5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

Transkript

1 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv unkion är okså en primiiv unkion ör alla konsaner, eersom derivaan av en konsan allid är noll. Exempel. Om vi ser på en irkulär kon med boenradie oh höjd kan vi se på volymen av den delkon som har höjd som en unkion. Om vi deriverar unkionen Dae: 2 okober år vi "!#%! 1

2 6, 2 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER '!() Vi kan olka värsnisarea på avsånd rån oppen år vi a oh därmed är +!-, 0, som volymen av en skiva med joklek!. Om.!#% 1.!#% När vi låer!-243 krympa mo noll år vi a Eersom vi nu ve a 0 5.!#% /, 7698 ;:= måse vi lea eer en primiiv unkion ill år vi när vi deriverar (?@. Enlig våra uräkningar är 76 oh allså måse ör någon konsan. Nu ve vi okså a volym som '6 E46. Vi ve a vi år #? A3B C3 " "!#+!.!# 1.2. negraler. Om vi har en unkion med en primiiv unkion.g JK ML% ANO är konens när vi deriverar (?, oh därmed en primiiv unkion ill, vilke ger DC3 oh vi år hela konens kan vi låa oh vi kan olka dea uryk som arean mellan graen ör på inervalle N9PQ7PRL oh -axeln. Vi skriver oa okså %JKST VU G ML% Exempel. Vi har enlig ovan a?@ är en primiiv unkion ill 'W 3? KXZ Z MNO oh därmed Tolkningen av dea som en areaberäkning ger a arean av område mellan -axeln oh kurvan [ 4 på inervalle 3 P\]P är.

3 _ 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER Roaionsvolymer. Om vi ser illbaka på exemple med konen ser vi a vi egenligen ine använ oss av a de är råga om en irkulär kon anna än när vi har beräkna. Vi år i vilke all som hels a där är värsnisarean på avsånd rån oppen. Vi har därör a \_ E ^ A3B JK Om vi isälle hade ha en roaionskropp som ås genom a roera en kurva [ ` % -axeln, hade värsnisarean vari given av oh volymen blir E a46b 6b Om vi exempelvis ser e klo som a kurvan [ R e =d1p\]p4d år vi g 6i " #? d j KS 6Ad j JK'6"k #d h h 5l h '6md? dn? e6 j6o=d? o=dkp? dn?9dq?^ dq?9dn? 6mdn? m96 46 sr B run roerar kring -axeln på inervalle 1.4. Dierenser oh summor. Vi kan jämöra sambande mellan derivaa oh inegral med sambande mellan dierenser oh summor. Om vi har en öljd av al, exempelvis 3u wvuyxu kan vi bilda dierenser, eller skillnader, genom ny öljd { { ~} 3, r, v, osv oh år en är är de klar a om vi kommer ihåg de örsa ale i den örsa öljden, oh sedan bara dierenserna, kan vi å illbaka hela den örsa öljden genom a summera: Riar vi upp de med ruor år vi vu xu ~ ƒƒ Vi kan nu olka den örsa öljden som anale ruor ill vänser om en viss linje.

4 Ž! Ž 4 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 2. PARTELL NTEGRATON De inns inga meoder som allid ungerar ör a inna primiiva unkioner, eller ill a beräkna besämda inegraler. Däremo inns några ekniker som kan användas ör a i de all de går omorma probleme ill e enklare problem. E sådan är pariell inegraion, som är e slags omvändning av produkregeln vid derivering. Som vi ve är derivaan av en produk,! i V, given av V ˆ m. p Om vi nu sår inör a Š inna en primiiv unkion ill en produk V oh redan känner en primiiv unkoin,, ill kan vi örsöka vända på sambande oh å V ˆ p V p Œ Eersom vi nu ser a är en primiiv unkion ill den örsa ermen kan vi inna en primiiv unkion ill p p om vi okså kan inna en primiiv unkion ill. Vår örhoppning är a dea problem i någon mening är läare än de ursprungliga. Exempel. Om vi är inresserade av a beräkna Ž Œ / K kan vi örs inna en primiiv unkion ill Œ /, som ges av ] K J, oh därmed å + / K T ^p] # VU Ž o] š K JK 0 46ioœo ŒEj3 p m T + 0 U Ž '6ž" är blev de senare probleme enklare ör a unkionen ine längre är en produk av e polynom med en rigonomerisk unkion uan en ren rigonomerisk unkion vars primiiva unkion vi väl kände ill. Så behöver de ine allid bli på en gång. bland kan man behöva upprepa proeduren lera gånger. Övning 2.1. Beräkna inegralerna oh med hjälp av pariell inegraion. Övning 2.2. Beräkna inegralerna Ž oh Ž med hjälp av pariell inegraion. 7W 'W (Ÿ h K Ÿ h K Œ / K K J K p

5 N d N? 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER Variabelbye. Vi har se a man ibland kan använda produkregeln baklänges oh å en meod ör a inegrera en produk. På samma sä kan vi ibland använda kedjeregeln baklänges ör a inegrera en sammansa unkion. Anag a vi vill inegrera uöra en inegral är inegranden skulle se läare u om vi uryke den oberoende variabeln som en unkion i en annan variabel, dvs S4 ˆ. Vi behöver då se hur kejderegeln skulle kunna användas. Om nu var en primiiv unkion ill % skulle vi ha a +Œ +V E Om vi ivll använda dea kan vi inegrera båda sidor oh år då ALE AN.G %JKX De beyder a vi kan änka oss a vi har gjor öljande örändringar " ' K ' o ' A Lª' A Œ+ +p " ˆ +V J Exempel. ör a beräkna ör posiiva värden på N kan de vara inressan a göra variabelbye När vi deriverar år vi oh därmed leder variabelbye ill X 7 E K 7 J 7 7 M3K j 9N vilke gör a j K «p h «p h kp l «p h Ad N?p

6 N d W Ÿ l 6 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER Vi kan okså göra variabelbye X vilke ger e K oh år då 4 ˆ K 4 4 ˆAN 4 ˆ d k{ Ad?p J Ad d 9N?p Övning 2.3. Använd variabelbye S Œ ör a beräkna inegralerna K e oh Övning 2.4. Använd variabelbye 7W Œ / "Ž oh Ž Övning 2.5. Använd variabelbye Ÿ "Ž j K ör a beräkna inegralerna K? K š K y B ör a beräkna inegralen gÿ K W