Föreläsning 4. Laplacetransformen? Lösning av differentialekvationer utan Laplacetransformen. Laplacetransformen Överföringsfunktion

Transkript

1 Föreläsning 4 Laplaceransormen? Laplaceransormen Överöringsunkion E kraull maemaisk verkyg ör a sudera och lösa linjära dierenialekvaioner T.ex. u Sysem y Vad blir usignalen y() give en viss insignal u()? Rekommenderad läsning: Process Conrol: Lösning av dierenialekvaioner uan Laplaceransormen Exempel: 2:a ordningens inhomogen linjär dierenialekvaion: ÿ+aẏ+by=u(). Finn alla lösningar ill homogena ekvaionenÿ+aẏ+by= Lös karakerisiska ekvaionenr 2 +ar+b= r,r 2 Homogen lösning: 2. Finn en parikulärlösningy p ill inhomogena ekvaionen Olika lösningsansaser beroende på u() 3. Alla lösningar ges av y=y h +y p 4. BesämC ochc 2 med hjälp av evenuella begynnelsevillkor Ganska omsändlig... y h = { C e r +C 2 e r 2, r =r 2 (C +C 2 )e r, r =r 2

2 2 Laplaceransormen Omvandlar en unkion () ill en annan unkion F(s). () är en unkion av iden F(s) är en unkion av den komplexa rekvensen s Deiniion: F(s)=L{()}= ()e s d Några vanliga unkioner (signaler) ()= δ() Impuls () = Seg (konsan signal) ()= Ramp ()=e a Exponenialunkion Impuls vid iden Diracunkionen δ() Oändlig hög och oändlig smal, men med arean : { /ǫ <ǫ p ǫ ()= ǫ δ()=lim ǫ p ǫ () Exempel: dv d = δ() Tolkning: Injekion av en enhesvolym vid iden noll Impuls: Seg: Laplaceransormen av några vanliga unkioner L{}= Exponenialunkion: L{e a }= L{δ()}= δ()e s d= [ e e s s d= s ] [ e e a e s (s+a) d= (s+a) = s ] = s+a

3 3 Udrag ur ormelsamlingen s. 6: Laplaceransorm F(s) Tidsunkion () δ() Diracunkion Några vikiga egenskaper hos Laplaceransormen Udrag ur ormelsamlingen s. 5: Laplaceransorm F(s) Tidsunkion () s Segunkion s 2 Rampunkion s+a e a ab s(s+a)(s+b) + ae b be a b a αf (s)+βf 2 (s) α ()+β 2 () Linjärie 8 sf(s) () () Derivering i-plane 9 s 2 F(s) s() () () 2 s F(s) (τ) dτ Inegraion i -plane Härledning av derivaaormeln Fler vikiga egenskaper Anag a () har Laplaceransormen F(s). Då L{ ()}= ()e s d = [ ()e s] + = ()+sf(s) ()se s d Udrag ur ormelsamlingen s. 5: Laplaceransorm F(s) Tidsunkion () 4 lim s sf(s) 5 lim s sf(s) lim() lim() Sluvärdeseoreme Begynnelsevärdeseoreme OBS! Får bara användas om gränsvärde i idsdomänen exiserar!

4 4 Arbesgång ör a lösa dierenialekvaioner med hjälp av Laplaceransormen. Laplace-ransormera alla ermer i ekvaionen Använd ormelsamlingen 2. Lös uy(s) 3. Använd invers Laplace-ransorm ör a hia y() Parialbråksuppdela örs om de behövs Använd ormelsamlingen Lös med begynnelsevillkore y() = 5.. Laplaceransormera: 2. Lös u Y(s): Exempel ẏ+3y= sy(s) 5+3Y(s)= (s+3)y(s)=5 Y(s)= 5 s+3 =5 s+3 3. Invers Laplace (ransorm nr. 6): y()=5e 3 Lös Exempel 2 ÿ+3ẏ+2y= med begynnelsevillkore y() = ẏ() =.. Laplaceransormera: 2. Lös u Y(s): s 2 Y(s)+3sY(s)+2Y(s)= s (s 2 +3s+2)Y(s)= s Y(s)= s(s 2 +3s+2) = s(s+)(s+2) Repeiion: Tillsåndsormen u Sysem x dx d =Ax+Bu y=cx+du y 3. Invers Laplace (ransorm nr. 24): y()= 2 +e 2 2e 2

5 5 Direk lösning av illsåndsekvaionen Lösning (se ormelsamlingen s. 3): x()=e A x()+ y()= Ce A x() }{{} inverkan av iniialillsånd e A( τ) Bu(τ)dτ + Ce A( τ) Bu(τ)dτ+Du() }{{} inverkan av insignal Lämpar sig ine ör handräkning / kvaliaiv örsåelse Lösning av illsåndsekvaionen med Laplace-ransormen Anag iniialillsånde x() =. Laplaceransormera: dx d =Ax+Bu y=cx+du sx(s)=ax(s)+bu(s) Y(s)=CX(s)+DU(s) Lös ux(s): Sä in i ekvaionen öry(s): (si A)X(s)=BU(s) X(s)=(sI A) BU(s) Y(s)=C(sI A) BU(s)+DU(s) ( ) = C(sI A) B+D U(s) } {{ } G(s) G(s) kallas ör sysemes överöringsunkion (ranser uncion) dx d = y= Överöringsunkion: Exempel: ankreakorn ( q V +k k x ) q V G(s)=C(sI A) B+D = s+ q +k V k q V = k (s+ q +k V )(s+ q ) V q V x+ u s+ q V q V +

6 6 Omvandling rån högre ordningens dierenialekvaion ill överöringsunkion Exempel: Anag a en process beskrivs av Laplaceransormering ger ÿ+a ẏ+a 2 y=b u+b 2 u (s 2 +a s+a 2 )Y(s)=(b s+b 2 )U(s) Y(s)= b s+b 2 s 2 +a s+a }{{ 2} G(s) U(s) A räkna u sysemsvar med Laplace-ransormen u y Sysem. Hia insignalens Laplaceransorm U(s) = L{u())} 2. Hia sysemes överöringsunkion G(s) 3. Beräkna usignalen i Laplace-domänen: Y(s)=G(s)U(s) 4. Använd invers Laplace-ransorm:y()=L {Y(s)} Överöringsunkion G(s) sammananing Kompak beskrivning av dynamiken rån insignal ill usignal Bryr sig ine om illsåndsvariablerna inne i syseme Enkel a beräkna sysemsvar med ormeln Poler och nollsällen Impulssvar Segsvar Näsa öreläsning Y(s)=G(s)U(s) Rekommenderad läsning: Process Conrol: , 3.9