Logik och modaliteter

Transkript

1 Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015

2 Formalia

3 Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet. Logiska formella språk: Syntax grammatiska regler för vad som räknas som formler; Semantik en specifikation av vad vi (för det aktuella språket) menar med en modell (tolkning, struktur,... ) samt en formell sanningsdefinition.

4 Definitionen av sanning (via definitionen av satisfiering) är semantisk till sin natur den relaterar språket till världen. Härledningsreglerna är däremot definierade rent syntaktiskt. De refererar till utseendet hos formlerna, och inte till deras mening. Logisk konsekvens: Γ ϕ ϕ är sann i alla modeller till Γ. Härledbarhet: Γ ϕ Det finns en härledning av ϕ som inte är beroende av några premisser utöver Γ. Hur förhåller sig dessa två relationer till varandra?

5 Sundhet Av ett lyckat bevissystem vill vi väl åtminstone kräva att det inte leder oss fel. I de fall vi kan bevisa ett påstående från en premissmängd med hjälp av reglerna så vill vi förstås att det följer också i semantisk mening, dvs att om premisserna är sanna så är slutsatsen också sann. Tekniskt sett är det egenskapen sundhet hos härledningssystemet: Om Γ ϕ så Γ ϕ. Med specialfallet att alla logiska teorem är logiska sanningar: Om ϕ så ϕ.

6 Fullständighet Men för att verkligen fånga konsekvensbegreppet med vårt härledningssystem så sätter vi vanligen också upp ett annat mål; vi vill dessutom kunna producera en härledning för varje giltigt argument! Så närhelst någonting följer från en premissmängd så kan vi visa det med en formell härledning. Detta är egenskapen fullständighet hos härledningssystemet: Om Γ ϕ så Γ ϕ. Med specialfallet att alla logiska sanningar är logiska teorem: Om ϕ så ϕ.

7 Faktum Första ordningens logik (även med identitet) är fullständig, det vill säga: det finns härledningssystem (t.ex. system för naturlig deduktion) som är sunda och fullständiga. Detta innebär (som specialfall) att det finns en mekanisk metod att generera mängden av logiska sanningar. (Mängden av logiska sanningar är rekursivt enumerabel.) Observera att det inte innebär att FOL är avgörbar. Det finns i själva verket ingen mekanisk metod som generellt kan besvara frågan Är ϕ en logisk sanning? (Satslogiken däremot är förstås avgörbar, via tex sanningsvärdestabeller.)

8 Vad är modallogik?

9 Ingång 1: satsoperatorer En satsoperator bildar en ny sats från en eller flera satser. Grundläggande logik hanterar operatorer i stil med: inte och eller... Det typiska för dessa är att de är sanningsfunktionella. Sanningsvärdet hos hela satsen bestäms entydigt av sanningsvärdena hos delsatserna.

10 Satsoperatorer forts. Pär tror att... är också en satsoperator, men är uppenbarligen inte sanningsfunktionell. Sanningsvärdet hos Pär tror att det regnar kan visserligen påverkas av huruvida det regnar eller inte, men bestäms inte entydigt av detta. Motsvarande gäller operatorer som Kajsa vet att Det är nödvändigt att Det är moraliskt önskvärt att Det har någon gång varit sant att Det är bevisbart i teorin T att... och många fler

11 Satsoperatorer forts. Vad är modallogik? Svar nr 1. Modallogik är logiken (eller snarare logikerna) för icke sanningsfunktionella satsoperatorer.

12 Ingång 2: strikt implikation Det problematiska förhållandet mellan materiell implikation och vanliga om-så-satser kan exemplifieras av tautologierna: ( A (A B)) (A (B A)) ((A B) (B A)) Bekymmer som dessa fick C.I. Lewis att inleda 1900-talets modallogiska arbete. Jfr också Om du går mot röd gubbe så blir du bötfälld.

13 Strikt implikation, forts För att bättre formalisera det normalspråkliga om införde Lewis en ny satsoperator, som var tänkt att uttrycka något slags nödvändig förbindelse mellan A och B. Strikt implikation studerades inledningsvis med helt axiomatiska metoder, alltså bevissystem för satser innehållande. (A B) definierades också som (A B), där är en möjlighetsoperator. Så modallogik i början av 1900-talet var ett syntaktiskt studium av olika implikationsbegrepp.

14 Ingång 3: modaliteter En propositions sanningsvärde kan ha många olika modi Aletiska, temporala, epistemiska, doxastiska, deontiska, mfl modaliteter Sådana begrepp har haft och har ett stort filosofiskt intresse... och de förekommer förstås i argument som vi kan vilja värdera med avseende på giltighet. Så ur denna synvinkel kan modallogik beskrivas som genuint filosofisk, till skillnad från matematisk, logik (Därmed inte sagt att detta i allmänhet är en rimlig dikotomi.)

15 Möjliga världar Enligt en gammal uppfattning från Leibniz så finns, utöver den aktualiserade världen, ett helt multiversum av möjliga världar. En proposition är möjlig om den är sann i minst en möjlig värld. En proposition är nödvändig om den är sann i alla möjliga världar. (Notera släktskapet med existens- respektive allkvantifikation.)

16 Kripkesemantik Den rena Lebnizianska idén lämpar sig inte för det allmänna studiet av modaliteter. Bl a så kan inte olika världar ha olika möjligheter. Ett modernare synsätt är att satser har sanningsvärden i situationer, och till varje situation hör en mängd andra situationer som är dess alternativ. Situationerna brukar kallas punkter, noder eller möjliga världar. Multiversum är en riktad graf av noder med en eller flera tillgänglighetsrelationer.

17 Kripkesemantik, forts Så vi får följande definitioner: A är sann i en punkt om A är sann i alla tillgängliga punkter. A är sann i en punkt om A är sann i minst en tillgänglig punkt. Om vi vill kan vi införa (A B) genom definitionen (A B). Övning: kolla att A är ekvivalent med A och att denna nya definition av stämmer överens med den tidigare (A B).

18 Exempel Detta argument är giltigt. (P1) (p q) (P2) p (S) q Antag att P1 och P2 är sanna i en punkt. Då är (enl P2) p sann i alla tillgängliga punkter. Och eftersom (p q) (enl P1) är sann i alla tillgängliga punkter följer att q också är det. Vilket betyder att q är sann i punkten vi startade i.

19 Ett exempel till Detta argument är ogiltigt. (P) (p q) (S) ( p q) (Om vi inte ställer särskilda krav på tillgänglighetsrelationen.) Att premissen är sann innebär ju bara att för varje tillgänglig punkt måste någon av p eller q vara sann. Inte att en av p/q fungerar för varje val av punkt.

20 Notera! Modallogiken började med möjlighet/nödvändighet, men slutar absolut inte där! Vi kan variera semantiken (och få olika modala begrepp) genom att lägga olika krav på egenskaper hos tillgänglighetsrelationerna. Dessutom kan man utöka det modallogiska språket på flera sätt, och därmed öka uttryckskraften.

21 Ytterligare ett (modernt) perspektiv Modallogik är en klass av språk som lämpar sig väl för att beskriva (vissa aspekter av) relationella strukturer. Modallogiska språk demonstrerar en fin balans mellan enkelhet, elegans, uttryckskraft och trevliga metalogiska egenskaper (som fullständighet, avgörbarhet etc).

22 Slut för idag... och tack för idag.