Anm 3: Var noga med att läsa och studera kurslitteraturen.

Transkript

1 TNA- Maemaisk grundkurs Repeiionsuppgifer (inklusive förslag ill planeringsförslag sam faci) -- Sien Nilsson Kurshemsida: hp://websaff.in.liu.se/~sini/tna.hm Hänvisningar FN = Forsling Nemark: Anals i en variabel K = Kompendie Vekorer linjer och plan (Baravdish/Nilsson ) I = Indukion Föreläsning (se kurshemsidan) Anm : Anm : Nedansående är försås e förslag ill planering. Repeiionen måse naurligvis läggas upp individuell. Vissa uppgifer finns med i anna kursmaerial men dessa uppgifer ål a repeeras/göras om. Anm : Var noga med a läsa och sudera kurslierauren. Dag/vecka Huvudsaklig innehåll Uppgifer Uppgifer Vecka 7 FN Kap.. FN Kap.. FN Kap.. FN Kap.. Mängder av reella al Räkning med reella al algebra Ekvaioner räa linjer Ekvaioner fors. (fakorsasen allmänna polnomekvaioner) R: R: abcd 7ab 8ab 9abc abcd R: R: abd abd 7 8 9a ab ab 7 9ab R: ef 7cde 8cde 9def efg R: cef cef 9bc c c 8 9cd Vecka 8 FN Kap.. Vecka 9 FN Kap.. I: FÖ FN Kap.7 och. Vecka FN Kap.. FN Kap.. Olikheer absolubelopp R: abd abc abc Summor binomialsasen R: 7 9 ab a a Indukion R: 7 8ab Komplea al R: 9abc abcd abc 7abcd 9a abc abdfg abc abde abc 7abc 8ac 9ac 7abce 7ace 7abc ab Funkioner grafer R: 78a 79a 8 8a Logarimer R: 87ab 88abc eponenialfunkioner 9ab ab poensfunkioner Vecka FN Kap.. Trigonomeri R: 98abc 99abc abc a a Vecka K Vekorer linjer plan R: ab 7ac 8ab ab 7 8 Allmän repeiion Vecka Omenamen isdag jan 7 R: ce d d R: 8 c b bc R: 8cd R: 9cde efgh de 7ef 8 9b def ceh def cf def 7def 8bd 9bd 7 7df 7bdf 7def 7 77c R: 78b 79bc 8b 8 R: 87cd 88d 9c 9 97cd R: 98d 99d def b b R: cd 7bd 8c cd

2 FN Kap. (R R) R. Vilka av följande påsåenden är sanna? R N {R: + = } d) {R: - = } R. Lå M och M vara definierade på följande sä: M = {N: är udda och < } M = {N: är jämn och < < } Besäm mängderna M M M M FN Kap. (R R) R. Förenkla så lång som möjlig R. Skriv som en summa s s 8 ( a ( a ab b ) d) ( a ( a ab b ) R. Skriv som en summa ( )( ) d) e) f) R. Skriv som en summa ( )( ) ( s )( s) d) ( )( ) R7. Förenkla så lång som möjlig (Tips: Förläng med nämnarens konjugaurck) e) 8 d) 8 R8. Skriv som en summa. (Försök a göra de direk med hjälp av de inruade reglerna nedan) ( a b ( a b d) ( ) e)

3 R9. Undersök om följande urck kan delas upp i fakorer. Uför fakoriseringen där så är möjlig d) a( ) b( ) e) ac bc a b f) ( a ( a R. Förenkla de raionella urcken a a 9 9 d) R. Förenkla a a b e) g) a b a b ( h) h d) f) p p p FN Kap. (R R) R. Sök ekvaionen för den räa linje som går genom de angivna punkerna. Ange erligare en punk som ligger på samma linje. () och (-) (-7) och (-) (-8) och (8) d) (-) och (-87) R. Besäm skärningspunken (om de finns någon) med koordinaalarna för linjerna i R.. R. Besäm ekvaionen för normalen ill linjerna i R. som går genom den förs angivna punken i resp. deluppgif. FN Kap. (R R9) R Kvadrakompleera polnomen 9 d) e) f) R. Besäm evenuella sörsa eller minsa värden för polnomen i uppgif R ovan. Ange också för varje polnom de -värde för vilke respekive eremvärde anas.

4 R7. Lös ekvaionerna. (Tänk på a de alla är s.k. nollproduker.) ( )( ) ( )( ) 9 ( ) d) ( ) 8 R8. Lös ekvaionerna. 9 ( ) 7 d) R9. Sök alla reella lösningar ill ekvaionerna ( ) ( ) R. Besäm ekvaionen för den cirkel som har medelpunk i M och radie r. M = () och r = M = () och r = M = () och r = d) M = (-) och r = e) M = () och r = f) M = (--) och r = R. Följande ekvaioner beskriver en kurva i plane. Beskriv denna kurva. (Anm: Även en rä linje är en kurva.) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) R. Besäm kvoen och resen vid division av p() med q() om p ( ) q ( ) p ( ) q ( ) p( ) 9 q ( ) R. Skriv följande raionella urck som en summa av e polnom och e raionell urck. 7 R. Visa a polnome f ( ) har en fakor g ( ) 7 8 har en fakor 7 7 h( ) är delbar med R. Fakorisera i försagradsurck polnome p ( ) p p ( ) ( ) 8 R. Visa a ekvaionen har lösningen. Besäm därefer ekvaionens övriga lösningar.

5 R7. Lös ekvaionerna 9 R8. Polnome f ( ) 8 8 är give. Ekvaionen f ( ) har en dubbelro. Lös ekvaionen. R9. Lös följande ekvaioner + 7 d) FN Kap. (R R) R. Besäm lösningsmängderna ill följande olikheer: ( - )( + ) < ( - )( + ) > ( )( ) R. Besäm lösningsmängderna ill olikheerna: - + > + > 8 R. Besäm lösningsmängderna ill följande olikheer: d) - e) 9 R. Lös ekvaionerna - + = = = d) + - = R. Lös olikheerna < > d) + - FN Kap. (R R) R. Den arimeiska alföljden 8... är given. Hur många av ermerna är mindre än? Beräkna summan av de försa ermerna.

6 R. Vid e frimärksjubileum diskuerade man a ge u en frimärksserie med frimärken i valörerna. kr.9 kr. kr.7 kr o. s. v. Vad skulle en sådan ugivning kosa en samlare som brukar köpa komplea serier? R7. Besäm summan av alla helal från och med 9 ill och med 999 som sluar på 9. R8. Summan av de n försa ermerna i den arimeiska serien... är lika med 8. Besäm n. R9. En geomerisk alföljd börjar med. Skriv de försa fra ermerna i alföljden om kvoen är: / - d) -/ R. Talen inleder en geomerisk alföljd. Besäm och. Talen inleder en geomerisk alföljd. Besäm och. R. I en geomerisk alföljd är a = och a7 = 7. Besäm alföljden och summan av de sju försa ermerna. R. År 99 var världskonsumionen av mineralolja G. Den oala råoljereserven på jorden uppskaades då ill T. När ar råoljan slu om den ökar med % årligen minskar med % årligen R. Beräkna med hjälp av formeln för en en geomerisk summa. ( k ). k R. Uveckla ill en summa ( ) ( ) 7 7 R. Besäm koefficienen för och i uvecklingen av ( ) ( ) R. Besäm den konsana ermen i uvecklingen av 9 I (Indukion) : FÖ (R7-R8) R7. Bevisa med hjälp av indukion Formeln för den arimeiska summan av n s ermer. Formeln för den geomeriska summan av n s ermer för kvoen.

7 R8. Bevisa med hjälp av indukion a för alla n Z n k k n n k n för alla n Z. k n k för alla n Z. n j j n j m n!! för alla n Z. d) m ( n ) för alla n N. n m FN Kap.7 och. (R9 R77) R9. Ria e komple alplan och markera läge av följande komplea al: + i - i - + i d) -i e) f) - - i R. Ria e komple alplan och markera de punker för vilka Re = Im = - Re > d) Im > e) Im f) Re = Im g) Re < Im h) Re Im Ria randen heldragen om den illhör de berakade område och sreckad om den ine illhör område. R Beräkna absolubeloppe av följande komplea al och svara på så enkel form som möjlig. - i. +.i - + 7i d) - + i e) (- + )i f) + i g) - i h) + - i( - ) R. Ria e komple alplan och markera de punker för vilka följande ekvaioner och olikheer gäller. = < d) Re = e) Im f) Re = Im R. Sä u = - i och v = - + i. Beräkna Re (u + v) Im (u - v) Im (u + v ) d) Re ( u v ) R. Sä u = + i och v = - + i. Ria i de komplea alplane u v och u + v u v och u - v R. Skriv de komplea ale på formen + i ( + i)( - i) ( - i)( + i) ( - i) d) ( - i)( + i) e) i f) i + i + i R. Visa följande regler Re = ( ) iim = ( ) = d) e) =

8 R7. Skriv de komplea alen på formen + i i..i i i ( i)( i) d) i ( i)( i) e) i i R8. Visa a + = + Re + f) i i i R9. Sä = + i. Beräkna Re w och Im w. w w R. Lös ekvaionerna. Skriv lösningen på formen + i. + ( - i) = - i ( + i) = i ( - i) = + i d) - = i( + ) e) i f) i i i i R. Besäm arg i radianer (Ria figur och se om du hiar en halv kvadra eller en halv liksidig riangel). = i = - + i = - - i d) = -i e) = - i f) = i g) = h) = i R. Skriv i polär form. Ange argumene i radianer. i i = - = d) = i e) = - i f) = i R. Ria i de komplea alplane och skriv på formen + i. Svara med eaka värden. = och arg = π = och arg = π = och arg = π d) = och arg = π e) = och arg = π f) = och arg = π R. Anag a = och arg = π. Besäm absolubelopp och argumen för w då w w e) w w d) w f ) w R. Ria e komple alplan och markera de punker för vilka: och arg π och π arg π och arg π

9 R. Lå u = + i och v = - + i. Beräkna uan a förs räkna u produken eller kvoen absolubelopp och argumen för w då: w = uv w = u/v w = v/u d) w = u e) w = uv f) w = u v R7. Lå = cos π + i sin π. Ria vekorn w uan a förs göra några uräkningar (Anm: j ersäer här i) w = j w = /j w = d) w = e) w = j f) w = -j R8. Skriv de komplea ale på formen + i. Förenkla svare så mcke som möjlig. (cos π 8 + i sin π 8 ) (cos π + i sin π ) (cos π + i sin π ) d) (cos π - i sin π ) 7 R9. Skriv på formen + i: ( + i) ( - i) i d) ( i) R7. Härled formler för cos och sin genom a sä n = i de Moivres formel. R7. iv Skriv i poensform re : = i = -i = d) = + i e) i f) = - R7. Skriv på formen = + i. Svara med eaka värden = e i π iπ / i π / = e = e i π / iπ / d) = e e) e f) = e R7. Lå = e iπ /. Ria vekorn w då: w = w = w = d) w = - e) w = i f) w = i 7 iπ / R7. Beräkna sin och cos med hjälp av Eulers formler och urck därefer dessa kuber i resp. sin och sin sam cos och cos. R7. Besäm absolubeloppe av i R7. De komplea ale har absolubeloppe och argumene π / medan ale w har absolubeloppe och argumene π /9. Ange på formen + i de komplea ale R77. Åskådliggör i de komplea alplane de punker för vilka a ) i i i i i w.

10 FN Kap. (R78 R8) R78. Besäm definiionsmängd och värdemängd för följande funkioner: f ( ) f ( ) R79. Anag a f() = - och g() = + med Df = Dg = R Besäm följande funkioner med angivande av deras värdemängder: f o g g o f f o f R8. Ria kurvan = f() där funkionen f definieras genom a då f ( ) då då R8. Ria följande kurvor = = R8. Visa a f har en invers funkion f - och besäm den om Besäm också D och V för både f och f - f ( ) R8. Ria följande kurvor definiionsmängd D. R8. Give funkion f ( ) 8 f Beraka funkionen f ( ). Visa a f har invers och besäm denna inklusive dess. Visa a f har invers f och besäm denna inklusive dess definiionsmängd. Avgör om graferna ill f () och f ( ) har någon gemensam punk. Besäm i så fall denna. (Enbar grafisk lösning godas ine.) R8. Visa a f ( ) har en invers funkion f - och besäm sedan f - () då = = = - d) = R8. Visa a funkionen f ( ) Df = [--] har en invers funkion f - (.e. genom a besämma inversen). Beräkna f - (9) Ria i e och samma koordinassem de båda kurvorna = f() och = f - () d) Ange deras D och V.

11 FN Kap. (R87 - R97) R87. Lös följande ekvaioner ln ( + ) - ln ( + ) = ln ln ( + ) = ln + ln ln ( + ) + ln ( + ) = ln d) ln + ln ( + ) = ln ( + ) + ln R88. Besäm definiionsmängderna för funkionen f då f() är ln ln ( - - ) ln d) ln ln( ) 9 R89. Besäm lösningsmängderna ill olikheerna ln ( - ) > ln (7- ) ln ( - ) ln R9. Anag a e = och e 8. Förenkla så lång som möjlig: e + e e - d) e - R9. Förenkla följande urck (ine samma och som i föregående uppgif) e e e e e ep(ln ln ) d) ln( e e ) R9. Besäm definiionsmängden för följande funkioner och undersök om de har en invers och besäm den i så fall (inklusive D ): e e e e f e e ln (e - ) R9. Förenkla följande urck. 8 - / d) R9. Tale / + / + / - + / -/ - / /7 - är e helal. Vilke? R9. Lös följande ekvaion - 7 / + = R9. Förenkla följande urck 8 9 / R97. Lös följande ekvaioner - + = 8 - / = = 9 - d)

12 FN Kap. (R98 R) R98. Besäm de eaka värdena på åersående rigonomeriska funkioner då cos α = / och α ligger i försa kvadranen. sin α = 7/ och α ligger i andra kvadranen. an α = och α ligger i redje kvadranen d) co α = - / och α ligger i fjärde kvadranen. R99. Besäm eaka värden på sin cos an och co Ledning = -. R. Förenkla följande urck: sin ( + ) - sin ( - ) cos ( - ) - cos ( + ) cos ( - ) - sin ( + ) d) an ( + ) + an ( - ) R. Bevisa följande rigonomeriska formler an α co α cos α sin α cos α sin α sin α = sin α cos α d) cos α = cos α sin α R. α är en vinkel i andra kvadranen sin α = /. Besäm sin α och cos α cos α = /. Besäm cos α an α = /. Besäm an α d) α är en vinkel i redje kvadranen an α = /7. Besäm sin α och cos α. R Bevisa likheerna: sin α anα cosα an α cos α an α an α sin α an α R. Besäm r > och v ]- π π ] så a a sin + b cos = r sin ( + v ) om a = b = a = - b = - a = - b = d) a = b = - e) a = b = - f) a = - b = - R Använd e av resulae i föregående uppgif för a lösa ekvaionerna sin - cos = sin - cos = i inervalle [ π [ R. Lös ekvaionerna i uppgif Ra men i inervalle ]- π π ] Lös ekvaionen i uppgif Rb men i inervalle ]- π π ] R7. Ria med enhescirkeln som ugångspunk en relevan figur som illusrerar lösningsmängden ill ekvaionen sin a cos a an a

13 R8. Lös ekvaionen π sin sin sin sin d) sin R9 Lös ekvaionen π cos cos cos cos d) cos R. Lös ekvaionen π an an 7 an an d) an (Ledning: Ekvaionen är ekvivalen med an ) R. Besäm samliga lösningar ill ekvaionen sin cos π cos π om π R. Lös ekvaionen genom a unja a π cos v sin v eller π sin v cos v. cos sin π cos sin π π π π sin cos R. Lös ekvaionen cos sin cos cos (Sä.e. förs cos ) R. Lös ekvaionen genom a bl.a. unja rigonomeriska ean. cos sin sin cos R. Lös ekvaionen (Ledning: Unja.e. formlerna för dubbla vinkeln sam rigonomeriska ean.) cos sin sin sin cos cos sin π d) sin cos π

14 K: Vekorer linjer och plan (R R8) Lå e O vara e ON-ssem. Koordinaer för punker och vekorer ges i e O respekive e. R. Lå a = och b =. Besäm koordinaerna för den vekor som bildas genom a + b a b a + e d) b - e e R7. Undersök om vekorerna är parallella. och och och d) och R8. Besäm ale s så a vekorerna blir parallella s och s och s s och s R9. Sä a = och b =. Besäm b a b a a R. Beräkna skalärproduken e e e e e R. Lå vekorerna a = b = och c =. Beräkna längden av vekorerna a - b a + b a + b c R. Besäm ale så a vekorerna och blir vinkelräa. R. Besäm så a vekorerna blir vinkelräa. och och

15 R. Beräkna vinkeln mellan och och R. Visa a vekorerna a b och c = är parvis vinkelräa och har längden. R. Två vekorer a och b med längderna respekive bildar vinkeln. Hur lång är vekorn a + b vekorn a b R7. Ge en ekvaion i parameerform för den räa linje som går genom punken P och har en rikningsvekor v enlig ) ( P och ) ( v ) ( P och ) ( v ) ( P och ) ( v R8. Besäm re skilda punker på den räa linjen R R9. Undersök om punken (-) ligger på den räa linjen. R 8 9 R R. Besäm en ekvaion för den räa linje som går genom punkerna (-) och (-) (-) och (-) R. Besäm en ekvaion för den räa linje som går genom punken (-) och är parallell med den räa linjen genom punkerna (-) och (--). R. Undersök om de räa linjerna skär varandra och besäm i så fall skärningspunken. 7 R och R R och 7 R R och 7 8 R

16 R. Besäm en ekvaion för de plan som går genom punken P och som har en normalvekor n. P ( ) och n P ( ) och n R. Ange en normalvekor ill plane. 8 d) R. Besäm ekvaionen för e plan går genom punken () och har en normal med ekvaionen R. Besäm en ekvaion för de plan som går genom punken () och är parallell med -plane -plane R7. Besäm en ekvaion för de plan som är parallell med plane och som går genom origo punken () R8. Besäm en ekvaion för de plan som går genom punkerna () () och (--) () () och () R9. Besäm skärningspunken mellan den räa linjen och plane 7 R. Besäm skärningspunken mellan den räa linjen plane plane plane och R. Besäm skärningspunken mellan plane 9 och -aeln -aeln -aeln R. Beräkna avsånde från punken (-) ill plane 7 d) R. Beräkna avsånde mellan de parallella planen och.

17 R. Besäm vinkeln mellan linjerna 9 och linjen och -aeln R. Besäm vinkeln mellan planen och. R. Besäm koordinaerna för den orogonala projekionen av punken ) ( på plane plane linjen d) linjen R7. Besäm koordinaerna för speglingen av punken ) ( i plane plane linjen R8. Besäm på formen D C B A ekvaionen för de plan som innehåller punkerna ) ( P och ) ( P och är parallell med linjen R.

18 TNA Maemaisk grundkurs för ED KTS och MT Repeiionsuppgifer faci R. Endas d är sann R. M = { 7 9} M = { 8 } { } Ø R. 7-9/ R. + / + / -s /8 + s/ - a + b d) a - b R. 9/ - / + /9 / + / + 9/ - d) e) f) / - 9/ R s + 8s / + - d). - R7. d) e) 8 R8. a + b + c + ab - ac - bc a + b + c - ab - ac + bc + / + /9 - + / - / d) e) /7 - / + - R9. ( + )( - ) ( + ) ( - ) d) ( + )(a - e) (a - (c - ) f) Ingen gemensam fakor finns. R. - a + d) - b R. a b ab d) e) b a g) + h R. 7 8 d) R. 7 resp. 7 resp. f) p Skärning med -aeln saknas. Skärning med -aeln i 8 d) Skärning med -aeln i. Skärning med -aeln saknas. 9 R. d) R. ( + /) - / ( - 9/) - / ( - /) + / d) - ( + /) + / e) ( - /) + / f) - ( - /) + 9/8 R. m = (-/ - /) d.v.s. minsa värde = -/ och fås för = -/. m = (9/ - /) m = (/ /) d) M = (-/ /) d.v.s. sörsa värde = / och fås för = -/. e) m = (/ /) f) M = (/ 9/8)

19 R7. = = = / = - / = = -/ d) = = - / = - 8 R8. = / ± / = / = / = - 7/ d) R9. = ± = = = - = 9 R. 9 ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) 9 f) ( ) ( ) g) På cirkeln i h) På cirkeln i e) R. Cirkel med medelpunk i () och radie. Cirkel med medelpunk i (-) och radie. Cirkel med medelpunk i (--) och radie d) Linjen 8 e) Linjen R. q() = - r = q() = r = q() = r = 7 8 R. 7 R. T f(-) = (fakorsasen) T f() = T f(-) = R. ( - )( - )( + ) -( - /)( + /) = - ( )( ) 8 -( - )( - )( - 8) R. = = = 7 R7. = = = R8. = (dubbelro) eller = - R9. ¾ /9 - d) R. ] - [ ] - /[ ] - - /] [ R. ] [ ] [ ] - [ ] [ R. L = ] -/ [ ] [ L = ] - - ] ] - ] [ [ L = ]- [ d) ] - - ] {} e) ] - / [ [ / ] R. = = = Ø d) = - = = - R. ] - ] ] [ R (alla reella al) d) ] - -] {-} [ [ R. 7 R. kr R7. R8. n = eller n = 8 R d) -8 - R. = = 8 = / = 9/ k 78 R. ak = s(7) = R. Under år 7 Aldrig R. 8

20 R R. : : 9 ; : 7 : 8 ; : 7787 : 9 R. 7 R. lodrä linje = vågrä linje = - all ill höger om -aeln d) all ovanför = e) All under och på -aeln f) linjen = g) all ill vänser om = h) all ill vänser och på = R.. d) e) - + f) g) h) R. cirkel M = ( ) r = inui cirkel M = ( ) r = uanför och på enhescirkeln d) vå linjer = e) mellan linjerna = f) vå linjer = R d) - R. - 7i - - i d) - 7i e) -i f) - R7. / + 7i/ -/ - i/ + i d) / - i/ e) / - 8i/ f) i R9. Re w Im w Re w Im w R. - / + i/ -/ + i/ d) / + i/ e) - i f) -/ + i/ R. π / π / π / d) π / e) 7 π / f) g) π / h) π / π i R. r = arg = π / d.v.s. e r = arg = π iπ e π 7π i i r = arg = π / e d) r = arg = 7 π / e 7π π i i e) r = 8 arg = 7 π / 8e f) r = arg = π / e R. + i / + i/ - + i d) - e) - - i f) - i R. r = arg w = π / r = arg w = π / r = arg w = d) r = arg w = π / e) r = / arg w = π / f) r = / arg w = π / R. r = arg w = π r = arg w = π / r = / arg w = π / d) r = arg w = π / e) r = arg w = 7 π / f) r = arg w = π / R8. i - -/ - i/ d) -/ + i/ R i - + i / - i/ d) - - i R7. cos = cos - cos sin = sin - sin

21 π π i R7. e i e e i π π i d) e i e) e f) e R7. -i -/ + i/ d) + i e) - i f) - + i R7. cos = cos - cos sin = sin - sin R7. R7. -i/7 R77. Alla komplea al som ligger på linjen Alla komplea al som ligger på linjen Alla komplea al som ligger på och innanför cirkel med medelpunk i ( ) och radie. R78. D = [- ] V D = ]- [ V V R79. + V R8. V R8. R8. f - - () =. Båda har samma D och V : R\{} R8. R8. f ( ) ) D f ( R8. - d) f gemensam punk.

22 R d) D V ] V D [7] f [ f f f R87. eller d) R88. ] [ ]- - [ ]- -[ ] [ d) [ ] R89. ].[ ] ] R9. / d) / R9. e e + d) ( ) R9. Df = R. f - () = ln ] [ Invers saknas. D Df = ] [ f - () = ln (e + ) R9. / f d) R9. R9. -7 eller 8 R R97. / d) eller - R98. sin α = / an α = / co α = / cos α = - / an α = - 7/ co α = - /7 sin α = cos α = co α = d) sin α = - / cos α = / an α = -/ o o o o R99. sin cos an co R. sin sin d) - /cos R. sin α = - / cos α = - 7/ - 7/9 /8 d) sin α = 7/ cos α = /

23 R. sin + cos = sin ( + π /) - sin - cos = sin ( - π /) - sin + cos = sin ( + π /) d) sin - cos = sin ( - π /) e) sin - cos = sin ( - π /) f) - sin - cos = sin ( - π /) R. π / eller 7 π / π / 7 π /8 π / 9 π /8 π / eller π /8 R. - π / eller π / 7 π /8 - π / - π /8 π / 7 π /8 eller π R8. π nπ eller π nπ n Z π nπ eller π nπ n Z nπ n Z d) π nπ eller π nπ n Z R9. π nπ n Z π nπ n Z π nπ n Z d) π nπ n Z R. π 7 nπ n Z π nπ n Z π nπ n Z d) π nπ n Z π π π π R. n eller n n Z 8 8 π 7π π 9π 7π n π eller n π n Z π nπ π R. eller nπ 7 Z π Alla reella π π π π R. n n Z nπ eller n π n Z nπ eller π n π π π R. n π nπ eller π n π n Z π nπ nπ R n Z n π n Z π π π π π π π d) R. d) R7. Nej Nej Ja d) Nej R8. s s s R R. R. a b a b a b c R. R. eller R. π π R. Tips: Unja a de för en vekor u gäller a u u u u cos u u u ). u u u (vilke följer av a R7. R R R R8. T.e. 7 ger oss punken ger punken R9. Nej Ja (för ) ger punken

24 R. R R R. R R. Nej Ja i punken () Ja i punken () R. R. 8 d) R. 7 7 R. R7. R8. R9. 9 R. R. 9 9 R. 9 d) R. 9 R. π π R. π R. 7 9 d) R7. 8 R8.