b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)

Transkript

1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 13:E AUGUSTI 2018 KL Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlenko, Examinator för SF1924: Björn-Olof Skytt, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen), miniräknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 24 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med, preliminärt, poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Poäng från kontrollskrivning och laborationer under period 4, VT2018 får tillgodoräknas under förutsättning att tentanden erhållit minst 20 poäng på denna tentamen. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 Enligt boken Vänster hjärna, höger hjärna av Springer och Deutsch är sannolikheten att en högerhänt person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva 95 %, medan sannolikheten att en vänsterhänt person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva är 70 %. Vidare gäller att 10 % av alla personer är vänsterhänta. a) Beräkna sannolikheten för att en slumpmässigt vald person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva. (5 p) b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p) Uppgift 2 För bestämning av två okända konstanter b och c har vid ett försök följande mätvärden erhållits: 0.9, 1.2, 1.1, 1.0. Dessa kan i nämnd ordning uppfattas som observationer av oberoende stokastiska variabler med samma varians och med väntevärdena b c, b + c, b c, b + c respektive. Skatta b och c med minsta-kvadratmetoden. (10 p)

2 forts tentamen i SF1922/SF1923/SF Uppgift 3 I en matvarubutik handlar varje dag 400 personer. Antalet liter mjölk en kund efterfrågar betraktas som en stokastisk variabel X med sannolikhetsfunktionen 0.3 om k = om k = 1 p X (k) = 0.2 om k = 2 0 om k > 2. Olika personers inköp förutsättes oberoende. Beräkna med lämplig och välmotiverad approximation sannolikheten för att lagret räcker om affären tar hem 390 enlitersförpackningar. (10 p) Uppgift 4 En komponent i ett tekniskt system har en livslängd som kan anses vara exponentialfördelad med väntevärdet µ (okänt). Man har observerat 100 sådana komponenter och funnit att 50 fungerade efter 25 timmar. a) Gör ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad 95% för sannolikheten att en sådan komponent håller minst 25 timmar. (5 p) b) Skatta µ med maximum-likelihoodmetoden. (5 p) Uppgift 5 En komponent kan monteras på ett kretskort i två olika lägen, A-läge respektive B-läge. Man vill undersöka vilken montering som ger högst driftsäkerhet, med hänsyn till två fel-moder F 1 och F 2. Dessa fel kan inte inträffa samtidigt så ett kretskort går sönder antingen med felet F 1 eller med felet F 2. Man tar 100 kretskort och på dessa monterar 50 komponenter i läge A och 50 komponenter i läge B och noterar sedan hur många av dessa kretskort som fungerar respektive har felat efter en given tidsperiod. Montering Fungerar Fel F 1 Fel F 2 Totalt A-läge B-läge Testa på nivå approximativt 5% ifall man kan anse att monteringsläget påverkar felbenägenheten och vilket fel som inträffar. (10 p) Uppgift 6 Låt N, X 1, X 2, X 3,... vara oberoende stokastiska variabler där N är Po(λ)-fördelad och X i är positiva och har fördelningsfunktion F X (x), i = 1, 2, Definiera en stokastisk variabel Y genom Y = max(x 1, X 2,,..., X N ) om N > 0. För N = 0 sätts Y = 0. (Observera att N är en stokastisk variabel.)

3 forts tentamen i SF1922/SF1923/SF Visa att fördelningsfunktionen för Y är F Y (x) = { e λ(f X(x) 1) om x 0 0 om x < 0 Ledning: k=0 x k k! = e x. (10 p) Lycka till!

4 Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK. MÅNDAGEN DEN 13 AUGUSTI 2018 KL Vi inför följande händelser: Uppgift 1 V = personen är vänsterhänt. H = personen är högerhänt. L = personen har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva. R = personen har sitt språkcentrum i höger hjärnhalva. a) Enligt lagen om total sannolikhet, så gäller P (L) = P (L V )P (V ) + P (L H)P (H) = = Svar: Sannolikheten att en slumpmässigt vald person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva är b) Enligt Bayes sats, så gäller P (V L) = P (L V )P (V ) P (L) = = Svar: Sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt är 7.6%. Bilda Uppgift 2 Q(b, c) = ( b + c) 2 + (1.2 + b c) 2 + ( 1.1 b + c) 2 + (1.0 b c) 2. Derivering och förenkling ger ekvationerna 0 = Q b = 2( b), Q c = 2( c). Härav erhålls att b = 0.1 och c = 1.05 minimerar Q(b, c) och därmed är b = 0.1 och c = 1.05 de sökta minsta-kvadratskattningarna. Vi har E(X) = Uppgift 3 2 kp X (k) = = 0.9 k=0

5 forts tentamen i SF1922/SF1923/SF och E(X 2 ) = 2 k 2 p X (k) = = 1.3 V (X) = = k=0 Låt X i vara det antal liter mjölk som person nr i vill ha. Då är S 400 = X X 400 = totala mjölkefterfrågan. Enligt centrala gränsvärdessatsen gäller att S E(X) 400V (X) är approx. N(0, 1). Detta ger P (lagret räcker) = P (S ) = P ( S E(X) 400V (X) ) E(X) 400V (X) ( ) (enl. CGS, jmf. ovan) Φ = Φ(2.14) = Uppgift 4 a) 50 är observation av Bin(100, p 25 ), där p 25 är sannolikheten att livslängden är minst 25 timmar. Ett approximativt 95% konfidensintervall för p 25 ges av ± = (0.40, 0.60). b) Om X betecknar livslängden så är p 25 = P (X > 25) = e 25/µ. Likelihoodfunktionen ( ) 100 (e L(µ) = ) 25/µ 50 ( ) 1 e 25/µ maximeras då e 25/µ = 50/100. ML-skattningen blir därmed ˆµ = 25/ ln 2 = Uppgift 5 Homogenitetstest. Vi vill testa H 0 : att det är samma felfördelning för de båda monteringslägena mot H 1 : att de skiljer sig åt. Med storheter definierade enligt tabellen så förkastar vi H 0 för stora värden på Montering Fungerar Fel F 1 Fel F 2 Totalt A-läge n 1 = 50 B-läge n 2 = 50 Totalt m 1 = 49 m 2 = 22 m 3 = 29 N = 100 q = i,j ( xij n im j N n i m j N ) 2 = Eftersom n i m j /N > 5 så är om H 0 är sann q ett ytfall från en (approximativt) χ 2 ((3 1)(2 1)) = χ 2 (2)-fördelad stokastisk variabel. Ur χ 2 (2)-tabell fås att testet som förkastar H 0 då q > χ =

6 forts tentamen i SF1922/SF1923/SF har signifikansnivå 5%. Här är q > 5.99 så H 0 förkastas. Placeringen av komponenten påverkar felbenägenheten och/eller felfördelningen. Uppgift 6 Y antar endast icke-negativa värden. Därför gäller att F Y (x) = 0 för x < 0. För x 0, så gäller F Y (x) = P (Y x) = P (Y x N = n) P (N = n) n=0 = 1 P (N = 0) + P (max(x 1, X 2,..., X N ) x N = n) P (N = n). n=1 Eftersom N är oberoende av X 1, X 2,..., så gäller det att P (max(x 1, X 2,..., X N ) x N = n) = P (max(x 1, X 2,..., X n ) x) = (P (X i x)) n = (F X (x)) n. Vidare gäller så P (N = n) = λn n! e λ F Y (x) = 1 e λ + n=1 (F X (x)) n λn n! e λ = e λ = e λ e λf X(x) = e λ(f X(x) 1). n=0 (F X (x)) n λn n! Detta ger F Y (x) = { e λ(f X(x) 1) om x 0 0 om x < 0 vilket skulle bevisas.