b) Teknologen Osquarulda känner inte till ML-metoden, men kom på intuitiva grunder fram till att p borde skattas med p = x 1 + 2x 2

Transkript

1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I B14 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR E gamlingar TISDAGEN DEN 14 DECEMBER 4 KL Examinator: Gunnar Englund, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i matematisk statistik för E. Beta Mathematics Handbook. Kalkylator. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Varje korrekt lösning ger 1 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt poäng. Resultatet anslås senast tisdagen den 11 januari på Matematisk statistiks anslagstavla i entréplanet, Lindstedtsvägen, rakt fram innanför porten och tentamen kommer att finnas tillgänglig på elevexpeditionen under sju veckor efter tentamensdagen. Uppgift 1 a Vi gör ett dubbelkast med två tärningar, dvs kastar två vanliga symmetriska sexsidiga tärningar markerade med siffrorna 1,,3,4,,6. Beräkna sannolikheten att poängsumman blir 9. 3 p b Man gör nu sådana dubbelkast. Beräkna med väl motiverade approximationer sannolikheten att man minst gånger får poängsumman 9. 7 p Uppgift I en undersökning av Sveriges älgstam var man intresserad av förekomsten av en viss gen, som antingen saknas, finns i enkel uppsättning eller finns i dubbel uppsättning hos de olika älgarna. Man kontrollerade 1 på måfå valda älgar och konstaterade att 11 st hade genen i dubbel uppsättning, 187 st hade den i enkel uppsättning och att de övriga 8 älgarna saknade genen. Som teoretisk modell antog man att antalet gener av den aktuella typen hos en älg är Bin, p-fördelad och att de olika undersökta älgarnas gener var oberoende av varandra. a Beräkna Maximum Likelihood-skattningen av p baserad på ovanstående data. p b Teknologen Osquarulda känner inte till ML-metoden, men kom på intuitiva grunder fram till att p borde skattas med p = x 1 + x där x 1 = antalet älgar av de 1 undersökta som hade genen i enkel uppsättning och x = antalet älgar som hade genen i dubbel uppsättning. Undersök om p är en väntevärdesriktig skattning av p. p c Osquarulda vill dessutom räkna ut ett approximativt 9%-igt konfidensintervall för p baserad på sin skattning. Din uppgift är att utföra detta! Ledning och varning: x 1 och x är

2 forts tentamen i B ej utfall av oberoende stokastiska variabler. Fundera i stället över tolkningen av x 1 + x när Du löser c-delen. 3 p Uppgift 3 För att jämföra två gödselmedel lät man lantbrukare gödsla hälften av sin veteareal med medel A och den andra hälften med medel B. Man fick följande skördar per hektar: Lantbrukare Medel A Medel B För att få en enkel statistisk modell antog man att samtliga skördeutfall kan ses som utfall av oberoende normalfördelade stokastiska variabler med samma varians. Observera dock att lantbrukarna har gårdar med lite olika odlingsförutsättningar för vete. a Beräkna ett lämpligt 9%-igt konfidensintervall för skillnaden i förväntad skörd mellan arealer som gödslats med A respektive B. 7 p b Testa hypotesen att gödselmedlen är lika bra mot alternativet att de skiljer sig åt. Nivå %. Slutsatsen skall klart framgå. 3 p Uppgift 4 Xt; t R är en svagt stationär normalprocess med de okända väntevärdet m och med kovariansfunktionen Låt r X τ = 3 e τ, τ R. X T = 1 T Xtdt, T >. a Visa att X T är en väntevärdesriktig skattning av m för alla värden på T >. 3 p b Beräkna V X T. 6 p c Visa att skattningen X T är konsistent då T. 1 p Uppgift Låt Xt; t R vara en svagt stationär normalprocess med E Xt = 1 och spektraltäthet S X ω = ω, < ω <. 1 + ω Beräkna P X3 X +. 1 p

3 Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I B14 TISDAGEN DEN 14 DECEMBER 4 KL Uppgift 1 a Det finns 36 möjligheter av resultat på de två tärningarna som vi betraktar som lika sannolika. Vi kan t ex beteckna dessa med i, j, i, j = 1,,, 6. Av dessa innebär 3,6, 4,,,4 och 6,3 att poängsumman blir 9. Sannolikheten att få poängsumma 9 är alltså 4/36=1/9. b Låt X= antalet gånger poängsumman är 9. Vi har här typsituation för binomialfördelning och inser att X är Bin,1/9. Vi söker P X. Eftersom = 4/ kan vi göra normalapproximation av 9 binomialfördelningen och har alltså Bin, 1/9 N /9, dvs Bin, 1/9 N/9, N.6, Vi får X P X = P 1 Φ = = Φ.6/7.73 Φ Uppgift Låt U i = antalet av genen som älg nr i har, i = 1,,, 1. U 1, U,, U 1 är oberoende och är alla Bin, p-fördelade, dvs P U i = = 1 p, P U i = 1 = p1 p, P U i = = p. Vi observerar att x st =11 U i :n är, x 1 st =187 U i :n är 1 och att 1 x 1 x st =8 st U i :n är. Likelihoodfunktionen blir då Lp = 1 i=1 P U i = u i = p x p1 p x 1 1 p 1 x 1 x = som ger Vi får = p x +x 1 1 p x 1+ x x 1 x 1 = p x 1+x 1 p x x 1 x 1 ln Lp = x 1 + x ln p + x x 1 ln1 p + x 1 ln. d ln Lp dp = x 1 + x p x x 1 1 p

4 forts tentamen i B d ln Lp dp = ger p = x 1 + x = =.14. b x 1 är ett utfall av X 1 som är Bin1, p1 p och vidare är x ett utfall av X som är Bin1, p. Vi får Ep X1 + X = E = 1 EX 1 + EX = 1 1 p1 p + 1p = p dvs p är en väntevärdesriktig skattning av p. c Vi noterar att x 1 + x är antalet genpositioner som är besatta av genen. Eftersom U i var Bin, p och de är oberoende, är det oberoende lottningar vid varje genposition. Alltså gäller att X 1 + X är Bin, p. Eftersom vidare np1 p p 1 p = = är normalapproximation tillåten, dvs X 1 +X är approximativt N p, p1 p och p1 p p är alltså approximativt N p,. Ett approximativt 9%-igt konfidensintervall för p blir alltså med approximativa metoden FS 11.3 p ± λ. p 1 p =.14 ± =.14 ±.134. Uppgift 3 a Observationer i par! Bilda nya data som medel A medel B. Nya data blir z 1, z,..., z dvs. nya data blir.4,.9,.,.1,.9 och vi får i=1 z = = 3.4 s z = 1 zi z = = 7.19, s z =.68. Vi får med t-metoden konfidensintervallet z ± t. 4 s z = 3.4 ± = 3.4 ± b Eftersom ej tillhör konfidensintervallet förkastas hypotesen att medlen är likvärdiga. Statistisk säkerställd skillnad alltså nivå %. a EX T = E 1 T Xtdt = 1 T Uppgift 4 dvs X T är en väntevärdesriktig skattning av m. EXtdt = 1 T m dt = m

5 forts tentamen i B b V X T = CX T, X T = C 1 T = 1 = 6 r X s tdsdt = 1 e s s Xtdt, 1 T e t dt ds = 6 Xsds = 1 C Xt, Xs dsdt = 3 e s t dsdt = s 3 e s t dt ds = 1 e s 1 es ds = 3 T + 1 e T 1 c Eftersom V X T då T så är X T en konsistent skattning ty den är väntevärdesriktig. Uppgift Vi får med formelsamlingens hjälp att r X τ = 1 4 e τ 1 τ vilket ger att X3, X T är tvådimensionellt normalfördelad med EX3 = 1 och EX = 1. Vidare är V X3 = V X = r X = 1/4, och CX3, X = r X = 1 4 e som ger att X3 X är N, 1 r X + r X r X = N, 1 + e, och detta ger P X3 X = Φ e.