roll vilka två man lägger ihop först Till exempel har vi [( ( ] ( ( [( ( ] ( ( Matrisen O ( har egenskapen att om man lägger till den till en annan matris A så får man tillbaka A Vi har till exempel ( ( ( (4 Inte nog med det, för varje matris A nns en matris A som har samma koecienter som A fast med omvänt tecken Om vi lägger ihop A och A får vi matrisen O Exempelvis har vi ( ( ( (5 Om vi har två matriser A och B och en skalär λ kan vi först addera A och B och sedan multiplicera resultatet med λ Vi kan också multiplicera A

4 4 OLOF BERGVALL och B med λ var för sig och sedan lägga ihop resultaten Oavsett vilket vi väljer att göra så blir resultatet detsamma Till exempel kan vi se att [( ( ] ( ( ( (6 Om vi istället har en matris A och två skalärer λ och µ kan vi å ena sidan först lägga ihop λ och µ och sedan multiplicera resultatet med A och å andra sidan multiplicera λ och µ med A var för sig och sedan lägga ihop resultaten Återigen blir resultaten de samma Exempelvis har vi ( ( ( ( ( (7 Vi kan också multiplicera λ och µ Vi ser då att resultatet blir detsamma oavsett om vi först multiplicerar µ med λ och sedan multiplicerar resultatet med A eller om vi först multiplicerar λ med A och sedan multiplicerar resultatet med µ Till exempel gäller det att ( ( [ ( ] ( (8 Slutligen kan vi observera att om vi multiplicerar en matris A med så får vi tillbaka A Alltså har vi till exempel ( ( Exempel - Komplexa tal Vårt andra exempel är mängden C av komplexa tal Komplexa tal kan adderas och vi kan även multiplicera ett komplext tal med ett reellt tal Addition av komplexa tal och multiplikation med reella skalärer har en rad egenskaper: ( Det spelar ingen roll i vilken ordning vi adderar två komplexa tal, så exempelvis gäller ( + i + ( + 4i ( + 4i + ( + i 4 + 6i ( När vi adderar tre komplexa tal kan vi börja med att lägga vilka två vi vill, så vi har till exempel att [( + i + ( + 4i] + (5 + 6i ( + i + [( + 4i + (5 + 6i] 9 + i

5 ANTECKNINGAR 5 ( Om vi lägger till till ett komplext tal får vi tillbaka det komplexa tal vi började med så ( + i + + i (4 Varje komplext tal har en negativ motsvarighet Exempelvis gäller ( + i + ( i (5 Det spelar ingen roll om vi först adderar två komplexa tal och sedan multiplicerar med ett reellt tal eller om vi först multiplicerar talen var för sig och sedan lägger ihop resultaten Exempelvis gäller [( + i + ( + 4i] ( + i + ( + 4i 8 + i (6 På samma sätt gäller det att det inte spelar någon roll om vi först lägger ihop två reella tal och sedan multiplicerar med ett komplext tal eller först multiplicerar de reella talen med det komplexa för att sedan lägga ihop resultaten Exempelvis gäller ( + ( + i ( + i + ( + i 5 + i (7 Det spelar ingen roll om vi först multiplicerar två reella tal och sedan multiplicerar resultatet med ett komplext tal eller om vi först multiplicerar det ena reella talet med ett komplext tal och sedan multiplicerar det andra reella talet med resultatet Exempelvis har vi ( ( + i [ ( + i] 6 + i (8 Om man multiplicerar ett komplext tal med får man tillbaka det komplexa talet så exempelvis har vi att ( + i + i Exempel - Kontinuerliga funktioner Vi ska nu titta på mängden C av kontinuerliga funktioner av en reell variabel Vi denierar summan av två funktioner f och g punktvis, dvs (f + g(x f(x + g(x för varje reellt tal x På liknande sätt denierar vi (λ f(x λ f(x där λ är ett reellt tal Det är en ganska enkel övning i analys att visa att f + g och λ f är kontinuerliga funktioner om f och g är kontinuerliga funktioner Man kan visa att operationerna punktvis addition och punktvis multiplikation med skalär har en rad egenskaper: ( f + g g + f ( (f + g + h f + (g + h ( funktionen o som denieras genom o(x för alla reella tal x uppfyller f + o f för alla funktioner f (4 för varje funktion f nns det en funktion f som denieras genom ( f(x f(x och denna funktion uppfyller f + ( f o (5 om λ är ett reellt tal gäller λ (f + g λ f + λ g (6 om λ och µ är reella tal gäller (λ + µ f λ f + µ f (7 vi har också µ (λ f (µ λ f (8 och slutligen gäller det att f f

6 6 OLOF BERGVALL Vi har nu sett tre exempel - matriser, komplexa tal och kontinuerliga funktioner - som på ytan är väldigt olika men som ändå har många likheter Poängen med begreppet vektorrum är att fånga upp dessa likheter Denition Ett reellt vektorrum är en mängd V med två operationer och som uppfyller addition av vektorer, + : V V V multiplikation med skalär, : R V V ( (kommutativitet av vektoraddition v + w w + v för alla v och w i V ( (associativitet av vektoraddition (u + v + w u + (v + w för alla u, v och w i V ( (nollobjekt det nns ett element i V sådant att v + v för alla v i V (4 (negativa objekt för varje v i V nns ett objekt v i V sådant att v+( v (5 (distributivitet av skalärmultiplikation över vektoraddition för varje tal λ gäller λ (v + w λ v + λ w (6 (distributivitet av skalärmultiplikation över addition av reella tal för varje par av tal λ och µ gäller (λ + µ v λ v + µ v (7 (kompatibilitet mellan skalärmultiplikation och multiplikation av reella tal (µ λ v µ (λ v (8 (multiplikativ identitet v v för alla v i V Elementen i V kallas för vektorer Vektorrum kallas också för linjära rum och studiet av vektorrum kallas därför för linjär algebra Vektorrum II Vi börjar med att repetera denitionen Denition Ett reellt vektorrum är en mängd V med två operationer och som uppfyller addition av vektorer, + : V V V multiplikation med skalär, : R V V ( (kommutativitet av vektoraddition v + w w + v för alla v och w i V ( (associativitet av vektoraddition (u + v + w u + (v + w för alla u, v och w i V ( (nollobjekt det nns ett element i V sådant att v + v för alla v i V (4 (negativa objekt för varje v i V nns ett objekt v i V sådant att v+( v (5 (distributivitet av skalärmultiplikation över vektoraddition för varje tal λ gäller λ (v + w λ v + λ w (6 (distributivitet av skalärmultiplikation över addition av reella tal för varje par av tal λ och µ gäller (λ + µ v λ v + µ v (7 (kompatibilitet mellan skalärmultiplikation och multiplikation av reella tal (µ λ v µ (λ v (8 (multiplikativ identitet v v för alla v i V

7 ANTECKNINGAR 7 Exempel - dimension Om vi låter V vara mängden med endast talet och deniera + och λ för alla reella tal λ Då är alla axiom (-(8 trivialt uppfyllda Icke-exempel - tomma mängden Det förra exemplet är det minsta möjliga vektorrummet Om vi istället låter V vara tomma mängden kan vi inte införa någon vektorrumsstruktur på V Anledningen är att axiom ( kräver att ett vektorrum åtminstone ska innehålla ett element Icke-exempel - polynom av grad n Låt V vara mängden av alla reella polynom av grad precis n under vanlig addition av polynom och vanlig multiplikation med skalär Det är lätt att tro att detta är ett vektorrum trots att så inte är fallet Problemet är att summan av två polynom av grad n inte nödvändigtvis har grad n Betrakta exempelvis polynomen p(x x + x och q(x x som båda har grad Då gäller p(x + q(x (x + x + ( x x vilket ju har grad Man kan hitta liknande exempel i varje grad Exempel - polynom av grad som mest n Detta är dock det enda problemet Om vi istället låter V vara mängden av polynom av grad som mest n är V ett vektorrum Nollvektorn är det konstanta polynomet p(x och om p(x är polynomet p(x a i x i i så är p(x lika med p(x i ( a i x i De övriga axiomen är ännu lättare att kontrollera Icke-exempel Låt V vara mängden av ordnade talpar [a, b] under koordinatvis addition och deniera λ [a, b] [, ] för alla reella tal λ Detta exempel uppfyller alla axiom utom (8 Icke-exempel Låt V vara mängden av talpar (a, b sådana att a b och deniera under koordinatvis addition och deniera { (λa, λb λ λ (a, b (λb, λa λ Denna struktur uppfyller axiom (, ( och ( men inte axiom (4 Exempelvis saknar (, additiv invers: (, är ju inte ett element i V eftersom Vi har också att medan ( + ( (, ( (, (, (, + ( (, (, + ( 4, (,

8 8 OLOF BERGVALL Alltså gäller inte heller axiom (6 Vi har nu sett att även om inte allt är vektorrum så nns det gott om intressanta exempel på vektorrum En av huvudpoängerna med abstrakta vektorrum är att varje resultat vi kan visa om vektorrum är ett resultat om matriser, komplexa tal och kontinuerliga funktioner - samtidigt Exempelvis har vi följande sats Sats Låt V vara ett vektorrum med nollvektor, låt v vara en vektor i V och låt λ vara en skalär Då gäller (a v (b λ (c ( v v (d Om λ v så är antingen λ eller v (eller både och Åtminstone påstående (a-(c ser ju väldigt rimliga ut men de står inte bland axiomen och är därför något vi måste visa Proof (a Med hjälp av axiom (6 kan vi skriva v + v axiom (6 ( + v v Enligt axiom (4 har v en motsvarande negativ vektor v Vi lägger denna vektor till båda led i uttrycket ovan ( v + v + ( v v + ( v Enligt axiom (4 är högerledet lika med nollvektorn Enligt axiom ( får vi ytta på parentesen i vänsterledet vilket ger uttrycket v + ( v + ( v Enligt axiom (4 är uttrycket inom parentesen lika med nollvektorn Alltså har vi uttrycket v + Enligt axiom ( är vänsterledet lika med v Detta ger oss v vilket var vad vi ville visa (b Detta bevis är mycket likt beviset för (a Vi börjar med att använda axiom (5 och axiom ( för att skriva λ + λ axiom (5 axiom ( λ ( + λ Enligt axiom (4 har λ en motsvarande negativ vektor som vi lägger till båda led i uttrycket ovan: (λ + λ + ( λ λ + ( λ Enligt axiom (4 är nu högerledet lika med nollvektorn I högerledet får vi ytta på parentesen tack vare axiom axiom ( λ + (λ + ( λ Enligt axiom (4 är uttrycket inom parentesen lika med nollvektorn λ + Slutligen kan vi använda axiom ( för att skriva om uttrycket till λ

9 ANTECKNINGAR 9 vilket var vad vi ville visa (c Det vi vill visa är att ( v är den negativa vektorn svarande mot v Enligt axiom (4 måste vi alltså visa att v + ( v Enligt axiom (8 kan vi skriva v + ( v v + ( v och enligt axiom (6 kan högerledet i sin tur skrivas som v + ( v ( + ( v Eftersom + ( är nu högerledet lika med v Men vi visade i (a att v så vi är klara (d Om λ så är λ v enligt (a Vi antar därför att λ är ett nollskillt tal men att λ v Vi börjar med att använda axiom (8 för att skriva v v Eftersom λ är nollskillt har vi λ λ så vi kan skriva högerledet som v ( λ λ v Vi använder nu axiom (7 för att ytta parentesen ( λ λ v (λ v λ Enligt antagandet är uttrycket inom parentesen lika med nollvektorn Vi har alltså λ (λ v λ Enligt (b är högerledet lika med nollvektorn så vi har nu visat att v Med andra ord har vi sett att om λ så måste antingen λ eller v Delrum Innan vi ger denitionen ska vi titta på ett exempel som illustrerar vad det hela handlar om Exempel - en linje i planet Betrakta linjen L i R som ges av ekvationen x + y b där b är ett reellt tal y (, b (b, x

10 OLOF BERGVALL Mängden R är ett vektorrum under koordinatvis addition och skalärmultiplikation Vi kan nu fråga om även L är ett vektorrum under dessa operationer För att undersöka detta antar vi först att b inte är noll Vi har att punkterna (b, och (, b ligger på L men (b, + (, b (b, b ligger inte på L eftersom b + b b b om b Alltså är L inte ett vektorrum om b då det inte ens är slutet under addition (dvs genom att addera två punkter på L kan vi få en punkt som inte ligger på L Vi undersöker nu vad som händer om b Om nu (x, y och (x, y är två punkter på L har vi att x i + y i Alltså gäller (x + y + (x + y (x + x + (y + y så (x + x, y + y (x, y + (x, y är också en punkt på L Vi har också att om λ är ett reellt tal så gäller det att λ (x + y λ x + λ y så (λ x, λ y λ (x, y är också en punkt på L Alltså är L sluten under addition och multiplikation med skalärer För att fortsätta vår undersökning ska vi nu undersöka de åtta axiomen för vektorrum Dock så vet vi ju att R är ett vektorrum och att L är en delmängd Detta gör att så snart L är sluten under addition och multiplikation med skalärer så ärver L de esta axiomen från R Anledningen till detta är att de kräver saker av alla element i R och om något gäller för alla element i R så gäller det ju också för alla element i delmängden L Det nns dock två axiom, nämligen axiom ( och (4, som kräver existens av speciella element i L och dessa måste vi kontrollera Till att börja med nns ett nollobjekt i L, nämligen (, Vidare har varje punkt v (x, y på L en motsvarande punkt v i R som uppfyller v + ( v Men vi såg i förra videon att v ( v och L är sluten under skalärmultiplikation Alltså är v en punkt på L (och inte bara en punkt i R Alltså är axiom ( och (4 uppfyllda för L och vi har visat att L är ett vektorrum om b är Denition Låt V vara ett vektorrum En delmängd U av V som är ett vektorrum under samma operationer som i V kallas ett delrum till V Vi kan använda samma resonemang som i exemplet för att vissa följande sats Sats Låt V vara ett vektorrum och låt U vara en delmängd av V Då är U ett delrum till V om och endast om (D nollvektor är ett element i U (D U är slutet under addition, dvs om u och v är element i U så är även u + v ett element i U, och (D U är slutet under multiplikation med skalär, dvs om u är ett element i U så är även λ u ett element i U För att kontrollera att en delmängd av ett vektorrum är ett vektorrum behöver vi alltså bara kontrollera tre villkor istället för åtta!

11 ANTECKNINGAR Exempel - linjära ekvationssystem Låt L vara delmängden till R n som ges som lösningar till ekvationerna a, x + a, x + a,n x n b a, x + a, x + a,n x n b a m, x + a m, x + a m,n x n b m Mängden L är ett delrum till R n om och endast om b b b m, dvs om och endast om systemet är homogent (Jämför gärna med det första exemplet För att se detta skriver vi ekvationssystemet på matrisformen Ax b där a, a, a,n a, a, a,n A, x a m, a m, a m,n x x x n, b Om något b i är nollskillt är b inte lika med nollvektorn Alltså gäller A b så är inte ett element i L Alltså är villkor (D inte uppfyllt så L är inte ett delrum Om alla b i är lika med noll är b lika med nollvektorn och villkor (D är uppfyllt För att kontrollera villkor (D låter vi x och y vara två element i L Då gäller att Ax och Ay Alltså har vi också att A(x + y Ax + Ay + så x + y är också ett element i L Alltså är även villkor (D uppfyllt Om λ är en skalär har vi att A(λ x λ (A x λ så λ x är också ett element i L Alltså är också villkor (D uppfyllt Exempel - ett spann Låt v (,, och låt v (,, och låt S vara delmängden av R S span{v, v } {λ v + λ v λ, λ R} Om v (a, b, är en punkt i xy-planet kan den skrivas som (a, b, a (,, + b (,, Alltså är xy-planet en delmängd av S Men vi kan också se att varje punkt av S är en punkt av xy-planet så mängden S sammanfaller med xy-planet b b b m

12 OLOF BERGVALL z v v y x Om V är ett vektorrum, v,, v m är vektorer i V och λ,, λ m är skalärer kallas summan λ v + + λ m v m för en linjärkombination av vektorerna v,, v m Mängden av alla möjliga linjärkombinationer av v,, v m kallas för spannet av v,, v m och skrivs span{v,, v m } {λ v + + λ m v m λ,, λ m R} Exempel Vektorerna v och v är inte multipler av varandra och spänner upp ett plan Detta plan går genom origo och planet är ett delrum till R z v v y x Exempel Vektorerna v och v är multipler av varandra och spänner upp en linje Denna linje går genom origo och är ett delrum till R

13 ANTECKNINGAR z v v y x Sats Låt V vara ett vektorrum och låt v,, v m vara vektorer i V spannet av v,, v m ett delrum av V Då är Om man använder Sats är beviset ganska enkelt så prova gärna själv och fråga någon av oss lärare på en lektion om du undrar över något!

14 4 OLOF BERGVALL 4 Övningar Mängden M n m (R av m n-matriser under vanlig addition och multiplikation av skalär är ett vektorrum (a Veriera axiom (, (5 and (7 för M (R (b Visa att S {X M (R X T X} är ett delrum av M (R (a Låt M vara mängden R med addition denierad genom (x, y + (x, y (x x, y y, for all (x, y, (x, y R och vanlig skalärmultiplikation i R Visa att M inte är ett vektorrum genom att hitta åtmistone ett axiom som inte är uppfyllt (b Låt M vara mängden R med vanlig addition och skalärmultiplikation denierad genom c (x, y, z (cx,,, för alla (x, y, z R och c R Visa att M inte är ett vektorrum Betrakta vektorrummen R, R och vektorrummet F (, + av reella funktioner av en reell variabel under vanlig addition och multiplikation med skalär (a Är V {(x, y, z R x + y + z } ett delrum av R? (b Är V {(x, y, z R x + y + z } ett delrum av R? (c Är V {(x, y R x } ett delrum av R? (d Är V 4 {(x, y R y } ett delrum av R? (e Är V 5 {(x, y R x + y } ett delrum av R? (f Är V 6 {f(x F (, + f(x f( x for all x R} ett delrum av F (, +?

15 ANTECKNINGAR 5 Linjärt oberoende, baser och koordinater Linjärt oberoende I den förra föreläsningen såg vi att vektorerna v (8,, 5 och v (, 8, 5 spänner upp ett plan i R z v v y x Vektorerna u (,, och u (, 7, 7 däremot spänner bara upp en linje en linje eftersom de är multipler av varandra z u u y x Ett annat sätt att säga att u och u är multipler av varandra är att ekvationen x u + x u har lösningar där x och x är nollskillda - exempelvis kan vi ta x 7 och x Ekvationen x v + x v har däremot bara den triviala lösningen x x Om vi har er än två vektorer är det inte längre meningsfullt att fråga om en är en multipel av de andra Däremot är det ofta intressant att veta om de spänner upp något av samma dimension som antalet vektorer eller om det som spänns upp är mindre - kanske är några av vektorerna överödiga? Det är detta som konceptet linjärt beroende fångar upp Denition Låt V vara ett vektorrum och låt v,, v n vara nollskilda vektorer i V Om ekvationen x v + x v + + x n v n

16 6 OLOF BERGVALL bara har lösningen x x x n är vektorerna linjärt oberoende Annars är de linjärt beroende Exempel Är vektorerna v, v linjärt oberoende? Med andra ord, har ekvationen, v x v + x v + x v er lösningar än x x x? För att svara på denna fråga ställer vi upp ekvationssystemet x + x + x x + x + 4x 5x eller, på matrisform 4 5 Genom Gausseliminering får vi Eftersom systemet är övertriangulärt med nollskillda element längs diagonalen ser vi att den enda lösningen är x x x Vektorerna v, v och v är alltså linjärt oberoende Exempel Är vektorerna v, v linjärt oberoende? Vi har att så +, v v v v Alltså är vektorerna inte linjärt oberoende Om n eller n kan vi mer eller mindre direkt se om en uppsättning vektorer v,, v n är linjärt oberoende n I fallet n ska vi undersöka om ekvationen x v

17 ANTECKNINGAR 7 har andra lösningar än x Vi vet att om v så löser vilket tal som helst ekvationen men om v så är x den enda lösningen Alltså är v linjärt oberoende om och endast om v inte är nollvektorn n I fallet n ska vi undersöka om ekvationen x v + x v har andra lösningar än x x Enligt denitionen är vektorerna inte linjärt oberoende om någon av dem är nollvektorn så vi koncentrerar oss på fallet då både v och v inte är nollvektorn Om x så måste också x eftersom v och det är precis denna lösning vi inte är intresserade av Därför antar vi att x Då kan ekvationen skrivas som v x x v Med andra ord, v och v är linjärt beroende precis om v är en skalär multipel av v, det vill säga om v och v är proportionella Vi kan generalisera fallet n genom följande sats Sats 4 Låt V vara ett vektorrum och låt n En uppsättning vektorer v,, v n i V är linjärt beroende om och endast om någon vektor v i kan skrivas som en linjärkombination av de övriga n vektorerna Vi använde faktiskt detta villkor baklänges i ett av exemplen Villkoret fungerar bra om man vill avgöra om tre vektorer är linjärt beroende men för större värden av n är det oftast bättre att Gausseliminera Sats 4 har dock stor teoretisk betydelse vilket vi kommer att se i nästa video Baser En uppsättning vektorer v,, v n i ett vektorrum V sägs spänna upp eller generera V om span{v,, v n } V Med andra ord, v,, v n spänner upp V om varje vektor v i V kan skrivas som en linjärkombination v c v + + c n v n för några skalärer c,, c n Exempel Vektorrummet R spänns upp av vektorerna ( ( v, v eftersom varje vektor v (a, b kan skrivas som ( ( a a b + b ( Vekttorrummet spänns också upp av vektorerna ( ( u, u eftersom ( a b a + b ( + a b (

18 8 OLOF BERGVALL Vi har också att R spänns upp av alla fyra vektorerna R span{v, v, u, u } Exempel Låt F R R vara vektorrummet av funktioner f : R R Mängden P av polynom av grad högst P {p : R R p(x a + a x + a x, a, a, a R} är ett delrum till F (kontrollera gärna (D-(D Om vi väljer (a, a, a (,, får vi polynomet p + x + x med grafen y x Om vi istället väljer (a, a, a (,, får vi polynomet p + x + x x med grafen y x och om vi väljer (a, a, a (,, får vi polynomet p + x + x x med grafen y x

19 ANTECKNINGAR 9 Vektorerna p, p och p spänner upp P eftersom ett polynom p(x a + a x + a x kan skrivas a + a x + a x a p + a p + a p Exempel I vektorrummet P n av polynom av grad högst n nns monomen p i x i, i n Vektorrummet P n spänns upp av de n + vektorerna p, p,, p n Poängen med att en uppsättning vektorer v,, v n spänner upp ett vektorrum V är alltså att det låter oss uttrycka alla element i V i termer av v,, v n Detta ger oss ett sätt att prata om element i V på ett mycket mer konkret sätt Om vektorerna v,, v n även är linjärt oberoende är uttrycken dessutom unika Man kan alltså se det som att om v,, v n spänner upp V så ger det oss ett språk som låter oss prata om elementen i V och om v,, v n är linjärt oberoende så innehåller språket inga synonymer Det är förstås lite tråkigt ur ett lingvistiskt perspektiv men från en matematisk synvinkel är det väldigt eektivt då vi aldrig behöver fundera på om vi säger samma sak fast på olika sätt Detta är motivationen bakom följande denition Denition Låt V vara ett vektorrum En uppsättning vektorer (v,, v n i V är en bas för V om (B v,, v n spänner upp V och (B v,, v n är linjärt oberoende Poängen är alltså att om (v,, v n är en bas för V så kan varje element v i v,, v n skrivas som en summa på ett unikt sätt v c v + c n v n Exempel Vektorerna v ( (, v är en bas för R eftersom varje vektor v (a, b kan skrivas som ( ( ( a a + b b men inte på något annat sätt (ta gärna en paus och fundera lite om du inte direkt ser varför det är så Vekttorrummet R spänns också upp av vektorerna ( v, v (, u (, u ( men detta är ingen bas eftersom vektorn (, kan uttryckas på två olika sätt ( u v + v ( a a + b ( + a b ( b

20 OLOF BERGVALL Den ensamma vektorn ( u är inte en bas för R eftersom u inte spänner upp R Mer allmänt är vektorerna e, e, e n en bas för R n (n > Denna bas kallas standardbasen Exempel Polynomen p, p x, p x är en bas för vektorrummet P av polynom av grad högst Vi har redan sett att de spänner upp P så det räcker att visa att de är linjärt oberoende Anta därför att p(x c p (x + c p (x + c p (x c + c x + c x då gäller att p( c Men då p(x måste både p (x och p (x Detta ger p ( c och p ( c Alltså måste c c c och vi ser att p, p och p är linjärt oberoende Mer allmänt är polynomen p, p x, p n x n en bas för vektorrummet av polynom av grad högst n Koordinater Innan vi börjar prata om koordinater påminner vi oss om definitionen av baser Denition Låt V vara ett vektorrum En uppsättning vektorer (v,, v n i V är en bas för V om (B v,, v n spänner upp V och (B v,, v n är linjärt oberoende Poängen med baser är att om B (v,, v n är en bas för V kan varje element v i V skrivas som v c v + + c n v n på ett unikt sätt Skalärerna c,, c n kallas för v:s koordinater i basen B och vektorn (c,, c n kallas för v:s koordinatvektor i basen B Om man vill göra det extra tydligt att man uttrycker v i basen B skriver man (v B (c,, c n

21 ANTECKNINGAR Exempel Vektorerna ( v (, v utgör en bas B (v, v för R Hitta koordinaterna för vektorn v basen B ( 4 i Lösning: Ekvationen ger ekvationssystemet ( c ( + c c + c c c 4 ( 4 eller i matrisform ( 4 Genom att Gausseliminera får vi ( ( 4 + ( + ( 7 så (v B ( 7, (7, Exempel Vektorerna ( v (, v utgör en bas B (v, v för R Hitta koordinaterna för vektorn v ( 4 i basen B Lösning: Vi skulle såklart kunna lösa denna uppgift analogt med det förra exemplet men vi väljer en lite annorlunda väg Låt ( ( c A och c Då kan ekvationen skrivas på matrisform som c v + c v v Ac v Om vi multiplicerar denna ekvation med inversen A från vänster får vi A (Ac A v (A Ac A v c A v c

22 OLOF BERGVALL Vi beräknar därför A genom Gausselimination: ( ( ( + ( ( + Alltså är inversen A ( Vi kan nu beräkna A v: A v ( Alltså är (v B (, 5 ( 4 ( ( Resonemanget i exemplet kan generaliseras till följande sats ( 5 Sats 5 Låt B (v,, v n vara en bas för vektorrummet V och låt v vara en vektor i B Då är matrisen A (v v v n med v i som kolonn i, inverterbar och koordinaterna till v i basen B ges av (v B A v

23 ANTECKNINGAR 4 Övningar Mängden M (R av -matriser och mängden är ett delrum Hitta en bas för S S {X M (R X T X} Låt p (x, p (x + x och p (x + x + x vara polynom i vektorrummet P av polynom av grad högst (a Skriv p(x + x x som en linjärkombination av p, p och p (b Är p, p och p linjärt oberoende? (c Utgör p, p och p en bas för P? Om så är fallet, vilken är koordinatvektorn ( x {p,p,p }? { (a } b (a Visa att mängden S M c d (R a + d b + c är ett delrum av M (R (med vanlig addition och multiplikation med skalär (b Hitta en bas för S ( (c Hitta koordinatvektorn för relativt basen du fann i (b 4 (från gammal dugga Låt P vara vektorrummet av polynom av grad som mest (a Hitta en bas för P (b Visa att mängden av polynom p P sådana att p( utgör ett delrum W av P (c Hitta en bas för W

24

25 ANTECKNINGAR 5 Dimension Dimension I denna video ska vi introducera dimensionen av ett vektorrum Dimensionen är antingen ett icke-negativt heltal eller oändlig och är ett mått på hur stort vektorrummet är Dimensionsbegreppet bygger på följande sats Sats 6 Låt B (v,, v n och B (w,, w m vara två baser för vektorrummet V Då är n m För tillfället ska vi låtsas som att vi kan ta satsen för given och skjuter på beviset till nästa video Sats 6 rättfärdigar följande denition Denition Låt V vara ett vektorrum Dimensionen av V är om V {} dim(v n om V har en bas (v,, v n med n < element annars Om dim(v < kallas V för ett ändligtdimensionellt vektorrum Exempel Vektorrummet R n har dimension n För n har vi R {} och för n > har R n standardbasen e, e, e n med n element Vi kan notera att det är naturligt att identiera R med de reella talen R genom att identiera basvektorn e ( med talet (Rent formellt är det dock olika objekt - exempelvis kan man multiplicera objekt i R men man kan inte multiplicera vektorer i ett vektorrum Detta är dock inte en speciellt viktig subtilitet i denna kurs Exempel Vektorrummet P n av polynom av grad högst n har basen p, p x, p x, p n x n som innehåller n + element Alltså är dim(p n n + Exempel Vektorrummet R av -matriser har basen ( ( ( E,, E,, E,, ( ( ( E,, E,, E, Alltså är dim(r 6

26 6 OLOF BERGVALL Exempel Mer allmänt har vektorrummet R m n av m n-matriser en bas bestående av matriserna E i,j med en etta i rad i och kolonn j och nollor överallt annars Alltså är dim(r m n m n Basen (E,,, E m,n kallas standardbasen för R m n Dimensionen av ett vektorrum V är per denition det samma som antalet koordinater som krävs för att uttrycka en vektor i V Dimensionen är alltså ett mått på hur mycket information ett element i V innehåller eller på hur lång tid vektorerna tar att skriva ned Det är ju betydligt jobbigare att arbeta med -matriser än med vektorer i R medan det är ungefär lika jobbigt att skriva ned en -matris som en vektor med fyra element eller ett polynom av grad Exempel Låt V R[x] vara vektorrummet av polynom i en variabel med reella koecenter Anta att V har en bas B (v,, v n med ändligt många element Vart och ett av polynomen v i har någon grad som vi kallar d i, deg(v i d i, och vi låter d vara det största av dessa tal (eftersom de är ändligt många nns ett största tal Men polynomet x d+ är ett element i V men kan inte skrivar som en summa av polynomen v,, v n eftersom graden av x d+ och polynomen v,, v n har grad som mest d Detta är en motsägelse mot att B (v,, v n är en bas så vi drar slutsatsen att dim(r[x] Andra viktiga exempel på oändligtdimensionella vektorrum är vektorrummet C av kontinuerliga funktioner och vektorrummet R N av följder av reella tal Beviset av huvudsatsen om dimension I denna video ska vi bevisa följande sats Sats 7 Låt B (v,, v n och B (w,, w m vara två baser för vektorrummet V Då är n m För att bevisa Sats 6 ska vi använda två hjälpresultat Till att börja med påminner vi oss om följande resultat Lemma Ett ekvationssystem med er okända än ekvationer har oändligt många lösningar Vi kommer att använda detta resultat för att bevisa följande Lemma Lemma Låt v,, v n vara en bas för vektorrummet V och låt w,, w m vara vektorer i V (a Om m > n så är vektorerna w,, w m linjärt beroende (b Om m < n så spänner inte vektorerna w,, w m upp V

27 ANTECKNINGAR 7 Proof (a Antag att m > n För att visa att w,, w m är linjärt beroende vill vi hitta konstanter a,, a m, som inte alla är noll, sådana att (* a w + a w + + a m w m Eftersom v,, v n är en bas för V nns skalärer c i,j sådana att w c, v + c, v + + c,n v n w c, v + c, v + + c,n v n w m c m, v + c m, v + + c m,n v n Sätter vi in dessa uttryck i ekvation (* får vi a (c, v + c, v + + c,n v n + a (c, v + c, v + + c,n v n a m (c m, v + c m, v + + c m,n v n Vi kan sortera om summan och få (a c, + a c, + + a m c m, v + (a c, + a c, + + a m c m, v (a c,n + a c,n + + a m c m,n v n Eftersom vektorerna v,, v n utgör en bas för V är de linjärt oberoende Alltså har ekvation (* en icke-trivial lösning om och endast om det nns icke-triviala a,, a m sådana att alla koecienter i summan ovan är lika med Detta ger oss ekvationssystemet c, a + c, a + + c m, a m c, a + c, a + + c m, a m c,n a + c,n a + + c m,n a m Men nu har vi n ekvationer i m okända och m > n Enligt Lemma nns det oändligt många lösningar a,, a m så speciellt nns en där alla a i inte är Dessa a i är en icke-trivial lösning till (* så vi är alltså klara med beviset av del (a (b För att bevisa (b antar vi att m < n men att w,, w m spänner upp V och försöker härleda en motsägelse Om w,, w m spänner upp V kan vi hitta skalärer c i,j sådana att v c, w + c, w + + c,m w m v c, w + c, w + + c,m w m v n c n, w + c n, w + + c n,m v m Vi ska nu visa att detta medför att det nns konstanter a,, a n, som inte alla är lika med noll, sådana att (** a v + a v + + a n v n Eftersom detta inte är möjligt om v,, v n är en bas blir detta vår önskade motsägelse Genom att sätta in uttrycken för v i i ekvation (** får vi a (c, w + c, w + + c,m w m + a (c, w + c, w + + c,m w m a n (c n, w + c n, w + + c n,m w m

28 8 OLOF BERGVALL Vi sorterar om detta uttryck och får (a c, + a c, + + a n c n, w + (a c, + a c, + + a n c n, w (a c,m + a c,m + + a n c n,m w m Om koecienten framför varje w i är noll är denna ekvation uppfylld Detta ger ekvationssystemet c, a + c, a + + c n, a n c, a + c, a + + c n, a n c,m a + c,m a + + c n,m a n Eftersom m < n har vi er obekanta än ekvationer så vi kan dra slutsatsen att det nns a,, a n som inte alla är lika med som löser systemet Det är nu mycket lätt att bevisa huvudsatsen Sats 8 Låt B (v,, v n och B (w,, w m vara två baser för vektorrummet V Då är n m Proof Anta att B (v,, v n är en bas och låt w,, w m vara vektorer i V Om m > n säger Lemma (a att w,, w m är linjärt beroende och kan därför inte utgöra en bas Men å andra sidan, om m < n säger Lemma (b att w,, w m inte kan spänna upp V och kan därför inte utgöra en bas Alltså måste m n om w,, w m ska ha möjlighet att utgöra en bas Mer om baser och dimension Vi börjar med ett exempel Exempel Eftersom vektorerna v, v inte är paralella är de linjärt oberoende Dock har R dimension så v och v spänner inte upp R (a Hitta en vektor v i R utanför span{v, v } (b Visa att v, v och v är linjärt oberoende (c Visa att (v, v, v är en bas för R Lösning: (a Vi letar efter en vektor v c + c x y z sådan att ekvationen x y z saknar lösning Vi ställer upp detta på matrisform och Gausseliminerar: x x x y + y x y x z + z x + z y 4x

29 ANTECKNINGAR 9 Alltså saknar ekvationen lösning så snart vi väljer x, y och z så att z y 4x Exempelvis kan vi välja v (b Anta att Om c kan vi uttrycka v som c v + c v + c v v c c v c c v Men detta innebär ju att v är i spannet av v och v och vi har ju valt v så att detta inte är fallet Alltså måste c vara Då reduceras ekvationen till c v + c v Men denna ekvation har bara lösningen c c eftersom v och v är linjärt oberoende Alltså är den enda möjligheten att c c c så vektorerna v, v och v är linjärt oberoende (c Vi har redan visat att v, v och v är linjärt oberoende så det enda som återstår är att visa att de spänner upp R Om span{v, v, v } R nns en vektor v 4 som ligger utanför spannet av v, v och v Genom samma resonemang som i (b kan vi i så fall visa att v, v, v och v 4 är linjärt oberoende Men vi vet å andra sidan att dimensionen av R är så en uppsättning av er än vektorer är nödvändigtvis linjärt beroende Från denna motsägelse drar vi slutsatsen att spannet av v, v och v trots allt måste vara hela R Alltså är (v, v, v en bas för R Genom att generalisera resonemangen i (b och (c i exemplet kan man visa följande sats Sats 9 Låt V vara ett vektorrum av dimension n Varje följd v,, v l av linjärt oberoende vektorer kan utvidgas med n l nya vektorer v l+,, v n till en bas (v,, v n På motsvarande sätt gäller även följande sats Sats Låt V vara ett vektorrum av dimension n Om v,, v m är en följd vektorer sådana att span{v,, v m } V nns en delföljd v i,, v in som utgör en bas för V Med andra ord, så snart en uppsättning vektorer genererar ett vektorrum räcker det med att plocka bort några av dem för att få en bas Genom att kombinera Sats 9 och Sats får vi följande resultat Sats Låt V vara ett vektorrum av dimension n och låt v,, v n vara en följd av vektorer i V Då är följande ekvivalent: (i v,, v n är linjärt oberoende (ii v,, v n spänner upp V (iii v,, v n är en bas för V

30 OLOF BERGVALL Poängen med denna sats är att om vi vet dimensionen av ett vektorrum räcker det att antingen kontrollera att en uppsättning vektorer är linjärt oberoende eller att de spänner upp vektorrummet för att se om de utgör en bas Exempel Låt v, v 4, v Eftersom v och v inte är proportionella är de linjärt oberoende Eftersom både v och v har i den tredje koordinaten men den tredje koordinaten för v är nollskilld ser vi att v inte ligger i spannet av v och v Alltså är v, v och v linjärt oberoende Men nu har vi tre linjärt oberoende vektorer i det tredimensionella vektorrummet R Alltså utgör (v, v, v en bas för R enligt satsen vi just såg Vi avslutar med ytterligare en enkel konsekvens av de föregående satserna som visar att dimensionsbegreppet fungerar som vi intuitivt tycker att det borde göra när det gäller delrum Sats Låt V vara ett ändligtdimesnionellt vektorrum och låt U vara ett delrum av V Då gäller (i dim(u dim(v (ii U V om och endast om dim(u dim(v Proof (i Låt dimensionen av V vara n En linjärt oberoende uppsättning vektorer i V kan som mest innehålla n vektorer En bas för U är en uppsättning linjärt oberoende vektorer i V så en bas för U kan som mest innehålla n element Alltså är dim(u dim(v (ii Om U V är det klart att de har samma dimension Antag nu att U V och att dim(u dim(v n Då har U en bas u,, u n med n element Dessa n element är linjärt oberoende och alltså en bas för V enligt den förra satsen Alltså gäller U span{u,, u n } V

31 ANTECKNINGAR 4 Övningar Låt P {a + a x + a x a, a, a R} Låt e (x, e (x x och e (x x vara standardbasen E av P (a Visa att S {p(x P p( } är ett delrum av P (b Hitta en bas B för S Vad är dim(s? (c Utvidga B till en bas B för P (d Bestäm koordinaterna för x x i basen B (a Låt A M m n (R och låt L vara mängden av lösningar till den homogena ekvationen Ax, dvs x L x R n Ax x n Visa att L är ett delrum av R n (b Låt A 4 Hitta en bas för lösningsrummet L av ekvationssystemet 6 Ax Vad är dimensionen av L? ( ( ( (a Matriserna A, A, A är linjärt 4 5 oberoende Utvidga mängden {A, A, A } till en bas för M (R (b Låt v, v, v, v4, v5 och v6 R Hitta en bas B för R sådan att B {v, v, v, v 4, v 5, v 6 }

32

33 ANTECKNINGAR 4 Basbyten 4 Basbyten Baser är helt oumbärliga för att kunna formulera och lösa problem i linjär algebra men beroende på situationen är olika baser olika bra Ofta har vi en bas från början, exempelvis standardbasen i R n, men vill titta på något som lättare beskrivs i något annat koordinatsystem - såsom en satellit som roterat i rymden eller ett optiskt system där alla objekt inte benner sig vinkelrätt i förhållande till varandra Därför är det bra att kunna gå från en bas till en annan på ett eektivt sätt Denna process kallas basbyte Vi kommer senare i kursen att se att många andra delar av matematiken kan ses som specialfall av basbyten Exempelvis Fouriertransformen kan ses som ett basbyte Att hitta egenfrekvenserna i ett mekaniskt system kan ses som ett basbyte Senare i kursen kommer vi att diagonalisera matriser vilket också är exempel på basbyten Vi börjar med ett enkelt exempel Exempel Låt E vara standardbasen för R (( E (e, e (, och låt B vara basen (( ( B (b, b, ( Bestäm koordinaterna för vektorn v i basen B Lösning: Vi vill alltså hitta y och y sådana att v y b + y b Vi ritar en gur y y b b e b v e x y b Figuren leder oss till att gissa y och y vilket vi enkelt kan kontrollera ( ( (

34 4 OLOF BERGVALL Alltså gäller (v B (, Exemplet illustrerar vad vi vill åstadkomma men det var mer eller mindre ren tur att vi lyckades gissa rätt Vi ska därför hitta metoder som fungerar mer allmänt men först ska vi precisera vilket problem vi vill lösa lite mer formellt Basbytesproblemet: Låt V vara ett vektorrum och låt A (a,, a n och B (b,, b n vara baser för V En vektor v i V bestämmer koordinatvektorerna x (v A, y (v B Basbytesproblemet är att givet vektorn x beräkna vektorn y Exempel Låt E vara standardbasen för R (( E (e, e och låt B vara basen (( B (b, b Bestäm koordinaterna för vektorn v (, (, ( x x i basen B Lösning: Vi vill alltså hitta y och y sådana att eller, mer explicit y ( y b + y b v + y ( Denna ekvation kan skrivas på matrisform ( Om vi denierar T ( ( y y ( x x ( x x ( y, y y kan ekvationen kort och gott skrivas T y v Om vi multiplicerar båda sidor av denna ekvation från vänster med T får vi y T v Vi kan beräkna T till (kontrollera gärna T ( Detta ger oss y ( ( x ( x + x x x + x Prova gärna att stoppa in x och x och jämför med det förra exemplet

35 ANTECKNINGAR 5 Översikt av vad vi gjorde: Vi började med två baser E (e, e och B (b, b och en vektor v (x, x Vi skapade sedan matrisen och beräknade (v B T v T ((b E (b E Denna metod är inte speciell för vårt exempel utan fungerar i allmänhet Lösning till basbytesproblemet: Låt V vara ett vektorrum och låt A (a,, a n och B (b,, b n vara baser för V Matrisen med koordinaterna för basvektorerna b i i basen A som kolonnvektorer T AB ( (b A (b A (b n A kallas basbytesmatrisen från B till A På motsvarande sätt kallas matrisen med koordinaterna för basvektorerna a i i basen B som kolonnvektorer T BA ( (a B (a B (a n B för basbytesmatrisen från A till B Matriserna T AB och T BA uppfyller och för en vektor v i V gäller och T BA T AB, T AB T BA (v B T BA (v A T AB (v A (v A T AB (v B T BA (v B Remark 4 (a Om V R n och A är standardbasen är basbytesmatrisen T AB ( b b b n helt enkelt kolonnföljden b b b n sammansatt till en matris (b Formler som rör basbyten bör läsas från höger till vänster Exempelvis bör formeln (v B T BA (v A läsas vektorn med v:s koordinater i basen A multiplicerat med basbytesmatrisen från A till B ger vektorn med v:s koordinater i basen B Om man kommer ihåg att läsa på detta sätt är formlerna väldigt naturliga men att läsa från höger till vänster känns ju lite bakvänt Anledningen till att notationen är på detta sätt är att man följer konventionen kring funktionsnotation - man brukar ju skriva f(x och inte (xf Exempel Polynomen p x, p x + x och p x bildar en bas B för vektorrummet P av polynom av grad högst Låt p + x x och bestäm (p B Lösning: Standardbasen för P är E (e, e, e (, x, x Koordinaterna för p i basen E är (p E (,,

36 6 OLOF BERGVALL och basbytesmatrisen från B till E är T EB ( (p E (p B (p E Vi vill dock byta bas från E till B och beräknar därför matrisen T BE T BE T EB Vi kan nu enkelt beräkna (p B genom (p B T BE (p E Koordinaterna för p i basen B är alltså (,, Vi kan kontrollera att vi räknat rätt genom att beräkna ( x + (x + x + ( x + x x p Exempel Låt α vara ett reellt tal Vektorerna ( ( cos α sin α b, b sin α cos α utgör en bas B för R Bestäm koordinaterna för vektorn x y ( x x i basen B e b b α e x x Lösning: Basbytesmatrisen från basen B till standardbasen E är ( cos α sin α T EB sin α cos α Vi vill dock byta från basen E till B och vill därför beräkna basbytesmatrisen T BE T EB Matrisen T EB är en rotationsmatris svarande mot rotation α radianer,

37 ANTECKNINGAR 7 alltså är dess invers rotationsmatrisen svarande mot rotation α radianer, dvs ( ( T BE T cos( α sin( α cos α sin α EB sin( α cos( α sin α cos α Vi kan nu beräkna (x B genom ( ( cos α sin α x (x B T BE x sin α cos α x ( x cos α + x sin α x sin α + x cos α 4 Upprepade basbyten I den förra videon såg vi att om vi har koordinaterna (v A för vektor v uttryckt i en bas A och vill uttrycka v i basen B så kan vi först skapa matrisen T AB ( (b A (b A (b n A sedan invertera denna matris för att få basbytesmatrisen T BA T AB och slutligen beräkna (v B T BA (v A I den förra videon var emellertid alla exempel sådana att A var standardbasen Vi ska därför titta på ett exempel där både A och B är andra baser Exempel Vektorerna ( 4 a (, a utgör en bas A för R och vektorerna ( ( b, b utgör en bas B Låt v vara vektorn som i standardbasen har koordinater ( v 5 (a Bestäm koordinaterna för v i basen A (b Bestäm (v B genom (v B T BA (v A Lösning: Låt E beteckna standardbasen Matrisen för basbyte från A till E ges då av ( 4 T EA vilket ger och (a Vi beräknar (v A T AE v T AE T EA ( 4 ( 4 ( 5 ( 7 (b Vi beräknar först koordinaterna av b och b i basen A genom ( ( ( 5 (b A T EA b 4 7 (b A T EA b ( 4 ( ( 8

38 8 OLOF BERGVALL Alltså är basbytesmatrisen från B till A ( 5 8 T AB 7 Vi kan nu beräkna basbytesmatrisen från A till B ( T BA T 8 AB 7 5 och slutligen ( 8 (v B T BA (v A 7 5 ( 7 ( 4 I exemplet ovan gör vi egentligen två basbysten - först ett från E till A och sedan ett från A till B I termer av basbytesmatriser kan vi uttrycka det vi gjort på följande sätt Sats Låt A, B och C vara baser för vektorrummet V Då gäller T CA T CB T BA Med andra ord, att först byta bas från A till B och sedan från B till C ger samma resultat som att direkt byta bas från A till C Vi avslutar med ett resultat som är användbart för att avgöra om en uppsättning vektorer är en bas Sats 4 Låt A (a,, a n vara en bas för vektorrummet V och låt b,, b n vara en följd av vektorer Följden b,, b n är en bas om och endast om matrisen är inverterbar ( (b A (b A (b n A

39 ANTECKNINGAR 9 4 Övningar 4 Låt e b, b R, e och e vara standardbasen E för R Låt och b Mängden B {b, b, b } är en bas för (a Bestäm koordinatvektorerna [e ] B, [e ] B and [e ] B (b Beräknabasbytesmatrisen T BE (c Låt v Använd TBE för att beräkna [v] B 4 En kvadratisk matris A kallas symmetrisk om A T A och mängden S {A M n n (R A A T } är ett delrum av M n n (R (a Hitta en bas B för S när n Vad är dim(s? (b Utvidga basen B till en bas B för M (R (c Hitta basbytesmatrisen T BE, där E {E, E, E, E } är standard- ( basen för M (R, dvs E, E ( och E ( (d Låt A Hitta koordinatvektorn (A B (, E (

40

41 ANTECKNINGAR 4 5 Radrum, kolonnrum, nollrum och rang 5 Radrum Givet en m n-matris a, a, a,n a, a, a,n A a m, a m, a m,n så betecknar vi den i:te raden i A med A i, (a i,, a i,,, a i,n Matrisen A ger alltså en följd av radvektorer A,, A,,, A m, i R n rader spänner i sin tur upp ett delrum Dessa som kallas radrummet av A R(A span{a,, A,,, A m, } R n Remark 5 En m n-matris A ger en linjär avbildning R A : R m R n genom att skicka en radvektor v till va Vi kan identiera bilden av R A med radrummet av A Problem Givet en matris A R m n, hitta en bas för radrummet av A Vi börjar med att beräkna en bas för radrummet i ett exempel Exempel Låt A 4 Då är radrummet av A R(A span{(,,,,, (,,, 4,, (,,,,, (,,,, } span{(,,,,, (,,, 4,, (,,,, } Vidare är A,, A, och A, linjärt oberoende Detta kan man lätt se från ekvationen c A, + c A, + c A, (c, c, c, c + 4c, c (,,,, där första koordinaten ger c, den tredje koordinaten ger c och den femte koordinaten ger c Alltså bildar A,, A, och A, en bas för radrummet av A Varför gick exemplet så lätt? Jo, för att matrisen var på trappstegsform

42 4 OLOF BERGVALL Delsvar: Om en matris A är på trappstegsform a,i,i,i a,i,i,i A a r,ir,i,i bildar A:s nollskillda rader A,, A,,,, A r, en bas för radrummet av A Vi vet sedan tidigare att vi genom att Gausseliminera kan reducera vilken matris som helst till trappstegsform Det nurliga är att vi inte ändrar radrummet under denna process Detta är innebörden av följande lemma Lemma 5 Låt u och v vara vektorer i ett vektorrum V Då gäller (i span{u, v} span{v, u}, (ii om c gäller span{u, v} span{u, cv}, (iii span{u, v} span{u, v + cu} för alla c R Proof Om w span{u, v} nns tal x och y sådana att (i Detta är klart då w xu + yv w yv + xu (ii Om c gäller y c c y Alltså har vi xu + y c v xu + yv w c så w span{u, cv} för alla w span{u, v} Alltså gäller span{u, v} span{u, cv} Den omvända inklusionen är ännu lättare att visa (iii Vi har w xu + yv xu + y(v + cu ycu (x ycu + y(v + cu så w span{u, v + cu} för alla w span{u, v} Alltså gäller span{u, v} span{u, v + cu} Den omvända inklusionen är ännu lättare att visa Lemmat ger följande sats Sats 5 Låt V vara ett vektorrum och låt S (v,, v n vara en följd vektorer Spannet span(s ändras inte om (i två vektorer i S kastas om, (ii en vektor i S multipliceras med en skalär c, (iii en multipel av en vektor i S adderas till en annan vektor i S I termer av matriser säger satsen att om A och B är två similära matriser, dvs om man kan få den ena från den andra via radoperationer, så gäller R(A span{a,, A,,, A m, } span{b,, B,,, B m, } R(B Eftersom varje matris är similär med en matris på trappstegsform vet vi nu hur man löser problemet i fallet R(A

43 ANTECKNINGAR 4 Lösning av problem: Om A är en m n-matris bestäms en bas för radrummet genom att Gausseliminera A tills man når en matris T på trappstegsform De nollskillda raderna i T bildar då en bas för R(A och antalet nollskillda rader i T är alltså lika med dimensionen av R(A Dimensionen av R(A kallas även radrangen av A Exempel Låt A Bestäm en bas för R(A Lösning: Vi Gausseliminerar tills vi får en matris på trappstegsform: De nollskillda raderna i trappstegsmatrisen är (,, 5 och (,, 4 Dessa radvektorer utgör alltså en bas för radrummet av A Radrangen av A är alltså 5 Kolonnrum Givet en m n-matris a, a, a,n a, a, a,n A a m, a m, a m,n så betecknar vi den j:te kolonnen i A med A,j a,j a,j a m,j Matrisen A ger alltså en följd av kolonnvektorer A,, A,,, A,m i R m Dessa kolonner spänner i sin tur upp delrummet som kallas kolonnrummet av A C(A span{a,, A,,, A,m } R m Remark 5 En m n-matris A ger en linjär avbildning L A : R n R m genom att skicka en vektor v till Av Om vi identierar R m med R m kan vi identiera bilden av L A med C(A Problem Givet en matris A R m n, hitta en bas för kolonnrummet av A Vi börjar med att beräkna en bas för kolonnrummet i ett exempel

44 44 OLOF BERGVALL Exempel Låt Då är kolonnrummet av A C(A span, 4 A, 4, span, 4, Vidare är A,, A, och A, linjärt oberoende Detta kan man lätt se från ekvationen c c c A, + c A, + c A, c c + 4c c där första koordinaten ger c, den tredje koordinaten ger c och den femte koordinaten ger c Alltså bildar A,, A, och A, en bas för kolonnrummet av A Anledningen till att exemplet gick så lätt är att vi lätt kunde se att de tre nollskillda kolonnerna var linjärt oberoende Vi kunde se detta enkelt eftersom transponatet av A är på trappstegsform: A T 4 Om vi vill kan vi använda det vi gjorde i förra videon för lösa problemet på följande sätt Lösning till problemet Låt A vara en matris En bas till kolonnrummet av A kan erhållas genom (i Transponera A (ii Gausseliminera A T till en matris M på trappstegsform (iii De nollskillda kolonnerna i transponatet M T är nu en bas för C(A Dimensionen av C(A (dvs antalet nollskillda kolonner i M T kallas kolonnrangen av A Om vi inte vill transponera A behöver vi inte det men då blir lösningen lite annorlunda - vi får då istället använda kolonnoperationer för att transformera matrisen A till en similär matris där en bas för kolonnrummet lätt kan avläsas

45 ANTECKNINGAR 45 Exempel Bestäm en bas för kolonnrummet av A Lösning: Vi kolonntransformerar A: Alltså är vektorerna en bas för kolonnrummet av A Kolonnrangen av A är alltså, I förra videon beräknade vi radrangen av matrisen A i exemplet och såg att även radrangen är Detta är ingen slump Sats 6 För varje m n-matris A gäller att rangrangen av A är lika med kolonnrangen av A Alltså är det onödigt att skilja mellan de två begreppen och vi pratar därför kort och gott om rangen av A För att bevisa satsen använder vi två hjälpresultat Lemma 54 Låt A vara en m n-matris och låt B vara en matris som erhålls från A via en elementär radoperation Låt A,i,, A,ir vara en uppsättning kolonner i A och låt c i,, c ir vara skalärer Då gäller ( c i A,i + + c ir A,ir om och endast om ( c i B,i + + c ir B,ir Proof Vi visar resultatet i fallet då vi får B genom att lägga en multipel av en rad i A till en annan rad i A Det andra fallet, dvs då tvårader i A bytt plats, är betydligt enklare och lämnas som övning Anta därför att vi får B genom att lägga rad k gånger rad j till rad l i A Med andra ord B A, A l, + ka j, A m,

46 46 OLOF BERGVALL Kolonnerna i B skiljer sig alltså bara från kolonnerna i A i l:te koordinaten Alltså räcker det att betrakta den l:te koordinaten av ekvation ( och ( då de är identiska i övriga koordinater Nu vill vi alltså visa att (' c i a l,i + + c ir a l,ir om och endast om (' c i b l,i + + c ir b l,ir Vi har att b l,i a l,i + ka j,i så vi kan skriva om ekvation (' som vilket i sin tur kan skrivas som c i (a l,i + ka j,i + + c ir (a l,ir + ka j,ir c i a l,i + + +c ir a l,ir +k (c i a j,i + + c ir a j,ir }{{}}{{} rad l i ekvation ( rad j i ekvation ( och ( Eftersom den andra termen i summan är k gånger rad j i både ekvation ( och ( måste den vara noll om någon av ekvation ( eller ( ska gälla Om så är fallet gäller ekvation (' om och endast om den första termen också är ( - men detta är ju rad l i ekvation (, dvs ekvation (' Med hjälp av ett lätt induktionsargument får man följande följdsats Corollary 55 Om A och B är radekvivalenta så är kolonnföljden A,i,, A,ir en bas för C(A om och endast om kolonnföljden B,i,, B,ir är en bas för C(B Vi kan nu relativt enkelt bevisa satsen Proof Vi kan genom elementära radoperationer transformera A till en matris B på fullständigt reducerad form (dvs trappstegsform där det första nollskillda elementet på varje rad är en etta och alla element ovanför varje sådan etta är noll Ettor av denna typ kallas pivotettor B Vi såg i förra videon att de nollskillda raderna till denna matris är en bas för radrummet av A, så radrangen av A är lika med antalet pivotettor i B Å andra sidan är det lätt att se att kolonnerna som innehåller pivotettorna utgör en bas för C(B Enligt korollariet utgör motsvarande kolonner i A en bas för C(A Speciellt är antalet element i denna bas för C(A lika med antalet pivotettor i B så kolonnrangen av A är lika med antalet pivotettor i B Alltså är kolonnrangen lika med radrangen Vi avslutar med ett exempel som visar att korollariet inte bara är användbart i beviset av satsen

47 ANTECKNINGAR 47 Exempel Låt A 7 4 Hitta en bas för kolonnrummet av A bland A:s kolonner Lösning: Vi Gausseliminerar: Vi ser att kolonn, och 5 i den fullständigt reducerade trappstegsmatrisen innehåller pivotettor Alltså bildar den första, tredje och femte kolonnen i A en bas för C(A enligt korollariet 5 Nollrum Givet en m n-matris a, a, a,n a, a, a,n A a m, a m, a m,n så är lösningsmängden N(A {x R n Ax } ett delrum i R n Detta delrum kallas nollrummet eller kärnan av A Problem Givet en m n-matris A, hitta en bas för nollrummet av A Lösning: Om vi radtransformerar A till en matris T på trappstegsform gäller Ax om och endast omt x Alltså är N(A N(T En bas för N(T kan läsas från T relativt enkelt - till varje kolonn utan pivotelement hör precis en basvektor (men det är inte nödvändigtvis kolonnen själv! Exempel Låt Bestäm en bas för N(A A Lösning: Vi börjar med att Gausseliminera för att få en matris på trappstegsform:

48 48 OLOF BERGVALL Detta ger ekvationerna vilket ger x +x +x 4 x +4x 4 x 5 x x x 4 x x 4 x 5 Vi kan alltså parametrisera lösningsmängden med avseennde på x och x 4 därför x s och x 4 t Vi har då s t s x 4t t s + t 4 Alltså utgör vektorerna en bas för N(T N(A, 4 Låt Kom ihåg att när vi reducerat en m n-matris till trappstegsform så ssvarar varje kolonn utan pivotelement i mot en basvektor för nollrummet Å andra sidan såg vi i förra videon att kolonnerna med pivotelement svarar mot basvektorer i en bas för kolonnrummet Alltså gäller dim N(A + dim C(A n Men dimensionen av kolonnrummet är också lika med rangen av A (och även dimensionen av radrummet av A Alltså har vi: Dimensionssatsen Om A är en m n-matris så gäller dim N(A + rang(a n Kom ihåg att vi kan tolka kolonnrummet som bilden av den linjära avbildningen L A : R n R m som skickar vektorn v till Av Dimensionssatsen säger då att det varken tillkommer eller försvinner någon dimension i denna process - antingen hamnar dimensionen i bilden eller bland de vektorer som avbildas till noll Exempel Bestäm rangen av matrisen A A från förra exemplet

49 ANTECKNINGAR 49 Lösning: Vi såg i detta förra exemplet att dimensionen av N(A är Dimensionssatsen säger att dim N(A + rang(a 5 så rang(a 5

50 5 OLOF BERGVALL 54 Övningar 5 Låt A 7 Finn en bas för R(A, en bas för C(A, en bas för N(A samt rangen av A 5 Hitta baser för radrummen, kolonnrummen samt rangen av följande matriser genom inspektion: A, B, C 5, D 5 Beskriv radrummen, kolonnrummen och nollrummen samt beräkna rangen av följande matriser: A 4 6, B

51 ANTECKNINGAR 5 6 Linjära transformationer 6 Linjära transformationer Denition 6 Låt U och V vara vektorrum En avbildning f : U V kallas linjär om L f(u + u f(u + f(u för alla u, u U L f(cu cf(u för alla u U och alla c R Vi ska nu koncentrera oss på linjära avbildningar mellan U R n och V R m Sådana avbildningar kan vi beskriva fullständigt på följande sätt Sats 7 Låt e,, e n vara standardbasen för Rn och för en vektor x R n, låt (x E beteckna desskoordinatvektor i standardbasen En matris A R m n bestämmer en linjär avbildning L A genom L A : R n R m, L A (x A (x E och en linjär avbildning f bestämmer en matris [f] genom [f] (f(e f(e n och vi har att [L A ] A och L [f] f Matrisen [f] kallas f:s matris Exempel Den linjära avbildningen f : R R uppfyller ( ( f, f, f (a Bestäm f:s matris (b Bestäm f (c Bestäm f(x för ett godtyckligt x R ( Lösning: (a Variant : Vi börjar med att uttryck standardbasvektorerna e, e, e som linjärkombinationer av vektorerna v, v, v

52 5 OLOF BERGVALL Vi har (efter standardberäkningar e (v + v v e (v v v e (v + v + v Detta ger för e f(e f ( (v + v v f(v + v v (f(v + f(v f(v ( + ( }{{} f(v ( }{{} f(v ( / ( }{{} f(v För e får vi f(e f ( (v v v f(v v v (f(v f(v f(v f(v f(v f(v ( ( ( }{{}}{{}}{{} ( 4 ( 4/

53 ANTECKNINGAR 5 För e får vi f(e f ( (v + v + v f(v + v + v Alltså gäller (f(v + f(v + f(v ( + ( }{{} ( 5 6 f(v }{{} f(v ( 5/ ( + }{{} f(v ( [f] (f(e f(e f(e 4 5 (a Variant : I beräkningarna ovan kan vi observera att vi gjort ungefär samma saker tre gånger Om vi istället gör beräkningarna på matrisform blir de lite mer eektiva Idén är då att ställa upp matrisen ( v v M v f(v f(v f(v och sedan utföra kolonnoperationer tills vi får matrisen ( e e N e f(e f(e f(e Vi får / + / 4/ 5/

54 54 OLOF BERGVALL Alltså får vi att ( [f] (f(e f(e f(e 4 5 (b Vi får f genom att utföra multiplikationen [f] ( 4 5 ( ( (c Vi har f x x x [f] x x x ( 4 5 x x x ( x 4 x + 5 x x x + x Vi avslutar med en sats Sats 8 Låt f : R n R m och g : R m R k vara linjära transformationer Den sammansatta avbildningen g f : R n R k är linjär och dess matris ges av matrismultiplikationen 6 Linjära operatorer [g f] [g] [f] Denition 6 En linjär transformation f : V V kallas för en linjär operator på V Matrisen för en linjär operator på R n har dimensionerna n n, dvs den är kvadratisk Omvänt ger varje kvadratisk matris en linjär operator Exempel Låt f : R R vara spegling i xy-planet och låt g : R R vara spegling i xz-planet (a Bestäm matriserna för operatorerna f och g (b Bestäm matrisen för g f (c Visa att g f är rotation kring x-axeln med vinkel π Lösning: (a Vid spegling i xy-planet bevaras x- och y-koordinaterna medan z- koordinaten byter tecken

55 ANTECKNINGAR 55 z v y x Alltså gäller f x y z f(v x y z så f(e e, f(e e och f(e e Från detta ser vi att [f] På liknande sett kan vi se att [g] (b Vi såg i förra videon att matrisen för kompositionen g f ges av produkten [g] [f] Alltså har vi [g f] [g] [f] (c Låt r beteckna rotation kring x-axeln en vinkel π Vi har då att r bevarar x-koordinaten medan y- och z-koordinaterna byter tecken Alltså är matrisen för r [r] Alltså gäller [r] [g f] så r g f Exempel På varje vektorrum nns den identiska operatorn eller identitetsavbildningen id som skickar varje vektor till sig själv, id(v v Matrisen svarande mot den identiska operatorn på R n är identitetsmatrisen I n av storlek n n

56 56 OLOF BERGVALL Denition 6 En linjär operator f : V V kallas inverterbar om det nns en linjär operator g : V V sådan att g f id Om en sådan operator g nns är den entydigt bestämd av f, betecknas f och kallas inversen av f Sats 9 En linjär operator f : R n R n är inverterbar om och endast om dess matris [f] är inverterbar och i så fall gäller [f ] [f] Exempel Rotation en vinkel α ger en linjär operator r α : R R Vi har att r α r α id r α r α så r α är inverterbar och rα r α Enligt Sats 9 är [r α ] inverterbar och [r α ] [rα ] [r α ] Detta stämmer överens med ( ( ( [r α ] cos α sin α cos α sin α cos ( α sin ( α r sin α cos α sin α cos α sin ( α cos ( α α vilket vi observerat tidigare i kursen Exmpel Låt f : R R vara operatorn som ges av ( ( x x x f x x + x (a Visa att f är linjär (b Visa att f är inverterbar (c Finn f (y för godtyckligt y R Lösning: (a Låt Då är A ( ( ( x x x A x x + x så f L A Alltså är f linjär (b Vi vet från kursen Algebra och geometri att en matris är inverterbar om och endast om dess determinant är nollskilld och f är i sin tur inverterbar om och endast om dess matris [f] är inverterbar Vi såg i (a att [f] A så vi måste visa att determinanten av A är nollskilld Vi har ( det(a det ( (c Vi har att f (y [f ](y och [f ] [f] Vi har att [f] A så vi inverterar A: ( ( ( + ( + (

57 ANTECKNINGAR 57 så Alltså gäller f (y A ( y y A ( ( ( y ( y + y y y + y Exempel Låt A vara matrisen A 4 och låt f L A (a Låt U {u R f(u } Visa att U är ett delrum av R (b Låt V {v R det nns x R sådant att f(x v} Visa att V är ett delrum av R (c Finn baser för U och V Lösning: (a Vi har att f(x Ax och x U om och endast om f(x Alltså gäller det att x U om och endast om Ax Med andra ord är U N(A och vi vet att nollrummet är ett delrum (b Vi har att det nns x i R sådant att f(x v om och endast om det nns ett x R sådant att Ax v Att Ax v är det samma som x A, + x A, + x A, v Alltså nns ett x R sådant att Ax v om och endast om v span{a,, A,, A, } C(A Men vi vet att kolonnrummet av en matris är ett delrum (c Vi Gausseliminerar till vi får en matris T på trappstegsform Vi ser att pivotettorna är i kolonn och så kolonn och i A är en bas för V C(A Matrisen T ger ekvationssystemet x x x x Om vi låter x t har en allmän vektor i U N(A formen x t x x t t t Alltså är en bas för U Vi avslutar med att sammanfatta vad vi pratat om kring linjära transformationer och linjära operationer

58 58 OLOF BERGVALL Låt L(U, V beteckna mängden av linjära transformationer från U till V Vi har sett att vi har följande korrespondenser mellan matriser och linjära avbildningar: R m n L(R n, R m A L A [f] [ f I dessa korrespondenser svarar matrismultiplikation mot sammansättning av linjära avbildningar kvadratiska matriser mot linjära operatorer inverterbara matriser mot inverterbara linjära operatorer

59 ANTECKNINGAR 59 6 Övningar 6 Låt f : R R 4 den linjära transformation som ges av ( x + x x f x x x x x (a Hitta matrisen ( för f (b Beräkna f genom att använda denitionen av f ( (c Beräkna f genom matrismultiplikation 6 Låt f : R R vara den linjära avbildning som reekterar en vektor i y-axeln (a Skriv ned ett uttryck för f på formen f(x (h (x, h (x (b Beräkna [f] (c Beräkna matrisen för f f Vilken är relationen mellan f och f? 6 Låt g : R R vara den linjära avbildning som ges av rotation moturs kring origo en vinkel π/ (a Skriv ned ett uttryck för g på formen f(x (h (x, h (x (b Beräkna [g] (c Låt f vara avbildningen från den förra uppgiften Fundera först geometriskt kring om det bör gälla att f g g f och se sedan om du har rätt genom att beräkna [f g] och [g f]

60

61 ANTECKNINGAR 6 7 Egenvärden och egenvektorer 7 Introduktion till egenvärden och egenvektorer Vi har tidigare ofta tolkat linjära operatorer som givits geometriskt, såsom rotationer, projektioner och speglingar, i termer av matriser Vi ska nu göra det omvända, dvs tolka kvadratiska matriser geometriskt Exempel Låt A ( / / / / Visa att L A är en spegling och ange dess axel Lösning: En spegling i R har två extra viktiga riktningar: En speglingsaxel L span{l} - vektorer som ligger på denna axel ändras inte vid speglingen En normalriktining n, n l - vektorer som har denna riktning får helt omvänd riktning vid speglingen Alltså, om L A är en spegling så kan vi hitta nollskillda vektorer l och n sådana att Al l och An n och dessa vektorer karaktäriserar speglingen y l n x Vi ställer därför upp ekvationen Vi har A I Al l Al Il Al Il (A Il ( / / / / ( Alltså gäller Al l om och endast om l l så exempelvis ( l + ( löser ekvationen Vi vet att n ska vara ortogonal mot l så vi låter väljer ( n Då har vi l n (, (, + Dock måste vi fortfarande kontrollera att An n: ( ( ( / / An + ( / / n

62 6 OLOF BERGVALL {( Alltså är A en spegling med axel span {l} span Hur ska man göra om det inte är givet att A är en spegling? Vi kan ju fortfarande göra en ansats och försöka lösa ekvationerna Ax x och Ay y men om A inte är en spegling kommer de inte att ha några lösningar En lite mer generell ansats är följande: låt λ vara ett reellt tal (som vi för närvarande betraktar som en variabel och betrakta ekvationen Ax λx Då kan vi först försöka hitta de λ som gör att ekvationen har lösningar och sedan lösa ekvationen för vart och ett av dessa λ Vi illustrerar detta med ett exempel Exempel Låt A ( (a Finn alla λ sådana att ekvationen Ax λx har icke-triviala lösningar (b Lös ekvationen Ax λx för vart och ett av dessa λ (c Tolka operatorn L A geometriskt Lösning: (a Vi har följande serie av ekvivalenser: Ax λx har en lösning x Ax λix har en lösning x } λix Ax har en lösning x (λi Ax har en lösning x En ekvation Mx, där M är en kvadratisk matris, har icke-triviala lösningar om och endast om M inte är inverterbar Detta sker i sin tur om och endast om det(m Alltså har ekvationen Ax λx icke-triviala lösningar om och endast om det(λi A Vi ställer därför upp ekvationen det(λi A det ( λ λ (λ λ Vi ser alltså att vi måste ha λ eller λ för att ekvationen Ax λx ska ha icke-triviala lösningar (b Ekvationen Ax x ger x x så vi parametriserar med avseende på x och ser att lösningarna har formen x ( s s s ( Ekvationen Ax x ger oss (I Ax Vi har ( I A s R så vi ser att x medan x kan ta vilket reellt värde som helst Lösningarna har därför formen ( ( s x s

63 ANTECKNINGAR 6 (c Vektorerna b ( ( b utgör en bas för R Denna bas är väl anpassad till operatorn L A eftersom L A (b och L A (b b Projektionen p : R R på x-axeln paralellt med b uppfyller också p(b och p(b b Men om två linjära transformationer stämmer överens på en bas är de samma linjära transformation Alltså kan L A tolkas som projektionen på x-axeln paralellt med b y v c b + c b b b x c b L A (v De exempel vi sett motiverar följande denition Denition 7 Låt A vara en n n-matris (i De tal λ sådana att ekvationen Ax λx har icke-triviala lösningar kallas för A:s egenvärden (ii Om λ är ett egenvärde till A och v är en nollskilld vektor som uppfyller Av λv kallas v för en egenvektor till A med egenvärde λ (iii Lösningsmängden till ekvationen Ax λx är ett delrum av R n som kallas egenrummet till A svarande mot λ och det betecknas E(λ eller E A (λ (för att se att E A (λ är ett delrum, observera att E A (λ N(λI A Egenvärdena till A bestäms genom att lösa den karaktäristiska ekvationen det(λi A Vänsterledet i denna ekvation är ett polynom i λ Detta polynom kallas A:s karaktäristiska polynom 7 Fler exempel kring egenvärden och egenvektorer I den här videon ska vi titta på ytterligare några exempel kring egenvärden och egenvektorer Vi börjar med att repetera denitionen Denition 7 Låt A vara en n n-matris (i De tal λ sådana att ekvationen Ax λx har icke-triviala lösningar kallas för A:s egenvärden (ii Om λ är ett egenvärde till A och v är en nollskilld vektor som uppfyller Av λv kallas v för en egenvektor till A med egenvärde λ

64 64 OLOF BERGVALL (iii Lösningsmängden till ekvationen Ax λx är ett delrum av R n som kallas egenrummet till A svarande mot λ och det betecknas E(λ eller E A (λ Exempel Låt O n vara nollmatrisen av storlek n n Eftersom O n x x för alla vektorer x R n ser vi att det enda egenvärdet till O n är Vi ser också att alla vektorer i R n är egenvektorer till O n och vi har E (O n R n Exempel Låt I n vara identitetsmatrisen av storlek n n Eftersom I n x x x för alla vektorer x R n ser vi att det enda egenvärdet till I n är Vi ser också att alla vektorer i R n är egenvektorer till I n och vi har E (I n R n Alternativt kan vi använda den karaktäristiska ekvationen λ λ det(λ I n I n det för att se att λ är det enda egenvärdet λ (λ n Exempel Låt A Vi vill tolka A (eller snarare L A geometriskt För att göra detta börjar vi med att hitta A:s egenvärden Vi ställer därför upp den karaktäristiska ekvationen det(λ I A Remark 7 Kom ihåg att en determinant inte ändras av att lägga en multipel av en rad till en annan men byter tecken om vi byter plats på två rader Om vi multiplicerar en rad med en konstant c multipliceras determinanten med c Men vi är bara intresserade av när determinanten är noll och lösningarna till denna ekvation påverkas inte av att multiplicera ekvationen med ett nollskillt tal (eftersom vad som helst gånger är Alltå påverkas inte egenvärdena om vi utför elementära radoperationer i den karaktäristiska ekvationen

65 ANTECKNINGAR 65 Vi har λ + det(λ I A det λ + λ + λ λ λ det λ + λ + (λ det λ + + λ + + (λ det λ + λ + (λ (λ Alltså är egenvärdena λ och λ Nästa steg är att bestämma egenrummen E A ( och E A ( Kom ihåg att egenrummet svarande mot egenvärdet λ är nollrummet N(λ I A Alltså har vi att E A ( N(I A och E A ( N( I A Vi börjar med att beräkna N(I A genom att Gausseliminera matrisen I A: 4 4 I A 4 4 /4 / Detta ger ekvationssystemet Vars lösningsmängd är E A ( s { x x x x, s R span Med andra ord: multiplar av vektorn A ändras inte vid multiplikation med

66 66 OLOF BERGVALL Vi fortsätter och beräknar E A ( N( I A Vi har I A vilket ger ekvationen x x x Denna ekvation har lösningsmängden s t E A ( s, s, t R s + t t span, Vi har nu att b, b, b utgör en bas för R som är väl anpassad för L A i bemärkelsen att Rotation r kring axeln ett halvt varv uppfyller också L A (b b, L A (b b, L A (b b span r(b b, r(b b, r(b b, s, t R Eftersom r och L A är lika på en bas är de samma linjära transformation Alltså är L A rotation ett halvt varv kring axeln som spänns upp av b

67 ANTECKNINGAR 67 7 Övningar 7 Låt A 6 (a Bestäm A:s egenvärden (b Hitta en bas för egenrummen till A (c Försök att beskriva funktionen f(x Ax geometriskt 7 Låt A (a Bestäm A:s egenvärden (b Hitta en bas för egenrummen till A 7 Låt A (a Bestäm A:s egenvärden (b Hitta en bas för egenrummen till A

68

69 ANTECKNINGAR 69 8 Diagonalisering 8 Egenvärden och diagonalisering Om vi har en n n-matris A kan vi betrakta operatorn L A : R n R n som tar en vektor x till Ax Vi har sett era exempel där vi kunnat tolka L A geometriskt genom att hitta baser som är välanpassade med avseende på L A - mer precist består dessa baser av egenvektorer till A En bas av egenvektorer till A karaktäriserar L A på ett påtagligt sätt Vi tittar på några exempel Exempel Operatorn L A : R R är en spegling i en linje om och endast om det nns en bas b, b sådan att Ab b, Ab b och b b v y b b Av x Exempel Operatorn L A : R R är en projektion på en linje om och endast om det nns en bas b, b sådan att Ab b och Ab y v b b Av x Exempel Operatorn L A : R R är en rotation kring en linje om och endast om det nns en bas b, b, b sådan att Ab b, Ab b, Ab b och b b, b b

70 7 OLOF BERGVALL z v b Av b b y x Exempel Operatorn L A : R R är en spegling i ett plan om och endast om det nns en bas b, b, b sådan att Ab b, Ab b, Ab b och b b, b b z b v b b y x Av Exempel Operatorn L A : R R är en spegling i projektion på ett plan om och endast om det nns en bas b, b, b sådan att Ab b, Ab b, Ab z b v b b Av y x Exemplen har gemensamt att vi kan förstå avbildningarna L A eftersom det nns baser b,, b n sådana att Ab i λ i b i

71 ANTECKNINGAR 7 för några skalärer λ,, λ n Med andra ord så består b,, b n av egenvektorer till A Sambandet mellan matrisen A, basen b,, b n och egenvärdena λ,, λ n kan skrivas med hjälp av en matrisekvation Låt B vara matrisen med b,, b n som kolonner B (b b b n och låt D vara diagonalmatrisen med λ,, λ n längs diagonalen λ λ D λ n Då gäller (* A BDB Vi kan tänka på ekvation (* i termer av basbyten Matrisen B är basbytesmatrisen från standardbasen i R n till egenbasen b,, b n I egenbasen beskrivs operatorn L A av matrisen D eftersom L A (b i λ i b i Matrisen B är sedan basbytesmatrisen tillbaka till standardbasen Totalt gör vi alltså först ett basbyte, utför operationen L A och byter sedan tillbaka till standardbasen - alltså kunde vi lika gärna utfört operationen L A direkt på standardbasen där operatorn har matris A Genom att multiplicera Ekvation (* med B från vänster och B från höger får vi B AB D Denition 8 En kvadratisk matris A kallas diagonaliserbar om det nns en inverterbar matris B och en diagonal matris D sådana att B AB D Exempel Matrisen A ( är diagonaliserbar eftersom ( ( ( ( ( Exempel Matrisen A är diagonaliserbar eftersom ( ( ( ( (

72 7 OLOF BERGVALL Exempel Matrisen är diagonaliserbar eftersom A Exempel Matrisen A ( är inte diagonaliserbar Vi visar att så är fallet i nästa video 8 Mer om diagonalisering I den förra videon såg vi att om vi vill förstå en linjär operator L A : R n R n geometriskt så är det viktigt att förstå egenvärdena och egenvektorerna till matrisen A Detta ledde oss till begreppet diagonalisering Denition 8 En kvadratisk matris A kallas diagonaliserbar om det nns en inverterbar matris B och en diagonal matris D sådana att B AB D Från denna denition är det inte helt tydligt hur begreppen diagonaliering och egenvärden hänger ihop Detta preciseras av följande sats Sats Låt A vara en n n-matris Då är följande ekvivalent: (i Det nns en bas (b,, b n för R n som består helt av egenvektorer till A (ii Matrisen A är diagonaliserbar, dvs det nns en inverterbar matris B och en diagonal matris D sådana att B AB D Vidare är kolonnerna B egenvektorerna b,, b n (i någon ordning och elementen längs D:s diagonal är egenvärdena till A (i samma ordning som kolonnerna i B Proof (i (ii: Låt N (b,, b vara en bas i R n sådan att Ab i λ i b i, i,, n Då uppfyller basbytesmatrisen T EN (b b b n och diagonalmatrisen sambandet så (ii är uppfylld med B T EN λ λ D λ n T EN AT EN D

73 ANTECKNINGAR 7 (ii (i: Anta att B är en inverterbar matris Då är utgör kolonnerna i B en bas enligt en sats vi sett tidigare i kursen Låt och anta att B AB D Då gäller λ λ D λ n AB,j d j B,j så (i är uppfylld med b j B,j Exempel Matrisen A ( är inte diagonaliserbar Vi visar detta genom att visa att det inte nns en bas av egenvektorer till A Betrakta den karaktäristiska ekvationen det(λi A λ λ λ Alltså är λ det enda egenvärdet Vi beräknar egenrummet E A (: E A ( N( I A N( A N(A Alltså behövs ingen Gausseliminering utan vi kan direkt avläsa ekvationen x som löses av alla x Lösningsmängden är därför {( x } (, x R span Alla egenvektorer till A är alltså på formen ( a så de spänner inte upp R (de spänner bara upp x-axeln Exempel Låt f : R R vara spegling i linjen L : x + 4y Finn f:s matris A Lösning: Matrisen A kan bestämmas via geometriska resonemang men vi ska använda en annan metod ( ( 4 Linjen L har en riktningsvektor b och normalvektor b 4

74 74 OLOF BERGVALL y b x b Detta innebär att Ab f(b b och Ab f(b b Alltså är b och b en bas av egenvektorer till A med egenvärden λ resp λ Alltså uppfyller matriserna B (b b ( 4 4 ekvationen B AB D Detta ger ( ( λ, D λ A BDB ( ( ( ( ( ( Exempel Låt Beräkna A A 8 Lösning: Rent principiellt skulle vi ju kunna multiplicera A med sig själv gånger men det är väldigt opraktiskt Vi observerar istället att om A är diagonaliserbar så nns en matris B och en diagonal matris D sådana att och detta ger att B AB D D (B AB (B AB(B AB (B AB }{{} gånger B A B Alltså gäller D B A B vilket i sin tur ger A BD B

75 ANTECKNINGAR 75 Poängen med detta är att det är lätt att ta potenser av diagonala matriser: k λ λ k λ λ k λ n λ k n Vi försöker därför diagonalisera A och betraktar därför den karaktäristiska ekvationen λ 8 det(λi A λ + (λ (λ + λ + så egenvärdena är λ och λ Vi bestämmer nu baser för egenrummen E A ( och E A ( Vi har E A ( N(I A så vi Gausseliminerar matrisen I A: Vi har alltså x x så E A ( span Vi har E A ( N( I A så vi Gausseliminerar matrisen I A: 8 4 vilket ger x x 4x Sätt x s, x t Då har vi E A ( s 4t s span, 4 t Alltså är b, b, b en bas för R av egenvektorer till A Om vi låter B vara matrisen (b b b och D λ λ λ har vi alltså A BDB och A BD B Men det är lätt att se att D n är lika med identitetsmatrisen om n är jämnt och D n D om n är udda Eftersom är udda gäller D D så 4 A BD B BDB A

76 76 OLOF BERGVALL Alltså gäller A A Vi kan generalisera exemplet till följande resultat Proposition Låt matrisen A diagonaliseras som B AB D Då gäller för alla heltal n A n B D n B Vi har nu sett att diagonalisering både är viktigt för att förstå linjära avbildningar geometriskt och för att kunna göra eektiva matrisberäkningar Därför vill vi kunna avgöra om en matris är diagonaliserbar eller ej Detta kan vi göra på följande sätt Låt A vara en n n-matris För att avgöra om A är diagonaliserbar kan vi ( Beräkna A:s egenvärden λ,, λ l Vi vet att l n ( Beräkna d i dim E A (λ i samt summan l s i Vi vet då att l s n ( Om s < n är A inte diagonaliserbar och om s n är A diagonaliserbar Ett viktigt specialfall är fallet då A har n olika egenvärden Eftersom d i måste summan s vara åtminstone n Men vi vet att den är som mest n så vi drar slutsatsen att s n (och d i Alltså är A diagonaliserbar om A har n egenvärden (men -matrisen i exemplet ovan har bara två egenvärden och är trots detta diagonaliserbar så detta är inte ett nödvändigt villkor d i

77 ANTECKNINGAR 77 8 Övningar 8 Låt A Är A diagonaliserbar? Om så är fallet, beräkna A k för alla k och beskriv f(x Ax geometriskt 8 Låt A Är A diagonaliserbar? Om så är fallet, beräkna A k för alla k och beskriv f(x Ax geometriskt 6 8 Låt A Beräkna A k för alla k ( 84 (Från gammal dugga Hitta A n för alla naturliga tal n, om A

78

79 ANTECKNINGAR 79 9 Inre produkter och Cauchy-Schwarz olikhet 9 Inre produkter Kom ihåg att skalärprodukten av två vektorer u (u,, u n och v (v,, v n i R n denieras som summan u v n u i v i u v + u v + + u n v n i Kom också ihåg att många geometriska koncept kan denieras i termer av skalärprodukten Exempelvis: Längden av en vektor v kan denieras som v v v Avståndet mellan två vektorer u och v kan denieras som u v (u v (u v Två vektorer u och v är vinkelräta om och endast om u v Skalärprodukten är konceptuellt viktig eftersom den låter oss tänka geometriskt men den är också viktig ur många andra perspektiv Exempelvis är den viktig inom numeriska metoder då den låter oss mäta om algoritmer tar sig framåt eller inte Det är alltså önskvärt att ha något som motsvarar skalärprodukten även i andra vektorrum än R n, bland annat eftersom det låter oss överföra viktiga koncept såsom längd, avstånd och ortogonalitet Vi ska därför försöka identiera vilka som är de viktiga egenskaperna hos skalärprodukten för att på så vis kunna abstrahera detta koncept Vi börjar med att observera att skalärprodukten är en avbildning Vidare gäller R n R n R (SP u v v u - skalärprodukten är symmetrisk (SP (u + v w u w + v w - skalärprodukten är additiv (SP om c är en skalär gäller (cu v c(u v - skalärprodukten är homogen (SP4 om v gäller v v > - skalärprodukten är positivt denit Detta motiverar följande denition Denition 9 Låt V vara ett vektorrum En inre produkt på V är en avbildning, : V V R sådan att (IP u, v v, u (symmetri (IP u + v, w u, w + v, w (additivitet (IP cu, v c u, v (homogenitet (IP4 v, v > om v (positivt denit Exempel Låt V vara vektorrummet av polynom av grad som mest och deniera p(x, q(x p(x q(xdx

80 8 OLOF BERGVALL Vi har p(x, q(x så, är symmetrisk Vidare har vi att p(x + q(x, r(x så, är additiv Vi har också att c p(x, q(x så, är homogen Slutligen gäller p(x, p(x p(x q(xdx q(x p(xdx q(x, p(x (p(x + q(x r(xdx (p(x r(x + q(x r(xdx p(x r(xdx + p(x, r(x + q(x, r(x c c p(x q(xdx p(x q(xdx c p(x, q(x p(x p(xdx q(x r(xdx p(x dx > om p(x eftersom kvadraten av ett reellt tal alltid är ickenegativt Alltså är, en inre produkt Exempel Låt M vara vektorrummet av -matriser Kom ihåg att spåret, Tr(A, av en kvadratisk matris A är summan av dess diagonalelement Deniera A, B Tr(A T B Alltså har vi exempelvis ( ( ( ( T (, Tr (( ( Tr (( Tr + Vi har Tr(A T Tr(A (elementen längs diagonalen xeras ju vid transponering Vidare gäller (A T B T B T A Alltså gäller B, A Tr(B T A Tr((A T B T Tr(A T B A, B

81 ANTECKNINGAR 8 dvs (IP Vi har (A + B T A T + B T och Tr(A + B Tr(A + Tr(B så A + B, C Tr((A + B T C Tr((A T + B T C Tr(A T C + B T C Tr(A T C + Tr(B T C A, C + B, C så (IP är också uppfyllt Vi har (ca T ca T och Tr(cA ctr(a så ca, B Tr((cA T B Tr(cA T B ctr(a T B c A, B så (IP är också uppfyllt Låt Då gäller ( a, a A, a, a, A, A Tr(A T A (( a, a Tr, (( Tr ( a, a, a, a, a, a, a, + a, a, a, + a, a, a, a, + a, a, a, + a, a, + a, + a, + a, eftersom det är en summa av kvadrater Vi har också att A, A om och endast om a, a, a, a,, dvs om och endast om A är nollmatrisen Alltså är även (IP4 uppfyllt Vi avslutar med lite terminologi Denition 9 Ett vektorrum V med en inre produkt u, v kallas ett inre produktrum Ett inre produktrum av ändlig dimension kallas ett euklidiskt rum Skalärprodukten n u, v u v u i v i på R n kallas standardskalärprodukten Vektorrummet R n tillsammans med standardskalärprodukten är ett euklidiskt rum som betecknas E n Skillnaden mellan R n och E n är alltså bara att vi xerat en inre produkt på E n i

82 8 OLOF BERGVALL 9 Positivt denita matriser I förra videon denierade vi inre produkter Denition 9 Låt V vara ett vektorrum En inre produkt på V är en avbildning, : V V R sådan att (IP u, v v, u (symmetri (IP u + v, w u, w + v, w (additivitet (IP cu, v c u, v (homogenitet (IP4 v, v > om v (positivt denit Om A är en n n-matris får vi en avbildning R n R n R genom Vi har och (x, y x T Ay (x + y T Az x T Az + y T Az (cx T Ay c(x T Ay så denna avbildning är additiv och homogen men den är inte nödvändigtvis symmetrisk vilket visas av att ( ( ( ( ( 4 7 medan ( ( 4 ( ( ( 4 Vad måste gälla för A för att x T Ay ska vara symmetrisk? Vi har e T i Ae j e T i A,j a i,j medan e T j Ae j e T j A,i a j,i Alltså är a i,j a j,i ett nödvändigt villkor, dvs A måste vara symmetrisk, A A T Men om A T A har vi x T Ay x T A T y (x T A T y T y T Ax så x T Ay är symmetrisk Alltså är det precis de symmetriska matriserna som gör att x T Ay uppfyller (IP, (IP och (IP Men alla symmetriska matriser uppfyller inte (IP4 Denition 94 En symmetrisk matrisk A kallas positivt denit om x T Ax > om x Med andra ord - positivt denita matriser är de matriser som ger inre produkter på R n genom x, y x T Ay Exempel Låt A Alltså gäller ( Då gäller x, y x T Ay ( x x ( x, x x + x ( y y x y + x y

83 ANTECKNINGAR 8 så x, x > om x Alltså är A positivt denit och, är en inre produkt på R Det centrala steget i lösningen var att observera att en summa av positiva multipler av kvadrater aldrig är mindre än Genom att kvadratkomplettera kan vi använda samma trick även i fall där vi inte har en summa av kvadrater från början Exempel Låt A ( Då gäller x, y x T Ay ( x x ( Alltså gäller ( y y x y + x y + x y + x y x, x x + x x + x Vi kvadratkompletterar detta uttryck för att bli av med blandtermen Vi får då x + x x + x x + (x + x x x + x Alltså är A positivt denit x + (x + x + x Exempel Låt A vara en diagonal matris a a A a n Då är så x T Ay a x y + a x y + + a n x n y n x T Ay a x + a x + + a n x n Alltså är A positivt denit om alla a i är större än noll Om a i så gäller däremot e T i Ae i a i så A är inte positivt denit om något a i inte är positivt Alltså är A 4 positivt denit medan B 4 och C inte är positivt denita I de fall då diagonalelementen a i är positiva kallas den inre produkten x, y x T Ay n i a ix i y i för den viktade inre produkten med vikter a,, a n

84 84 OLOF BERGVALL Exempel Låt A Då har vi x, y x T Ay x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y och x, x x T Ax x + x + x + x x + x x (x + x + (x + x + x + x Om x, x måste alltså x + x x + x x x så vi ser att x är den enda möjligheten Alltså är A positivt denit Vi har sett att för att avgöra om en symmetrisk matris är positivt denit kan man använda kvadratkomplettering Det nns dock en alternativ metod För att formulera den behöver vi följande denition Denition 95 Låt A vara en n n-matris och låt A i vara matrisen som fås från A genom glömma alla rader och kolonner med index större än i, dvs om A (a k,l k,l n så är A i (a k,l k,l i Den i:te huvudminoren M i av A är determinanten av A i Om så gäller alltså M a,, A ( a, a M det, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a,, M det a, a, a, a, a, a, a, a, a, Sats En symmetrisk matris är positivt denit om och endast om alla dess huvudminorer är positiva Exempel Vi har redan sett att matrisen A

85 ANTECKNINGAR 85 är positivt denit Vi vererar att huvudminorerna är positiva: M > ( M det > M det ( ( det + det ( + 4 > Exempel Matrisen A ( 6 6 har huvudminorerna M M det ( Alltså är A inte positivt denit så vi kan hitta något x sådant att x T Ax Vi verierar detta: x T Ax x + 6x x + x ( x + 6x x + x ( x + 6 x Om vi exempelvis väljer x 6 och x har vi x T Ax 9 Längd, avstånd och ortogonalitet Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt u, v Vi denierar längden av en vektor v genom v v, v Vi denierar avståndet mellan två vektorer u och v som d(u, v u v u v, u v Slutligen denierar vi vinkeln mellan de nollskillda vektorerna u och v som ( u, v cos u v Om vinkeln mellan u och v är π/ säger vi att u och v är ortogonala Detta händer precis om u, v De här denitionerna är insipirerade av motsvarande denitioner för standardskalärprodukten på R n Dock är det inte uppenbart att de fungerar för allmäna inre produkter Till att börja, eftersom denitionerna innehåller kvadratrötter måste

86 86 OLOF BERGVALL vi ha v, v och u v, u v Detta är dock uppfyllt eftersom en inre produkt är positivt denit Cosinus tar värden mellan och - alltså måste u, v u v för att denitionen av vinkeln ska fungera Detta är innebörden i Cauchy-Schwarz olikhet Sats (Cauchy-Schwarz olikhet Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt u, v Då gäller för alla u och v i V Vi skjuter på beviset till nästa video u, v u v Exempel Låt P vara inre produktrummet av polynom med inre produkt p, q p(xq(xdx Låt p(x x, q(x x Beräkna p, q, d(p(x, q(x samt vinkeln mellan p(x och q(x Lösning: Vi har så p(x så q(x p(x x, x Vidare har vi x dx q(x x, x Vi har 4 5 4x 4 dx [ 4 5 x5 x xdx [ ] x d(p(x, q(x p(x q(x, p(x q(x x x dx ] (x 4x + 4x 4 dx (x x dx [ x x x5 ]

87 Alltså är d(p, q 5 Slutligen har vi p(x, q(x ANTECKNINGAR 87 [ x4 x x ] så vinkeln mellan p(x och q(x är ( ( p, q cos cos p q 5 x ( 5 cos 4 Vi har att 4 6 så 5 < 4 och alltså 5 4 precis som sig bör Exempel Låt P vara det inre produktrummet av polynom med inre produkt p, q Beräkna vinkeln mellan och x Lösning: Vi börjar med att beräkna Vi har och samt Alltså har vi Vinkeln ges nu som, x β p(x q(xdx, x x xdx [ ] x, dx x x, x x dx, x β x ( cos π 6 Sats Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt u, v avstånd har följande egenskaper (i v och v om och endast om v (i' d(u, v och d(u, v om och endast om u v (ii u + v u + v (ii' d(u, v d(u, w + d(w, v (iii cv c v (iv d(u, v d(v, u Längd och

88 88 OLOF BERGVALL Proof (i och (i' är direkta konsekvenser av att den inre produkten är positivt denit (ii: Vi använder egenskaper hos den inre produkten och Cauchy-Schwarz olikhet: u + v u + v, u + v additivitet u, u + v + v, u + v additivitet u, u + u, v + v, u + v, v symmetri u + u, v + v Cauchy Schwarz u + u v + v ( u + v Vi drar nu roten ur båda sidor av ekvationen ovan och får u + v u + v Beviset för (ii' är helt analogt (iii Vi har (iv: Vi har cv cv, cv homogenitet c v, cv symmetri c cv, v homogenitet c v, v c v, v c v d(u, v u v (v u (iii ( v u v u d(v, u 94 Cauchy-Schwarz olikhet I denna video ska vi bevisa Cauchy-Schwarz olikhet Vi börjar dock med att visa en lite mer generell variant av Pythagoras sats Sats 4 (Pythagoras sats Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt u, v och låt u och v vara två ortogonala vektorer i V Då gäller u + v u + v Observera att detta är en ny sats - den gamla Pythagoras sats gäller ju bara för standardprodukten i R

89 ANTECKNINGAR 89 Proof Vi har u + v u + v, u + v u, u + u, v + v, v }{{} u + v Vi kommer att använda detta resultat i beviset av Cauchy-Schwarz olikhet Sats 5 (Cauchy-Schwarz olikhet Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt u, v Då gäller för alla u och v i V Proof Anta först att v Då har vi u, v u v u, v u, u u u v Alltså gäller olikheten om v Anta nu att v Eftersom den iner produkten är postivt denit har vi då v, v > Deniera w u u, v v, v v (jämför gärna med projektionsformeln från kursen Algebra och geometri! Vi har då u, v w, v u v, v v, v additivitet u, v u, v v, v v, v homogenitet u, v u, v v, v v, v u, v u, v Alltså är w ortogonal mot v Vi har också att w är ortogonal mot λv för alla λ Vi kan därför tillämpa Pythagoras sats och få w + λv w + λv Låt nu λ u, v v, v Vi har då w + λv w + u, v v, v u, v v u v, v v }{{} w + u, v v, v v u

90 9 OLOF BERGVALL Vi har nu u w + λv w + λv w λv homogenitet λ v ( u, v v v, v ( u, v v v u, v v Från detta ser vi att u v u, v Vi får Cauchy-Schwarz olikhet genom att dra roten ur denna olikhet Exempel Låt f och g vara kontinuerliga funktioner på intervallet [, ] Visa att ( f(xg(xdx f(x dx g(x dx Lösning: Vi kan se f och g som vektorer i det inre produktrummet av kontinuerliga funktioner på [, ] med inre produkt f, g f(xg(xdx Vi använder Cauchy-Schwarz olikhet: ( f(xg(xdx f, g f, g Cauchy Schwarz ( f g f g f, f g, g f(x dx g(x dx

91 ANTECKNINGAR 9 95 Övningar 9 Låt P vara vektorrummet av polynom med reella koecienter med inre produkt f, g f(xg(x dt Låt p(x + x och q(x + x vara två vektorer i P (a Beräkna längderna p och q (b Beräkna den inre produkten p (c Beräkna vinkeln mellan vektorerna 9 Ge C[, ] den inre produkten f, g och låt h (x cos(πx och h (x p + q q, p p q q p p + q q och p p f(xg(x dx, (a Beräkna längden av h och h (b Beräkna avståndet mellan h och h (c Beräkna vinkeln θ mellan h och h (d Visa att för varje funktion f C[, ] så gäller ( f(x dx (f(x dx 9 Ge R den inre produkten (x, x, x, (y, y, y x y + x y + x y, och låt x (,, och y (,, (a Beräkna längden av x och y (b Beräkna avståndet mellan x och y (c Beräkna vinkeln θ mellan x och y 94 Ge P den inre produkten p(x, q(x p( q( + p(q( + p(q(, Låt f(x x + x och g(x 8 + x (a Beräkna längden av f och g (b Beräkna avståndet mellan f och g (c Beräkna vinkeln θ mellan f och g 95 Visa att för alla x, x, x, y, y, y R gäller q q (x y + x y + x y ( x + x + x ( y + y + y (Tips: använd den första övningen

92

93 ANTECKNINGAR 9 Ortogonalitet och Gram-Schmidts metod Ortogonalitet och ortonormalitet Kom ihåg att längden av en vektor v denieras som v v, v Längden av v kallas även normen av v Om vi delar en nollskilld vektor v med v får vi en ny vektor ˆv med samma riktning som v men med längd ˆv v v Vi säger då att vi normerat v Många beräkningar är betydligt enklare om man jobbar med normerade vektorer Tänk exempelvis på projektionsformeln - projektion av v på en nollskilld vektor u ges ju av proj u (v v u u u Om u har längd förenklas detta till proj u (v (v uu I många situationer är det främst riktningen hos en vektor som är viktig Därför kan det ofta vara smart att normera vektorer, i synnerhet om man tror att man kommer att använda dem i många beräkningar Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt, Kom ihåg att två vektorer u och v kallas ortogonala om u, v Även ortogonalitet är en önskvärd egenskap hos uppsättningar av vektorer Vi inför därför denna denition Denition Låt v,, v n vara en följd av vektorer i V Följden kallas normerad om v i för i,, n, ortogonal om v i, v j för alla i j, ortonormal om följden är både ortogonal och normerad I synnerhet kan vi prata om ortogonala och ortonormala baser Ortonormala baser kallas också för ON-baser y x v v Figure En ortonormal bas för R

94 94 OLOF BERGVALL y x v v Figure En ortogonal (men inte ortonormal bas för R y x v v Figure En bas (varken ortogonal eller ortonormal för R Sats 6 En ortogonal följd v,, v n är linjärt oberoende v,, v n en ortogonal bas för V och den normerade följden v v,, v n v n är en ON-bas för V Om n dim(v är Proof Låt v,, v n vara en ortogonal följd av vektorer och anta att skalärerna c,, c n är sådana att n c i v i i Eftersom följden är ortogonal gäller v i, v j om i j och v i, v i Alltså gäller n n v j, c i v i c i v j, v i c j v j, v j i Alltså ser vi att c j för alla j så vektorerna är linjärt oberoende i

95 ANTECKNINGAR 95 Vi kontrollerar nu att följden är ortonormal Om i j har vi Vi har också Alltså är följden ortonormal v v,, v l v l v i v i, v j v j v i v j v i, v j v i v i, v i v i v i v i, v i Exempel Vektorerna v är ortogonal i E eftersom, v, v v v + ( + v v + + ( v v + ( + ( Alltså är följden v, v, v linjärt oberoende Eftersom dim(e utgör de en ortogonal bas Vi normerar följden för att få en ON-bas v v, v v, v v 6 En viktig egenskap hos ortonormala baser är att koordinaterna för en vektor är väldigt lätta att beräkna i termer av den inre produkten Sats 7 Låt v,, v n vara en ON-bas för V och låt u vara en vektor i V Då gäller u u, v v + + u, v n v n Med andra ord: u, v i är den i:te koordinaten för u basen v,, v n Exempel Vektorerna v, v, v 6

96 96 OLOF BERGVALL utgör en ON-bas B för E Bestäm koordinaterna för vektorn u i basen B Lösning: Vi skulle kunna ställa upp ett linjärt ekvationssystem eller beräkna basbytesmatrisen T BE men då B är en ON-bas räcker det att beräkna skalärprodukterna mellan basvektorerna och vektorn u Vi har u v u v u v 6 Alltså gäller (u B (,, Gram-Schmidts metod I den här videon ska vi diskutera hur man skapar ortonormerade baser Kom ihåg att en bas v,, v n i ett inre produktrum V, med inre produkt u, v, är ortogonal om v i, v j om i j och den är normal om v i för alla i Basen är ortonormal om den är både ortogonal och normal Låt U V vara ett delrum Då är mängden U {v V u, v för alla u U} också ett delrum Detta delrum kallas det ortogonala komplementet till U Låt U vara ett delrum i det inre produktrummet V En vektor v kan då, på ett unikt sätt, skrivas v v U + v U, där v U U och v U U Vektorn v U kallas v:s projektion på U medan v U kallas v:s residual med avseende på U De betecknas proj U (v respektive proj U (v Om vi nu vill hitta en ON-bas för V kan vi tänka på följande sätt Vi börjar med ett antal vektorer v,, v r som redan är ortonormala (om vi inte ha någon kan vi bara välja en godtycklig nollskilld vektor och normera den Vektorerna spänner upp ett delrum U Span{v,, v r }

97 ANTECKNINGAR 97 y L x L Figure 4 En linje L och dess ortogonala komplement i E L L Figure 5 En linje L och dess ortogonala komplement i E P P Figure 6 Ett plan P och dess ortogonala komplement i E

98 98 OLOF BERGVALL Om U inte är hela V kan vi nu ta vilken vektor v som helst utanför U och dela upp den som v v U + v U Vektorn v U är nu ortogonal mot vektorerna v,, v r men inte nödvändigtvis normal Därför låter vi v r+ v U v U Vektorerna v,, v r+ är nu ortonormala och vi upprepar proceduren tills vi har en ON-bas för V Detta kallas Gram-Schmidts metod Alternativt kan Gram-Schmidts metod beskrivas på följande sätt: Låt v,, v n vara en bas för V Då är följden u v v, u v v, u u v v, u u u v v, u u v, u u v v, u u v, u u u n v n v n, u u v n, u n u n v n v n, u u v n, u n u n en ON-bas för V Det som händer över bråkstrecket i varje steg är att vektorn v i projiceras ned på vektorerna u,, u i och resultaten tas bort från v i Därefter normeras resultatet - det är förklaringen till det som står under bråkstrecket Exempel Vi tillämpar Gram-Schmidts metod på basen v, v, v i E Vi har (om vi missbrukar notationen och använder radvektorer synonymt med kolonnvektorer (,, u (,, Vi beräknar v (v u u : ( v (v u u (,, (,, (,, (,, Alltså blir u u v (v u u v (v u u

99 ANTECKNINGAR 99 Vi vill nu beräkna u Vi börjar med att beräkna v u och v u Vi får (,, (,, och (,, (,, Detta ger v (v u u (v u u v u u / / Det spelar ingen roll för resultatet om vi normerar en vektor v eller λv men beräkningarna kan bli olika svåra Vi normerar därför vektorn (/, /, (,, för att få u : u 6 Exempel Låt V E 4, låt U Span och låt w, Bestäm projektionerna proj U (v samt proj U (v Lösning Vektorerna a, och a spänner upp U och är linjärt oberoende Alltså utgör de en bas för U Vi ortonormerar denna bas med hjälp av Gram-Schmidts metod Detta ger oss till att börja med b a a Vi beräknar nu inre produkten av a och b : a b

100 OLOF BERGVALL Detta ger oss Alltså har vi Vi kan nu beräkna Slutligen är a (a b b (,,, (,,, b a (a b b (,,, a (a b b (,,, 6 proj U (w (w b b + (w b b ( / / / proj U (w w proj U (w ( / / / / / 5/ 5/ 5/

101 ANTECKNINGAR Övningar Ge P den inre produkten p, q p(xq(x dx (a Hitta en ortonormal bas för P genom att använda Gram-Schmidts algoritm på basen {, x, x } (b Beräkna u där u x + 5 x Låt ( ( ( ( A, A, A, A 4 Visa att A {A, A, A, A 4 } är en ortonormal bas för M (R under den inre produkten ( ( x x y y, x x x 4 y y y + x y + x y + x 4 y 4 4 Hitta den ortonormala bas för E som fås genom att tillämpa Gram-Schmidts metod på basen {(,,, (,,, (,, } 4 Betrakta P med den inre produkten p(x, q(x p( q( + p(q( + p(q( (a Hitta en ON-bas för P genom att använda Gram-Schmidts metod på basen {, x, x } (b Beräkna Proj P ( + x + x

102

103 ANTECKNINGAR Ortogonala matriser Ortogonala matriser I denna video ska vi introducera ortogonala matriser och börja studera deras egenskaper Denition En n n-matris A kallas ortogonal om dess kolonnföljd A,, A,,, A,n är en ortonormal bas i E n Denna denition motiverar terminologin men är kanske inte den vanligaste denitionen Följande sats visar att denna denition stämmer överens med den denition som nog är lite vanligare Sats 8 Låt A vara en n n-matris Då är följande ekvivalent: (i A är ortogonal (ii AA T A T A I (iii Kolonnföljden A,,, A n, utgör en ON-bas för E n Proof (i (ii: Låt δ i,j om i j och δ i,j om i j Eftersom A,, A,,, A,n är en ON-bas gäller A,i A,j δ i,j Mer explicit har vi δ i,j A,i A,j n A k,i A k,j k n A T i,ka k,j k (A T A i,j Vi ser alltså att A T A är en diagonal matris med ettor längs diagonalen, dvs A T A I Övriga implikationer bevisas på väldigt liknande sätt Vi observerar att om A är en ortogonal matris så gäller enligt satsen att A T A I Multiplicerar vi denna ekvation från höger med A får vi A T A Alltså är det väldigt enkelt att beräkna inversen av en ortogonal matris - det är bara att transponera Exempel Låt α vara ett reellt tal Då är ( cos α sin α A sin α cos α ortogonal Alltså gäller ( A A T cos α sin α sin α cos α Exempel Kolonnerna i A är ortonormala (detta visas genom att beräkna tre skalärprodukter Alltså gäller A A T I detta fall är A symmetrisk så A A

104 4 OLOF BERGVALL Exempel I videon om Gram-Schmidts metod såg vi att kolonnerna i A är ortonormala Alltså är A en ortogonal matris och vi har A A T Exempel Beskriv alla ortogonala -matriser Lösning En ortogonal matris svarar mot ett ordnat par (v, v av vektorer i R sådana att v v och v v Vi väljer därför en vektor v R av längd Vektorn v har en vinkel α till x-axeln och denna vinkel α ger v genom ( cosα v sinα Det nns precis två vektorer v och v som är ortogonala mot v och som har längd Vektorn v fås från v genom rotation en vinkel π moturs medan v fås genom rotation en vinkel π medurs I termer av α har vi ( ( sinα v, v sinα cosα cosα För att sammanfatta nns för varje vinkel α < π precis två par (v, v och (v, v av ortogonala vektorer av längd Med andra ord, för varje α < π nns precis två ortogonala matriser Explicit är dessa matriser ( ( cosα sinα cosα sinα R α, S sinα cosα α sinα cosα y v v α x v Figure 7 Vektorerna v, v och v

105 ANTECKNINGAR 5 Observera att det(r α medan det(s α Vi säger därför att v och v utgör en positivt orienterad bas medan v och v utgör en negativt orienterad bas Mer allmänt är en bas b,, b n för R n positivt orienterad om matrisen A (b b b n har en positiv determinant och den är negativt orienterad om det(a < Egenskaper hos ortogonala matriser I denna video ska vi fortsätta att studera egenskaper hos ortogonala matriser och deras samband med ON-baser Vi börjar med att påminna oss om följande denition Denition En n n-matris A är ortogonal om A:s kolonner utgör en ON-bas för R n Alternativt (men ekvivalent är A en ortogonal matris om AA T I Eftersom AA T I så gäller A A T om A är ortogonal Sats 9 Om A är en ortogonal matris gäller det(a ± Proof Kom ihåg att det(ab det(a det(b och att det(a T det(a Eftersom AA T I och det(i gäller Vi ser nu att det(a ± det(i det(aa T det(a det(a T det(a det(a det(a Sats Om A är en ortogonal matris är A en ortogonal matris Proof Kom ihåg att om A är ortogonal så gäller AA T I Multiplicerar vi denna ekvation från vänster med A och från höger med (A T får vi I A (A T Men A A T och (A T A så vi har I A T A Om vi nu observerar att A (A T T får vi dvs A T A är en ortogonal matris A T (A T T I Från detta kan vi dra följande slutsats Korollarium Om A är en ortogonal n n-matris utgör dess rader en ON-bas för R n Proof Anta att A är ortogonal Från Sats vet vi att A T är ortogonal Detta innebär att A T :s kolonner utgör en ON-bas för R n Men kolonnerna i A T är raderna i A Alltså utgör raderna i A en ON-bas för R n Sats Om A och B är ortogonala n n-matriser är även AB en ortogonal n n- matris

106 6 OLOF BERGVALL Proof Kom ihåg att (AB T B T A T Om A och B är ortogonala har vi alltså (AB(AB T AB(B T A T A(BB T A T AIA T AA T I Alltså är AB en ortogonal matris Vi har nu sett att ortogonala matriser är trevliga att räkna med men vi har kanske inte skaat oss någon speciellt djup förståelse kring varför de är viktiga En anledning till att ortogonala matriser är extra intressanta ges av följande geometriska karaktärisering Sats Låt A vara en n n-matris Då är följande ekvivalent: (i A är ortogonal, (ii Ax x för alla x E n, (iii Ax Ay x y för alla x, y E n Det är kanske inte glasklart varför denna sats är geometrisk så innan vi ger oss på beviset ska vi prata lite kring detta Kom ihåg att en n n-matris A ger en linjär operator L A : R n R n genom L A (x Ax Uttrycket Ax x kan nu skrivas L A (x x - dvs operatorn L A bevarar längder Alltså kan del (ii av satsen tolkas som att ortogonala matriser är de som beskriver operatorer på E n som bevarar längder På motsvarande sätt kan (iii tolkas som att A är ortogonal om och endast om L A bevarar skalärprodukter, dvs vinklar Proof Vi börjar med att observera att om V är ett inre produktrum med inre produkt u, v så denieras längden av en vektor v som v v, v Den inre produkten kan återfås från längden genom (* u, v u + v u v Vi visar nu att (i implicerar (ii Antag därför att A är ortogonal så att AA T A T A I Vi har då Ax (Ax (Ax (Ax T (Ax x T A T Ax A T AI x T Ix x T x x x x Eftersom v för alla v E n kan vi nu dra slutsatsen att Ax x

107 ANTECKNINGAR 7 Vi visar nu att (ii implicerar (iii Anta därför att Ax x för alla x E n Vi har då (Ax (Ay ( Ax + Ay Ax Ay A(x + y Ax Ay Av v ( x y x + y x y Vi avslutar med att visa att (iii implicerar (i Anta därför att Ax Ay för alla x, y E n Vi har då att x T A T Ay (Ax T (Ay Ax Ay (iii x y Detta gäller för alla x, y E n och alltså speciellt för x e i och y e j Då har vi å ena sidan att Å andra sidan har vi att Alltså gäller e T i A T Ae j e i e j δ i,j e T i A T Ae j (A T A i,j (A T A i,j δ i,j så A T A är identitetsmatrisen Alltså är A en ortogonal matris Ortogonala matriser och allmäna euklidiska rum Vi har tidigare studerat ortogonala matriser och deras relation till det euklidiska rummet E n I denna video kommer vi se hur ortogonala matriser förhåller sig till allmänna inre produktrum av ändlig dimension Det centrala steget är följande sats som visar att om vi väljer koordinater med hjälp av en ON-bas så kan alla euklidiska rum betraktas som E n (precis som att alla ändligtdimensionella vektorrum kan betraktas som R n efter ett val av koordinater Sats Låt V vara ett inre produktrum med inre produkt u, v och låt B (b,, b n Låt u och v vara två vektorer i V sådana att (u B x och (v B y Då gäller (i u u, u x x x (ii d(u, v u v, u v (x y (x y d(x, y (iii u, v x y Vi understryker en extra gång att vänsterledens längd, avstånd och inre produkter avser V, ett allmänt inre produktrum av ändlig dimension I högerleden å andra sidan tas längd, avstånd och skalärprodukt i det standardeuklidiska rummet E n Vi går från V till E n genom att välja ON-basen B (b,, b n för V

108 8 OLOF BERGVALL Exempel Låt V vara det inre produktrummet av polynom av grad högst med inre produkt p, q p(xq(xdx Standardbasen, x, x är inte en ON-bas men genom att använda Gram-Schmidts metod får vi ON-basen B (b, b, b där Låt polynomet r vara b, b (x, b 5(6x 6x + r ( ( 6 5x + 6 5x Vi kan beräkna längden av r genom denitionen: r ( r, r ( ( 6 5x + 6 5x dx Å andra sidan kan vi observera att r b + b + b och alltså har koordinater (r B (,, Alltså har vi r (r B Vi har nu sett hur ortogonala matriser förhåller sig till E n och vi har sett att allmänna euklidiska rum kan beskrivas av E n efter val av en ON-bas Vi avlsutar med att observera att två olika val av ON-baser är relaterade via en ortogonal matris Sats 4 Låt V vara ett euklidiskt rum och låt A och B vara ON-baser för V Då är basbytesmatrisen T BA från A till B en ortogonal matris

109 ANTECKNINGAR 9 4 Övningar Låt T : R R vara reektion i planer x + y + z (a Bestäm matrisen för T, [T ], relativt standardbasen (b Avgör om [T ] ortogonal (c Avgör om [T ] är symmetrisk Låt f : R R den linjära operator som ges av reektion i planet P : x + y + z och låt A vara f:s matris i standardbasen (a Hitta en ortonormal bas {b, b, b } för R sådan att b, b och b är egenvektorer till A (b Hitta A

110

111 ANTECKNINGAR Spektralsatsen Introduktion till spektralsatsen Kom ihåg att en n n-matris A kallas diagonaliserbar om det nns en inverterbar matris T och en diagonal matris D sådan att T AT D Ett ekvivalent villkor är att det nns en bas B (b,, b n för R n som består helt av egenvektorer till A Matrisen T fås från basen B genom T (b b b n och om Ab i λ i b i ges den diagonala matrisen D av λ λ D λ n Hur avgör man om en matris A är diagonaliserbar? Till att börja med beräknar man A:s egenvärden λ,, λ r Därefter beräknar man dimensionerna av egenrummen d i dime(λ i Då gäller r d i n i och summan är lika med n om och endast om A är diagonaliserbar Mer explicit så beräknar man en bas b i,, b i d i för varje egenrum E(λ i och om r i d i n så utgör den sammalagda följden av alla dessa egenvektorer en bas för R n Det är i allmänhet svårt att avgöra om en matris A är diagonaliserbar eller ej Det nns dock två fall då det direkt går att se att en matris är diagonaliserbar Triangulära matriser Om A är över- eller undertriangulär med olika element längs diagonalen är A diagonaliserbar Varför är det så? Anta att A är övertriangulär a a A a n och att diagonalelementen a,, a n är olika Betrakta den karaktäristiska ekvationen det(λi A λ a λ a det λ a n (λ a (λ a (λ a n Vi ser nu att egenvärdena är a, a,, a n som vi antagit är olika Eftersom varje egenrum har dimension åtminstone ser vi att n d i n i Men denna summa är som mest n så vi måste ha likhet Alltså är A diagonaliserbar

112 OLOF BERGVALL Fallet då A är undertriangulär kan behandlas helt analogt Alternativt kan vi observera att om A är undertriangulär så är A T övertriangulär samt att det(λi A det(λi A T och på så vis överföra problemet till fallet då A är övertriangulär som vi ju redan behandlat Exempel Matrisen A har är övertriangulär med diagonalelement, och Alltså är A diagonaliserbar Diagonalelementen, och är också A:s egenvärden Egenrummen E(, E( och E( har alla dimension Genom att Gausseliminera matriserna λi A för λ, och får vi att E( Span, Alltså utgör vektorerna b E( Span, b,, b E( Span en bas för R helt bestående av egenvektorer till A Vi har alltså att matriserna T, D uppfyller T AT D Symmetriska matriser Symmetriska matriser A A T är alltid ortogonaliserbara Faktiskt så gäller ännu mer - symmetriska matriser är ortogonalt diagonaliserbara Med detta menas att matrisen T kan väljas som en ortogonal matris Detta är innebörden i den så kallade spektralsatsen Sats 5 (Spektralsatsen För varje symmetrisk n n-matris A nns en ortogonal matris S och en diagonalmatris D sådana att S AS S T AS D Ekvivalent nns en ON-bas för R n av egenvektorer till A Till skillnad från triangulära matriser går det inte att läsa av egenvärdena direkt från en symmetrisk matris Å andra sidan, när vi beräknat matrisen S i en ortogonal diagonalisering av en symmetrisk matris kan vi direkt läsa av S som S T Exempel Låt A 4 4 Avgör om det nns någon ortogonal matris S sådan att S AS D där D är en diagonalmatris Om så är fallet, nn en sådan matris S och ange D

113 ANTECKNINGAR Lösning: Eftersom A är symmetrisk nns en ortogonal matris S sådan att S AS D där D är en diagonalmatris Denna matris S har formen S (b b b där b, b och b är egenvektorer till A Vi börjar därför med att bestämma A:s egenvärden och betraktar därför den karaktäristiska ekvationen: λ 4 + det(λi A det λ 4 λ + det λ + λ λ λ λ + (λ + det λ + + (λ + det λ 8 ( (λ + (λ 8det (λ + (λ 8 Egenvärdena är alltså λ och λ 8 Vi beräknar egenrummen Vi har E( N( I A: Vi ser alltså att x x x så E( s s t t s, t R Span, Alltså utgör vektorerna v, v en bas för E(

114 4 OLOF BERGVALL Vi har E(8 N(8I A: / Alltså gäller x x och x x så E(8 Span Alltså utgör vektorn u Span en bas för E(8 Vi ortonormerar nu baserna för E( och E(8 med hjälp av Gram-Schmidts metod Vi har b v v 5 Vidare gäller så Detta ger Slutligen har vi v (v b b v b b v (v b b v (v b b 45 b u u

115 ANTECKNINGAR 5 Vi har nu att matrisen är ortogonal och S (b b b S AS S T AS D Den som är väldigt uppmärksam anmärker att vi glömde att kontrollera att b är ortogonal mot b och b Detta är dock automatiskt då A är symmetrisk Vi kommer att prata mer om detta i nästa video Bevis av spektralsatsen I denna video ska vi bevisa spektralsatsen Mängden av egenvärden till en matris A kallas även för A:s spektrum Detta är förklaringen till satsens namn Sats 6 (Spektralsatsen För varje symmetrisk n n-matris A nns en ortogonal matris S och en diagonalmatris D sådana att S AS S T AS D Ekvivalent nns en ON-bas för R n av egenvektorer till A Det nns (åtminstone två delar av denna sats som inte alls är uppenbara Till att börja med om v är en egenvektor svarande mot ett egenvärde λ och v är en egenvektor svarande mot ett annat egenvärde λ så gäller det inte i allmänhet att v och v är vinkelräta mot varandra - men om A är symmetrisk är detta fallet Vidare, om v och v är två linjärt oberoende egenvektorer svarande mot samma egenvärde λ kan vi använda Gram-Schmidts metod för att ersätta med dem med ett ortonormalt par Dock är det inte alltid fallet att en n n-matris A har n linjärt oberoende egenvektorer om A har färre än n egenvektorer - men om A är symmetrisk är detta fallet Proposition Låt λ och µ vara två olika egenvärden till en symmetrisk matris A, låt u vara en egenvektor svarande mot λ och låt v vara en egenvektor svarande mot µ Då gäller u v Proof Vi har å ena sidan att Å andra sidan har vi A T A så Men Av µv så Au v λu v λ(u v Au v (Au T v u T A T v u T Av u Av u Av u µv µ(u v Alltså gäller λ(u v µ(u v Detta ger att λ(u v µ(u v (λ µ(u v Men λ µ så λ µ Alltså måste vi ha u v Vi kan nu dra följande slutsats

116 6 OLOF BERGVALL Korollarium Om A är en symmetrisk n n-matris med n olika egenvärden är A ortogonalt diagonaliserbar Proof Låt λ,, λ n vara A:s egenvärden och låt v,, v n vara egenvektorer svarande mot dessa egenvärden Detta är en bas för R n Enligt Proposition gäller v i v j om i j Om v i inte har längd kan vi ersätta v i med den normerade vektorn b i vi v Vektorerna b i,, b n är nu en ON-bas av egenvektorer till A Vi kommer nu till en aspekt av teorin kring egenvärden som vi hittills sopat under mattan En reell matris A behöver inte ha några reella egenvärden alls! Exempel Låt A Då är den karaktäristiska ekvationen det(λi A det ( ( λ λ λ + Denna ekvation har lösningarna λ ±i där i är den imaginära enheten Matrisen A har inte heller några reella egenvektorer Dock har den komplexa egenvektorer och de beräknas precis på samma sätt som i det reella fallet Vi har E(i N(iI A: Alltså gäller ix x så vektorn ( i ii A i ( i ( u i i + i + är en egenvektor svarande mot egenvärdet i På liknande sätt beräknar vi en bas för E( i N( iia: ( i i ii A i + ( i i + Alltså gäller ix x så vektorn ( v i är en egenvektor svarande mot egenvärdet i Alltså dyker komplexa tal och komplexa vektorer upp på ett naturligt sätt även om vi bara är intresserade av reella vektorrum Det komplexa vektorrummet C n fungerar dock i många avseenden som R n och det nns inte några större anledningar att oroa sig för beräkningar med komplexa vektorer Dock nns en intressant ny egenskap hos komplexa tal och vektorer - konjugering Kom ihåg att konjugatet av ett komplext tal z a + bi denieras som det komplexa talet z a bi På

117 ANTECKNINGAR 7 ett analogt sätt denieras konjugatet av en vektor v i C n som den vektor man får om man konjugerar varje koordinat Exempelvis är konjugatet av vektorn v (a+bi, c+di vektorn v (a bi, c di Kom också ihåg att om z är ett komplext tal så är z z ett icke-negativt reellt tal och z z om och endast om z Proposition Om A är en (reell symmetrisk n n-matris är alla egenvärden till A reella Proof Vi börjar med att observera att om A är symmetrisk och v C n så är v T Av ett reellt tal För att se detta, kom ihåg att z + z z + z och z z z z Alltså gäller v T Av v T Ā v A reell v T A v (v T A v T då α T α om αär ett tal v T A T v Asymmetrisk v T Av Alltså gäller v T Av v T Av så v T Av är ett reellt tal Om A är en n n-matris är det karaktäristiska polynomet p(λ det(λi A ett polynom av grad n Algebrans fundamentalsats ger att p(λ har n rötter i C (om vi räknar multipliciteter Låt λ vara en sådan rot och och låt v C n vara en egenvektor svarande mot λ Då har vi v T Av v T λv λ v T v Men om v (z,, z n gäller v T v z z + + z n z n vilket är en summa av icke-negativa reella som inte alla är noll Alltså är v T v ett positivt reellt tal Vi har också observerat att om A är symmetrisk så är v T Av ett reellt tal Alltså är λ vt Av v T v en kvot av reella tal och därmed ett reellt tal Det som återstår är att visa att en symmetrisk matris har en bas av egenvektorer Vi börjar med att visa följande Lemma Låt A vara en symmetrisk n n-matris Om V är ett delrum av R n sådant att Av V för alla v V så gäller även Au V för alla u V Proof Låt v V och u V Då gäller, per denition, att v u Eftersom Av V gäller även Av u Vi har också att Av u (Av T u v T A T u A symmetrisk v T Au v (Au Alltså är Au ortogonal mot alla vektorer i V, dvs Au V

118 8 OLOF BERGVALL Med andra ord - om den symmetriska matrisen A bevarar ett delrum V bevarar A även dess ortogonala komplement Lemma 4 Låt A vara en symmetrisk n n-matris och låt V {} vara delrum av R n sådant att Av V för alla v V Då innehåller V en egenvektor till A Proof Välj en ortonormal bas B (b,, b m för V Eftersom Av V för alla v V och B är en bas för V så nns skalärer c i,j sådana att m Ab j c i,j b i Skalärerna c i,j denierar en m m-matris C: c, c, c,m c, c, c,m C c m, c m, c m,m i Vi ska visa att C är symmetrisk, dvs att c i,j c j,i för alla i, j Eftersom B är en ON-bas gäller b i b j δ i,j Alltså har vi c i,j b i Ab j b T i Ab j A symmetrisk b T i A T b j (Ab i T b j Ab i b j c j,i Eftersom matrisen C är symmetrisk har den reella egenvärden och egenvektorer Låt v vara en egenvektor i V med egenvärde λ Låt v x b + + x m b n Vi har nu m Av A x j b j j m x j Ab j j m j x j m c i,j b i j m m c i,j x j b i i Cv λv j Alltså är v också en egenvektor för matrisen A Proposition 5 Låt A vara en symmetrisk n n-matris Då nns det en bas för R n bestående av egenvektorer till A

119 ANTECKNINGAR 9 Proof Eftersom A är symmetrisk nns åtminstone en reell egenvektor v R n med ett reellt egenvärde λ Låt V Span(v Eftersom Av λ v gäller Av V för alla v V Lemma implicerar nu att A även bevarar V Lemma 4 implicerar i sin tur att det nns en egenvektor v till A i V Vi låter nu V Span(v, v Eftersom både v och v är egenvektorer till A så bevaras V av A Alltså bevaras även V och vi kan därmed enligt Lemma 4 hitta ytterligare en egenvektor till A i V Vi fortsätter på detta sätt tills vi hittat n stycken egenvektorer till A Vi har nu egentligen redan bevisat spektralsatsen men vi sammanfattar ändå hur det vi gjort leder till detta resultat Sats 7 (Spektralsatsen För varje symmetrisk n n-matris A nns en ortogonal matris S och en diagonalmatris D sådana att S AS S T AS D Ekvivalent nns en ON-bas för R n av egenvektorer till A Proof Enligt Proposition 5 nns en bas v,, v n av egenvektorer till A Enligt Proposition är egenvektorer svarande mot olika egenvektorer ortogonala per automatik Vi kan alltså utföra Gram-Schmidts metod på varje egenrum var för sig för att på så vis erhålla en ortonormal bas b,, b n av egenvektorer till A

120 OLOF BERGVALL Övningar Låt A Hitta en ortogonal matris S som diagonaliserar A 8

121 ANTECKNINGAR Kvadratiska former Kvadratiska former av variabler En kvadratisk form av två variabler x och x är en avbildning q : R R på formen q(x a, x + a, x + a, x x Alternativt kan en kvadratisk form av två variabler beskrivas med hjälp av en symmetrisk -matris genom ( ( a, a q(x (x x, x a, a, x Exempel Den symmetriska matrisen A ( bestämmer en kvadratisk form q A : R R som även kan skrivas ( ( x q A (x (x x x x + x + x x + x x x + x + 6x x Sambandet A q A utgör en korrespondens mellan symmetriska matriser och kvadratiska former - för varje kvadratisk form q nns precis en symmetrisk matris A sådan att q q A Denna korrespondens är väldigt tydlig i konkreta exempel Exempel Matrisen svarande mot den kvadratiska formen är q(x x + x x A ( Eftersom symmetriska matriser och kvadratiska former är så nära förknippade är spektralsatsen viktig även vid studiet av kvadratiska former Exempelvis kan vi lösa följande typ av problem Problem Givet en kvadratisk form q : R R och ett tal k, beskriv lösningarna till ekvationen q(x k geometriskt Exempel Ekvationen x + x x x 7 beskriver en kurva K i R Ange kurvans största och minsta avstånd till origo och ange de punkter på kurvan där största och minsta avstånd antas Lösning Ekvationens vänsterled är en kvadratisk form q(x Om vi låter ( 5 A 5 är K lösningsmängden till ekvationen x T Ax 7

122 OLOF BERGVALL Vår taktik är att göra ett koordinatbyte för att få ett problem som är lättare att lösa Eftersom problemet handlar om avstånd är det viktigt att koordinatbytet bevarar längd I termer av linjär algebra vill vi diagonalisera A för att förenkla problemet och för att bevara längd vill vi att den diagonaliserande matrisen ska vara ortogonal Detta är möjligt enligt spektralsatsen Vi börjar därför med att bestämma A:s egenvärden och betraktar den karaktäristiska ekvationen: ( λ 5 det (λi A det 5 λ (λ 5 Alltså är (λ 5 så λ ± 5, dvs λ 8 och λ 8 Vi bestämmer egenrummen Vi börjar med E(8 N(8I A: ( ( Vi ser därmed att {( E(8 Span Vi vill nu bestämma E(8 Det kan vi såklart göra genom att bestämma nollrummet till 8I A men vi kan också utnyttja att R är tvådimensionellt och att vi vet att vektorerna i E(8 är ortogonala mot vektorerna i E(8 då A är symmetrisk Vi ser då direkt att {( } E(8 Span Vi har nu två ortogonala egenvektorer till A så allt vi behöver göra är att normera dem Vi får då b (, b ( Alltså är matriserna S ( } ( 8, D 8 sådana att S T AS D Kom ihåg att då S är ortogonal gäller S S T Alltså gäller S T S SS T I Vi har därför q(x x T Ax x T (SS T A(SS T x (x T SS S AS(S T x (S T x T D(S T x Vi gör därför variabelbytet y S T x eftersom vi då får q(x 8y + 8y dvs vi får en kvadratisk form utan blandade termer Eftersom y S T x och S T S får vi tillbaka x från y genom x Ix (SS T x Sy

123 ANTECKNINGAR x y ( b x b ( y Figure 8 Ellipsen K och de två koordinatsystemen x och y Eftersom S (b b gäller alltså Vi delar ekvationen x y b + y b 8y + 8y 7 med 7 för att få den ekvivalenta ekvationen y 9 + y 4 Vi känner igen denna ekvation som ekvationen för en ellips med y - och y -axlarna som huvudaxlar och som skär y -axeln i y och y -axeln i y I termer av det ursprungliga koordinatsystemet är huvudaxlarna paralella med b och b och ellipsen skär linjen som spänns upp av b i b och linjen som spänns upp av b i b Vi har alltså att det längsta avståndet från origo är och antas i punkterna ± ( Det kortaste avståndet till origo är och antas i punkterna ± ( Kvadratiska former av variabler En kvadratisk form av tre variabler x, x och x är en avbildning q : R R på formen q(x a, x + a, x + a, x + a, x x + a, x x + a, x x

124 4 OLOF BERGVALL Alternativt kan en kvadratisk form av två variabler beskrivas med hjälp av en symmetrisk c c-matris A genom a, a, a, x q A (x (x x x a, a, a, x a, a, a, x Sambandet A q A utgör en korrespondens mellan symmetriska matriser och kvadratiska former - för varje kvadratisk form q nns precis en symmetrisk matris A sådan att q q A Exempel Den kvadratiska formen svarande mot matrisen 4 A är q A (x x + x + 6x x + 8x x + x x Exempel Matrisen svarande mot den kvadratiska formen q(x x + x x + x x + x x är A Precis som i fallet med två variabler är vi intresserade av att beskriva lösningsmängden q(x geometriskt för kvadratiska former q Även i detta fall är spektralsatsen viktig då den låter oss diagonalisera den kvadratiska formen, dvs göra ett variabelbyte så att blandtermerna försvinner Exempel Beskriv ytan Y som ges som lösningarna till x + x + 4x x + 8x x + 4x x geometriskt Ange dess minsta avstånd till origo och ange de punkter på ytan där detta minsta avstånd antas Lösning Vänsterledet i ytans ekvation är en kvadratisk form q(x x + x + 4x x + 8x x + 4x x Denna kvadratiska form kan skrivas q(x x T Ax där 4 A 4

125 ANTECKNINGAR 5 I första avsnittet om spektralsatsen visade vi att ( b, b 45, b utgör en ON-bas för E och att om vi låter så diagonaliseras A ortogonalt genom Vi har alltså att S T AS S (b b b q(x x T Ax 8 D x T (SS T A(SS T x (x T SS S AS(S T x (S T x T D(S T x Vi gör därför variabelbytet y S T x eftersom vi då får q(x y y + 8y dvs vi får en kvadratisk form utan blandade termer Eftersom y S T x och S T S får vi tillbaka x från y genom Eftersom S (b b b gäller alltså x Ix (SS T x Sy x y b + y b + y b Vi har alltså q(x om och endast om y y + 8y Detta kan skrivas som y + y + 8y För att förstå Y geometriskt xerar vi variabeln y till en konstant c Detta svarar mot att ta snittet av Y med planet y c Detta snitt beskrivs av ekvationen y + y + 8c vilket är en cirkel i planet y c med centrum i (,, c och radie r + 8c Radien r + 8c sambandet r + 8c Detta samband kan skrivas som vilket i sin tur kan skrivas som r 8c (r + 8c( 8c Detta är ekvationen för en hyperbel med asymptoter r ± 8c Samma hyperbel fås som snittkurva med plan av typen ay + by Då a har vi då c y och r b a y Alltså är Y den yta som uppstår då hyperbeln y 8y snurrar runt y -axeln En sådan yta kallas en enmantlad

126 6 OLOF BERGVALL c r Figure 9 En hyperbel rotationshyperboloid Snurrar man samma hyperbel runt y -axeln fås en tvåmantlad rotationshyperboloid Man kan också tänka sig en yta där snitten med plan av typen y c är ellipser istället för cirklar Sådana ytor kallas hyperboloider (utan prexet rotations Från Figur 9 ser vi att det minsta avståndet från origo fås vid c och är då Mer formellt observerar vi att då vi gjort ett ortogonalt basbyte gäller x y För y Y gäller även y + y + 8y Alltså har vi x y y + y + y + 9y Alltså har vi x och likhet gäller om y Om y gäller y + y så dessa punkter har formen y cosα och y sinα för olika val av α R Uttryckt

127 ANTECKNINGAR 7 i de ursprungliga koordinaterna har vi alltså att det minsta avståndet till origo antas i punkter på formen 5 cosα 4 45 sinα x y b + y b 5 cosα 45 sinα 5 45 sinα Kvadratiska former av n variabler En kvadratisk form av n variabler x,, x n är en avbildning q : R n R på formen n q(x a i i, jx i x j i a i,i x i + i<j Alternativt kan en kvadratisk form av två variabler beskrivas med hjälp av en symmetrisk n n-matris genom a, a, a,n x a, a, a,n x q(x (x x x n a,n a,n a n,n x n Att skicka en symmetrisk n n-matris A till den kvadratiska formen q A (x x T Ax ger en bijektion mellan mängden av symmetriska n n-matriser och mängden av kvadratiska former av n variabler När man studerar kvadratiska former är det ofta viktigt att kunna bli av med blandtermerna genom ett lämpligt variabelbyte Ofta är det viktigt att detta variabelbyte bevarar längder Spektralsatsen låter oss göra detta Sats 8 För varje kvadratisk form n q(x i a i,i x i + i<j a i i, jx i x j nns en ON-bas B (b,, b n för R n sådan att om vi låter S (b b n och så gäller för några tal λ,, λ n Proof Låt y S x q(x λ y + + λ n y n a, a, a,n a, a, a,n A a,n a,n a n,n Då är A symmetrisk och q(x x T Ax Enligt spektralsatsen nns en ON-bas b,, b n för R n av egenvektorer till A Låt Ab i λ i b i, S (b n och λ λ D λ n

128 8 OLOF BERGVALL Deniera y S x S T x Vi har då att q(x x T Ax x T (SS T A(SS T (x T S(S T AS(S T x y T Dy λ y + + λ n x n Vi avslutar med att diskutera Sylvesters tröghetslag (som ibland helt enkelt kallas tröghetslagen Detta är en svagare variant av spektralsatsen som ger viss information om lösningsmängder till ekvationer av typen q(x k utan att beräkna egenärden Detta kommer dock till priset av att man förlorar information om avstånd och vinklar Sats 9 (Sylvesters tröghetslag För varje symmetrisk n n-matris A nns en inverterbar matris S sådan att S T AS D I l I m Diagonalföljden (,,,,,,,, kallas A:S signatur Ibland kallas även trippeln (l, m, n l m för signaturen Diagonalmatrisen D kallas A:s tröghetsform I termer av kvadratiska former säger tröghetslagen följande Sats 4 För varje kvadratisk form q : R n R nns en bas b,, b n sådan att om S (b b n och y S T x gäller q(x y + + y l y l+ y m Koecientföljden,,,,,,,, kallas q:s signatur }{{}}{{}}{{} l m n l m Exempel Låt A 4 4 Deniera q(x x T Ax och låt Y vara lösningsmängden till q(x (a Beräkna A:s tröghetsform (b Beräkna A:s signatur (c Bestäm Y :s typ

129 ANTECKNINGAR 9 Lösning (a Vi Gausseliminerar A på ett speciellt sätt - varje radoperation följs av motsvarande kolonnoperation: Alltså är A:s tröghetsform D (b Vi läser q:s signatur direkt från D som (,, I den alternativa notationen har q signatur (,, (c Enligt Sats 4 och del (b nns en bas b, b, b för R sådan att om vi låter S (b b b och y S T x så har vi Ekvationen q(x kan alltså skrivas q(x y y y y + y y För ett xt y sådant att y beskriver denna ekvation en cirkel med radie y medan för y < saknar ekvationen reella lösningar Alltså beskriver y + y y en tvåmantlad rotationshyperboloid Dock vet vi inte om b, b och b utgör en ON-bas så vi vet inte om vårt basbyte bevarar längder Vi kan därför inte dra slutsatsen att Y är en tvåmantlad rotationshyperboloid Däremot vet vi typen - att Y är en tvåmantlad hyperboloid (men vi kan inte med säkerhet sätta dit prexet `rotations

130 OLOF BERGVALL