Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Transkript

1 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara fysikaliska förklaringar varför en sådan ändringshasighe har en emperaurdifferens som drivande kraf men jag går ine in på dea här. Ekvaionen är där dy d =k (T T b ) (1) y = koldioxidhalen i amosfären, ppmv = iden k = en hasigheskonsan T = den globala medelemperauren T b = en global medelemperaur vid e referensillsånd Denna ekvaion har vå obesämda paramerar, k och T b, som skulle kunna besämmas genom a anpassa daa för koldioxidhalens ändringshasighe ill daa för emperauravvikelser. För a göra anpassningen måse man naurligvis förs beräkna koldioxidhalens ändringshasighe från observerade daa för koldioxidhalen. Men om man inegrerar ekvaionen så kan man också, som jag har gjor, anpassa daa för koldioxidhalen ill inegrerade daa för emperauravvikelsen efersom vi får följande ekvaion: y y 0 =k (T T b )d (2) 0 Man inegrerar här observerade daa för emperauravvikelserna från en idpunk 0 ill en idpunk. Koldioxidhalen y 0 måse vara den vid idpunken 0 och är allså en observerad sorhe. Den är ine en anpassningsbar parameer efersom den ingår i observaionerna. Man kan skriva om ekvaion (2) på följande sä för a som jag har gjor kunna lösa parameeranpassningen med linjär regression med minsa kvadrameoden: y y 0 =k T d k T b ( 0 ) (3) 0

2 Ekvaion (3) är linjär i de anpassningsbara paramerarna k och T b. Den mosvarar, med beeckningar enlig Wikipedias arikel om Mulipel linjär regression, följande linjära ekvaion: Y =β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 (4) I dea fall blir då Y = y y 0 ; β 0 =0 X 1 = T d ; β 1 =k 0 X 2 = 0 ; β 2 = k T b 2 Vi kan allså med våra daa beräkna Y, X 1 och X 2 för var och e av åren och sedan besämma β 1 och β 2 och därmed k och T b genom mulipel linjär regression. Variablerna Y, X 1 och X 2 skall här hel beså av observerade daa. Koldioxidhalen y 0 skall vara den observerade koldioxidhalen för 0 = 1850 annars bryer man mo ekvaionens innebörd. Om man ändrar 0 måse man också ändra y 0 och vice versa. Vid linjär regression har man ofas en konsan erm β 0 med i modellekvaionen, men ine i vår fall. Program för linjär regression, som REGR i Open Office Calc, som jag har använ, är gjorda så a man kan välja om den linjära modellekvaionen skall innehålla en konsan erm eller ine. I vår fall skall vi välja linjär modell uan konsan erm dvs. β 0 = 0. Dea är ine någon parameeranpassning uan endas en insrukion ill daorprogramme vilken linjär modell som skall användas vid anpassningen. Minsavadrameoden innebär a vi för varje observaion i av Y, X 1 och X 2 urycker hur sor avvikelsen blir mellan vänsra och högra lede i modellekvaionen: ϵ i (β 1, β 2 )=Y i β 1 X 1i β 2 X 2i =( y y 0 ) i k[ 0 T d]i ( k T b )( 0 ) i (5) Denna avvikelse blir uppenbarligen en funkion av de i vår fall vå anpassningsbara paramerarna. Avvikelserna för varje observaion kvadreras och summeras så a man får en kvadrasumma: N 2 S (β 1, β 2 )=S (k,k T b )= ϵ i 1 (6) Värdena på de vå anpassningsbara paramerarna besäms därefer så a denna kvadrasumma blir så lien som möjlig. Hur anpassningen med Murry Salbys ekvaion beräknades Jag använde daorprogramme REGR i Open Office Calc och beräkningen visas i bilden på sisa sidan. Figuren visar ine alla de mer än 150 raderna med observerade daa uan bara den översa delen av prakiska skäl.

3 3 I kolumn D finns observerade värden 0 0, i kolumn E finns observerade värden på inegralen T d och i kolumn F finns observerade värden på y y 0 (ursäka ryckfele i bilden). Lägg märke ill a de observerade värdena på grund av sina definiioner måse börja med noll. Udaa från daorprogramme REGR finns i cellrekangeln H2-I6 sam i cellen J2. I rad 2 finns de anpassade parameervärdena k och k T b. I cell J2 får vi värde noll som kvio på a vi val linjär modell uan konsan erm, i anna fall hade vi där få de anpassade värde på mosvarande parameer. I rad 3 får vi sandardfelen i de vå anpassade parameervärdena. Om vi hade val linjär modell med konsan erm hade vi i J3 få värde på den anpassade parameerns sandarddeviaion, men nu saknas dea. I cell H4 får vi deerminaionskoefficienen R 2. I cell I5 får vi anal frihesgrader som är anal observaionspunker, vilke för är 163 minus anal anpassade paramerar som är vå, vilke ger 161 frihesgrader. De är allså hel klar a jag har anpassa vå paramerar med hjälp av minsakvadrameoden på en linjär modellekvaion. Resulerande diagram med rubriken Jämförelse mellan beräknade värden enlig Murry Salbys eori och observaioner finns i blogginlägge Om Murry Salby: Frågor och svar. Anpassning ill en jämförbar exponeniell ekvaion I diskussionen av min beräkning med Murry Salbys ekvaion har man framför esen a anpassningen ger bra resula därför a de med Murry Salbys ekvaion anpassade koldioxidhalerna måse beskriva en exponeniell ekvaion. Men kan verkligen Murry Salbys ekvaion beskriva en jämförbar exponeniell kurva med vå anpassningsbara paramerar? Man kan redan från början se några principiella svårigheer. Observerade daa börjar i origo och en exponeniell funkion med vå paramerar kan, som framgår av ekvaionerna nedan, ine gå genom origo. Dessuom ändras koldioxidhalen med konsan hasighe av omkring 2 ppm/år sedan slue av förra millennie och dea srider mo exponeniella funkioners egenskaper. En exponeniell funkion med vå anpassningsbara paramerar har följande ekvaion: Y =β' 0 e β X 1 vilken kan skrivas i logarimerad form så a den blir linjär i paramerarna och kan användas som linjär regressionsmodell: ln(y )=β 0 +β 1 X (7) I vår fall blir ekvaion (7):

4 4 ln( y y 0 )=β 0 +β 1 ( 0 ) (8) När man lägger in en exponeniell rendlinje i e diagram i e kalkylblad såsom Open Office Calc eller Microsof Excel så är de precis en sådan ekvaion som anpassas med minsakvadrameoden och vå paramerar. Resulae har jag visa i blogginlägge Om Murry Salby: Frågor och svar. Se de sisa diagramme, Observerade koldioxidhaler med exponeniell rendlinje, som finns i uppdaeringen på slue. Som synes blir anpassningen ine bra. Slusaser Jag har anpassa Murry Salbys ekvaion ill observaionerna med vå anpassningsbara paramerar. Den beräknade kurvan visar ine bara en noggrann anpassning och en övergripande rikig form uan den ger också en konsan koldioxidökning sedan slue av förra millennie som nära ansluer sig ill observerade daa. Anpassning av en jämförbar exponeniell funkion med vå anpassningsbara paramerar ill samma observerade daa ger mycke sämre resula. Den anpassade kurvan kan givevis ine gå genom origo eller visa den konsana koldioxidökningen sedan slue av förra millennie. Men även i övrig avviker den markan från observerade daa. Om man inför en yerligare parameer i den exponeniella funkionen får man givevis en bäre anpassning efersom fler paramerar ger denna effek av ren maemaiska skäl. Men de går forfarande ine a få kurvan a visa den konsana koldioxidökningen sedan slue av förra millennie. En exponeniell funkion måse nämligen allid kröka sig. Vi kan allså se a påsående, a Murry Salbys ekvaion beskriver observerade daa så bra beroende på a koldioxidkurvan liknar en exponeniell funkion, är felakig.

5 5