Uppgift 1 P (A B) + P (B A) = 2 3. b) X är en diskret stokastisk variabel, som har de positiva hela talen som värden. Vi har. k s

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Uppgift 1 P (A B) + P (B A) = 2 3. b) X är en diskret stokastisk variabel, som har de positiva hela talen som värden. Vi har. k s"

Transkript

1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 8:E MARS 06 KL Kursledare: Timo Koski, tel Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), Hjälpreda för miniräknare, räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 0 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 4 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med, preliminärt, 3 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift a) P (A) och P (B). Vi har därtill att 3 5 P (A B) + P (B A) 3. Beräkna sannolikheten P (A B ). (6 p) b) X är en diskret stokastisk variabel, som har de positiva hela talen som värden. Vi har där s > och ζ(s) + p X (k) P (X k), k,, 3,... ζ(s) ks. Låt n vara ett godtyckligt positivt heltal. X är delbart k s med n om X kn för något heltal k. Beräkna sannolikheten för att X är delbart med n. Kontrollera att Din lösning ger rätt svar för n. (4 p)

2 forts tentamen i SF Uppgift Ett nätverk av mobila stationer sänder meddelanden till varandra över en kommunikationskanal. Meddelandena är i form av paket med konstant längd. En station kan erbjuda ett paket för en sändning endast vid diskreta tider med avståndet T. Tiderna att sända ett paket kallas tidsluckor (time slots), och betecknas med T. Ett och endast ett paket kan sändas per tidslucka. Om stationerna i nätverket erbjuder två eller flera meddelanden på en och samma tidslucka, uppstår en kollision och alla dessa paket försvinner. Låt X antalet paket som de andra stationerna i nätverket inom din räckvidd erbjuder under en tidslucka. En tidigare analys ger vid handen att X Po(λ T ) är en välfungerande modell. Vi antar att X är oberoende av din station samt oberoende och identiskt fördelad vid olika tidsluckor. a) Din station erbjuder ett paket. Vad är sannolikheten för en kollisionsfri sändning av ditt paket? ( p) b) Din station erbjuder ett paket. Om en kollision uppstår, erbjuds samma paket på nytt av din station vid nästa tidslucka. Vad är sannolikhetsfunktionen för S antalet gånger ditt paket erbjuds när sändningen lyckas, d.v.s. antalet erbjudanden inkl. den första kollisionsfria sändningen. Motivera ditt svar. Vad är E(S)? (4 p) c) Din station erbjuder ett paket. Givet att en kollision inträffar, vad är sannolikhetsfunktionen för antalet paket som erbjudits från de andra stationerna i nätverket. Sökt är alltså P (X k X ), k,,.... (3 p) d) Vad är väntevärdet för antalet paket som erbjöds och kolliderade i c)? ( p) Uppgift 3 En statistisk konsult kommer inom en nära framtid att leverera till sina kunder 000 stycken konfidensintervall I θ (i), i,..., 000 avsedda för en okänd statistisk parameter θ. Alla dessa intervall har konfidensgraden 95%. Vi antar att dessa intervall är oberoende av varandra, p.g.a. att de beräknas på basis av respektive separata mängder av data, som är oberoende av varandra. Låt Y antalet I θ (i) som kommer att övertäcka θ. a) Vilken sannolikhetsfördelning har Y? Motivera Ditt svar. ( p) b) Bestäm P (940 < Y 960) med hjälp av en rimlig och välmotiverad approximation. Ifall Din kalkylator kan beräkna denna sannolikhet s.a.s. exakt, förväntas Du ändå föreslå och använda en rimlig och välmotiverad approximativ metod samt att jämföra de erhållna svaren. (8 p)

3 forts tentamen i SF Uppgift 4 Din vän, som är bankekonom vid GK-banken, har två gånger genomfört en datainsamling av n 7 respektive n 5 observationer som alla kan anses vara oberoende observationer av normalfördelade stokastiska variabler, N(µ, σ) respektive N(µ, σ), med samma okända varianser men med olika okända väntevärden i båda stickproven. Hen har sedan räknat ut med stöd av t-metoden ett konfidensintervall med konfidensgraden 99% för väntevärdet µ i det första stickprovet som blev: I µ [0.3, 4.7]. Hen hade också räknat ut med stöd av t-metoden ett konfidensintervall med konfidensgraden 99% för väntevärdet µ i det andra stickprovet och erhållit resultatet: I µ [8.4,.6]. Det cirkulerade febriga rykten om att Finansinspektionen skulle komma att utreda i vissa av GK-bankens operationer, där din vän och dessa data spelar en stor roll. Din vän suddade bort de båda stickprovens observationsvärden och deras aritmetiska medelvärden och standardavvikelser. a) Nu skulle hen vilja veta hur ett observerat konfidensintervall för differensen µ µ mellan de båda väntevärdena med konfidensgraden 95% baserat på alla observationerna ser ut. Hen frågar därför dig (som har rykte om dig att kunna räkna bra) om du kan hjälpa på något sätt? Kan du det? (6 p) b) Eftersom du var så duktig på uppdraget i a), vill GK-banken rekrytera dig som statistisk matematiker. Ditt nästa uppdrag är att rekonstruera hur slutsatsen i testet skulle blivit om du använt ett lämpligt tvåsidigt test med signifikansnivån 5%, för att testa nollhypotesen att de båda väntevärdena är lika, dvs 0. Du bör klart ange huruvida nollhypotesen förkastas eller inte. Ange även den statistiska regel du använde för att dra din slutsats. (4 p) Uppgift 5 I en telefonintervju ställdes frågan Oroar du dig för att inte pengarna skall räcka till när du går i pension till 300 personer i olika åldrar. Möjliga svarsalternativ var Ja och Nej. Svaren fördelade efter ålder redovisas i tabellen nedan: Orolig Ålder Ja Nej Totalt, n i Kolumnsumma, m j 08 9 N 300 Bestäm ifall det föreligger någon signifikant skillnad i oro för att pengarna inte skall räcka till mellan åldersgrupperna. Använd signifikansnivå (approximativt) 5%. Ett tydligt svar måste framgå. (0 p)

4 forts tentamen i SF Uppgift 6 Livslängden hos en typ av relativt komplicerade elektroniska komponenter kan uppfattas som en stokastisk variabel X med sannolikhetstäthetsfunktionen { xe f X (x) x θ θ x 0 0 x < 0. Du har observationerna x, x,..., x n av resp. oberoende stokastiska variabler X, X,..., X n med denna sannolikhetstäthetsfunktion. a) Vi förutsätter att punktskattningen av den okända parametern θ i denna sannolikhetstäthet borde vara av formen θ obs a i x i a x + a x a n x n. där a, a,..., a n är reella tal d.v.s. konstanter som skall väljas av en användare. Vilket matematiskt villkor bör a, a,..., a n uppfylla för att θobs skall vara väntevärdesriktig? (4 p) b) Bestäm ML-skattningen θobs,ml av den okända parametern θ och checka om ML-skattningen är väntevärdesriktig. (4 p) θ obs,ml c) Frågan är om det kan finnas en punktskattning av formen θobs n a ix i som är effektivare än θobs,ml! Vilka två villkor borde a, a,..., a n uppfylla för att θobs skall vara effektivare? Kan dessa två villkor bli uppfyllda samtidigt? Motivera ditt svar. Du får gärna betrakta geometriskt fallet med n. Hjälp: I denna uppgift behöver Du σ V (X), men Du behöver inte räkna ut det explicita värdet på σ. ( p) Lycka till!

5 Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF90 FREDAGEN DEN 8 MARS 03 KL Uppgift a) Vi använder De Morgan och komplementsatsen P (A B ) P ((A B) ) P (A B). Det återstår att beräkna P (A B). Vi har P (A B) + P (B A) och P (A) 3, P (B) 5 d.v.s P (A B) P (B) + P (A B) P (A) ( P (A B) P (B) + ) P (A) ) Således och 3 P (A B) ( P (A B) 8. P (A B) + P (B A) P (A B) 8, P (A B ) P (A B) 3 8. SVAR a): P (A B ). b) X är delbart med n om X kn för något positivt heltal k. Detta innebär att X är delbart med n {X kn}. Till exempel, om n 5, då inträffar händelsen X är delbart med 5, såsnart någon av händelserna {X 5}, {X 0 5}, {X 5 3 5}, {X 0 4 5},... inträffar och omvänt. Sannolikheten för händelsen X är delbart med 5 är därför summan av sannolikheterna för dessa händelser. Mer formellt, eftersom händelserna i den betraktade unionen är disjunkta, ger additivitet i Kolmogorovs axiom att P ( {X kn}) P ({X kn}) ζ(s) (kn) s

6 forts tentamen i SF För n, n s ζ(s), s.s.b. n s k s n s ζ(s) k s n s ζ(s) ζ(s) n. s SVAR: Sannolikheten för att X är delbart med n är lika med n s. Uppgift Denna uppgift innehåller en förenklad eller rudimentär beskrivning av transmissionsprotokollet i ett s.k. slotted ALOHA nätverk, som är ett exempel på såkallade random access nätverk. Nätverket är instabilt, ty antalet försvunna paket kan bli stort. Förbättringar kan införas bl.a. medelst reglertekniska algoritmer. a) Sannolikheten för en kollisionsfri sändning av ditt paket är sannolikheten för att inga andra erbjuder ett paket. Detta är P (X 0) e λt. SVAR a): Sökta sannolikheten är e λt. b) Vi har följande situation: Vi har ett försök med två möjliga utfall: kollision eller inte. Här svarar utfallet ingen kollision mot ett lyckat försök. Antalet upprepningar av försöket är inte givet på förhand utan är i princip obegränsat. De olika försöken är oberoende av varandra, liksom förklaras i uppgiften. Sannolikheten p för ett lyckat försök är densammma vid vart och ett av dessa försök och är lika med p e λt. Antalet sändningar av ditt paket när sändningen lyckas, inkl. din första kollisionsfria sändning är därmed ffg-fördelad med parametern e λt, ty aktiviteterna vid olika tidsluckor antas oberoende. Formelsamlingen ger därmed det sökta väntevärdet som e λt. SVAR b):väntevärdet är e λt. c) Det är klart att P (X 0 X ) 0. Tag k P (X k X ) P ({X k} {X }) P (X ) och eftersom {X k} {X }, får vi {X k} {X } {X k} och P ({X k}) P (X ) e λt (λt ) k P (X ) e λt (λt ) k e λt (λt )k P (X 0) e. λt

7 forts tentamen i SF SVAR b):p (X k X ) e λt (λt ) k, k,,... e λt d) För att beräkna väntevärdet av antalet kolliderade paket kalkylerar vi kp (X k X ) e λt (λt ) k k e λt Vi har och e λt e λt e λt (λt )k k. (λt )k e λt k, (λt )k k e λt λt, ty detta är väntevärdet för Po(λ T ). Resultatet är även givet av (λt )k k (λt ) k (k )! Insättning ovan ger λt (λt ) k (k )! λt k0 kp (X k X ) (λt ) k λt e λt. λt e λt. Men detta är väntevärdet av paket erbjudna från de andra i nätverket, din station hade även sitt kolliderande paket. Alltså SVAR c):väntevärdet för totalantalet är λt +. e λt Uppgift 3 a) Vi har följande situation: Vi har ett försök med två möjliga utfall: I θ (i) kommer att övertäcka θ eller inte. Här svarar utfallet I θ (i) övertäcker θ mot ett lyckat försök. Antalet upprepningar av försöket, n, är givet på förhand och är lika med n 000. De olika försöken är oberoende av varandra, såsom detta anförts i uppgiften. Sannolikheten p för ett lyckat försök är densammma vid vart och ett av dessa 000 försök och är lika med p 0.95.

8 forts tentamen i SF Här är Y antalet I θ (i) som kommer att övertäcka θ,,..., 000 antalet lyckade försök vid tusen oberoende upprepningar av försöket och under de förutsättningar som räknats upp ovan fås att Y Bin(000, 0.95). SVAR a): Y Bin(000, 0.95). b) Den sökta sannolikheten P (940 < Y 960) kan beräknas mer eller mindre exakt (någon numerisk algoritm ingår) t.ex. i Matlab med resultatet >> binocdf(960,000, 0.95)-binocdf(940,000,0.95) ans Det är naturligt att tänka på binomialfördelningen Bin(000, 0.95) approximerad med normalfördelningen N( , ), se kursens formelsamling avsnitt 6., Approximation. Detta är välmotiverat för att > 0, jfr. kursens formelsamling avsnitt 6.. Då ger Matlab att >> normcdf(960,950, sqrt(000*0.95*0.05))-normcdf(940,950,sqrt(000*0.95*0.05)) ans Mer detaljerat fås att P (940 < Y 960) P P ( < ( < Y 950 Y ) P < Y }{{} approx N(0.) och approximativt, där Φ(x) är fördelningsfunktionen för N(0, ), ( ) ( ) 0 0 Φ Φ och ty Φ( x) Φ(x) erhålles Φ ( 0 ) ( ( )) 0 Φ ( ) 0 Φ Φ (.45). Här ger Matlab >> *normcdf(.45,0,)- ans Med kursens tabellsamling fås Φ (.45) 0.965, så att P (940 < Y 960) ) Med två decimaler erhölls samma svar med alla ovanimplementerade beräkningar.

9 forts tentamen i SF SVAR b): P (940 < Y 960) Uppgift 4 Ett konfidensintervall med konfidensgraden 99% för väntevärdet µ i N(µ, σ) med okänd varians ges med t-metoden av [0.3, 4.7] I µ x ± t 0.0/ (7 )s / 7. Det är klart att stickprovens aritmetiska medelvärde är mittpunkten i detta intervall, och detta ger x.5. Då fås standardavvikelsen s som s (4.7.5) 7 t (6) Observera att Du får samma svar genom att lösa med avseende på s utifrån intervallets vänstra ändpunkt. Vi utnyttjade Tabell 3. i kursens tabellsamling för att erhålla t (6) 3.7. För det andra konfidensintervallet gäller [8.4,.6] I µ x ± t 0.0/ (5 )s / 5. På samma sätt som i det första fallet fås och x s (.6 0) 5 t (4) a) Detta är fallet med två stickprov och konfidensntervall för skillnaden mellan väntevärdena i två normalfördelningar. Formelsamlingen avsnitt. d) ger att X X t(n + n ). S n + n Det observerade konfidensintervallet fås (t-metoden) ur P t 0.05 (n + n ) < X X ) 0.95 S n + n t 0.05 (n + n som I x x ± t 0.05 (n + n )s n + n,

10 forts tentamen i SF där s är den vägda stickprovsvariansen (kursens formelsamling avsnitt.) (n )s + (n )s s. n + n Insättning av värdena från del a) ger s.94 0 och t 0.05 (n + n ) t 0.05 (7 + 5 ) t 0.5 (0).09 ger I 0.5 ± ± vilket ger I [ , 0.644] SVAR a): I [ , 0.644]. b) Vi använder oss av sambandet mellan konfidensintervall och hypotesprövning. Nollhypotesen testas mot H 0 : 0 H : 0 och nollhypotesen förkastas med signifikansnivån 5% om konfidensintervallet för med konfidensgraden 0.95%, som tagits fram i del a) av uppgiften, inte innehåller nollan. Detta sistnämnda är uppenbarligen fallet här med I [ , 0.644]. SVAR a): Nollhypotesen 0 förkastas med signifikansnivån 5%. Uppgift 5 Vi utför ett homogenitetstest. Våra observationer jämförs med ett skattat förväntat antal n im j N en gemensam radfördelning: Orolig Ålder Ja Nej Totalt, n i Kolumnsumma, m j 08 9 N 300 framräknat under en hypotes om (Notera: n i m j /N > 5 för alla i, j.) Ett homogenitetstest förkastar en hypotes om en gemensam radfördelning för stora värden på Q i,j (x ij n im j N ) n i m j N 9.46 som om hypotesen är sann är ett utfall från en (approximativ) χ ()-fördelad stokastisk variabel. Ur χ -tabell fås att χ < Q och hypotesen om en likafördelning förkastas på nivå 5%.

11 forts tentamen i SF Uppgift 6 a) Vi behöver väntervärdet θ E [X] θ x e x θ dx θ xf X (x)dx + 0 ( [ x e x θ ] x θ xe θ dx. θ x x xe θ dx + 0 ( xe x θ )dx ) Men + 0 θ xe x θ dx är väntevärdet av en exponentialfördelad variabel med parameter /θ. Således ger formelsamlingen + x θ xe θ dx θ. Punktskattningen θ obs 0 a i x i a x + a x a n x n. är väntevärdesriktig (v.v.r.) om det gäller för den motsvarande stickprovsvariabeln θ att Vi har E [θ ] θ. E [θ ] E [a X + a X a n X n ] a E [X ] + a E [X ] a n E [X n ] a θ + a θ a n θ θ a i. Således är E [θ ] θ om och endast om n a i. b) Likelihoodfunktionen L(θ) är SVAR a): Villkoret för v.v.r. är n a i. L(θ) f X (x ) f X (x ) f X (x n ) θ x e x θ θ x e x θ θ x ne xn θ θ n n x i e n x i θ. Som vanligt är det en fördel att logaritmera. Logaritmen är en monotont växande funktion, så ln L(θ) och L(θ) maximeras av samma θ. Logaritmering ger ln L(θ) n ln θ + ln x i x i θ.

12 forts tentamen i SF Vi deriverar m.a.p. θ och får d dθ ln L(θ) n θ + θ x i. Vi sätter derivatan 0 och multiplicerar denna ekvation med θ, vilket ger d.v.s. d dθ ln L(θ) 0 nθ + x i 0 θ obs,ml n x i. Här har vi allså en punktskattning som är en linjär kombination av observationerna som i del a). Vi har i själva verket för maximum likelihood att a i, i,,..., n. Således n a i n n n n och ML-skattningen θ obs,ml är väntevärdesriktig enligt resultatet i a). c) Av två väntevärdesriktiga punktskattningar säges den med mindre varians vara den effektivare. Vi gör således jämförelse av variansen V (θml ) med variansen av en annan väntervärdesriktig punktskattning. Låt σ V (X). Då fås p.g.a oberoende För ML-skattningen gäller V [θ ] a V [X ] + a V [X ] a nv [X n ] a σ + a σ a nσ σ a i. V [θ ML] σ a i σ a i σ (n) σ 4n n σ 4n. En annan väntevärdesriktig skattning av formen θ obs n a ix i vore således för fördelningen i denna uppgift effektivare än ML-skattningen, om V [θ ] < V [θ ML] a i < 4n. Vi har alltså att en punktskattning formen θobs n a ix i, som vore effektivare än θml, bör uppfylla a i ()

13 forts tentamen i SF och a i < 4n. () Med ord, koefficienterna a, a,..., a n bör ligga på hyperplanet () och på ytan av en n-sfär (), vars radie är mindre än. Vi vet emellertid att hyperplanet () tangerar n-sfären 4n n a i i a 4n a... a n, vilket svarar mot n θ obs,ml. Således finns ingen väntevärdesriktig punktskattning som uppfyller (), och därmed finns för denna fördelning ingen effektivare skattning av formen n a ix i än θobs,ml. Alternativt bevis från en deltagare i tentan: Enligt kursens formelsamling (avsnitt 3.3, andra raden) gäller att (a i ā) a i n (ā) Vi har utifrån () att (ā) ( n n a ( i) n (a i ā) ) 4n. Detta ger a i 4n. Men vi vet att n (a i ā) 0, vilket innebär att a i 4n. Likhet i denna olikhet uppnås för θml, alltså kan () inte komma ifråga tillsammans med () och således finns ingen linjär punktskattning som är effektivare än ML. Vi ser detta kanske ännu tydligare om vi betraktar fallet n. Då är väntevärdesriktighet att a och a bör ligga på linjen a + a och samtidigt gäller det för en punktskattning med mindre varians än ML-skattningen att a + a < 8. Vi ser att ML-skattningen med a a satisfierar 4 a + a och ML-skattningen 8 svarar mot punkten där linjen a + a tangerar cirkeln a + a. Figur. visar att 8 om cirkeln a + a R har en radius R <, så kan denna cirkel inte ha en gemensam punkt med linjen a + a. Alltså kan ingen väntevärdesriktig punktskattning av formen a ix i vara effektivare än ML-skattningen i denna uppgift. 8

14 forts tentamen i SF a a + a /8 / a + a / /4 /4 / a Figur : Effektivitet

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)

b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 13:E AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator

Läs mer

b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p)

b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 OCH SF905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 4:E MARS 204 KL 4.00 9.00. Kursledare: För D och Media: Gunnar Englund, 073 32 37 45 Kursledare: För F:

Läs mer

(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.

(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK I, MÅNDAGEN DEN 15 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, 08 790 84 66. Kursledare: Thomas Önskog, 08 790

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.

Läs mer

b) Om vi antar att eleven är aktiv i en eller flera studentföreningar vad är sannolikheten att det är en kille? (5 p)

b) Om vi antar att eleven är aktiv i en eller flera studentföreningar vad är sannolikheten att det är en kille? (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1920 och SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 8:E JUNI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08 790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I Matematisk statistik SF1907, SF1908 OCH SF1913 TORSDAGEN DEN 30 MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 073 321 3745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1907, SF1908 samt SF1913 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONS- DAGEN DEN 9:E JANUARI 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1920/SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 11 MARS 2019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna

Läs mer

1 e (λx)β, för x 0, F X (x) = 0, annars.

1 e (λx)β, för x 0, F X (x) = 0, annars. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 30:E MAJ 2017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:... Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för

Läs mer

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter).

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter). Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 13:E MARS 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare för F och E: Timo Koski, tel: 070 237 00 47 Kursledare för D

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för

Läs mer

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 14:E AUGUSTI 2017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF11/SF114/SF115/SF116 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 0:E DECEMBER 018 KL 8.00 13.00. Examinator för SF114/SF116: Tatjana Pavlenko, 08-70 84 66 Examinator

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:... Avd. Matematisk statistik EXEMPELTENTAMEN I SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen). Tentamen består av två delar,

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare,

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901,SF1905,SF1907 OCH SF1908 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 12:E JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Kursledare: Gunnar Englund för D och I, tel. 7907416.

Läs mer

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR E3 LÖRDAGEN DEN 30 AUGUSTI 2003 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 7416. Tillåtna hjälpmedel : Formel- och

Läs mer

Lycka till!

Lycka till! Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR K OCH B MÅNDAGEN DEN 25 AUGUSTI 2003 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 790 7416. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

b) Teknologen Osquarulda känner inte till ML-metoden, men kom på intuitiva grunder fram till att p borde skattas med p = x 1 + 2x 2

b) Teknologen Osquarulda känner inte till ML-metoden, men kom på intuitiva grunder fram till att p borde skattas med p = x 1 + 2x 2 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I B14 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR E gamlingar TISDAGEN DEN 14 DECEMBER 4 KL 8. 13. Examinator: Gunnar Englund, 79 7416 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

P =

P = Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF297 (f d 5B157) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI LÖRDAGEN DEN 2 OKTOBER 21 KL 1. 18.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 79716, e-postadress: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

TENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL

TENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL TENTAMEN I SF950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 010 KL 14.00 19.00 Examinator : Gunnar Englund, tel. 790 7416, epost: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30 Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator

Läs mer

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1911, STATISTIK FÖR BIOTEKNIK Torsdag den 1 april 08:00-1:00. Examinator: Timo Koski, 70 7 00 47. Kursledare: Timo Koski, 790 71 4. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande

Läs mer

Sju dagar före viral exponering med echinacea därefter Efter viral exponering med echinacea därefter Placebo (ingen echinacea) 58 30

Sju dagar före viral exponering med echinacea därefter Efter viral exponering med echinacea därefter Placebo (ingen echinacea) 58 30 Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF1911, STATISTIK FÖR BIOTEKNIK Torsdag den femte april 18 14:00-19:00 Examinator: Timo Koski, 072 14861 Kursledare: Timo Koski, 072 14861 Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

b) Förekommer A- och B-fel oberoende av varandra? (Motivering krävs naturligtvis!) (5 p)

b) Förekommer A- och B-fel oberoende av varandra? (Motivering krävs naturligtvis!) (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FREDAGEN DEN 8 MAJ 010 KL 14.00 19.00. Eaminator: Gunnar Englund, tel. 79074 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 14:E AUGUSTI 2017 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Thomas Önskog 28/

Thomas Önskog 28/ Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta

Läs mer

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk

Läs mer

e x/1000 för x 0 0 annars

e x/1000 för x 0 0 annars VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B506 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURRS FÖR D OCH F, 5B504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR ÄLDRE OCH 5B50 MARKOVPROCESSER ONSDAGEN DEN

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMatematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR B OCH K FREDAGEN DEN 11 JANUARI 2002 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar

Läs mer

Föreläsning 12: Repetition

Föreläsning 12: Repetition Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-08-5 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 03-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 19 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Jimmy Olsson tel. 790 72 01. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Mykola

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Föreläsning 5: Hypotesprövningar

Föreläsning 5: Hypotesprövningar Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd

Läs mer

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS063 Tentamen Matematisk statistik TMS63 Tentamen 8-8- Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof Elias,

Läs mer

Individ nr Första testet Sista testet

Individ nr Första testet Sista testet Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK ONSDAGEN DEN 7:E JUNI 2017 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare,

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal

Läs mer

SF1901: Medelfel, felfortplantning

SF1901: Medelfel, felfortplantning SF1901: Medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 15.09.2011 1 / 14 Felfortplantning Felfortplantning kallas propagation of error

Läs mer

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5. February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg. Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 juni, 16, Eklandagatan 86. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113. Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte

Läs mer

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna

Läs mer