Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Transkript

1 Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets but not uncountable sets such as the real numbers... Oxford dictionary of computing Diskreta strukturer 2003 p. 1/33 Diskreta strukturer 2003 p. 2/33 Innehåll Vi behöver modeller!!! Logik Mängder Relationer Funktioner Strängar och talsystem Boolesk algebra Kombinatoriska nät Sekvensnät Logiska resonemang och verifikation Diskreta strukturer 2003 p. 3/33 Diskreta strukturer 2003 p. 4/33 Varför modeller??? Kontinuerlig/diskret För att förstå en komplicerad verklighet För att utveckla/testa en idé (design) Systemmodeller har traditionellt varit kontinuerliga (reella talen, differentialekvationer), men har p.g.a. den snabba datoriseringen i allt högre grad ersatts av diskreta modeller (heltalen, tillståndsautomater) Diskreta strukturer 2003 p. 5/33 Diskreta strukturer 2003 p. 6/33 Statiska system Utsignalen ut bestäms i varje ögonblick entydigt av insignalen in. Diskreta strukturer 2003 p. 7/33 Diskreta strukturer 2003 p. 8/33

2 Dynamiska system Utsignalen ut(t) bestäms även av tidigare värden på insignalen in(t). Dvs. systemet har ett internt minne/tillstånd. Diskreta strukturer 2003 p. 9/33 Diskreta strukturer 2003 p. 10/33 Diskreta strukturer 2003 p. 11/33 Diskreta strukturer 2003 p. 12/33 Delsystem Logik Diskreta strukturer 2003 p. 13/33 Diskreta strukturer 2003 p. 14/33 Vad är det? Läran om korrekta resonemang. Dvs. om ett påstående (slutsatsen) med nödvändighet följer ur ett antal andra påståenden (premisserna). Korrekt resonemang? Någon hade krossat skolsalens fönster under rasten. Det visade sig snabbt att den skyldige/de skyldiga stod att finna bland Adam, Bertil och Calle. Av erfarenhet visste läraren att om Adam var skyldig så måste också Calle vara skyldig. Efter en stunds utfrågning kunde man konstatera att Calle hade varit på toaletten när rutan krossades. Läraren drog då slutsatsen att det var Bertil som krossat fönstret. Har han rätt??? Diskreta strukturer 2003 p. 15/33 Diskreta strukturer 2003 p. 16/33

3 Oformaliserade exempel Minst en av A, B, C är skyldig Om A är skyldig så är C skyldig C är oskyldig B är skyldig A bor mer än 2 km från B B bor mer än 3 km från C A bor mer än 5 km från C Logiska påståenden Deklarativa satser (fullständiga meningar som kan vara sanna eller falska). Maten var god och stämningen var hög Denna mening består av mindre (atomära) deklarativa satser Maten var god samt stämningen var hög sammanbundna med konnektivet och. Diskreta strukturer 2003 p. 17/33 Diskreta strukturer 2003 p. 18/33 Språkets byggstenar Fem logiska konnektiv: Konjunktion (=och). Disjunktion (=eller). Negation (=icke). Implikation (= om-så). Biimplikation/ekvivalens (=om-och-endast-om) Samt satsparametrar (motsvarigheten till atomära satser). A,B,C,... Konjunktion Konjunktion och disjunktion Då vi vill uttrycka att både F och G är sanna Disjunktion (F G) Då vi vill uttrycka att minst en av F och G är sann (F G) Inklusivt eller (i motsats till exklusivt) Diskreta strukturer 2003 p. 19/33 Diskreta strukturer 2003 p. 20/33 Negation Då vi vill uttrycka att F inte är sann (dvs. att F är falsk) F Implikation Implikation och ekvivalens Då vi vill uttrycka att G är sann om F är sann (F G) Biimplikation/ekvivalens Då vi vill uttrycka att F och G har samma sanningsvärde. (F G) Diskreta strukturer 2003 p. 21/33 Diskreta strukturer 2003 p. 22/33 Logiska formler Antag att V är en samling satsparametrar (en vokabulär) Varje satsparameter i V är då en (satslogisk) formel, Om F är en formel så är även F en formel, Om F och G är formler, så är även (F G) en formel; liksom (F G), (F G) och (F G). Inget annat är en formel. (Ibland tillkommer formlerna och.) Färre parenteser! Konvention för att slippa parenteser Yttersta parentesparet. Vid nästlade konjunktioner/disjunktioner. Vi skriver t.ex. (F G H) isf (F (G H)). Dessutom binder hårdare än och, som binder hårdare än och. Diskreta strukturer 2003 p. 23/33 Diskreta strukturer 2003 p. 24/33

4 Semantiken hos formler Semantik (=mening/innebörd) i motsats till syntax (=utseende/form). En formel är antingen sann (1) eller falsk (0). [Lagen om det uteslutna tredje] Vi vet normalt en formels värde bara om vi vet vad parametrarna har för värden! Sanningstabeller F F F G (F G) (F G) (F G) (F G) Diskreta strukturer 2003 p. 25/33 Diskreta strukturer 2003 p. 26/33 Sanningstabeller (forts) A B A B (A B) (A B) A Tautologier En formel som är sann i samtliga tolkningar (bara 1-or i sanningstabellen) Skrivs ofta = F. (Skrivs = F då F inte är en tautologi.) Varje rad i tabellen kallas en tolkning. Det finns 2 n tolkningar av en formel med n parametrar. Diskreta strukturer 2003 p. 27/33 Diskreta strukturer 2003 p. 28/33 Kontradiktioner En formel som är falsk i alla tolkningar (bara 0-or i sanningstabellen) Om = F så är F en kontradiktion. Kallas ofta osatisfierbar eller motsägelse. OBS: inte motsatsen till en tautologi. Satisfierbarhet En formel som är sann i minst en tolkning (minst en 1-a i sanningstabellen). Motsatsen till kontradiktion. Diskreta strukturer 2003 p. 29/33 Diskreta strukturer 2003 p. 30/33 Logisk ekvivalens Två formler F och G är logiskt ekvivalenta (skrivs F G) om F och G har samma sanningsvärde i samtliga tolkningar. Ekvivalens (forts) Om F(A) G(A) är formler innehållande en satsparameter A och F(H) resp. G(H) är F och G med samtliga förekomster av A utbytta mot H så gäller att Sats F G omm = F G. F(H) G(H). Antag att F är en formel som innehåller en delformel G 1. Om G 1 G 2 och F[G 2 /G 1 ] är F med en eller flera förekomster av G 1 ersatta med G 2 så gäller att F F[G 2 /G 1 ] Diskreta strukturer 2003 p. 31/33 Diskreta strukturer 2003 p. 32/33

5 Logisk konsekvens En formel F är en logisk konsekvens av formlerna F 1,...,F n omm F är sann i varje tolkning där var och en av F 1,...,F n är sanna. Alternativt F är en logisk konsekvens av F 1,...,F n omm det inte finns någon tolkning där F är falsk och där var och en av F 1,...,F n är sanna. Skrivs F 1,...,F n = F (och F 1,...,F n = F om F inte är en logisk konsekvens av F 1,...,F n ). OBS: F 1,...,F n = F omm F 1,...,F n, F är osatisfierbara. Diskreta strukturer 2003 p. 33/33