Finansmarknaden; En översikt av instrument och värderingsmodeller

Transkript

1 Finansmarknaden; En översik av insrumen och värderingsmodeller Jan R. M. Röman Deparmen of Mahemaics and Physics Mälardalen Universiy, weden Mälardalen Universiy

2

3 INLEDNING... Akieopionens villkor... Akieerminens villkor...3 OMX-opionens villkor...3 Handlingsalernaiv för opioner...4 Handlingsalernaiv för erminer...4 Rangordning vid köp och sälj...4 Varför köpa köpopioner?...5 Varför sälja köpopioner?...5 Varför köpa säljopioner?...5 Varför sälja säljopioner?...5 Varför köpa erminer?...5 Varför sälja erminer?...5 MARKNADRO - BELU... 6 PRIMODELLER... 9 Underliggande Pris...0 Volailie...0 Volailiesmodeller... EWMA... GARCH... RIKER... yneiska konrak / Kombinaioner...3 RÄNA... 5 Periodisk räna Enkel räna...6 Effekiv räna...6 Förhållande mellan enkel och koninuerlig räna...6 NAMNANDARD

4 Namnsandard för Opioner...6 Namnsandard för erminer...7 MARKNADEN AKÖRER... 7 ANALYIKA PRIMODELLER... 8 Black-choles formel...8 Förså Black-choles...9 Hedgeparamerarna...3 olkning av hedgeparamerarna...3 Prisgrafer...3 Dela...35 Dela...38 Gamma...39 hea...4 Vega...43 Rho...44 Pu-Call parie...44 Black Andra analyiska modeller...46 Bjerksund - ensland...46 Black-76 American...46 Barone-Adesi...46 Roll, Geske and Whaley...47 Uökad Geske Johnson...47 Dela-hedgning...48 Dela-Gamma-hedgning...50 NÅGO OM EXOIKA OPIONER... 5 Cash-or-nohing Opioner...5 Knock-ou och Knock-in Opioner...5 Down-and-ou pu opion...5 Lookback Opioner...53 Asiaiska Opioner...53 Chooser Opioner...54 Opioner på Opioner

5 KONAD FÖR A BLANKA AKIER NUMERIKA PRIMODELLER Binomialmodeller...56 Rekombinerande räd...58 Implicia Binomial- och rinomialräd...59 Replikerande porfölj...60 Exempel på arbirage...60 Dela-hedgning...6 Dela-Gamma-hedgning...63 Binomialmodellen: numerisk algorim...65 Randvillkor...66 Exempel. Europeisk köpopion...67 Exempel. Europeisk säljopion...67 Exempel 3. Amerikansk köpopion...68 Exempel 4. Amerikansk säljopion...68 Andra binomialmodeller...69 Cox-Ross-Rubenseins modell...69 Exak Cox-Ross-Rubensein...69 Jarrow-Rudds modell...70 IANs modell...70 igoris modell...7 Leisen Rremiers modell...7 RAEGIER JUNKANDE MARKNAD baisse / BEARIH...78 Köp säljopion / Bough pu / Long pu -- [- 0]...78 åld köpopion / Wrien call / hor call -- [0 ]...79 Negaiv prisspread / Bear spread / Bais-spread -- [0 0]...80 Diagonal spread / idsspread -- [ -]...83 Pu Hedge / Proecive Pu Hold sock by pu yneisk köpopion -- [0 *]...84 Raiospread med säljopioner -- [ 0]...86 Negaiv Backspread -- [- 0]...88 Negaiv rebening -- [- 0 0]...90 IGANDE MARKNAD hausse / BULLIH...93 Köp Köpopion / Bough Call / Long Call -- [0 ]...93 Ufärdad äljopion / Wrien sold Pu / hor Pu -- [ 0]...94 Posiiv prisspread / Bull spread -- [0 0]...95 Fence -- [0 0 *]...98 Diagonal spread / idsspread -- [- ]...99 Raiospread med underliggande akier -- [ 0]...00 Posiiv Backspread -- [0 ]...0 Köp syneisk ermin -- []...04 Köp sned syneisk ermin -- [ 0 ]...06 Posiiv rappa -- [0 0 0]...08 Raiospread med köpopioner -- [0 ]...0 Posiiv rebening -- [ 0 0]... 5

6 Posiiv rebening -- [0 0 ]...4 Posiiv rebening med innehav -- [ 0 0 *]...6 NEURAL MARKNAD...8 Ufärdad ru / old raddle -- [ ]...8 Ufärdad Vagga / old rangle -- [ 0 ]... Köp Fjäril / Long Buerfly -- [0 0]...4 Neural idsspread / Calendar spread / Horizonal spread -- [ -]...5 Covered Call yneisk ufärdad säljopion -- [ 0 *]...7 VOLAIL MARKNAD...30 Köp ru / Long raddle -- [- ]...30 Köp Vagga / Long rangle -- [ 0]...3 åld Fjäril / hor Buerfly -- [0 0]...35 PRIRIKNINGVIARE: raegimaris...36 INLEDNING ILL RÄNEMARKNADEN RÄNEBERÄKNINGAR...40 DEPOILÅN...4 CD Cerificaes of Deposi...43 AKULDVÄXLAR...43 AOBLIGAIONER...46 BOADOBLIGAIONER...49 NÅGO OM RÄNEDERIVA... 5 RÄNEFUURE...53 Leverans...55 PREMIEOBLIGAIONER...57 REALRÄNEOBLIGAIONER real kupongobligaion...58 REPOR...59 pecial och GC...60 Andra yper av repor...60 FÖRLAGLÅN...6 DEPOIERMINER

7 FRA - Forward Rae Agreemen...64 Allmän om FRA:s...66 VX80 - asskuldväxelermin...67 AOBLIGAIONERMINER - R, R5, R INA - ockholm omnex Inerbank Average...69 OMRX - e räneindex...7 OCKHOLMBÖREN VERKAMHE... 7 Marknadsplaser...73 Clearing...73 Medlemsclearing...73 lukundsclearing...74 äkerheer...74 RÄNEMODELLER Ränor...76 Definiioner och samband mellan olika ränor...79 poräna...79 Diskoneringsräna...79 Forwardräna...80 Parräna...80 ammansa räna...8 Enkel räna...8 Koninuerlig räna...8 Hazardräna...83 Värdering av obligaioner...83 Yieldkurvor...86 Beräkning av YM...89 IMA och Moosmüller...90 Boosrapping...9 poränorna...9 Forwardränorna...93 Beräkning av yield kurvor...94 Inerpolaionsmeoder...94 Linjär inerpolaion...94 Logarimisk inerpolaion

8 Polynomanpassning...97 Kubisk spline...99 Hermie inerpolaion...00 pread och spreadkurvor...0 Asse wap pread...0 YM-pread...03 Par FRN pread...04 Opion Adjused pread...04 Duraion och konvexie...04 Hedging med hjälp av duraion...09 OA: Opion Adjused pread...0 Yield o Call, Yield o Pu, Yield o Wors och Yield o Bes...0 De sex segen i OA... Beräkna forwardränorna seg...3 Bygg binomialräde...3 Kalibrering av binomialräde seg Kalibrering av binomialräde med OA seg OA och beräkning av prise på opionen seg 5 och Inverkan av volailieen...0 Effekiv Duraion och Konvexie...0 INRUMEN PÅ PENNINGMARKNADEN... wapar... FX wap Valua wap, Forward wap...3 Räneswapar...3 Prissäning...4 Asse wap...5 CD - Credi Defaul wap...6 R oal Reurn wap...8 oal Reurn wap av amerikansk yp...9 Credi Defaul wapion...9 FINANIELL EORI annolikheseori...3 Ändliga sannolikhesrum...33 σ-algebror...34 Filraioner...35 okasiska processer och variabler...36 Någo om inegraionseori...39 annolikhesrum...4 Oberoende...4 8

9 Beingade vänevärden...43 Maringaler...46 Markovprocesser och dess egenskaper...47 oppider och Amerikanska opioner...49 Radon-Nikodym...5 Iôs lemma...54 Exempel: Brownsk rörelse Pariella paraboliska differenialekvaioner och Feynman-Kac...59 Exempel: Värmeledningsekvaionen...60 Maringalrepresenaion...65 Girsanovransformaion...66 Black and choles modell...67 Lösning ill Black-choles...70 Härledning av dela för en Europeisk köpopion...73 Pariesrelaioner...75 Diffusionsmodeller...76 Meaeoreme:...79 NÅGO OM AKIER Prismodeller för akier...8 Udelning och diskoneringsmodeller...8 illgångsbaserade modeller...8 Q-förhållande...83 Inkomsbaserade modeller...84 Implici avkasning...84 re-yield-modellen...85 CAMP...85 Klassisk CAMP...85 PORFÖLJEORI Porföljeffeken...87 Avkasning på en porfölj

10 Porföljens fron...89 ysemaisk- och diversifierbar risk...9 Den effekiva fronen...93 eparaionseoreme...93 Porföljens avkasning...94 Porföljens risk...95 rukuren på CML...95 Enfakormodellen...96 Anaganden...97 Uppskaning av α och β...98 Beräkning av porföljens avkasning...99 Beräkning av porföljens risk ysemaisk och Diversifierad risk Capial Asse Pricing Model, CAMP...30 Hur man finner den opimala porföljen...30 Flerfakormodeller NÅGO OM NAIONALEKONOMI Konsumion Marknadsränan Kronan Inflaion Finanspoliik Penningpoliik Lassiez-faire Marknaden släpps fri AMMANFANING AV FINANMARKNADEN REFERENER INDEX ILL FINANIELL EORI

11 INLEDNING På marknaderna ue i världen handlas väldig många olika insrumen borse ifrån akier, och de är främs dessa övriga insrumen vi skall sudera här. Man skiljer på sådana insrumen som är börshandlade och sådana som handlas OC Over he Couner, d v s över disk hos våra banker och börsmäklare. Vad som är börshandla och ine skiljer sig från olika börser run om i världen. Vi skall ill en början sudera de börshandlade insrumen som handlas i verige, på OM ockholmsbörsen och de insrumen som är akierelaerade. Dessa insrumen går under samlingsnamne deriva. Dessa så kallade deriva, delas upp i grupper; opioner, erminer forwards, warrans, fuures o.s.v. och har olika karakerisiska egenskaper. Vi skall börja med a presenera dessa egenskaper eller villkor för några av dem. För a få kännedom om allmänna begrepp så kommer vi ibland a ange de mosvarade anglosaxiska urycke. I vissa fall saknas svenska namn som för exempelvis warrans speciella opioner med lång livsid och fuures erminer, med daglig, eller veckovis avräkning. Alla nya och vikiga begrepp anges med fe sil. På den svenska marknaden finns föruom akieopioner även s.k. indexopioner. Indexopioner, exempelvis opioner på OMX se nedan har ingen levererbar underliggande vara. De sägs vara cash seled, vilke innebär a leveransen besår av konaner. E deriva är en finansiell insrumen som har en begränsad livsid, så kallad löpid, för vilke värde på lösendagen besäms av en fördefinierad funkion av en eller flera mäbara variabler, exempelvis akieprise. Under derivaes löpid d.v.s. iden före lösendagen måse värde beräknas med hjälp av maemaiska formler eller via simulering. På den svenska börsen handlas opioner och erminer på vissa svenska akier cirka 30 olika och på OMX-index. Opioner finns av vå slag, köpopioner och säljopioner och av vå yper, amerikans yp och europeisk yp. Har man en amerikansk opion alla svenska akieopioner är av amerikansk yp kan man göra e illslag och lösa opionen när som hels under opionens löpid. Har man däremo en europeisk opion måse man väna ill sludagen. Opionerna på de svenska OMX-indexe är av europeisk yp. Föruom amerikanska och europeiska opioner förekommer opioner av bermudayp. Dessa opioner har vissa i förväg besämda daum då de under löpiden kan lösas in. En köpopion ger innehavaren räen men ine skyldigheen a av ufärdaren köpa en underliggande vara, exempelvis e konrak besående av 00 akier ill e i förväg fassäll pris. För dea har innehavaren köparen beala en avgif ill ufärdaren säljaren. På en börs så som OM är de börsens clearinghus som är mopar ill både köparen och ufärdaren. Därför innebär de ingen risk för köparen, a han ine skulle få sin vara sina akier om han nu besluar sig för a unyja sin rä och lösa opionen.

12 Däremo ar ufärdaren en risk, som han får beal för a a, och måse därför avsäa så kallade marginalsäkerheer ill börsens clearinghus via sin bank eller mäklare. Dessa marginalsäkerheer räknas sedan om varje na och kan därför komma a ändras om de sker kursrörelser på den underliggande varan, d v s akien. Dessa marginalsäkerheer kan beså av konaner eller av andra värdepapper akier, obligaioner o s v. Dock får man aldrig illgodoräkna sig de fulla värde av värdepapper då värde av dessa är mer eller mindre säkra. Marginalsäkerheen är ill för a äcka den risk som ufärdaren agi. De kan ju vara så a ufärdaren ine äger de akier han kan komma, a vingas sälja. Om han då vingas a sälja dessa ill e pris lång under gällande marknadspris, måse han förs köpa dessa akier dyr på marknaden för a sedan sälja dem billig ill sin mopar. Båda parer bealar e så kalla courage ill sin mäklare eller bank, där en del av dea går ill börsen. På samma sä ger en säljopion innehavaren räen men ine skyldigheen a sälja en akie ill e i förväg fassäll pris. Ufärdaren är då vungen a köpa mosvarande akier. Exempel: För en köp köpopion ges värde på lösendagen av: c max X, 0. Där är akiens pris på lösendagen och X opionens lösenpris. Vi ser a om > X gör vi en vins på opionen, i anna fall är den värdelös. Vi har här inge krav på oss a köpa akien så vi köper den bara om den blir billigare än a köpa de på marknaden. Exempel: För en köp exoisk opion ges värde på lösendagen av: c maxm X, 0. Där M är akiens medelpris under hela dess löpid och X opionens lösenpris på lösendagen. Dea är bara exempel på en exoisk opion. Exoiska opioner är vanligvis OC-handlade och kan konsrueras på många olika sä. Vi kommer a nämna några olika längre fram. Om man köp e finansiell derivarinsrumen säger man a man a man har en lång posiion i insrumene. På engelska använder man begreppen long, bough eller held. Har man däremo sål insrumene säger man a man a man har en kor posiion i dea. De engelska begreppen för dea är shor, sold eller wrien. Akieopionens villkor Akieopioner karakeriseras av en Idenie på underliggande vara exempelvis akien Asra A, en Mängd normal 00 akier, en Löpid sex månader för kora och vå år för långa, och e Lösenpris. erier med nya lösenpriser srike noeras dagligen efer behov. Om akiekursen under en dag översiger eller undersiger de näs högsa respekive näs lägsa lösenprise noeras nya serier. De finns allid mins fem serier för varje slumånad. vå över och vå under akuell akiepris och en med ungefär samma pris. ludagen lösendagen för svenska akieopioner är normal redje fredagen i respekive slumånad. De finns som mes fem olika löpider varav re kora och vå långa. Alla akieopioner på den svenska opionsmarknaden är av så kallad amerikans

13 yp. Med amerikanska opioner menar vi sådana opioner där man kan göra illslag när som hels under hela dess löpid. Med andra ord, om vi anser a vi mi under löpiden gjor en så pass sor vins och ine vill riskera a förlora denna, kan vi slå ill och därmed unyja opionen. Akieerminens villkor Akieerminen karakeriseras på samma sä av en Idenie ex. Asra A, en Mängd normal 00 akier, en Löpid som längs vå år och e erminspris. En ermin kosar inge a införskaffa uan fungerar som e konrak mellan vå parer där den ena paren förbinder sig a köpa e besäm anal akier av den andra paren ill e i förväg besäm pris och idpunk. På så sä ar båda parerna en risk. Vad vi menar med risk kommer vi a förklara längre fram. Exempel: För en köp ermin ges värde på lösendagen av: f F. Där är akiens pris på lösendagen och F erminskonrakes pris. Vi ser a vi kan göra en vins eller en förlus. Denna är därmed förknippad med högre risk än för en köp köpopion. Med e erminskonrak är vi vungna a avslua affären på sludagen. Exempel: För en köp fuure ges värde av en så kallad daglig eller veckovis fix: f F F 0. Där F är fuurens pris idag och F 0 erminskonrakes pris igår. Vi ser a vi kan göra en vins eller en förlus på daglig basis fram ill lösendagen. OMX-opionens villkor OMX-opionen karakeriseras av en Idenie, de 30 värdemässig mes omsaa akierna på ockholmsbörsen, en Mängd beroende på indexbeloppe, en Löpid re månader för kora och vå år för långa, och e Lösenpris. OMX-opionernas underliggande vara är e så kalla index, OMX-index. Därför exiserar, som vi idigare nämn inge a leverera, uan innehavaren får konaner eller vingas beala mellanskillnaden mellan lösenprise och de verkliga prise på sludagen. ludagen för OMX-opioner är den fjärde fredagen i respekive slumånad. OMX-opioner är av så kallad europeisk yp. Med europeiska opioner menar vi sådana opioner där man ine kan göra illslag under dess löpid. Med andra ord, måse vi väna ill sludagen innan vi kan unyja opionen. De i indexe ingående akierna vikas på så sä a akier med hög omsäning påverkar index mer än de med lägre. I skrivande sund är Ericssonakien den akien med den sörsa viken. Ingående akier och deras vik kan ändras en gång om åre. Den sora fördelen med indexopioner är a de kan användas för a skydda hedga en komplex porfölj. Man kan naurligvis även använda dessa för a spekulera på marknadsrörelser i sor. 3

14 OM illhandahåller en marknadsplas och en clearingcenral. Akörerna är kunder, mäklare eller marke-makers. Marke-makers har som uppgif skyldighe a sälla priser köp och sälj i opioner och erminer för vissa akier. Köp och säljkurserna får bara ha en viss besämd prisskillnad s.k. spread. För dea får marke-makern lägre ransakionskosnader. Handlingsalernaiv för opioner Då man innehar eller har ufärda opioner har man e anal handlingsalernaiv a illgripa vid kursrörelser på den underliggande akien. Innehavaren av en amerikansk opion kan:. Begära lösen, d.v.s. köpa eller sälja akien ill opionens lösenpris.. Kvia nea posiionen, d.v.s. sälja opionen före sludagen vilke är de vanligase. 3. Låa den förfalla om den är värdelös. Ufärdaren av amerikansk opionen kan:. Låa den löpa ill lösen eller förfall.. Kvia, d.v.s. åerköpa opionen ill rådande marknadspris. Observera! om ufärdare kan du bli lös när som hels om opionen har e realvärde. Därför är de vikig a följa uvecklingen och handla därefer. Handlingsalernaiv för erminer Den som sål en ermin kan. Leverera varan akieermin, eller sänga indexermin på sludagen eller. Nea, d.v.s. gå ur sin posiion genom a köpa en ermin i samma serie före sludagen. Rangordning vid köp och sälj Efersom många order ligger i orderboken på börsen, måse dessa rangordnas. De affärer med högs rang sker förs och de ordnas efer:. Pris, lägsa sälj- respekive högsa köpkurs.. Ankomsid, FIFO Firs In Firs Ou. 4

15 Varför köpa köpopioner? De finns flera olika anledningar och fördelar med a handla opioner i sälle för akien, eller den underliggande varan:. För a uppnå en hög hävsångseffek, d.v.s. göra en sörre vins per inveserad krona jämför med a köpa akien.. De är mindre risk jämför med a köpa underliggande vara. Om akien går ner har du bara förlora de inveserade kapiale, ine mosvarande akiens nedgång. 3. För a undvika binda kapial. Du kan ha pengarna på banken ills du önskar köpa akien. 4. För a försäkra sig om e framida akieköp. 5. älja akier och göra vins, samidig jäna på forsa kursuppgång. Varför sälja köpopioner?. För a få avkasning i en sillasående eller fallande marknad.. För a öka avkasningen i en neural eller svag sigande marknad. 3. För a få kompensaion för e befara kursfall. 4. För a fixera en illfredssällande säljkurs. Varför köpa säljopioner?. För a få avkasning i en nedågående marknad.. För a skydda en kursvins i den underliggande varan. 3. För a minska risken med e innehav. Varför sälja säljopioner?. För a få avkasning i en sillasående eller svag sigande marknad.. För a planera e framida akieköp. Varför köpa erminer?. För a binda mindre kapial än a köpa varan.. För a försäkra sig om en köpkurs. Varför sälja erminer?. För a få avkasning i en nedågående marknad.. Låsa en kursvins i den underliggande varan. 3. För a minska risken med innehav. 5

16 MARKNADRO - BELU När man handlar opioner och erminer, faar man sina beslu och handlingsalernaiv beroende av sin marknadsro. ror man exempelvis a en akie kommer a siga mycke på en kor id, köper man köpopioner i denna för a på så sä göra en sor vins per inveserad krona. Vanliga handlingsalernaiv är:. Krafig uppå: Köp köpopioner eller erminer.. vag uppå: Ufärda säljopioner. 3. illasående: Ufärda köp- eller säljopioner. 4. vag nedå: Ufärda köpopioner. 5. Krafig nedå: älj erminer eller köp säljopioner. Fundera på dessa påsåenden. Vill man lära sig a handla med opioner och erminer måse man lära sig de grundposiioner som finns. Dessa åskådliggörs i figurerna nedan. Dessa grundposiioner används sedan för a bygga sraegier. Då kombinerar man dessa, evenuell med e innehav i den underliggande varan. Dea kommer vi a beskriva i näsa avsni. 6

17 Opioner har e realvärde som är premien - idsvärde. idsvärde är aldrig negaiv men går mo noll när opionen närmar sig lösendagen. Orsaken är a iden under vilken opionen kan öka si värde minskar. I figurerna nedan ser vi förs hur idsvärde sjunker med iden och på lösendagen är lika med noll. Därefer ser vi hur de verkliga värde på en köpopion ser u vid en idpunk ine allför nära lösendagen. killnaden mellan de båda kurvorna är idsvärde. Mo slue minskar denna skillnaden och på sludagen sammanfaller de hel. Om lösenprise är högre än prise på den underliggande varan har opionen e realvärde. Opioner med realvärde kallas plusopion in-he-money-opion, saknar den realvärde kallas den minusopion ou-of-he-money-opion. Om lösenprise och priser på underliggande vara överenssämmer kallas opionen en pariopion a-he-moneyopion. 7

18 Opionens marknadspris påverkas av e anal fakorer, nämligen:. Den underliggande varans värde.. Opionens lösenpris, sriken. 3. Åersående löpid längre id ger högre värde. 4. Varans volailie rörlighe, sandardavvikelse, ju högre deso högre värde. 5. Evenuella udelningar dividends, kända eller förvänade. 6. Marknadsränan, ofa kallad den riskfria ränan. 7. Anna som förvänningar, skaer, poliisk klima mm. mm. 8

19 PRIMODELLER För a värdesäa opioner används e anal prismodeller. Vi skall här gå igenom de vanligase så a även den maemaisk inresserade får sina behov uppfyllda. De som vill kan uan problem hoppa över dea avsni. Modellerna nedan är fliig använda av analyiker och de som suderar risker på opionsmarknaden. Följande meoder används vanligen: Produk Amerikansk köp baserad på avisa Amerikansk sälj baserad på avisa Amerikans opion på avisa med prise basera på en ermin. Amerikansk på ermin Europeisk, baserad på avisa Europeisk, baserad på ermin Meod uan udelningar Meod med udelnings-yield Meod med diskrea udelningar Black & choles Binomial Binomialmodellen med udelning Binomialmodellen Binomialmodellen Binomialmodellen med udelning Beräkna en Beräkna Beräkna en diskonerad spo, diskonerad avisa, diskonerad avisa anv. Black & använd q och med udelning och choles för call och Binomialmodellen anv. Binomialmodell Binomial för pu. med Binomial med räna Black & choles Binomialmodellen med r-q för sannolikheer och r vid bakådiskonering Modifierad Black & choles med q. Black 76 Black-76 q används ej. udelning Binomialmodellen med räna Diskonera avisa med udelning och anv. Black & choles Black 76. För a korrek beräkna amerikanska opioner på fuures skall den udelningsyield q r användas.. eknisk se kan man använda diskre udelning och yield samidig, men de rekommenderas ine. 3. För valuaopioner skall q användas som riskfria ränan för de andra landes valua. 9

20 Underliggande Pris Prise som används för underliggande i opionsberäkningar kan ana följande värden: enase bealda för underliggande. Medelvärde av köp- och säljpris för mosvarande fuure eller ermin. Fixingprise på mosvarande fuure eller ermin. yneisk ermin. En sådan konsrueras genom en köp och en säljopion för samma underliggande, marknad och sludag. Båda måse ha e enda seriepris srike price. Om e sådan par ine exiserar as paren närmas a-he-money. Prise på den syneiska opionen blir då: köp köp såld köp - köp sälj - såld sälj / lösenpris Volailie Volailieen d.v.s. måe på hur mycke prise på underliggande kan röra sig är den svårase delen vid eoreiska beräkningar. eoreisk se är den sandardavvikelsen av den log-normala fördelningen som vi anar a de underliggande prise följer. Den kan mäas med hisoriska daa under en idsperiod eller genom a applicera prisformeln för opioner se nedan för a på så sä beräkna den implicia volailie implied volailiy. Dea är den vikigase fakorn för en Risk Manager när han/hon skall beräkna risker. Volailieen påverkar ine prise på erminer och fuures. De är heller ingen observerbar sorhe uan måse beräknas eller uppskaas med en gissning. Man kan använda sig av: Individuell: Den implicia volailieen för underliggande, för individuella opioner används en för köpkurs och en för säljkurs. Medelvärde: Medelvärdesbildning av de re närmas a-he-mony opionerna av samma yp köp/sälj, med samma underliggande, pris och livsid. Om ingen av de närmas a-he-money har någo pris beräknas volailieen på Opionen själv. Fix: Fixa volailieer, samma för både köp- och säljopioner. Den hisoriska volailieen kan besämmas genom a observera akiens prisuveckling. Anag a vi under en id gör n sycken observaioner a i : a 0, a,..., a n-. Bilda kvoen av vå följande observaioner och ag den naurliga logarimen av denna, d.v.s.: u i lna i /a i-. Kvoen a i /a i- kallas för den periodiska dagliga avkasningen. Då definieras sandardavvikelsen av: 0

21 s n n ui n i n n i u i Volailieen σ definieras sedan som s d, där d är anale börsdagar på e år 50. Volailiesmodeller I vissa sammanhang är man inresserad av a kunna modullera volailieen. I Black- choles model, som vi ska diskuera nedan anar man a volailieen är konsan och lika för alla opioner på samma underliggande, oavse lösenpris och id ill förfall. Rikig så enkel är nu ine verkligheen, och då kan de vara värdefull a känna ill några av de vanligase volailiesmodellerna. De ugår ifrån: auoregressive condiional heeroscedasiciy ARCH m modellen: σ n γυ m j α u j n j, där γ 0, α 0, α. j m j j EWMA En vanlig model för volailieen är EWMA, som sår för Exponenially Weighed Moving Average. I sälle för a använda sig av samma vik i varje observerad idpunk låer man i denna modell viken av de senase observaionerna vara någo högre. Den illdelade viken för en viss daa punk låer man bero på värde av en dämpningsfakor λ. Ideal skulle vi i EWMA använda oss av e obegränsa anal observaioner och vika dessa exponeniell. Efersom dea är orealisisk måse vi fråga oss hur mycke informaion vi kan avvara. Dea må kallas oleransnivån. För en oleransnivå på 0.0 behöver vi endas 74 observaioner, punker. Dea innebär a med 74 punker får vi en noggrannhe av 99 % av den informaion vi kan få genom den hisoriska prisuvecklingen.

22 Formeln för EWMA ges av: σ n λσ n u n λ, 0 < λ <. För sora m kan den sisa ermen försummas. GARCH En annan vanlig förekommande model är GARCH, som sår för Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy. Dessa ord säger oss hur modeller fungerar. Heeroscedasiciy beyder a variaionen ändras med iden. Condiional Heeroscedasiciy beyder a hur variaionerna ändras beror på idigare händelser. Dea är väremo den vanliga hisoriska volailieen där man försöker besämma en volailie som är samma för alla ider. Auoregressive beyder a idsserien av priser modulleras auoregressiv. Dea innebär a dagens priser beror på gårdagens priser. Ekvaionen för GARCH, är: 0 σ α α ε β σ där σ är variansen vid iden och α, α och β konsaner. 0 Konsanerna besäms genom a maximera sannolikhesfunkionen för de observerade prisförändringarna. Den daa som används är dagliga sängningspriserna. Upp ill 500 kan användas i analysen. RIKER Risker på akiemarknaden kan delas in i marknadsrisk d.v.s. a hela marknaden går ner och föreagsrisk. Alla som handlar med erminer eller ufärdar opioner måse därför avsäa en säkerhe för sin kommande affär. Denna säkerhe, kallad marginalsäkerhe ändras från dag ill dag beroende av de oala värde på de opioner och erminer man har och har ufärda. Dessuom måse man erlägga en ransakionskosnad besående av courage och clearingavgif. Opionspremie OMX-ermin Akieermin Courage.5% 0.% % Clearingavgif 5 kr/konrak 0.%

23 om säkerheer acceperas följande: Medel panskrivna på konor av Börsen godkän säkerhesinsiu. Borgen av bankinsiu accepera av Börsen. adsskuldsväxlar och Riksbankscerifika med upp ill års löpid ill 80% av nominell värde eller 90% av marknadsvärde. adsobligaioner ill 90% av marknadsvärde. Cerifikaprogram med upp ill års löpid eller obligaioner ufärdade av vissa banker ill 80% av marknadsvärde. Vissa akier med 70% av marknadsvärde. yneiska konrak / Kombinaioner Genom a kombinera de sandardiserade konraken ovan kan vi bilda så kallade syneiska konrak. Avkasningskurvorna för dessa ser precis u som de sandardiserade konraken. Med hjälp av dessa kan man göra arbirage, d.v.s. säkra vinser om någo av insrumenen är felakig prissa. Prise för e syneisk insrumen skall vara de samma som för de sandardiserade. Om ine kan man ju köpa de syneiska och sälja de sandardiserade eller vär om. änk på a köpa billig och sälja dyr. Ofas orsakar ransakionskosnaderna så höga avgifer a de ine lönar sig, d.v.s. går a göra arbirage. Men, en Marke-Maker med låga sådana kan unyja denna siuaionen. När sådana affärer sker åersälls ordningen i priserna efersom handeln påverkar kurserna. De syneiska kombinaionerna är följande: Köp Köpopion Köp ermin Köp äljopion åld Köpopion åld ermin åld äljopion Köp ermin Köp Köpopion åld äljopion Köp äljopion åld ermin Köp Köpopion åld äljopion Köp ermin åld Köpopion åld ermin åld Köpopion Köp äljopion 3

24 Vi kan illusrera dessa på med följande grafer: 4

25 RÄNA Om vi vid iden 0 har en obligaion bond värd B0 kr är denna vid iden värd: B B0 e r Om R c beecknar den koninuerliga ränan och R m samma räna men med udelning m gånger per år har vi sambanden: R m Rc m ln m Rc Rm m exp m I lierauren förekommer en rad olika ränor, men när vi har a göra med opioner använder vi allid koninuerlig räna. db Brkon d B B db rkon d B ln B r B kon d värde B Exp rkon d Dea möjliggör a beräkna en räna på daglig basis under en id. Vanligvis ses ränan under denna iden som konsan. värde B Exp rkon d B Exp rkon d B Exp rkon 5

26 Periodisk räna Enkel räna Anag a ränan bealas u efer perioden. Under denna period får vi en räna mosvarande r period. Vikig är a vi ine får någo under själva perioden. värde K rperiod Effekiv räna I dea fall bealas ränan u periodisk. Längden av denna anges i år, men kan vara godycklig. värde K r Eff Förhållande mellan enkel och koninuerlig räna Den enkla ränan, ill exempel den som används som riskfria ränan vid riskberäkningar och udelning i form av yield kan konvereras ill koninuerlig räna på följande sä; rkons ln renkel där är iden mellan beräkningsillfälle och förvall, vanligvis d/360. NAMNANDARD Namnsandard för Opioner om namnsandard för opioner används e kornamn exempelvis ERIC för Ericssons, lösenpris sam åral och månad för förfall. Exempelvis mosvarar ERICJ45 en okoberopion, köp, på Ericsson med lösen redje fredagen i okober 00. lösenprise är 45 kr skulle även kunna vara 450 kr eller Boksaven J alar om a månaden är okober. I abellen nedan ser vi vilka ecken som används för a ala om i vilken månad opionen förfaller. Mosvarande kod från Rueers är: LMEb450J. Månad J F M A M J J A O N D köp A B C D E F G H I J K L sälj M N O P Q R U V W X Även erminer 6

27 Namnsandard för erminer En mosvarande namnsandard finns också för erminer exempelvis är ERICB en ermin på Ericsson som förfaller i februari år 00. Mosvarande RIC-kod från Ruers är: LMEbG.. Reuer har följande regler för månad: Jan F, Feb G, Mar H, Apr J, Maj K, Jun M, Jul N, Aug Q, ep U, Ok V, Nov W, Dec Z. Akieerminer förfaller 3:e fredagen i månaden och OMX-erminer den 4:e fredagen i månaden. MARKNADEN AKÖRER Marknadens akörer kan delas in i re kaegorier: raders Hedgers Arbiragörer raders ar posiioner på opionsmarknaden för a få avkasning på en viss marknadsro. Han är beredd a a en risk för a på så sä erhålla en högre avkasning. Hedgers ar posiioner på opionsmarknaden i syfe a avlägga risk. Dessa är ofa förvalare av sörre akieporföljer vilka de vill skydda mo kursfall och/eller öka avkasningen i en sillasående marknad. Arbiragörer unyjar felprissäningar på marknaden för a på så sä göra riskfria vinser. Ofas är dea s.k. marke makers. Dessa har lägre avgifer och har därmed sörre möjligheer a göra arbirage. Vanligvis är felprissäningarna så små a de äs upp av de avgifer man måse beala för a gå in i posiionerna. 7