Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 9. Analys av Tidsserier (LLL kap 18) Tidsserie data

Transkript

1 Finansiell Saisik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsning 9 Analys av Tidsserier (LLL kap 8) Deparmen of Saisics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associae Professor) Financial Saisics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Auumn 008) Tidsserie daa Numerisk daa ordnad över id Tidsinervall kan vara år, kvaral, dag, vecka, imme, ec. Ordningsföljden (sekvensen) av observaionerna är vikig Exempel: Year: Sales:

2 Tidsserie plo En vå-dimensionell plo med variabeln i y-axis och idsenheen i x-axis Inflaion Rae (%) 6,00 4,00,00 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0, Year Tidsserie Komponener Tidsserie Trend Komponen Seasonaliy Komponen Cyclical Komponen Irregular Komponen

3 Trend Komponen Långsikig ökning eller minskning över iden (allmän uppå eller nedå mönser) Daa över e lång idsperiod Försäljning Uppå rend Tid Trend Komponen Trend kan vara uppå eller nedå Trend kan bli linjär eller icke-linjär Försäljning Försäljning Uppå linjär rend Tid Uppå icke-linjär rend Tid

4 Säsong Komponen Korsikig mönser som upprepas regelbunde Glass försäljning Paraply försäljning Försäljning Viner Sommar Viner Vår Sommar Hös Vår Hös Tid (kvaral) Cyclical Componen Långsikig mönser Kan vara regelbunde men kan variera i längden av id Mäs ofa från peak ill peak eller rough ill rough Försäljning Cycle År

5 Irregular Komponen Oberäknelig (oförusägbar), slumpmässig, residual skifning (variaion, osadighe) På grund av Naur Olyckor eller ovanliga händelser Brus ( noise ) i idsserien Analys av Tidsserie Komponener Används ofa i samband med prognos Observerad värde i idsserien är summan eller produken av komponenerna: Addiiv modell X = T + S + C I Muliplikaiv modell (linjär efer log-ransformaion) X = T S C I där T = värde på rend komponenen vid id S = värde på säsong komponenen vid id C = värde på cyclical komponenen vid id I = värde på irregular vid id

6 Ujämning av idsserie Beräkna glidandemedelvärde (moving averages) för a få allmän inryck på mönsre över iden Dea ujämnar bor den irregular komponenen Glidandemedelvärde: medelvärde av e anal på varandra eferföljande värden i idsserien. (m+)-punk glidandemedelvärde E serie av arimeiska medelvärden över iden Resulaen berör på vale av m (# daavärde i varje medelvärde) Exempel: För e 5 årig glidandemedelvärde är m = För e 7 årig glidandemedelvärde är m = 3 osv. Ersä x med X m * = X+ j ( = m +,m +, K,n m) m + j= m

7 Glidandemedelvärden: Exempel Exempel: 5-årig glidandemedelvärden Försa glidandemedelvärden: x + x = + x3 + x 5 Andra glidandemedelvärden: + x * 4 5 x5 x = + x + x4 + x 5 + x * x6 osv. Exempel: Årlig daa Year Sales Annual Sales osv osv Sales Year

8 Year Beräkning av glidandemedelvärden Lå m = Sales osv Average Year 5-Year Moving Average = 5 Varje glidandemedelvärde är för (m+) på varandra eferföljande år Original (årlig) daa och glidandemedelvärden Den 5-årig glidandemedelvärden ujämnar daamaeriale och visar den underliggande renden ydligare. Sales Annual vs. 5-Year Moving Average Year Annual 5-Year Moving Average

9 Glidande medelvärde (i Miniab) Cenrerade Glidande medelvärden Ana a idsserien har s perioder, där s är e jämn nummer. ex., s = 4 for kvaralsdaa och s = for månadsdaa. För a få e serie på cenrerade s-punk glidande medelvärde X *: Bilda s-punk glidande medelvärdena enlig s/ s s s x * x +.5 = j, =, +, +,, n + K s j (s/) = + Bilda cenrerade s-punk glidande medelvärdena enlig x x + x * * * = ( = s +, s +, K,n s ) s

10 Cenrerade Glidande Medelvärde Lämplig när de finns e jämn anal värde i beräkningen av glidande medelvärden. Medelperioder som.5 eller 3.5 machar ine med originella perioder, därför ar vi genomsni av vå eferföljande glidande medelvärden för a få de cenrerade glidande medelvärdena. Medel- Period 4-kvar glidande medelvärde osv Cenrerad Period Cenrerad glidande medelvärde Beräkning av kvoen ill glidande medelvärden Vi vill nu skaa säsong effeken Dividera den verkliga försäljningen med den cenrerade glidande medelvärden för samma period: x 00 x *

11 Beräkning av Säsongsindex Kvaral Försälj. Cenrerad Glidande Medelvärde Kvo ill glidande medelvärde ec ec x 5 00 (00) x * = = 83.7 Beräkning av Säsongsindex Kvaral Försäl Cenrerad Glidande Medelvärde Kvo ill glidande medelvärde Hös Hös Hös ec ec. Hia medianen av alla värden med samma säsong. Jusera så a medelvärden över alla säsong blir 00.

12 Tolkning av Säsongsindex Ana a vi fick följande säsongindex: Säsong Säsong- Index Vår 0.85 Sommar.30 Hös 0.90 Viner Tolkningen: Försäljningen i vår är i genomsni 8.5% av den genomsniliga årlig försäljningen Försäljningen under sommar är i 3.0% högre än den genomsniliga årlig försäljningen osv Σ = 4.000: fyra säsong, så blir summan 4. Enkel Exponeniell Ujämning Är e vikad glidande medelvärde Vikerna avar exponeniell Senas ( färska ) observaioner får sörre vik, medan viken minskar ju äldre observaionerna blir. Används för ujämning och korsiklig prognos (ofa e eller vå perioder framå)

13 Enkel Exponeniell Ujämning Viken (ujämningskoefficienen) är α Väljs subjekiv Är mellan 0 och Mindre α leder ill mer ujämning, sörre α leder ill mindre ujämning. Viken är: Lien (nära 0) om syfe är a jämna bor oönskad cyclical och irregular komponener Sor (nära ) om syfe är a göra prognos Enkel Exponeniell Ujämningsmodellen Enkel Exponeniell Ujämningsmodellen: x ˆ = x xˆ = x + ( )xˆ (0 < < ; =, K,n) där: xˆ = exponeniellujämna värde för period xˆ - = exponeniellujämna värde för perioden innan ( ) x = observerade värde för α = viken (ujämningskoefficienen), 0 < α <

14 Enkel Exponeniellujämning: Exempel Ana a vi använder α =. xˆ = 0.x + ( 0.)xˆ Tids Period () Försälj. (X ) Ujämna perioden innan ( ) xˆ - Exponeniellujämna värde för period ( ) xˆ osv osv osv. 3 (.)()+(.8)(3)=6.4 (.)(5)+(.8)(6.4)=6. (.)(7)+(.8)(6.)=6.96 (.)(3)+(.8)(6.96)=7.4 (.)(48)+(.8)(7.4)=3.549 (.)(48)+(.8)(3.549)=3.8 (.)(33)+(.8)(3.8)=3.87 (.)()+(.8)(3.87)= (.)(50)+(.8)(33.697)= osv. xˆ = x efersom vi har ingen annan prior info. Observerade vs. Ujämnade försäljningen Sales 30 0 Osadigheen (flucuaions) är ujämna Time Period Sales Smoohed

15 Prognos för idsperiod ( + ) Ujämnade värden vid idsperiod används som prognos för näsa idsperiod ( + ) Vid id n, vi får prognos av framida värden, X n+h enlig xˆ n h = xˆ + n (h =,,3K) Exponeniellujämning i Miniab