Tentamen i TTIT07 Diskreta Strukturer

Transkript

1 Tentamen i TTIT07 Diskreta Strukturer , kl 8 13, TER1 och TERC Inga hjälpmedel är tillåtna Kom ihåg att svaren på samtliga uppgifter måste MOTIVERAS, och att motiveringarna skall vara uppställda på ett sådant sätt att det går att följa hur Du tänkt OMOTIVERADE SVAR ER 0 POÄN Jour: Ulf Nilsson (tel 1935 alt ) på diskret matematik och logik och Camilla Eidem (tel 2652) på digitalteknik Visning: Meddelas på kursens hemsida Maxpoäng är 50 poäng ör betyg 3 krävs minst 25 poäng, för betyg 4 krävs 34 poäng och för betyg 5 krävs 42 poäng Lycka till!!! Diskret matematik och logik 1 Låt A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, C = {2, 3, 6, 12} och D = {2, 4, 8} Vad blir följande mängduttryck? (Antag att universum utgörs av mängden U = {1, 2, 3,, 12}) (a) (A B) C (b) (A C) D (c) (A B) C (d) A (C \ D) (Med A \ B avses differensen mellan A och B, och med C avses komplementet till C, dvs U \ C) 2 Antag att R N N definieras enligt R = {(0, 1), (2, 1), (3, 4), (4, 5)} max 4p Ange den, i mängdhänseende, minsta ekvivalensrelation S N N som inkluderar R, dvs sådan att R S (och sådan att om R T och T är en ekvivalensrelation, så gäller att S T ) (Med N avses mängden av de naturliga talen {0, 1, 2, }) 1

2 3 Antag att f: N N definieras enligt f(n) = n + 1 och att g: N N definieras enligt { 0 om n är jämn, g(n) = 1 om n är udda Är f eller g injektiv och/eller surjektiv? Vad blir (f g)(n) för de tio minsta naturliga talen n? Vad blir på motsvarande sätt (g f)(n)? Hur ser funktionen f f ut? max 5 p 4 Antag att vi har en Boolesk funktion f(x, y, z) vars värde är 1 omm alla insignalerna x, y, z har samma värde, tex f(0, 1, 1) = 0 medan f(0, 0, 0) = f(1, 1, 1) = 1 Skriv funktionen f på utvecklad disjunktiv respektive konjunktiv normalform (dvs samtliga variabler skall finnas med i varje minoch maxterm) 5 Låt Γ vara en mängd av satslogiska formler och, satslogiska formler Visa, med hjälp av tolkningar (ej sanningstabell!), att: (a) om Γ, = så Γ, = (b) om Γ, = så Γ, = 6 Visa med hjälp av naturlig deduktion att följande gäller Du får bara använda de primitiva reglerna i naturlig deduktion (se bilaga), men det är tillåtet att härleda egna regler om de härledda reglerna redovisas och utförs med hjälp av de primitiva reglerna: (a) A (B C), C A B (b) D A, D ( B C) A (B C) (c) B, A C, A B C (A B) (d) A B B A (e) (A B) (A C) A (B C) Observera att fel i härledda regler medför poängavdrag på samtliga ställen där de används 2

3 Digitalteknik 7 Ett kombinatoriskt nät, vallaväljaren ska hjälpa skidåkare att välja rätt skidvalla Vallaväljaren har fyra insignaler t 1 t 2 t 3 t 4 som anger temperaturen och två utsignaler u 1 och u 2 som anger vilken skidvalla som bör användas t 1 t 2 t 3 t 4 Vallaväljaren u 1 u 2 Temperaturen anges i tecken-belopp kod Decimalt kan temperaturen T beräknas som T=(1 2t 1 )(4t 2 + 2t 3 + 1t 4 ) Hur utsignalerna väljs framgår av tabellen nedan: Temperatur u 1 u 2 namn -7 C till -5 C 1 0 kylvalla -4 C till -1 C 0 1 svalvalla 0 C till 1 C 0 0 nollvalla 2 C till7 C 1 1 plusvalla Konstruera vallaväljaren minimalt med NOR-grindar och inverterare (ej trådbara) (8p) 8 Arrangörerna av ett motionslopp i skidor behöver ett sekvensnät som automatiskt detekterar om det är en vuxen eller ett barn som passerar ett visst ställe i spåret ör att klara detta har två sensorer s 1 och s 2 placerats i en brant backe där skidåkarna endast åker nedför En sensor ger en etta som utsignal när den är skymd, noll annars Sensorerna är placerade på ett avstånd med längden L från varandra Barnskidor antas vara kortare än L medan vuxenskidor antas vara längre än L Skidåkarna står med samlade ben nedför backen så att båda skidorna passerar en sensor samtidigt s 1 s 2 CP B-V? u 1 u 2 s 1 L s 2 Konstruera sekvensnätet B-V? med insignalerna s 1 och s 2 och utsignalerna u 1 och u 2 som ska vara: u 1 u 2= 00 om ingen skidåkare befinner sig mellan sensorerna u 1 u 2= 10 om någon skidåkare befinner sig mellan sensorerna men man inte vet om det är en vuxen eller ett barn än u 1 u 2= 11 när en vuxen skidåkare befinner sig mellan sensorerna u 1 u 2= 01 när ett barn befinner sig mellan sensorerna Skidåkarna har minst ett avstånd på 3L mellan sig

4 Konstruera sekvensnätet med ett minimalt antal JK-vippor och ett minimalt kombinatoriskt nät med valfria grindar Klockfrekvensen är 4MHz (9p) 9 Tillståndsminimera sekvensnätet med tillståndstabellen: x 0 1 A B(0) H(0) B C(0) (0) C D(0) E(1) D A(0) A(0) E A(0) A(0) E(1) (0) A(0) A(0) H (0) I(0) I (0) J(1) J A(0) A(0) Redovisa noga hur du gör tillståndsminimeringen (3p) 10Vilken sekvens kommer sekvensnätet så småningom generera? Sekvensnätets starttillstånd kan vara vilket som helst (00, 01, 10 eller 11) 1 D & T CP q 1 q 2 (1p)

5 Bilaga: Primitiva regler INTRODUKTIONSRELER ELIMINATIONSRELER (I) ( I) ( E) ( I) ( E) ( I) H H H ( E) ( I) ( E) ( I) ( E) 5