Avd. Matematisk statistik

Transkript

1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund till statistikfunktioner på Texas Instruments-räknare (TI-82 Stats och högre utan egna tillägg, läroboken av Blom m.fl. utan egna tillägg, formelsamlingen BETA utan egna tillägg. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Uppgift 1 I en känd tävling möts 16 tävlande i en semifinal och 17 andra i en annan semifinal. Från varje semifinal går 10 vidare till final.i finalen deltar förutom de 20 som kvalificerat sig från semifinalerna även 6 direktkvalificerade. Antag att alla dessa 26 som deltar i finalen är lika bra i den meningen att deras resultat kan beskrivas som ober likafördelade stokastiska variabler. Vad är då sannolikheten att bland de bästa i finalen minst 2 var direktkvalificerade? Uppgift 2 Vädret en sommardag kan indelas i tre olika typer: A:högtryck, B:ostadigt, C:lågtryck. Sannolikherna för de olika typerna är 0.2, 0.,resp. 0.3,och sannolikheten att det regnar vid väderlekstyp A, B, C är 0.0, 0.4 resp En person vaknar en sommardag och hör att det regnar. Beräkna sannolikheten att det är ostadigt. Uppgift 3 En nytt superbatteri för brandvarnare säges ha livstiden 10 år.om vi med detta antar att det menas att väntevärdet av livstiden för batteriet är 10 år och att livstiden är exponentialfördelad, vad är då sannolikheten att vi måste byta batteri innan 10 år förflutit? Uppgift 4 I ett planerat bostadsområde med 80 lägenheter bygger man 80 parkeringsplatser. Hur stor är den approximativa sannolikheten att antalet parkeringsplatser skall räcka till, om vi antar att sannolikheten att en slumpvald lägenhet i denna typ av bostadsområde behöver 0 parkeringsplatser, 1 parkeringsplats respektive 2 parkeringsplatser är 0.4, 0.4 respektive 0.2?

2 forts tentamen i SF Uppgift Någon hävdar att mäklarfirma A värderar en viss typ av lägenheter en kvarts miljon kr högre än mäklarfirma B gör. För att få en uppfattning om detta låter man de båda firmorna ovetandes om varandra värdera olika lägenheter med följande resultat vad gäller priset i miljoner kr. Lägenhet nr Mäklarfirma A Mäklarfirma B Resultat k, k 1, 2, 3, 4,, från mäklarfirma A betraktas som ett utfall av N(µ k +, σ 1 och resultat k från mäklarfirma B betraktas som ett utfall av N(µ k, σ 2. Alla stokastiska variabler antas oberoende. Av gör på risknivån % om vi kan förkasta att firma A systematiskt värderar lägenheterna en kvarts miljon kr högre än firma B. Uppgift 6 För att utröna förekomsten av agenter gjorde man under andra världskriget statistik över antalet bombträffar i ett område i södra London. Området delades in i 76 delområden om vardera 1/4 km 2 yta. Först beräknades utifrån datamaterialet medelantalet träffar per delområde till Därefter slogs materialet ihop på följande sätt: Antal bombträffar Antal delområden Testa på risknivån % om antalet bombträffar per delområde kan anses vara Poisson-fördelat. Din slutsats skall klart framgå. (Anmärkning: Antalet bombträffar bör vara Poisson-fördelat om bombningen sker slumpmässigt vilket motsäger förekomsen av agenter. Uppgift 7 I en klass om 1 elever utvaldes på måfå 8 st, som behandlades med ett vitaminpreparat,medan de övriga 7 fungerade som kontrollgrupp. Därefter observerades under en längre tid antalet frånvarodagar p.g.a. sjukdom,varvid man erhöll följande antal frånvarodagar: Behandlade Kontrollgrupp Vi kan inte anta att antalet frånvarodagar är utfall av Normalfördelade stok.var. Avgör på risknivån % om behandligen har någon effekt. Din slutsats skall tydligt motiveras.

3 Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF1902 MATEMATISK STATISTIK. TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL Uppgift 1 Låt X vara antalet direktkvalificerade som hamnar bland de bästa. Då har vi att X Hyp(N, n, p, där N 26, n och p 6/26. Den sökta sannolikheten blir då ( 6 ( 20 ( ( P (X 2 1 P (X 1 1 ( Svar: Sannolikheten att minst 2 av de bästa var direktkvalificerade är Uppgift 2 Inför händelsen R att det regnar. Den sökta sannolikheten att det är ostadigt väder om det regnar är då P (B R vi beräknar den genom att använda Bayes sats och får då P (B R [Bayes sats] P (R B P (B P (R A P (A + P (R B P (B + P (R C P (C Svar: Sannolikheten att det är ostadigt väder om det regnar är Uppgift 3 Låt X vara batteriets livslängd. Enligt uppgiften är då X Exp(λ fördelad. Vi vet också att E (X 10 vilket ger att λ 1/10. Att vi behöver byta batteriet innan 10 år har förflutit innebär att livslängden för batteriet är mindre än 10 så den sökta sannolikheten blir då P (X < f X (xdx e 10 x dx ] 10 [ e 1 10 x 1 e Svar: Sannolikheten att behöva byta batteriet innan 10 år passerat är

4 forts tentamen i SF Uppgift 4 Inför beteckningen X i för antal bilar tillhörande lägenhet nr i och Y för totala antal bilar, vi har också att 80 Y X i X 1 + X X 80. i1 Den sökta sannolikheten är P (Y 80. Vi antar att X i :na är oberoende och likafördelade. Y blir då en summa av många, oberoende och likafördelade variabler vilket leder till att CGS kan användas. Y N(n µ, n σ, där n 80, µ E (X i och σ D (X i E (X i 2 kp (X i k k0 E ( 2 X 2 i k 2 P (X i k k0 V (X i E ( X 2 i E (Xi D (X i V (X i 0.6 Vi får då att Y N(80 0.8, och den sökta sannolikheten blir ( Y P (Y 80 P Φ( Φ( Svar: Antalet bilplatser räcker med sannolikheten Stickprov i par. De parvisa skillnaderna Uppgift Lägenhet nr y i : (Mäklarfirma A Mäklarfirma B är utfall av N(, σ-fördelade stokastiska variabler, där skattas med y och σ med s Hypoteserna blir H 0 : 0.2 H 1 : 0.2 Vi gör konfidensintervall för, med risknivån α 0.0, då standardavvikelsen är okänd och får att s s I (y t 0.02 (4, y + t 0.02 (4 ( , (0.10, 0.28 Eftersom 0.2 ligger i intervallet kan H 0 ej förkastas.

5 forts tentamen i SF Uppgift 6 Låt p i vara sannolikheten att ett delområde utsätts för i bombträffar, i 0,..., 3, och p 4 1 (p p 3. Vi vill testa H 0 : p i µi i! e µ, i 0,..., 3, och p 4 1 (p p 3 för något µ. Väntevärdet µ skattas med µ obs Detta ger Antal bombträffar Antal delområden, x i Skattningar p i obs Skattade väntevärden np i obs De observerade utfallen x i jämförs med de skattade väntevärdena np i obs med teststorheten q 4 (x i np i obs 2 np i0 i obs som om H 0 är sann är ett utfall från en (approximativt χ 2 ( 1 1 χ 2 (3-fördelad stokastisk variabel. Notera att alla np i obs så approximationen är tillåten och att en extra frihetsgrad tappades då väntevärdet µ skattades. Ur χ 2 (3-tabell fås att testet som förkastar H 0 då q > χ har risknivå %. Vi observerar utfallet 1.02 < 7.81 och förkastar inte H 0, dvs data är förenliga med att komma från en Poisson-fördelning. Uppgift 7 Här använder vi Wilcoxons rangsummetest. Låt A vara de behandlade och B kontrollgruppen. Vi har hypoteserna H 0 : Antal frånvarodagar är detsamma i de två grupperna H 1 : Antal frånvarodagar är olika i de två grupperna Vi får följande ranger Behandlade Kontrollgrupp Vi har då att rangsummorna blir W A 46, W B 74, n A 8 och n B 7 detta ger oss U A 10 och U B 46. Vi ska testa på nivån % och det kritiska värdet blir då U Eftersom U A är mindre än U B jämförs den med det kritiska värdet. Eftersom U A 10 U förkastas H 0 på nivån %. Vi drar slutsatsen att behandlingen har effekt.