INSTUDERINGSUPPGIFTER

Transkript

1 INSTUERINGSUPPGIFTER essa uppgifer skall hjälpa dig vid inlärningen de skall fungera som e slags diagnosisk prov efer de a du har räkna övningsuppgiferna i PB: (hur bra kan du redan de vi har gå igenom den gångna veckan? Försök förs a lösa uppgiferna hemma ("hemmauppgifer" på schema skriv ner dina lösningar på e bra sä a med dem ill räknesugan och diskuera dem i smågrupp: är lösningen korrek? fullsändig? bra nerskriven? omsändlig? är alla använda begrepp/saser klara? e vikigase är ine a du har en korrek lösning uan a du jobbar med uppgiferna! iskuera även föreläsningarna repeiionsfrågorna (de liknar eorifrågorna på enan och eraövningarna Unja övningsledaren! Tänk på a du måse räna a formulera dig a skriva ner en lösning på e accepabel sä Uppgiferna är eller liknar ena-uppgifer Gå igenom de medföljande lösningarna (kriisk men förs efer de a du har försök Insuderingsuppgif (derivaa gradien sin då a Är funkionen f ( då + + z b Lå F( sin( e + e pariell deriverbar resp differenierbar i origo? I vilken rikning avar F snabbas i origo? Ange en ekvaion för angenplane ill nivåan Y: F ( i origo förs direk (med F sedan genom a beskriva Y som en funkionsa z f ( nära origo Insuderingsuppgif (kedjeregel invers fk a Lå u arcan ( v för ( {( : > > } Visa a illordningen ( ( u v är lokal bijekiv i varje punk i b Besäm för ( {( : > > } en lösning z ( ill probleme ( E : z z och z ( b genom a övergå ill koordinaerna u v från a b genom a besämma en karakerisisk koordina ill ( E (lv7 Insuderingsuppgif (ma-min-problem a Besäm alla saionära punker ill f ( ln + ln + b Besäm värdemängden ill funkionen f ( och deras karakär + + f IR flervariabelanals F (9/

2 Insuderingsuppgif (dubbelinegral rippelinegral a Beräkna volmen av den kropp som begränsas nedå av konen z + och uppå av sfären + + ( z b Beräkna ( e + e ( glassmängden dd då är de område i försa kvadranen som begränsas av kurvorna e e cosh och cosh c Beräkna volmen av kroppen d Beräkna den oala massan av kroppen + densie är ρ ( + + z e Beräkna IR + ( + + z { z : z + } dddz { z : z } då dess Insuderingsuppgif 5 (vekoranals i plane a Lå + + FI ( + ( + Visa a I F är konservaiv i I R och beräkna de arbee som I F uräar då en e cos parikel förflas längs spiralen C : e sin b Beräkna kurvinegralen arcan d arcan d där C är den posiiv orienerade C randen ill de område i försa kvadranen som begränsas av kurvorna + + Insuderingsuppgif 6 (vekoranals i rumme A Lå I F ( + + z + z a Beräkna flöde av I F bor från origo genom an z b Beräkna flöde av I F u genom sfären + + z c Visa a I F är konservaiv och besäm en poenial ill I F d Beräkna d C FI r där : ( C 8 flervariabelanals F (9/

3 + z ( e + + z B Lå cos( + + z + ze cos( + + z FI + a Visa a IF har en vekorpoenial (uan a beräkna en sådan b Besäm en vekorpoenial ( p ( q( ill IF c å kurvan z arccos roerar kring z aeln uppsår en roaionsa S; beräkna flöde av IF uppå genom S med Sokes sas resp uan Sokes sas EXTRAUPPGIFTER Lå IF ( ( e e z z e a bijekiv lokal i varje punk i ; visa a fäle R b bijekiv IF : R R är Visa a för posiiva reella al z gäller z a ( ( ( + ( + a E plåkärl har formen av e räblock Plåen i boenan kosar öre/cm och i de övriga fem sidorna öre/cm Vilka må skall kärle ha för a rmma maimal volm då den oala plåkosnaden uppgår ill 6 öre? I vilka punker på ellipsoiden Y : ( + + z 6 är de elekriska fäle sarkas resp svagas då den elekriska poenialen i punken ( är Φ ( + 6 z (du skall allså besämma de punker på Y i vilka gradφ ( anar si sörsa resp si minsa värde 5 roppen begränsas av -plane och an z Genom borras e clindrisk hål med z-aeln som borrael och radien R Besäm R så a den åersående kroppen har hälfen så sor volm som (borborrad massa kvarvarande massa 6 Beräkna e dd då är försa kvadranen i -plane 7 För vilken enkel sluen C -kurva C uräar kraffäle ( + 6 de sörsa arbee då en parikel förflas e varv mours längs C? 8 Beräkna arean av område inom öglan av kurvan C : IR (escares blad Beräkna de arbee som kraffäle ( + e + + e + uräar längs kurvan sin då en parikel förflas från ( ill Beräkna ( + z + z dddz där Ω {( : z + + z } Ω a direk b med Gauss' sas [ledn: + z + z div( z z eller + z + z div( z z z ] flervariabelanals F (9/

4 Lå f g : R R vara C i Ω R Visa a fäle IF grad f grad g har en vekorpoenial (dvs är källfri i Ω a direk b genom a använda ( u v ( u v u ( v (ö ( Beräkna ( + sin ln d [ledn: visa a ln( psin d ln svar ill erauppgiferna: cm cm cm sörs i ( ± mins i ± ( 5 R ellipsen C: p ] 8 (hela lösningen finns på sid e Lösningsförslag ill insuderingsuppgif f ( h f ( a f är pariell deriverbar i origo f ( k f ( k k då k h h allså f ( f ( koninuerlig i origo e går f ( ej mo ( sin ( f då ( ( då h och f då går mo : Men f är ej de medför a f ine är differenierbar i origo differenierbarhe medför ju koninuie! b Svaren fås med gradienvekorn: + + z + + z + + z gradf( ( e cos( e + e e cos( e + e e allså är grad ( ( och angenplane F och vi får: F avar snabbas i rikningen har ekvaionen grad F ( ( z allså + + z Vi kan också lokal kring origo lösa u z : + e + z sin( e z ( ln( sin( e f ( och angenplane fås nu som z f ( + f ( + f ( där grad ( e cos ( ( e e cos( e f sin e sin e allså gradf ( ( och de ger samma svar som ovan Lösningsförslag ill insuderingsuppgif u u a v v och uv är C i inversa funkionssasen ger påsående! u v v b z z ( z u + z v ( z u + z v z + z vz u v u v denna differenialekvaion har den allmänna lösningen z ( u v ln v + g( u ( g en god C -funk dvs (back o : z( ln + g( arcan( ln ln + f ( ( f en god C -funk z f de ger f ( och svare z ( ln ln + Nu skall flervariabelanals F (9/

5 b arakerisikor ill ( E : a ( z + b( z c( är lösningar ill separabel diffekv ln ln + k v k ɶ ; med v och e u blir b( a( :! z z ( z z ( z + z z uz z ( u v lnu + g ( v allså u v u v u u z ( ln + g ( g ( ln z ( ln + ln ( ln ln + (so z Lösningsförslag ill insuderingsuppgif a b f + ( + ( f + de ger de saionära punkerna ( och ( eras p avgörs (ev mha den h + f hk + f kvadraiska formen Q( h k f k : f ( f f ; i punken ( : Q ( h k h + hk k ( k h + k är negaiv defini i punken ( : Q ( h k h + hk k ( h k + k är indefini därmed är svare: ( : lokal maimipunk och ( : sadelpunk ( + ( + f ( + ( + ( + f ( + ( och ( med ( (subrahera! de ger de saionära punkerna f och f ( Om vi räknar med polära r cosϕ + r sinϕ koordinaer så ser vi a f ( < r < 5 då r 5 r r r På den kompaka cirkelskivan Ω : + 5 (e anar den koninuerliga funkionen f e minsa och e sörsa värde (sas sid och måse göra de i de inre av Ω ( på randen är f < allså i en saionär punk ( f är C men de enda möjliga punkerna är ( och ( (som vi visa ovan allså är de minsa värde som f anar och de sörsa värde som f anar Efersom I R är bågvis sammanhängande och f koninuerlig så anar f V f även alla värden mellan och (somv sas 6 sid Svare är därmed [ ] ANM: I linjär algebra visas a för en kvadraisk form Q ( h k Ah + Bhk + Ck gäller: posiiv defini Q är negaiv defini indefini [egenvärdena ill A B B C A B B AC B C > och > och < är röerna ill polnome A > A < A λ an i uppg a an i uppg b B A egenvärdena ill B alla > B är alla < C e > e < B de sisa gäller för god dim] C λ flervariabelanals F (9/ 5

6 Lösningsförslag ill insuderingsuppgif a Beräkna förs snie mellan konen och sfären aningen genom a säa in 5 5 i sfären de ger + ( z z 8 z z + z (konen z eller genom a säa in z + r (konen i sfären de ger r + r r r r 5 5 roppen ( : ( + z med : + har då { } volmen m( ( + d d ( + d d [pol koord] ( r r r dr dϕ ( r + r r r dr r ( r r ( cosh u u b Gör variabelsubsiuionen då avbildas på ': funkionaldeerminanen v e v u u sinh cosh e e är ( sinh + cosh d ( ( > v v e e allså blir d ( u v e e + e d d du dv [ e + e ] e + e + ' [ ] [ ] du dv ln v ln u vu ln ln + c roppens volm är dddz dz dd ( + dd område : [pol koord] ( sinϕ dϕ dr ( r + d roppens massa är ρ ( dddz dz dd + + z [ dz ln + + z ] ( + ( ln ln( + d d + + z [ ( ] + ln ln d ln ( d ln e Välj som uömmande följd ellipsoiderna : + + z n : I n n r sinθ cosϕ dddz med r sinθ sinϕ + z z r cosθ + n r n blir n : θ ϕ flervariabelanals F (9/ 6

7 n 6 r sin dr dθ dϕ arcan r RI [ ] [ n cosθ ( r ] 6 θ dddz lim I n svar: ( + + z n 6 Lösningsförslag ill insuderingsuppgif 5 arcan n därmed fås a "Uppäck" a FI är konservaiv aningen genom a visa ( ( + ( + + ( + eller genom a besämma en poenial Φ : + Φ Φ ( ln( ( + arcan( + + f ( f duger ( + ( + Arbee kan då beräknas som "poenialskillnaden" Φ e Φ ln e ln5 + arcan + arcan e ( eller genom a välja en enklare väg ( FI är e arbee är då C överall e sräckan längs -aeln: e d + e [ ln( arcan( ] ln( e ln5 + arcan arcan( e som ovan 6 9 kurvan är en spiral: b Naurligvis använder vi Greens formel ( FI P( Q( arcan arcan är C i en öppen mängd som innehåller område som delmängd orieneringen (posiiv mours är den räa; värr är FI ej konservaiv (då vore kurvinegralen längs noll: Område : P d + Q d Q P d d d d pol koord ( [ ] + + r sin ϕ ( r dr dϕ [ cosϕ r ϕ] r r ln (( ( dr r dr flervariabelanals F (9/ 7

8 Lösningsförslag ill insuderingsuppgif 6 A a Yan Y är den "högre hemisfären" + + z Paramerisering av Y (e ( θ ϕ ( sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθ θ ϕ skulle leda ill besvärliga inegraler Men om vi lägger ill an : + z i z-plane så är Y begränsningsa ill kroppen : + + z (normalen uå! och vi kan använda Gauss' sas: IF n ds IF n ds + IF n ds div FI dddz ( + dddz Y Y allså IF n ds + IF ( ds ( + d ddz Y Gauss på z IF Y n ds + z z ddz [pol koord] ( r cosϕ + r sinϕ r r drdϕ r r dr ( [ ] r b Nu kan vi använda Gauss direk: an Y : + + z är rand ill kloe med radien + allså är IF n ds div FI dddz ( dddz Y Gauss Forsä som ovan (då inser du direk a du får e dubbel så sor flöde eller räkna med rmdpolära koordinaer: ( + dddz ( r sinθ cosϕ + r cosθ r sinθ drdθdϕ ( r sinθ + r sin θ drd θ 8 6 [inegrera nu map θ ] r dr 8 [inegrera förs map ϕ ] c Räkna u ro FI ( de ger a I F är konservaiv i I R En poenial får vi genom a lösa differenialekvaionen grad φ IF : φ + φ( + + ϕ( φ + z + ϕ ( ϕ( z + g( φ( + + z + z φ z + z ϕ z ( + g ( g( z ärmed har vi naurligvis än en gång visa a I F är konservaiv i I R d urvinegralen är då enlig c ("arbee poenialskillnad": FI dr φ( r ( φ( r ( φ( 5 φ( 5 C flervariabelanals F (9/ 8

9 Lösningsförslag ill insuderingsuppgif 6 B a div sin( + + z sin( z IF z ze z ze allså har IF en vekorpoenial dvs b Sök A ( p q så a roa ( q pz q p FI + + z q pz cos( + + z + ze q( sin( + + z + u( q cos( + + z + + z p( e + v( p e + + z + + z + + z q p z cos( + + z + u + ze v z cos( + + z + ze + + z u vz ; välj u v e ger oss då A e sin( + + z c Flöde är F FI nds (n "uppå"! S Beräkning med Sokes sas: F roa nds A dr ( d + pd + qd S S S z dz cosϕ ϕ : : + mours sinϕ d cosϕ d S ϕ e ϕ ( ϕ ϕ ϕ ( + cos e cos d cosϕ dϕ cos Beräkning uan Sokes sas: Efersom FI n ds FI nds + FI ( dd [ Gauss!] S s div FI dddz [ S ] så gäller [ med : + ] : + ( ( + F FI nds FI dd e dd e dd [pol koord] S r e cosϕ drdϕ svar: r A + + z sin e ( + + z flöde är Anm: u kan beräkna F direk: Y är funkionsan arccos ( och ( z + (pol koord! Y F IF z z dd an S i c: flervariabelanals F (9/ 9

10 ANMÄRNING : områden som ges i polära koordinaer Lösning ill erauppgif 7: Allmän: E område i -plane som beskrivs med polära koordinaer av α ϕ β r f ( ϕ blir i ϕ r plane ': För arean av fås då formeln som vi känner redan från inledande anals (f anas vara C : m( d d [ koord ] β f ( ϕ β ( pol r dr dϕ r dr dϕ f ϕ dϕ ' α α sin cos E: escares ögla har den polära framsällningen r ϕ [ ] allså [ ] 9 9 ϕ dϕ cosϕ sinϕ sin ϕ + cos ϕ an ϕ an ϕ + cos ϕ an ϕ ϕ ϕ sin ϕ + cos ϕ d (generaliserad inegral! dess area är Men nu har du försås lös uppgifen med Green: ( d + u d d d : 9 d Green d du + d d ( ( ( ( + Lika bra går d d d eller (enklas? d d ( d + d o i! flervariabelanals F (9/

11 ANMÄRNING : roaionsor å kurvan C: f ( a b roerar kring -aeln resp kring -aeln alsras en roaionsa Y som har parameerframsällningen (C anas vara C Y: r( ϕ ( f ( cos( ϕ f ( sin( ϕ a b ϕ r (kring -aeln resp Y: r( ϕ ( cos( ϕ f ( sin( ϕ a b ϕ r (kring -aeln a Moivera dea och beräkna areaelemene av Y och arean av Y i båda fall b Samma uppgif då kurvan ges av C: r r ( ( ( ( a b c Beräkna arean av den roaionsa som uppsår då kurvan arccos( + roerar kring -aeln resp kring -aeln d En orus bildas då cirkeln ( a + b < b < a Beräkna dess area (jmf ö 87 roerar kring -aeln svar: a ds f ( ( f + ( ddϕ m( Y d (kring -aeln b b a ds + ( f ( ddϕ m( Y d (kring -aeln [med f ( ] b ds ds resp ds ds m( Y ds resp m( Y c a c [ ds ɺ + ɺ d ; obs: kurvan skall ligga i försa kvadranen; a är e specialfall av b] 8 ( d ab resp c ds flervariabelanals F (9/