Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Transkript

1 Tenamen TEN, HF, 6 aug 6 Maemaisk saisik Kurskod HF Skrivid: 8:5-:5 Lärare och examinaor : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifoga formelhäfe ("Formler och abeller i saisik ") och miniräknare av vilken y som hels. Förbjudna hjälmedel: Telefon, lao och alla elekroniska medel som kan kolas ill inerne. Skriv namn och ersonnummer å varje blad. Poängfördelning och beygsgränser: Tenamen ger maximal oäng. Beygsgränser: För beyg A, B, C, D, E krävs, 4,, 6 resekive oäng. Komleering: oäng å enamen ger rä ill komleering (beyg Fx). Denna enamensla får ej behållas efer enamensillfälle uan ska lämnas in illsammans med lösningar. Ugif. () Bara för dem som ine klara ks. För händelserna A och B gäller a P ( A B). 5, P ( A B). och P ( A). c a) Besäm sannolikheen P ( B ) c c b) Besäm sannolikheen P( A B ). c) Besäm P ( A B). Ugif. () Bara för dem som ine klara ks. Lå k( x), x f ( x) för övrig vara ähesfunkionen för en sokasisk variabel X. a) Besäm konsanen k. b) Beräkna medianen ill X. Var god vänd. Sida av 4

2 Ugif. () Bara för dem som ine klara ks. En Markov kedja i diskre id med vå illsånd E och E. har övergångsmarisen.6 x P...7 a) Syseme sarar i E. Besäm sannolikheen a syseme är i E efer seg. b) Besäm den saionära sannolikhesvekorn. Ugif 4. ()Till en elefonväxel ankommer i genomsni.5 anro er minu. Vi anar a ankomser är Poissonfördelade. Besäm sannolikheen a mins 5 anro kommer under e idsinervall som är minuer lång. Ugif 5. () E föreag behöver 8 mosånd. Man köer för ändamåle in 9 mosånd av en viss y. Dessa mosånd har en resisans som är N(5,5). Man använder sedan enbar de mosånd som har resisansen mellan 45 och 55 ohm. Vad är sannolikheen a man får mins 8 användbara mosånd av de 9 som man har kö? Ugif 6. () I e konorshus finns en hiss med anslage max 5 ersoner eller 4 kg. Vi vill därför vea hur sor sannolikheen är a hissen överlasas. Ana a viken av en ansälld är normalfördelad med vänevärde 78 kg och sandardavvikelse kg. Olika ersoners vik är oberoende. Beräkna sannolikheen a viken av 5 ersoner överskrider 4 kg. Ugif 7. () Man har gjor 5 mäningar av en s.v. X och få följande observaioner: X Besäm e konfidensinervall med 95% konfidensgrad för medelvärde av X kx < x < Ugif 8. () En s.v. X har ähesfunkionen f ( x). för övrig a) Besäm k b) Besäm vänevärde för YX+5. Var god vänd. Sida av 4

3 Ugif 9. () En korlek med 5 kor besår av fyra färger (hjärer, sader, klöver, ruer) och valörer: ess,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, knek, dam, kung. Ur en korlek å 5 kor väljer man slumvis 5 kor. Vad är sannolikheen för a) e ar och en riss x,x,y,y,y ( ex 4,4,,,) så kallade "kåk". b) Två olika ar x,x,y,y,z ( ex,, 5,5,8) men ine "kåk" Ugif. () E bejäningssysem kan modelleras som M/M//. Ankomsinensieen är λ 5 kunder/minu och bejäningsinensieen för en bejänare är µ kunder/minu. a) Besäm sannolikheerna,,, och 4. b) Beräkna N medelanal kunder i syseme c) Beräkna hur många kunder i genomsni avvisas under 5 immar. Ugif.() E sysem har i genomsni fel er år. Tidsavsånde mellan fel är exonenialfördelad. Om e fel usår då börjar rearaionen. Rearaionsiden är exonenialfördelad och sysemes rearaionsid är i genomsni månad. Vid är syseme i funkion. Besäm sannolikheen a syseme är i funkion vid idsmomen. år. Tis. Felinensie λ fel er år. Bejäningsinensie är µ 6 rearaioner er år. Lycka ill. Sida av 4

4 FACIT Ugif. () Bara för dem som ine klara ks. För händelserna A och B gäller a P ( A B). 5, P ( A B). och P ( A). c a) Besäm sannolikheen P ( B ) c c b) Besäm sannolikheen P( A B ). c) Besäm P ( A B). a) Från P( A B) P( A) + P( B) P( A B) får vi.5.+ P ( B). P( B). Därmed P( B c ) P( B). 7. c c c c c b) P( A B ) P( A B ) (De Morgan) P( A B).5 c) P( A B). P ( A B) P( B). c c c Svar: a) P ( B ). 7 b) P ( A B ).5 c) P ( A B) Räningsmall: för varje del Ugif. () Bara för dem som ine klara ks. Lå k( x), x f ( x) för övrig vara ähesfunkionen för en sokasisk variabel X. a) Besäm konsanen k. b) Beräkna medianen ill X. Sida 4 av 4

5 a) x Arean f ( x) dx k( x) dx k(x ) k Arean k k b) Medianen Lå m beeckna medianen. Vi får m genom a lösa ekvaionen m m f ( x) dx ( x) dx m x ( ) x m m m 4m + (*) Ekvaionen (*) har vå lösningar:.5858 och m +.44 Endas m.5858 ligger i inervalle [,]. Svar: a) k, b) medianen Räningsmall: för a, för b) Ugif. () Bara för dem som ine klara ks. En Markov kedja i diskre id med vå illsånd E och E. har övergångsmarisen.6 x P...7 a) Syseme sarar i E. Besäm sannolikheen a syseme är i E efer seg. b) Besäm den saionära sannolikhesvekorn..6.4 P..7 (efersom summan av elemen i en rad ). a) Sar sannolikhesvekor är ( ) (, ) (efersom syseme sarar i illsånde E.) Vi beräknar Sida 5 av 4

6 .6.4 ( ) () P (, ) (.6,.4)..7,.6.4 ( ) () P (.6,.4)..7 (.48,.5) Sannolikheen för illsånde E efer seg är.5 (andra koordinaen i vekorn () )., b) Lå q ( x, y) vara en saionär sannolikhesvekor. Då gäller qp q och Vi skriver qp x + y q å komonen form:.6 ( x, y)..4.6x +.y x ( x, y).7.4x +.7y y och lägger ill ekvaionen Därmed har vi syseme: x + y ( q är en sannolikhesvekor).6x +.y x.4x +.y.4x +.7y y.4x.y x + y x + y (Andra ekvaionen är ekvivalen med försa.) 4x Från försa ekvaionen har vi y som vi subsiuerar i redje ekvaionen och får 4x 7x 4 x + x. Därmed y x 7 7 Svar: a) Sannolikheen för illsånde E efer seg är.4 b) q (/ 7, 4 / 7) (.486,.574) Räningsmall: för korrek ( ) (.58,.4). Toal oäng för korrek a delen. för b delen Ugif 4. ()Till en elefonväxel ankommer i genomsni.5 anro er minu. Vi anar a ankomser är Poissonfördelade. Besäm sannolikheen a mins 5 anro kommer under e Sida 6 av 4

7 idsinervall som är minuer lång. a) Under min. inervalle ankommer i genomsni λ anro er min. Lå X vara anale anro under e min.-inervall. P(mins 5 anro kommer under e idsinervall som är minuer lång) { P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X 4) } P ( X 5) P( X < 5) λ e! λ λ + e! λ λ + e! λ λ + e! λ 4 λ + e 4! λ (där λ 6. 5 ).776 Svar:.776 Räningsmall: för korrek meod men fel beräkning. om all är korrek. Ugif 5. () E föreag behöver 8 mosånd. Man köer för ändamåle in 9 mosånd av en viss y. Dessa mosånd har en resisans som är N(5,5). Man använder sedan enbar de mosånd som har resisansen mellan 45 och 55 ohm. Vad är sannolikheen a man får mins 8 användbara mosånd av de 9 som man har kö? Seg. Lå ξ beeckna resisansen hos e mosånd. Då gäller ξ N(5,5) P ( 45 < ξ < 55) F ( 55) F(45) Φ( ) Φ( ) Φ() Φ( ) Vi beecknar.687 och q Seg. Lå η beeckna anale användbara mosånd bland 9 köa. Då gäller η Bin( 9, ) Sannolikheen a man får mins 8 användbara mosånd av de 9 är lika med Sida 7 av 4

8 q + q Svar:.6697 Räningsmall: för korrek seg. för seg. Ugif 6. () I e konorshus finns en hiss med anslage max 5 ersoner eller 4 kg. Vi vill därför vea hur sor sannolikheen är a hissen överlasas. Ana a viken av en ansälld är normalfördelad med vänevärde 78 kg och sandardavvikelse kg. Olika ersoners vik är oberoende. Beräkna sannolikheen a viken av 5 ersoner överskrider 4 kg. Lå ξξ beeckna oal vik av 5 ersoner, då där ξξ kk NN(78, ). Därför ξξ NN(5 78, 5) NN(9,.6) ξξ ξξ + ξξ + ξξ + ξξ 4 + ξξ PP(ξξ > 4) PP(ξξ 4) FF(4) ΦΦ(.6 ) ΦΦ(.45) Svar: Sannolikheen är Räningsmall: för ξξ NN(5 78, 5). för korrek FF(4).676. om all är korrek. Ugif 7. () Man har gjor 5 mäningar av en s.v. X och få följande observaioner: X Besäm e konfidensinervall med 95% konfidensgrad för medelvärde av X Sida 8 av 4

9 x x + x + + xn n 4. variansen s n n i ( x i x) (( 4. ) + (9 4.) + (4 4.) + (5 4.) + ( 4.) ).7 4 s Variansen.7. Från formelsamling (sidan 6 rad n- 5-4 har vi α.7764 /. 5 Konfidensinervall: σ σ.6.6 x α /, x + α / ) ( , ) n n 5 5 ( (., 8.) Svar: (48., 5.) Räningsmall: oäng för korrek x 4., oäng för korrek σ.7. om all är korrek. Sida 9 av 4

10 kx < x < Ugif 8. () En s.v. X har ähesfunkionen f ( x). för övrig a) Besäm k b) Besäm vänevärde för YX+5. a) x k Arean f ( x) dx kx dx k k Arean k k. b) Förs beräknar vi vänevärde för X: 4 ( ) ( ) x E X xf x dx x x dx x dx Sluligen E ( Y ) E(X + 5) E( X ) Räningsmall: oäng för korrek a-delen, b) delen + för korrek E(X)/4. All korrek. Ugif 9. () En korlek med 5 kor besår av fyra färger (hjärer, sader, klöver, ruer) och valörer: ess,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, knek, dam, kung. Ur en korlek å 5 kor väljer man slumvis 5 kor. Vad är sannolikheen för a) e ar och en riss x,x,y,y,y ( ex 4,4,,,) så kallade "kåk". b) Två olika ar x,x,y,y,z ( ex,, 5,5,8) men ine "kåk" Svar c): P Sida av 4

11 b) Vi kan välja vå olika valörer som bildar vå olika ar å sä. Två kor som bildar e ar väljer vi å 4 sä. Samma gäller för andra are. Feme kor kan vi välja bland åersående valörer ( ) Räningsmall a, b Ugif. () E bejäningssysem kan modelleras som M/M//. Ankomsinensieen är λ 5 kunder/minu och bejäningsinensieen för en bejänare är µ kunder/minu. a) Besäm sannolikheerna,,, och 4. b) Beräkna N medelanal kunder i syseme c) Beräkna hur många kunder i genomsni avvisas under 5 immar Förs. 5,, , 5, Subsiuionen i ger 8/ och därefer 9/ / / / Sida av 4

12 b) N k k k c) λ särr λ kmax kunder er minu. Under 5immar avvisas i genomsni 5*6* kunder. Svar a) se ovan b) N c) 558 kunder Räningsmall. a b, c Ugif.() E sysem har i genomsni fel er år. Tidsavsånde mellan fel är exonenialfördelad. Om e fel usår då börjar rearaionen. Rearaionsiden är exonenialfördelad och sysemes rearaionsid är i genomsni månad. Vid är syseme i funkion. Besäm sannolikheen a syseme är i funkion vid idsmomen. år. Tis. Felinensie λ fel er år. Bejäningsinensie är µ 6 rearaioner er år. a) Från grafen har vi Q 6 6 Lå ) ( ( ), ( )) beeckna den söka sannolikhesvekorn. ( Vi subsiuerar ) ( ( ), ( )) ( i ekvaionen 6 ( ) ( ) Q och får ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 6 6 ) ( ) + 6 ( ) (ekv a) ( ) ( ) 6 ( ) (ekv b) ( Sida av 4

13 sam ) + ( ) ( ekv c) ( (ekv c gäller efersom ( ), ( ) är en sannolikhesvekor.) Från ekv c får vi ) ( ) ( ( som vi subsiuerar i (ekv a) för a få en differenial ekvaion med obekan funkion ( ) : ) ( ) + 6( ( )) ( Efer förenkling har vi följande ekvaion med konsana koefficiener: ) + 9 ( ) 6 (*) ( Mosvarande karakerisiska ekvaion ill homogena delen är r + 9 r 9 och därmed är Y h 9 den allmänna lösningen ill den homogena delen. Ce En arikulär lösning får vi med hjäl av ansasen y A ( efersom högerlede i (*) är 6, dvs en konsan) Subsiuionen av + 9A 6 A 6 / 9 Allså y / Därför 9 ( ) Y + y Ce + h y A i (*) gör / / Begynnelsevillkore: Enlig anagande är syseme i funkion vid. Därför (). Allså Ce + / C / och Sida av 4

14 9 ( ) e + (visar sannolikheen a syseme är i funkion vid iden ) (.) 9* Sluligen e + Svar: Räningsmall. för korrek maris. Korrek ekvaionssysem +. All korrek Sida 4 av 4