Laplacetransformen. Från F till L. Den odiskutabla populäriteten hos Fourierintegralen. f HtL - w t t, w œ R (1)

Transkript

1 Från F ill L Laplaceransformen Den odiskuabla populärieen hos Fourierinegralen f HL - w, w œ R () har a göra med a den ger informaion om vilka frekvenser w som ingår i signalen f, och med vilken syrka. Nu ska vi bekana oss med (den ensidiga) Laplaceransformsinegralen f HL -s, s œ C (2) som i huvudsak används för a lösa begynnelsevärdesproblem, dvs. problem där man känner någo vid en viss idpunk och vill vea någo för alla eferkommande idpunker. Lå oss börja med a konsaera a resrikionen av () ill funkioner f som är noll på negaiva axeln överenssämmer med resrikionen av (2) ill ren imaginära s =  w. För funkioner f som är noll på negaiva axeln framsår således (2) som en uvidgning av (). Formell se kan uvidgningen berakas som en uvidgning från reella frekvenser ill komplexa. Sug på den karamellen! Således kan man Fourierransformera funkioner som är noll på negaiva axeln genom a evaluera Laplaceransformsinegralen på imaginära axeln. Men den senare inegralen kan mer än så. För en uppsjö av funkioner för vilka () ej kan beräknas - på grund av konvergensproblem - kan man beräkna (2) uan bekymmer, bara man uför beräkningen för sådana s som ligger illräcklig lång ill höger i komplexa plane. De vå exemplen nedanför ugör illusraioner av nämnda konvergensdiskussion. Förs e mycke enkel exempel.

2 Laplace.nb 2 EXEMPEL Om f HL = qhl (Heavisidefunkionen) säs in i () erhålls qhl ÿ -Â w A lim - AØ -Â w -Â w A -Â w A - lim lim AØ -Â w AØ -Â w = som ine exiserar för någo nollskil (reell) w, efersom -Â w A envis snurrar run på enhescirkeln uan a sanna, då A Ø. Samma f insa i (2) resulerar däremo i en exponeniell konvergerande inegral - när s har posiiv realdel: qhl ÿ -s A lim AØ -s -s A -s A - lim lim - AØ -s AØ -s -s s. = qhl EXEMPEL 2 Beraka nu f HL = qhl (exponeniell illväx!). Tros den exponeniella illväxen hos f HL, kommer H-sL a röra sig in mo origo, när realdelen av - s är negaiv, dvs. när s ligger ill höger om linjen ReHsL =. Resulae blir a (2) konvergerar med exponeniell far, när s ligger på nämnda sä: qhl ÿ -s A lim AØ H-sL lim AØ H-sL - s A =

3 3 Laplace.nb lim AØ H-sL A - - s - - s s - Visa själv a () ine konvergerar för dea val av f. DEFINITION Laplaceransformen f L F definieras av HLD HsL = FHsL = f HL -s, s œ C ANM För varje f som gör a inegralen konvergerar för någo komplex s, är FHsL väldefinierad för alla s ill höger om s, efersom inegranden rycks närmre origo för sådana s. Och konvergens för någo s är man garanerad om f är av s.k. exponeniell yp. Med de senare menas a f är syckvis koninuerlig och a de finns reella a, A så a f HL A a för alla. Forsäningsvis förusäer vi - om inge anna sägs - a alla vanliga funkioner som usäs för Laplaceransformaion är av exponeniell yp. Delafunkionen - som ine är en vanlig funkion - kräver en särbehandling vid Laplaceransformaion. Se exemple nedanför. EXEMPEL 3 För a slippa hamna i ekniska problem låer vi Laplaceransformsinegralens undre gräns as från vänser när delafunkionen är inblandad. Om vi följer denna konvenion kan vi använda inegralformeln Ÿ - dhl fhl = fhl, och får HsL = - dhl -s = -s ÿ =

4 Transformparsnoaion För a beona a f, F bildar e s.k. Laplaceransformpar skriver vi Om ingen risk för sammanblandning med andra ransformer föreligger, nöjer vi oss med a skriva f F. f Tidsdomänen och frekvensdomänen I Laplaceransformillämpningar är f ofa en funkion av iden med värden som är längder. T.ex. kan f för olika idpunker mäa den verikala avvikelsen av en bils yngdpunk i förhållande ill vägbanan vid körning. För a få en dimensionslös exponen i -s så följer a s måse represenerar invers id - dvs. frekvens - om represenerar id och s är reell. Transformregler Fördröjning När en signal fördröjs (som i figuren nedanför), L F Laplace.nb 4 f HL f H - L qh - L Ou[9]= usäs dess ransform för "exponeniell dämpning": f I - M qi - M L FHsL - s Härledning f I - M -s f HL -s I+ M f HL -s -s

5 5 Laplace.nb f HL -s -s FHsL -s EXEMPEL 4 Av L s och dhl L följer qh - L s -s, a, b HL -s a - -s b, s s di - M -s. Frekvensranslaion När signalen mulipliceras med en exponenialfunkion ranslaeras ransformen. f HL s L FIs - s M Härledning f HL s -s f HL -Is-s M FIs - s M. EXEMPEL 5 Av s följer c s-c för ReHsL > ReHcL. Hur ändras grafen för c u när ReHcL:s värde ändras från posiiv ill noll, och ill negaiv?

6 Laplace.nb 6 Lineärie Efersom inegraion är en lineär operaion, är Laplaceransformaion desamma: L Hl f + m gl l L H f L + m L HgL EXEMPEL 6 Laplaceransformera coshb L = 2 Â b + 2 -Â b. Lösning Av lineärie följer a L HcosHb LL = L 2 Â b + 2 -Â b = 2 L I Â b M + 2 L I -Â b M = 2 = s - Â b + 2 s s 2 + b 2 s + Â b Visa själv a L HsinHb LL Skalning b b 2 +s 2. En ihopryckning av signalen i idsrikningen resulerar i en usräckning av ransformen, och omvän. f Ha L L a F s a Bevise lämna ill läsaren. Derivering blir muliplicering Vi skall se a derivering på ena sidan i e ransformpar f HL FHsL i huvudsak mosvarar muliplikaion med argumensvariabeln på den

7 Vi skall se a derivering på ena sidan i e ransformpar f F s i huvudsak mosvarar muliplikaion med argumensvariabeln på den andra sidan. 7 Laplace.nb Tidsderivering och frekvensmuliplikaion f HL L s FHsL - f HL (3) Härledning f HL ÿ -s = f HL -s = + f HL s -s = H*L - f HL + s f HL s -s = - f HL + s FHsL (*) Värde i övre gränsen, är en följd av a f HL ine växer snabbare än exponeniell. Om f HL A a för sora följer nämligen a f HL -s A Ia -sm Ø, när ReHsL > a. ANM 2 Då begynnelsevärde är noll, förenklas (3) ill f HL F s FHsL. ANM 3 Genom a upprepa (3) fås f HL s Hs FHsL - f HLL - f HL = s 2 FHsL - s f HL - f HL f HL s Is 2 FHsL - s f HL - f HLM - f HL = s 3 FHsL - s 2 f HL - s f HL - f HL Ç f HnL L HL s n FHsL - s n- f HL - s n-2 f HL - - f Hn-L HL (4) EXEMPEL 7 Hia en lösning ill följande PDE med bivillkor. PDE uhx, L + c uhx, L + uhx, L = x RAND uh, L f HL, > BEG uhx, L = Lösning Vid ransformering i - led förvandlas probleme med hjälp av

8 Laplace.nb 8 idsderiveringsregeln ill en ODE med randvillkor: ODE RAND s UHx, sl + c UHx, sl + UHx, sl = x UH, sl FHsL Efer förenkling kan ODE:n skrivas UHx, sl = - s+ UHx, sl x c som är lä a lösa: UHx, sl H*L = UH, sl - s+ x c Av RAND - = x FHsL c - x = c FHsL - x c s (*) y HxL = k yhxl ó yhxl = yhl k x fördröjningsregeln följer a ransformen av f J - x c N qj - x c N är FHsL - x c s. Således är uhx, L = - x c f J - c x N qj - x c N en lösning ill de givna probleme. Tidsmuliplikaion och frekvensderivering - f HL L F HsL (5) Härledning Beraka FHsL f HL ÿ -s Inegranden i högerlede är onekligen deriverbar m.a.p. s hur många gånger som hels, efersom -s är de. De följer a högerlede är desamma, om ordningen mellan inegraion och derivering kan kasas om. Man kan visa a sådan omkasning är illåen när f är av exponeniell yp (vilke vi förusäer). De följer a F HsL f HL ÿ I- -s M - f HL -s L H- f HLLHsL ANM Av L :s lineärie följer a man kan muliplicera båda sidorna i (5) med. Således har vi följande varian av (5):

9 ANM Av L :s lineärie följer a man kan muliplicera båda sidorna i (5) med -. Således har vi följande varian av (5): 9 Laplace.nb f HL L -F HsL (6) EXEMPEL 8 Beräkna L I c M, L H coshb LL och L H sinhb LL. Lösning Vi applicerar H6L på de re ransformparen c, sinhb L b s-c och får re nya: c Hs-cL2, sinhb L 2 s 2 +b2 och coshb L s b s Is 2 +b 2 M 2 s 2 +b 2, resp. coshl s 2 -b 2 Is 2 +b 2 M 2. ANM 2 Om (5) resp. (6) upprepas n gånger erhålls H-L n n f HL L F HnL HsL n f HL L H-L n F HnL HsL EXEMPEL 9 Besäm L H n L för n œ 8, 2, 3<. Lösning Upprepad illämpning av H6L på pare - s s- = ÿs -2 s ger 2 - s ÿs-2 = ÿ2 s s ÿ2ÿs-3 = ÿ2ÿ3 s -4 = 3! s -4 Exempelsamling Här preseneras e urval av hiills härledda ransformpar. f HL FHsL qhl s

10 Laplace.nb 3 6 s 4 s- - s+ - Hs+L 2 Â s-â coshl s s 2 +

11 Laplace.nb sinhl s 2 + coshl s 2 - Is 2 +M 2 sinhl 2 s Is 2 +M 2 Raionella funkioner Lägg märke ill a varje F i exempelsamlingen är raionell (polynomkvo). De som fångar öga, när man berakar en raionell funkions graf, är uppförande i polerna (punkerna där nämnaren är noll). De finns e samband mellan placeringen av F:s poler och uppförande i (posiiva) oändligheen för f. Närmare besäm klingar f av i oändligheen omm F:s alla poler ligger i vänsra halvplane. Exempelsamlingen ovanför innehåller vå sycken F med nämnda egenskap. Sambande är en konsekvens av a om s är en pol ill en raionell funkion F, så kommer parialbråksuppdelningen av F a innehålla bråk av yp ëis - s M n. Och sådana bråk är Laplaceransformer av s n- ë Hn - L!, som klingar av i oändligheen omm ReIs M <. I exemple nedanför ugör inversransformaion av en raionell funkion den beräkningsmässig yngsa delen, och förusäer a man behärskar parialbråksuppdelning.

12 Laplace.nb 2 EXEMPEL Finn y som löser y HL - 3 y HL + 2 yhl =, yhl = a, y HL = b Lösning Efer ransformering - där H4L används - erhålls s 2 Y HsL - s a - b - 3 Hs Y HsL - al + 2 Y HsL ês s 2 Y HsL - 3 s Y HsL + 2 Y HsL s a + b - 3 a + ês Is 2-3 s + 2M Y HsL a s2-3 a s + b s + Härav, Y HsL a s2-3 a s + b s + s Is 2-3 s + 2M a s2-3 a s + b s + s Hs - L Hs - 2L 2 s + H2 a - b - L s - + b - a + 2 s - 2 Ovansående ransform känns igen som ransformen av yhl 2 + H2 a - b - L + b - a s Inversen Vi hiade en lösning ill probleme ovanför. Av problemformuleringen inses a probleme har en enda lösning. F.ö. gäller följande enydighessas för funkioner som är koninuerliga L. ENTYDIGHETSSATSEN Om L H f L L H f 2 L så är f f 2. Sasen säger a endas e koninuerlig f kan ha en given Laplaceransform. Dea innebär a L är invererbar på mängden av koninuerliga funkioner. Inversen beecknas försås L -. EXEMPEL Besäm L - s- Hs+L 2 Is 2 +M. Lösning De gäller a hia f vars Laplaceransform är

13 3 Laplace.nb s- Hs+L 2 Is 2 +M. Parialbråksuppdelning resulerar i s- Hs+L 2 Is 2 = - +M 2 s+ - Hs+L 2 + s+ 2 s 2 +. De enskilda parialbråken åerfinns i exempelsamlingen ovanför. De följer (med lineärie) a Falning f HL = HcosHL + sinhll, >. Produken mellan vå Laplaceransformerade funkioner blir en ny Laplaceransformerad funkion som inversransformerad kommer a kännas igen från Fourierransformens värld. FHsL GHsL = v= = v= = u= f HvL -s v v ghul -s u u u= f HvL ghul -s Hv+uL v u u= f HvL -s Hv+uL v ghul u v= = Variabelbye v = = = u ; = u + v u = u f H - ul ghul -s u u= f H - ul ghul u -s = L f H - ul ghul u HsL v u + v Allså, Ÿ f H - ul ghul u L FHsL GHsL, vilke onekligen känns påfallande lik den välkända falningsformeln från Fourierransformens värld u

14 vilke onekligen känns påfallande lik den välkända falningsformeln från Fourierransformens värld Hf * gl HL = Ÿ f H - ul ghul u F f`hwl g`hwl. - Man kan konsaera a om f = g = för negaiva argumen, så lämnar falningsinegralen Ÿ f H - ul ghul u inga inegraionsbidrag - från negaiva axeln eller från område ill höger om. Försök förså de! För sådana f och g är således Ÿ - f H - ul ghul u = Ÿ f H - ul ghul u Och högerledes inegral är ju den funkion vars Laplaceransform är lika med FHsL GHsL. Vi har visa a om f = g = för negaiva argumen, så gäller Laplace.nb 4 Hf *glhl L FHsL GHsL Falningsformeln Inegraion blir division Om f i falningsformeln väljs som qhl, får man - efersom qhl L GHsL ghul u s s - vilke visar a Laplaceransformen förvandlar inegraion ill division. EXEMPEL 2 Finn f som uppfyller f HL = och f x HxL - 6 f HyL x-y y 2 x för x > Lösning Transformaion av inegral - differenial - ekvaionen ger s FHsL FHsL s- 2 De följer a Hs - L 2 FHsL = Hs - 2L Is 2 - s - 6M s 2 -

15 5 Laplace.nb Hs - L 2 = Hs - 2L Hs + 2L Hs - 3L = - 4 Hs - 2L Hs + 2L Hs - 3L. f HxL = x x x. EXEMPEL 3 Anag a e viss radioakiv maerial dumpas på en viss plas hela iden. Hur mycke radioakiv maerial finns de på den nämnda plasen vid iden om dumpningsfaren är f, och man börjar dumpa vid iden? Lösning Lå oss dela in idsinervalle från ill i delinervall. i i+ n D Om dumpningsfaren under idsperioden D = i+ - i beecknas med f I i M, blir mängden maerial som dumpas under idsperioden D lika med f I i M D. Efersom radioakiv maerial sönderfaller exponeniell, åersår de vid iden f I i M D -k H- i L, där k är maerialrelaerad. Summeras bidragen från samliga idsinervall fås n- i= f Ii M D -k H- i L. Efer förfining av indelningen övergår summan i inegralen Ÿ f HL -k H-L, som är lika med falningen f HL * -k (dumpningsfaren falad med sönderfallsfunkionen).