Volatilitetsmodeller - En utvärdering av prestation enligt Model Confidence Set

Transkript

1 Naionalekonomiska insiuionen Magiseruppsas Volailiesmodeller - En uvärdering av presaion enlig Model Confidence Se Förfaare: Tomas Johansson Arvid Lezén

2 SAMMANFATTNING Uppsasens iel: Volailiesmodeller- En uvärdering av presaion enlig Model Confidence Se Seminariedaum: Ämne/ kurs: NEKM0 Magiseruppsas, 0 poäng Förfaare: Tomas Johansson Arvid Lezén Handledare: Hans Bysröm Fem nyckelord: Volailiesmodeller, Model Confidence Se, Implici volailie, Realized volailie, Ränederiva Syfe: I denna uppsas ämnar vi a undersöka med hjälp av meoden Model Confidence Se (MCS) vilka modeller som kan anses prognosisera volailie på e ränederiva bäre än andra modeller, sam ranka dessa inbördes Resula: Vår sudie visar a EGARCH (,) ine ska ingå i e Model Confidence Se med övriga av de undersöka modellerna oberoende om implici eller realized volailie används som benchmark. Våra ARCH-modeller i Model Confidence Se får en lägre ranking än de övriga modellerna i sudien

3 ABSRACT Tile: Volailiymodels- An evaluaion of he performance according o Model Confidence Se Seminar dae: Course: NEKM0, Economics: Maser Essay I Auhors: Tomas Johansson Arvid Lezén Advisor: Hans Bysröm Key Words: Volailiymodels, Model Confidence Se, Implici Volailiy, Realized Volailiy, Ineres Derivaives Purpose: This paper aims o examine volailiy models abiliy o forecas volailiy on an Ineres rae derivaives wih help of Model Confidence Se Mehodology: Our sudy shows ha EGARCH (,) no should be par of he Model Confidence Se wih he oher models of he sudy independen by which benchmark we use, implied or realized volailiy. Our ARCH- models in he Model Confidence Se ges a lower ranking han he oher models in our paper 3

4 Innehållsföreckning SAMMANFATTNING... ABSTRACT...3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING...4 INLEDNING...5. BAKGRUND...5. PROBLEMFORMULERING SYFTE AVGRÄNSNINGAR MÅLGRUPP DISPOSITION...8 TEORETISK REFERENSRAM...9. TIDIGARE STUDIER...9. MODEL CONFIDENCE SET (MCS) METOD FÖR ATT FINNA MODEL CONFIDENCE SET (MCS)....3 VOLATILITETSMODELLER VALET AV MODELLER MOVING AVERAGE MODEL HISTORICAL MEAN MODEL EXPONTENTIAL WEIGHTED MOVING AVERAGE MODEL (EWMA) ARCH GARCH EGARCH ESTIMERING AV TIDSSERIER VOLATILITET IMPLICIT VOLATILITET REALIZED VOLATILITET... 3 METOD ÖVERSIKTLIG ARBETSGÅNG... 4 RESULTAT BESKRIVANDE STATISTIK RESULTAT ANALYS OCH DISKUSSION AV RESULTAT INLEDNING MODELLER I MODEL CONFIDENCE SET (MCS) RANKING UTVÄRDERING AV MODEL CONFINDENCE SET (MCS) OCH EN SLUTDISKUSSION SLUTSATS...36 REFERENSER...38 APPENDIX...4 4

5 Inledning I de inledande kapile redogörs för uppsasens bakgrund och problemaisering som mynnar u i e syfe. Avsluningsvis förklaras avgränsningar, disposiion och uppsasens målgrupp.. Bakgrund De har länge funnis e inresse bland människor verksamma inom olika delar av finansbranschen a försöka hia e illfredssällande sä a prognosisera volailieer på illgångars avkasning. De som kan anses ha mes inresse i dea är ex fondförvalare som med sina olika radingsraegier är beroende av volailieer, opionshandlare vars porföljsflukuaioner beror på illgångars volailie. Även Marke makers vars vins vilar på förmågan a säa en bid-ask spread illräcklig sor för a förebygga förluser beror på volailieer. (Guillermo och Bradely, 005) Dea är bara några exempel på akörer och siuaioner där volailieen spelar en avgörande roll. Efersom mycke pengar och ansvar sår på spel är behove av noggranna prognosiseringar av volailieer mycke vikig. Som ovan nämns är dea beydande för handlare och inveserare men även för forskare som försöker förså dynamiken och flukueringarna i marknaden. Esimeringar om framida volailieer är ine bara nödvändig för prissäningen på deriva uan prognosiseringar är också vikiga för a besämma dela och med dea korreka vägningar i hedgade derivaporföljer. Volailie är också en beydelsefull inpu i value-a-risk- modeller där korreka beräkningar för om porföljens värde kommer a sjunka är vikig.(ederingon och Guan, 005) Självklar finns de risker som vi väljer a a efersom fördelarna med dem översiger kosnaderna. Dea är en av grundpelarna inom finans: vi måse a risk för a uppnå belöningar. Men då alla risker ine är lika belönade a a bör riskagande bygga på goda esimeringar. Prognosisering av volailie är som nämns vikig i prissäning av olika deriva. Räne caps och swaps illhör de mes handlade ränederivaen i världen idag. Enlig, 5

6 Bank for Inernaionell Selemens, har de kombinerade symbolvärde vari över 0 rillioner dollar de senase åren vilke är många gånger sörre än opionsmarknaden.(haiao och Feng, 006) På grund av sorleken på denna marknad är en korrek prissäning och hedgning med dessa insrumen mycke vikig. Priser på ränederiva kan ge ledande informaion om erm srucure av obligaion och swapränor vilke gör prissäning än mer inressan (Ibid). På grund av viken av en korrek prissäning och volailieens beydande inverkan på denna prissäning har vi val a sudera olika modeller som finns för a prognosisera den så vikiga volailieen. Modeller och meoder är många vilke gör a deras räffsäkerhe är inressan a sudera. Även om många olika modeller finns a illgå och rekommenderas av ekonomerikunniga, läroböcker och människor verksamma inom finansbranschen kan de ändå gå a urskilja re dominerade: () variansen eller sandardavvikelsen av avkasningen under en viss period () Exponenially Weighed Moving Averagemodellen och (3) GARCH (,). (Ederingon och Guan, 005). Problemformulering Med inledningen och bakgrunden som ugångspunk inrikar vi oss här mer på en problemdiskussion kring vår sudie. Som beskrivis i bakgrunden finns e sor inresse hos akörer inom den finansiella sekorn a finna saisfierade modeller för a prognosisera volailie. Sudier och meoder för a finna de bäsa modellerna är många och vida diskuera. Då modeller som finns för a prognosisera volailie har öka i anal, dels på grund av hel nya modeller men främs genom modifieringar av befinliga modeller, har e behov av raionella jämförelsemeoder uppkommi. (Hansen och Lunde, 005) Många jämförelsemeoder är idag oerhör idskrävande då urvale av anale volailiesmodeller är sor och varje modell behöver ansenliga informaionsmängder. E fleral meoder kräver dessuom a bakomliggande informaion finns om en rä modell som sedan ska fungera som e benchmark å de modeller som esas. Vi ämnar därför i denna sudie a uifrån en alernaiv meod, Model Confidence Se, försöka finna de modeller som är bäre preserande än andra bland de mes kända och 6

7 undervisade modellerna idag. Med hjälp av Model Confidence Se rankar vi också dessa inbördes för a se vilken modell som kan anses vara bäs preserande. Meoden Model Confidence Se skiljer sig från andra illvägagångssä på många punker och ovansående kriik som diskueras kring de radiionella meoderna undgår Model Confidence Se. Vi anser de därför inressan, som e alernaiv ill de radiionella meoderna, a sudera olika modellers presaion uifrån denna mer nuidsanpassad meod..3 Syfe I denna uppsas ämnar vi a undersöka med hjälp av meoden Model Confidence Se (MCS) vilka modeller som kan anses prognosisera volailie för e ränederiva bäre än andra modeller, sam ranka dessa inbördes..4 Avgränsningar Då de finns många publicerade modeller och modifieringar av dessa modeller har vi val a begränsa oss mo de mes kända och undervisade modellerna inom volailiesprognosisering. Moiven ill val av modeller åerkommer i en senare del av sudien..5 Målgrupp Uppsasen rikar sig ill personer med kunskap om de finansiella områdena. Personer bör ha vissa förkunskaper för a på bäsa sä a ill sig vår undersökning. Dea gör a målgruppen främs rikar sig mo sudener och lärare vid Ekonomihögskolor, både i Lund sam andra universie. Uppsasen problemaik och resula bör även inressera människor verksamma inom den finansiella sekorn. 7

8 .6 Disposiion Uppsasen har inles med presenaion och problemformulering kring vår ämne. Vidare följer den eori som ligger ill grund för vår sudie och som sedan används för analyser av vår resula. I kapile redogörs även för våra modeller sam moive ill vale av dessa. Därefer följer e meodavsni där arbesgången i vår sudie förklaras mer ingående. Vidare följer resulae av vår sudie sam en diskussion kring dea. Uppsasen avsluas med en korfaad slusas. 8

9 Teoreisk referensram Kapile beskriver idigare forskning inom ämne. En genomgående presenaion av Model Confidence Se som är en vikig del i denna sudie. För a på bäsa sä förklara meoden ger vi exempel hur den kan appliceras på vår sudie. Vidare förklaras även moive ill val av volailiesmodeller som ingår i sudien sam en förklaring och härledning av dessa. Vi avsluar kapile med en förklaring av realized och implici volailie.. Tidigare sudier Om olika sä a prognosisera volailie och illvägagångssäen för a uvärdera dessa esimeringar finns många inernaionella sudier gjorda. Gjorda sudier visar dock ofa skilda resula. Många olika illgångar har använs i sudierna inom ämne dock har sällan volailie i räneinsrumen suderas. Sudierna har uvecklas i ak med nya modeller. Mer komplexa modeller har uvecklas för a ge en bäre räffsäkerhe. Efer Engle (98), som uvecklade Auoregressive Condiional Heeroscedasic (ARCH) processen, kom Bollerslev (986) med Generalized Auoregressive Condiional Heerskedasic (GARCH) processen. Dessa vå processer ar hänsyn ill volailieskluser. Modellerna illåer beingad varians a förändra sig över iden som en funkion av idigare fel vilke lämnar obeingad varians konsan (Ibid). Sedan har fler varianer av modellerna uvecklas. Naurlig har sedan sudier inrikas sig på a försöka sudera precisionen hos dessa olika modeller. Ederingon och Guan (005) suderade förmågan hos de vanligase modellerna a prognosisera volailieen. Inressan är a dem för neuralieens skull undersöke förmågan på olika marknader, bland anna S&P 500 index, Japanska yen/dollar kursen, re månaders eurodollar ränan och 0 åriga reasurybondränan. Modellerna jämfördes sedan uifrån fyra aribu där bland anna rikningen mellan senase och äldre observaioner, skillnaden i prognosiseringsfel mellan enkla och komplexa modeller ingick som aribu. Förfaarna fann här a den så vanliga GARCH(,) lägger en all för sor vik på de senase observaionerna i relaion ill de äldre vilke medför fel i esimeringarna. Torben, Andersen och Bollerslev (998) menar i sina sudier a de går a lia på de vanligase modellerna för volailiesesimeringar. De menar a den kriik som länge 9

10 funnis mo olika modellers duglighe ine är befogad om en väl specificerad modell används i prognosiseringen. Deras sudie visar a volailiesprognosiseringar som ARCH och andra sokasiska modeller har hög korrelaion med framida laena volailiesfakorn. Hansen, Lunde och Nason (003) sudie ugår från a de är svår a finna en enda modell som är den bäsa. De uvecklade isälle en meod, Model Confidence Se (MCS), som väljer u och rankar de bäs preserande volailiesmodellerna. De fann i sin sudie om akieavkasningar på New York Sock Exchange (NYSE), American Sock Exchange och Naional Associaion of Securiies Dealers Auomaed Quoaion (NASDAQ) a av de modeller som ingår i MCS är V- Garch den som sår över de andra.. Model Confidence Se (MCS) För a uvärdera våra olika volailiesmodeller har vi val a följa Hansen, Lunde och Nason (003) som i sina sudier uvecklade Model Confidence Se (MCS) för a med e viss konfidensinervall hia modeller som kan kallas de bäsa i e se av modeller. Förfaarna menar a de är svår a svara på vilken som är den bäsa modellen efersom avkasningarna som suderas ine innehåller illräcklig med informaion för a kunna idenifiera en enskild modell (Ibid). I vår uppsas har vi val a sudera olika volailiesmodeller uifrån e Model Confidence Se där vi allså försöker finna de bäre och sämre preserande modellerna. Dea är en generell meod för a välja bäsa modell/modeller. De vå sörsa skillnaderna mo de radiionella meoderna är a vi ine anas ha en korrek specifikaion eller a de finns en sann modell. En annan fördel är a MCS ine förkasar en modell om de ine har funnis a den är signifikan underlägsen de andra modellerna. De är ofa också mer illalande a arbea med e se av modeller efersom de i prakiken ofa kan vara svår a borse från a vå eller flera modeller är lika bra. (Ibid) Dea gör a MCS- meoden kan anses vara bäre än andra meoder som försöker finna en enda bäsa modell. Vidare beakar MCS begränsningarna i informaionen som kan finnas i den daa som används då e se av modeller välj isälle för en enda modell. Dea minskar risken för a felspecificerad daa kan leda ill e felakig val av modell. 0

11 I vår sudie har vi dela upp iden i en esimeringsperiod, = n..., 0, och en prognosisering och uvärderingsperiod, =,..., n. 0 Esimeringsperiod Uvärderingsperiod Då vår sudie bygger på a besämma de främsa modellerna a prognosisera volailie jämförs varje esimaion med vår implicia/realized variaion. Dea görs i en Loss funkion där varje modells esimaion h i, jämförs med vår implicia/realized enlig Mean Square Error (MSE). Varje modell och esimaion jämförs enlig följande: ( MSE), = L h,, =, i L hi Formel, Skillnaden mellan modell i och j förklaras genom: d = L hi L h j, Formel, ij,,,, I,j=,.,m, =,,n. I dea görs anagande a E, < och a d, } är saionär för alla i,j =,,m. d ij { ij Anagande ovan gäller dock ine h i,, L definiera den bäsa eller de bäsa modellerna, enlig av modeller.. Anagande vi gjor gör de möjlig a {,. m} Vår definiion av de bäre modellerna som ska ingå i vår MCS är: M * { i M : E( ) 0 för alla i, j M } 0 d i, j, 0 M 0 =..., ur e sörre urval Vår empiriska problem är således a finna vilka modeller som ska ingå i, allså de bäre preserande modellerna, och vilka som vi ine anser ska ingå där. Vår * M

12 * skaade MCS M α innehåller de bäre modellerna, M, med en viss sannolikhe, i vår fall 95%. *.. Meod för a finna Model Confidence Se (MCS) Efer uesluande av de ursprungliga modellerna i M 0 som ine kan fassällas ingå i * M finner vi våra kandidaer ill MCS. För varje es suderar vi modellerna enlig hypoesen: H ( ) = 0 för alla i, j M 0 : E d i, j, Dea gör vi för alla våra modeller M M 0. För a undersöka om vi har signifikans för våra modeller använder vi oss av e -es enlig: = d ij, Var d ij, Formel,3 där Var, definieras som * Var( ) d ij n d ij, och medelvärde av våra. I beräkningen VAR vid vår -es väljer vi a ine göra den boosrapping som Lunde, Hansen gör. Isälle görs en modifikaion av denna VAR vilke ine ger e full korrek värde. Dock använs denna förenkling vid samliga es och felmarginalen blir således lika för alla. d ij, d ij, Vi börjar således vår försa es med alla uvalda modeller M = M 0 och om H 0 förkasas plockar vi bor den säms preserande modellen från M. Dea upprepas således ill vi kan accepera vår hypoes och de modeller som då finns kvar är då * MCS, M α. Då vi håller vår signifikansnivå konsan under esen har vi e 95 % * M 0 konfidensinervall för a vår skaning, α, innehåller de bäsa modellerna i M. Måse vi förkasa vår nollhypoes och således ueslua någon av modellerna beräknar

13 n vi följande. Vi definierar d n = ij d ij,, vilke beyder a vi summerar våra Loss funkioner mellan våra modeller. Våra ursprungliga modeller jämförs med varandra, dock endas en gång. Dea innebär a modell i jämför mo j,,m och sedan j mo k,.m dock uan a jämföras mo i denna gång. Dea ger oss sammanlag 55 d ij, d,. Vår ij förklarar sålunda den relaiva presaionen mellan modell i och j vid iden. Vidare beräknar vi modell i s presaion i förhållande ill e medel av de övriga modellerna. Dea för a ueslua den säms preserande modellen. Varje modells presaion beräknas enlig: m d i d j m ij Formel,4 Den modell som visar säms presaion ueslus och vår nollhypoes esas om, denna gång uan vår uesluna modell. Uesluning av den modell som preserar säms sker enlig samma sä som rankingen av modellerna, se näsa avsni. När vår nollhypoes acceperas besår MCS av de kvarvarande modellerna som anses * vara de bäs preserande, i vår fall med 95 % sannolikhe, M α = M. De kvarvarande modellerna kan sedan inbördes rankas för a finna den, enlig vår sudie, bäsa modellen för a prognosisera volailieen. Rankingen av modellerna sker på följande sä. Differensen mellan modell i s prognosisering och realized/implicia volailie kvadreras, dea då vi ine vill a differenserna ska a u varandra. Modell i s differens jämförs sedan mo model j,..m differenser i de så kallade Lossfunkionerna, beskrivna ovan. För varje idpunk,, finns en skillnad mellan modellernas presaion i förhållande ill varandra. Genomsnie av dessa skillnader summeras sedan ihop för varje modell enlig formell,4. Således bör den modell som visar de lägsa ale vara den bäs preserande och den modell med högsa ale vara den säms preserande modellen. 3

14 .3 Volailiesmodeller.3. Vale av modeller Vale av våra modeller som används för våra prognosiseringar grundar sig på idigare sudier i ämne sam de mes omalade modellerna i sudenlierauren. Som beskrevs i inledningen finns olika modeller a illgå både inom veenskapen och bland akörer i finansbranschen, men de går urskilja re dominerade: () variansen eller sandardavvikelsen av avkasningen under en viss period () Exponenially Weighed Moving Average- modellen och (3) GARCH (,) (Ederingon and Guan, 005). Moving Average och Hisorical Mean- modeller är vida använda modeller där yngdpunken ligger på a försöka se mönser bakå i iden. De känns därför naurlig a dessa ska ingå i våra es. Dea gäller även modellen Exponenial Weighed Moving Average. Sudier av Mandelbro (963) och Fama (965) visade a vissa finansiella illgångars avkasning uppvisade volailiesklusering. Dea leder ill idén a dagens och gårdagens volailie kan prognosisera framidens volailie. (Ulu, 007). Den mes använda modellen för a fånga volailiesklusering i finansiella illgångars avkasning är GARCH. Forskare så som Chrisie (98) och Black (976) hävdar a GARCH är en alldeles för resrikiv modell a använda. Dea ledde i sin ur a de framogs olika modifierade volailiesmodeller. (Pagan och Schwer, 990). 99 uvecklade Nelson en mer avancerad GARCH modell, exponenional GARCH, som ar hänsyn ill asymmerin i volailieen vid illkomsen av ny informaion. GARCH och EGARCH är de mes använda och erkända modellerna. För a sedan a fram hur många efersläpande perioder GARCH ska använda undersöker vi vad liknande idigare forskning har använ. Vi diskuerade även ämne med ämneskunniga på Lunds Universie..3. Moving Average model Moving Average är en vida använd modell. Modellen är e ovika genomsni av idigare observaioner och används vid idserieprognosiseringar. (Sadorsky, 006) Vale av perioden för Moving Average- beräkningen sker godycklig. (Brailsford, Faff 996). I vår sudie har vi val rörliga 50 veckorsinervaller som grund för vår daa i Moving Average esimeringen. Ur vår daa beräkningar vi volailieen enlig: 4

15 x x = s Formel,5 (Körner, Wahlgren) n Hel enkel roen ur variansen för varje period där x är varje observaion, x genomsnie av samliga observaioner i perioden och n anale observaioner. Vår modell använder således 50 veckors volailie för prognosiseringen vilke beskrivs av den högra sidan av formeln,5. De senase 50 observaionerna under vår esimeringsperiod ligger allså ill grund för vår försa prognos, dea upprepas sedan igen med 50 nya observaioner ill näsa prognos..3.3 Hisorical mean model I enlighe med den hisoriska modellen är den bäsa prognosiseringen av framida volailieer e genomsni av idigare volailieer. Tillvägagångssäe anar saionära volailiesserier. (Brailsford och Faff, 996) Vi använder även här formel.5 Här bygger våra prognoser om framida volailie på e genomsni av alla idigare observaioner av volailieen. Således bygger vår försa prognos på genomsnie av alla idigare observaioner och därefer fylls modellen på för varje ny observaion. Märk skillnaden med Moving Average där vi använ 50 veckor bakå vid vår prognosisering medan vi här använder samliga veckors observaioner, inklusive de prognosiserade..3.4 Exponenial weighed moving average model (EWMA) I EWMA läggs mer vik på senase observaionerna för a esimera volailieer vilke kan kännas relevan då vi vill arbea med en så akuell daa som möjlig. Enlig följande ekvaion vikar vi idigare observaioner: ( λ) u n = λ n n Formel,6 (Hull) En esimaion av volailieen,, gjord i perioden n- esimeras uifrån och n n u n som är den senase procenuella förändringen i vår ränevariabel. Vikerna för 5

16 observaionerna minskar exponeniell ju längre bak i iden observaionerna kommer. Ekvaionen,6 kan skrivas om enlig följande genom a ersäa n och då skriva: [ λ ( ) ] ( ) λ λ u n = λ n n n Formel,7 eller ( λ)( u λu ) λ n = n n n Formel,8 Lika för n ger 3 ( λ)( u λu λ u ) λ n = n n n3 n3 Formel,9 Som om vi forsäer ger: m i m λ uni λ nm i= ( λ) = Formel,0 n m Som vi ser när observaioner (m) blir sor är sisa delen i ekvaionen,0 ( λ ) illräcklig lien för a ignoreras. i ( ) λ nm λ gör a vikerna för u minskar med λ ju längre bak i iden som går. Varje vik är λ gånger idigare vik. Denna esimering kräver enbar den senase variansen i observaionerna och värde på den senase observaionen. EWMA modellen kan sägas vara en yp av GARCH (,), som förklaras i näsa avsni, där γ =0, α =(- λ ) och β = λ. (Hull) i.3.5 ARCH Empiriska sudier av olika finansmarknader visar a varians ine är konsan över iden. Dea leder ill a de ine går a göra rävisande prognoser på exempelvis prisuvecklingen eller inflaionen. Mandelbro (97) kunde peka på a modellering av finansiella variabler visade ecken på hopbunning av sora och små fel (Mandelbro,97) Perioder med hög volailie följ av perioder med låg volailie kallade han volailieskluser. Dea volailieskluser uppkommer när en modellering 6

17 av finansiella variabler har en varierande felerm. En idsserie som lider av varierande felermer brukar beecknas som en heeroskedasik idsserie. År 98 konsruerade nobelprisagaren Rober Engle modellen AuoRegressive Condiional Heerokedasiciy (ARCH) för a kunna esimera idsserier som uppvisar volailieskluser (Engle, 00). Rober Engle beskrev hur de uppkommer korsikiga svängningar, volailie, på finansmarknaderna när de illförs ny informaion. Modellen bygger på anagande a slumpermerna ine är oberoende av varandra, uan a slumpermens varians beror sysemaisk på idigare realiserade slumpermer. (Engle, 004) Med andra ord varierar slumpermens beingade varians över iden, medan den obeingade variansen är konsan. ARCH modeller är - auoregressiva då de baserar sig på en åerkoppling av idigare värden för a kunna esimera e oregelbunde periodisk förlopp. - beingade då framida förväna värde av variansen har si ursprung från idigare perioders varians. - heeroskedasiska då de slumpmässiga felermerna har skifande varians. Modellen har kommi a bli vida använ vid arbee med idsserier som uppvisar heeroskedasicie och användes försa gången av Engle för a modellera volailieen på Sorbrianniens inflaion (Engle,98) ARCH(p) anar a de finns e långsikig variansmedel och p anal efersläpande som definierar variansen. När de V L används gammal informaion för a prognosisera variansen en period framå kalls för beingad varians. (Feike, Nijman, 993) Modellen skrivs: m = γ α Formel, V L = n där V är långsikig variansen och γ är viken som är kopplade ill V. L L α är viken som anknuis ill felermen. Om man definierar ω = γvl kan man skriva om formel (,) ill: m = ω α Formel, = n 7

18 Måle med modellen är a erbjuda e må på volailieen, i erm av sandaravvikelse. Måe används vid analyser av marknader och prissäning av finansiella verkyg. (Engle, 00).3.6 GARCH Bollerslev (986) uvecklade en annan yp av ARCH modellen, General- ARCH (GARCH). Denna modell illkom för a de konsaeras a variansen beror på re komponener. Dessa komponener är felermen och variansen sam en konsan ω. ( Bollerslev, 987). Den mes använda GARCH- modellen för a beräkna beingad varians är GARCH (,) = ω α β Formel,3 Om resrikionenα β < är uppfylld är obeingad varians för en Garch(,) ω = α β GARCH(p,q) beräknar beingad varians från de p senase observaionerna av och de senase q esimaen av variansen. Formeln skrivs: p q α k k k= j= = ω β Formel,4 j j I formel är α viken som hör ihop med felermen i prognosen och β är den vik som illhör j. Vi valde fyra olika specifikaioner för variansekvaionen. GARCH(,) Formel,5 = ω α β GARCH(,) Formel,6 = ω α β β GARCH(,) Formel,7 = ω α β α GARCH(,) Formel,8 = ω α β β α 8

19 .3.7 EGARCH Modellen EGARCH, som uvecklades av Nelson (99), ar hänsyn ill skevheen i variansspecifikaionen och förekomsen av volailieskluser. Specifikaionen av beingad varians ser u enlig: = = = = q j r k k k k p i i i i j i j i ) log( ) log( γ α β ω Formel,9 Noera a på vänsra sidan är beingad varians loggad. Formeln skrivs på följande sä EGARCH(q,p). Boksaven q är anale idpunker illbaka som variansen beror på sig själv. Informaion om hur många idpunker illbaka som använder felermen går a finna i p. Orsaken ill a denna modell uppsod var a illkomsen av negaiv informaion ökar volailieen mer än vad posiiv informaion gör. Koefficienen γ besämmer vilken informaion (posiiv eller negaiv) som har mes påverkan på beingad varians. Om 0 = γ Asymmeri Om γ > 0 Negaiva chocker ökar volailieen mer än posiiva chocker. Om γ < 0 Posiiva chocker ökar volailieen mer ön negaiva chocker. Vi valde fyra olika specifikaioner för variansekvaionen EGARCH(,) log log = γ α β ω Formel,0 EGARCH(,) log log = γ α γ α β ω Formel, EGARCH(,) log log log = γ α β β ω Formel, EGARCH(,) log log log = γ α γ α β β ω Formel,3 9

20 .4 Esimering av idsserier Fram ill 980-ale anogs makroekonomiska idsserier var saionära. De vill säga a värdena flukuerade kring en linjär rend eller e konsan värde. När dea anagande applicerades på saisik som är icke-saionär ger dea en orikig bild av resulae. I verkligheen enderar många makroekonomiska variabler a växa över iden och ine åervända ill e förväna värde eller rend. (Englund, Persson och Teräsvira, 003). När en idsseries rikning och sorlek besäms av slumpen kan de ine dras några slusaser angående uvecklingen i framiden. För a lösa probleme med icke-saionär idsserie formaeras serien om ill en logarimerad- differenierad idsserie. Den nya idsserien har samma egenskaper som originalserien men visar nu saionärie. En differeniering och logarimering ger då: y = ln r ln r r = ln r Där y är den relaiva förändringen mellan period och -..5 Volailie.5. Implici volailie Då volailie av underliggande illgångars pris är en vikig inpu i prismodeller skapar dea e behov, hos exempelvis handlare på finansmarknaden, a försöka prognosisera volailieen när olika deriva ska värderas. Den volailie som implici kan räknas fram från derivaens marknadspriser borde represenera marknaden bäsa prognos om den framida volailieen. (Becker, Clemens, Whie, 007). Hansen och Chrisiansen (00) menar a give raionella förvänningar använder marknaden all illgänglig informaion för a forma sina förvänningar om framida volailieer. Förfaarna menar även a marknadens esimaion, reflekerad i derivapriserna implici volailie, är den absolu bäsa prognosen give nuvarande illgänglig informaion. De finns olika sä a prissäa deriva, exempelvis Black-Scholes för akieopioner och LIBOR marke model för ränederiva (Hansen, Chrisiansen 00). Priser, srikepris, räna, id ill förfall och volailie är variabler som ingår i dessa modeller. Fördelen med dea är a alla paramerar föruom volailie är observerbara på 0

21 marknaden. Dea möjliggör en marknadsbaserad esimaion av e derivas volailie. (Li, 005). Laande och Rendleman, (976) menar a implicia volailieer är vida använ av den finansiella marknaden i deras undersökningar. Den implicia volailieen är värde av volailieen som ger e pris lika med marknadspris i de olika modellerna som finns för a prissäa deriva..5. Realized volailie Den ökade illgången på informaion om marknadsdaa ger möjligheen a observera inra priser på finansiella illgångar (akier, akieindex, obligaioner, valuor, ). En uveckling inom ekonomeri och kvaniaiv finans uppsod när anagande om realized volailie inroducerades av Anderson och Bollerslev, (998). Inressana egenskaper med realized volailie är a den ger, under vissa förhållanden, en konsisen icke paremerisk esima av illgångens prisvariablilie. (Gio, Laoren, 007). Realized volailiee kan beskrivas som: 5 T h, = R, k R Formel,4 T k= Där R är medelvärde av den logarimerade avkasningen. För a volailieen ska uryckas i årlig volailie mulipliceras de med roen ur 5 som är de ungefärliga anale handelsdagar under e år. (Hansen, 00) De olika inrapriserna kan variera beroende på vilken volailie som undersöks. Exempelvis är en månads realized volailie sandardavvikelsen av indexe dagliga avkasning under perioden (Ibi).

22 3 Meod I Meodkapile redogör vi för undersökningens illvägagångssä. Vi förklarar även djupare vale av ränederiva sam hur dessa hänger ihop. 3. Översiklig arbesgång Den ökande volailieen på ränor har öka inresse för hedgning av olika slag. Bland de vanligase insrumenen för a hedga ränan finns cap, floors och collars. En cap kan beskrivas som en överenskommelse mellan en usällare av en cap (vanligvis en bank) och en lånagare a begränsa ränan från a siga över en förbesämd nivå. Lånagaren väljer en speciell referensräna som han eller hon vill hedga, exempelvis STIBOR i Sverige. Därefer kommer parerna överens om under vilken id och önskad marginal över referensränan som önskas som ak, exempelvis STIBOR00 ränepunker. Om sedan STIBOR skulle siga så a ränan hamnar över de överenskomna ake kompenseras lånagaren av usällaren för denna mellanskillnad. Skulle ränan ine siga över denna nivå händer inge mellan parerna. För a ydlig visa hur en cap fungerar följer e enkel exempel. En lånagare har sina ränekosnader som beror av en marginal över 3-månads STIBOR de kommande 5 åren. För a minska ränerisken i denna siuaion köper lånagaren en 5-årig, 0% cap på 3-månaders STIBOR ränan. Om sedan den, vid e överenskomme 3-månaders inerrvall,, akuella 3-månaders STIBOR, r, skulle översiga den 0 proceniga cap kompenseras lånagaren. Om exempelvis ränan skulle översiga capen med % 3 kompenseras lånagare för dea inervall, =, med SEK(0,-0,0)*0,5=0,005 för varje lånad krona. Så har lånagaren lånad miljon SEK kompenseras denna med 5000 SEK. (Briys, Crouhy och Schöbel, 99). På liknande sä finns de så kallade floors som fungerar som en cap fas precis värom, en garanerad minsa räna. Genom a kombinera dessa vå uppnås en ränekorridor mellan en högsa och lägsa räna, vilke kallas collar. På dea vise har köparen av en collar maximera och minimera sina räneinkomser och kosnader.

23 På caps finns en serie av IRGs (ineres rae guaranee) vilke kan förklaras som en OTC- opion på FRA (Forward rae agreemens) eller fraser som de i daglig mun kallas av ränehandlare. Vi har i denna uppsas val a sudera olika volailiesmodellers förmåga a prognosisera volailie då de är en vikig del i prissäningen av ränederiva. (Ben- Ameur, Breon, Lofi, 007) Vi har därför val a försöka prognosisera volailieen som används vid prissäningen av ovansående deriva på 3-månaders STIBOR ränan. Dea för a sedan sudera vilken modell/modeller som kan anses ge de bäsa esimeringarna. För a göra dea har vi val 3 perioder där vi prognosisera volailieen 5 veckor framå. Prognosiseringarna bygger på 50 veckoobservaioner bakå i iden. Försa perioden innefaas av observaioner mellan fram ill för a sedan prognosisera volailieen 5 veckor framå. Andra perioden innefaas av observaioner mellan fram ill för a sedan prognosisera volailieen de kommande 5 veckorna. Tredje perioden innefaas av observaioner mellan fram ill för a prognosisera volailieen näskommande 5 veckorna. Varje modell ger sålunda en esimering av volailieen vid varje idpunk och benämns h,m som nämndes idigare. Prognoserna om volailieen, h,m, jämförs förs med realized volailie. Kanske än mer inressan för vår undersökning är a vi val a jämföra våra resula mo den implicia volailieen under de re perioderna. Under uppsasen har vi hålli konak med en välkänd svensk bank och deras sörsa ränehandelavdelning placerad i Köpenhamn. Denna konak har resulera i daa över den implicia volailieen vilke är inressan då dea kan uppfaas som marknadens skaning av volailieen. Då vi vill ha vår daa på årsbasis har vi jusera vår dags och veckovolailieer ill årsbasis genom a muliplicera vår daa enlig följande (Dr A.A Kozé): = 5 och = 5. * år dag * år vecka 3

24 4 Resula I kapile preseneras resulaen från våra eser. Inledningsvis preseneras lie beskrivande saisik. 4. Beskrivande saisik Våra modellers prognoser från period och visas i diagrammen nedan. På de högre nivåerna med sörre prognosiserade svängningar ligger samliga av ARCHmodellerna. Exponenial Weighed Moving Average- modellen, Moving Averagemodellen och Hisorical Average-modellen visar mindre svängningar och mer sabil och snäll prognosisering. I appendix ser vi även ränans uveckling under de valda prognosperioderna vilke visar ydliga render i varje period. Dea borde rimligvis även reflekeras i derivaens prissäning. Diagram 4, Modellernas prognosiseringar i period 3,50% 3,00%,50%,00%,50%,00% 0,50% 0,00% 4

25 Diagram 4, Modellerna prognosiseringar i period 3,00%,50%,00%,50%,00% 0,50% 0,00% 4. Resula Våra resula grundar sig på prognosiserade volailieer från våra modeller under re idsperioder. I varje idsperiod har vi en 5 veckors prognosiserad volailie esimerad uifrån 50 veckor observerade volailieer. De prognosiserade esimeringarna jämförs sedan med realized volailie som vi beräkna genom a undersöka dagsvolailieen under samma 5 veckors period. Jämförelse görs även med implicia volailieen som vi få från en svensk bank. I abellen nedan sammanfaas våra ursprungliga modeller som vi använ för våra prognosiseringar. Moving Average = s x x n Exponenial Weighed Moving Average n = m i m λ uni λ nm i= ( λ) 5

26 Hisorcial Average = n x x s GARCH (,) = β α ω GARCH(,) = β β α ω GARCH(,) = α β α ω GARCH(,) = α β β α ω EGARCH(,) log log = γ α β ω EGARCH(,) log log = γ α γ α β ω EGARCH(,) log log log = γ α β β ω EGARCH(,) log log log = γ α γ α β β ω Som ovan förklaras jämfördes sedan dessa esima med realized och implici volailie. För a besämma vilka modeller som ska vara med i vår Model Confidence Se gör vi e -es för a se om vi ska accepera eller förkasa vår. definierades enlig: H 0 H 0 6

27 H ( ) = 0 för alla i, j M 0 : E d i, j, Och vår mohypoes: H ( ) 0 för alla i, j M : E d i, j, Vi börjar med a besämma vilka av modellerna som ska vara med i vår MCS när realized volailie är vår benchmark. I vår försa es förkasar vi nollhypoesen vilke gör a vi måse skaa om vår MCS men då uan den säms preserande modellen. Som vi förklara idigare lear vi upp den modell med sörsa posiiva al på d i : m d i d j m ij Efer funni a EGARCH (,) presera säms skaas vår MCS igen. Efer en ny specificering av ese, nu uan EGARCH (,), förkasas ine vår nollhypoes och acceperas således. De modeller som med 95 % sannolikhe ska ingå i vår MCS kan nu fassällas och rankas inbördes. För a inbördes ranka våra modeller i vår MCS är illvägagångssäe samma som ovan när vi ueslö den säms preserande modellen och som vi förklara i idigare avsni. Vi lear den modell vars d i har de lägsa ale efersom de är den modell som kan anses preseras bäs i förhållande ill de andra. Våra modell i MCS och en ranking av modellerna med realized volailie som benchmark är enlig följande: 7

28 Tabell 4, Modell di Ranking Exponenial Weighed Moving Average -,97 Moving Average -,037 3 Hisorical Average -,067 GARCH (,) -0,789 6 GARCH (,) -0,787 7 GARCH (,) -,045 5 GARCH (,) -,053 4 EGARCH (,) 5, EGARCH (,) 0,608 9 EGARCH (,) 0, Som vi ser i abell ger modellen Exponenial Weighed Moving Average de bäsa volailiesprognosen med realized volailie som benchmark. EGARCH (,) är den som enlig ese har den sämsa presaionen av modellerna som ingår i vår MCS. Nu görs samma procedur fas denna gång med den implicia volailieen som vår benchmark. Vi förkasar även här vår nollhypoes med samliga modeller i vår es. Efer es vå uan EGARCH (,), som agis bor då den hade högs, förkasar vi ine vår nollhypoes och vi har funni de modeller som ska vara med i vår MCS när implicia volailieen är vår benchmark. Modellerna och dess inbördes ranking är följande: d i Tabell 4, Modell di Ranking Exponenial Weighed Moving Average -,344 3 Moving Average -,3639 Hisorical Average -,356 GARCH (,) -0,907 6 GARCH (,) -0,848 7 GARCH (,) -,80 4 GARCH (,) -,433 5 EGARCH (,) 5, EGARCH (,), EGARCH (,) 0,

29 Som vi ser i abell innehåller vår MCS samma modeller men nu har ranking ändras någo. Med implici volailie som vår benchmark ger modellen Moving Average de bäsa resula medan EGARCH (,) visar de sämsa resulae. 9

30 5 Analys och diskussion av resula I dea kapiel analyseras våra resula. Kapile inleds med en kor sammanfaning av resulaen. Senare analyseras och diskueras våra resula uifrån eorier och idigare forskning. Kapile avslua med en uvärdering och sludiskussion om Model Confidence Se. 5. Inledning Uifrån våra resula ser vi a modellen EGARCH (,) ska uesluas innan vi finner vår Model Confidence Se. Dea gäller oavse om realized eller implici volailie fungerar som benchmark. Vi ser också a alla ARCH-modeller, som innefaar alla GARCH och kvarvarande EGARCH- modeller, under båda våra benchmark preserar sämre än Exponenial Weighed Moving Average- modellen, Moving Averagemodellen och Hisorical Average-modellen. Våra resula visar många likheer oavse om vi använder realized eller den implicia volailieen som benchmark dock får vi en förändring i den inbördes rankingen mellan modellerna. Vår analysavsni kommer a ugå från ovan beskrivna siuaioner och resula. 5.. Modeller i Model Confidence Se (MCS) Vår försa seg i sudien är a med hjälp av Model Confidence Se försöka dela in våra modeller uifrån dess förmåga a prognosisera volailie, allså försöka skilje de bäre preserande modellerna från de sämre. De bör här påpekas a med bäre modeller menar vi a de ingår i vår MCS med en viss sannolikhe, i vår fall 95 %. Då vi har signifikans i vår MCS när EGARCH (,) ine ingår kan vi med 95 % sannolikhe säga a de kvarvarande 0 modellerna bör ingå i vår MCS. Med dea resula bör slusasen således vara a dessa 0 modeller (se abell 4, och 4,) är de bäs preserande modellerna. Vi förkasar allså EGARCH (,)- modellen. Vad kan då vara förklaringen ill a denna modell anses vara underlägsen de övriga i denna sudie? Modellerna i MCS ingår där efersom deras MSE (Mean Square Error), av respekive prognosisering, är 30

31 i genomsni likarade. Dea beräknade vi uifrån Lossfunkionerna. Således bör en modell, i dea fall EGARCH (,), som ine ingår i MCS ha en MSE som signifikan skiljer sig från de övriga modellernas MSE. Då definiionen av MSE är: ( MSE) L h L h = i,, = i,, allså skillnaden mellan prognosen och ufalle av vår benchmark, preserar således modellen i genomsni sämre än de övriga modellerna. I diagramme nedan ser vi ydligen hur EGARCH (,)-modellens MSE skiljer sig från de övriga modellerna i MCS. Dea för våra båda benchmarks. I diagram 5, visas varje modells MSE med realized volailie som benchmark. Diagram 5, redovisar varje modells MSE när implici volailie används som benchmark. MSE-sammansällning Diagram 5, EGARCH (,) EGARCH (,) 3

32 Diagram 5, EGARCH (,) EGARCH (,) Som ovan visas ser vi a EGARCH (,) innehåller några höga MSE- värden vilke roligen kan förklara modellens insignifikans då MSE krierie är känslig för exremvärden (Lunde, Hansen, 005). EGARCH (,) används ursprungligen (Nelson, 99) för a a hänsyn ill den asymmeriska relaionen mellan akieavkasningen och dess volailiesförändring. Möjligvis skulle dea kunna påverka resulae när modellen implemeneras på ränevolailieer och dess förändringar. Ränor och akier har ine samma rörelsemönser vid illkoms av ny informaion. Vidare kan en viss försämring av prognosiseringarna ske i EGARCH (,) efersom prognoser en bi längre fram i iden i sin ur baseras på prognoser, e problem vi åerkommer ill och förklarar mer ingående längre fram Ranking Som vi ser i abellerna nedan visar våra modellers ranking e liknande mönser oavse om de är realized eller implici volailie som används som benchmark. Vi rankar modellerna enlig: d j m m i d ij och som vi förklara idigare är modeller med lägre d i bäre preserande i relaion ill de andra modellerna. Den säms rankade modellen är, som vi ser i abellen, EGARCH (,). Genom a sudera diagram 5, och 5, ser vi ydlig hur denna modells MSE avviker från de övrigas, dock ej illräcklig för a kunna förkasa modellen. Inressan är a ARCHmodellerna preserar sämre i båda fallen. Dea kan ha många orsaker men en av dessa 3

33 kan vara a esimeringarna i en ARCH-modell delvis bygger på egna prognosiseringar. Allså, den försa prognosen i en ARCH-modell bygger på idigare verkliga värden medan näskommande esimeringar bygger på den försa prognosen osv. Dea leder roligen ill en viss försämring i den prognosiserade volailieen vilke skulle kunna förklara nedansående mönser. För a hindra denna försämring skulle Dros och Niijman (993) frekvensranformaion kunna användas för a jusera denna felprognosisering vilke möjligen skulle kunna förändra resulae i rankingen. Dock ror vi a vår idsperiod är så pass kor så dea ine skulle ha någon inverkan på vår resula då denna ransformeringen behövs i sudier med längre idsperioder. Orsaker ill a modellerna Moving Average, Hisorical Average och Exponenial weighed Moving Average får en högre ranking i vår sudie kan vara a dessa ger mer snälla prognosiseringar. I modellerna Hisorical och Moving Average vikas idigare daa lika vilke gör a ingen hänsyn as ill den senase perioden vilke kan leda ill en mer snäll prognos då de ine ger några exremvärden. Rimligvis skulle de kunna vara förklaringen ill a dessa modeller ros all ine används i samma usräckning som ARCH-modellerna. I prakiken är de vikig a en modell även prognosiserar de sörre svängningar som kan änkas uppkomma. Den ränerisk som finns och påverkar främs finansiella insiuioner, ränemarknaden sam fasighesmarknaden är vikig a uppskaa korrek. Förbärade sä a modellera dessa förändringar i ränan ger inveserare bäre möjligheer a använda deriva på e effekiv sä i sin srävan a minska sin riskexponering. (Guillermo, Ewing, Hein, Thompson, 005) En modell som i genomsni preserar bäre än andra men missar sörre kommande svängningar kan bli kossam då en felprissäning av dessa derivae kan uppså. Tabell 5, 33

34 Modell di Ranking Exponenial Weighed Moving Average -,0 Hisorical Average -,07 Moving Average -,04 3 GARCH (,) -,053 4 GARCH (,) -,045 5 GARCH (,) -0,789 6 GARCH (,) -0,79 7 EGARCH (,) -0,550 8 EGARCH (,) -0,608 9 EGARCH (,) 5,538 0 Tabell 5, Modell di Ranking Moving Average -,3639 Hisorical Average -,356 Exponenial Weighed Moving Average -,344 3 GARCH (,) -,80 4 GARCH (,) -,433 5 GARCH (,) -0,907 6 GARCH (,) -0,848 7 EGARCH (,) 0, EGARCH (,), EGARCH (,) 5, Uvärdering av Model Confindence Se (MCS) och en sludiskussion I denna uppsas har vi använ MCS för a finna de volailiesmodeller som enlig vår sudie är överlägsna andra. Med hjälp av MCS har vi sedan ranka dessa modeller inbördes. MCS är e användbar verkyg vid val av överlägsna prognosiseringsmodeller från e urval. (Lunde, Hansen, 003) Fördelarna med MCS är a de ine behövs samma informaionsmängd som vid andra meoder för a finna överlägsna modeller. Kunskap om daaninsamlingsprocessen och en opimal prognosmodell behövs ine heller i samma usräckning som i andra meoder. Orsaken är a MCS ar hänsyn ill den ibland begränsade daainformaionen som ligger ill grund för olika modeller. En annan orsak är a MCS ine försöker finna en enda överlägsen modell uan e se av bäre preserande modeller. (Ibid) Dessa fördelar är både idssparande och minskar risken för val av fel modell vilke kan vara förödande i 34

35 många siuaioner. För en analyiker idag är vale av volailiesmodeller e vikig beslu. Dea gör de beydelsefull a på e relaiv effekiv sä få en överblick över vilka modeller som kan anses vara bäre preserande. Tiden för informaionsinsamling kan vara omfaande hos många meoder då urvale av modeller är mycke sor. A då använda MCS som meod för a finna dessa modeller anser vi borde vara e bra hjälpmedel då fördelarna är som beskrivis många. MCS är en meod som ger all den informaion som behövs då den dels delar in urvale i bäre och sämre preserande modeller sam rankar dessa inbördes. 35

36 6 Slusas Kapile redogör på e korfaa sä sudiens syfe sam resula. Avsluningsvis sammanfaas även kor vår analys av resulae. Syfe med vår uppsas var a med hjälp av Model Confidence Se (MCS) finna de bäre preserande modellerna bland de mes kända och undervisade volailiesmodellerna. Vidare har vi även ranka dessa modeller inbördes. Efersom prognoser om volailieen är mycke vikig vid prissäningen på deriva, i dea fall e ränederiva, är ämne sändig inressan. Med Model Confidence Se fann vi e se av bäre preserande modeller uifrån vår urval av ursprungliga modeller. Av de modellerna som ingick i sudien förkasades endas EGARCH (,) vilke innebär a denna ine anses ska ingå i Model Confidence Se. Denna modell förkasades under båda våra benchmarks, realized sam implici volailie. I vår resula diskuerade vi orsaken ill a EGARCH (,) ine ska ingå i MSC. En möjlig förklaring kan vara a MCS är känslig för exremvärden på MSE (Mean Square Error) vilke vi kan se endenser ill hos EGARCH (,)-modellen. Vidare gjordes även en inbördes ranking mellan modellerna. Denna ranking gjordes med båda våra benchmarks och gav relaiv lika resula. Nedan visas denna ranking. Tabell 6, med Realized volailie som benchmark och abell 6, med den implicia volailieen som benchmark. Tabell 6, Modell di Ranking Exponenial Weighed Moving Average -,97 Moving Average -,037 3 Hisorical Average -,067 GARCH (,) -0,789 6 GARCH (,) -0,787 7 GARCH (,) -,045 5 GARCH (,) -,053 4 EGARCH (,) 5, EGARCH (,) 0,608 9 EGARCH (,) 0,

37 Tabell 6, Modell di Ranking Moving Average -,3639 Hisorical Average -,356 Exponenial Weighed Moving Average -,344 3 GARCH (,) -,80 4 GARCH (,) -,433 5 GARCH (,) -0,907 6 GARCH (,) -0,848 7 EGARCH (,) 0, EGARCH (,), EGARCH (,) 5, Som vi ser preserar i båda fallen EGARCH (,) säms i förhållande ill de övriga modellerna i Model Confidence Se. Som visades i resulae uppvisar EGARCH (,)-modellen några exremvärden i sin MSE vilke förklarar denna sämre presaion. Generell preserade våra ARCH-modeller sämre än de övriga. Dea analyserades uifrån a ARCH-modellernas prognos bygger egna prognoser. Allså, den försa prognosen i en ARCH-modell bygger på idigare verkliga värden medan näskommande esimeringar bygger på den försa prognosen osv. En av orsakerna ill a modellerna Moving Average, Hisorical Average och Exponenial weighed Moving Average får en högre ranking i vår sudie diskuerades uifrån möjligheen a dessa modeller ger mer snälla prognosiseringar än ARCH-modellerna. 37

38 Referenser Andersen, G. Torben., Bollerslev, Tim., Answering he scepics:yes, Sandard Volailiy Models do Provide Accurae Forecass. Inernaional Economic Review, Vol. 39, No. 4, (Nov., 998), pp Becker Ralf., Clemens Adam E., Whie Sco I., Does implied volailiy provide any informaion beyond ha capured in model-based volailiy forecass? Journal of Banking & Finance, 3, (007), Ben-Ameur, Haem., Breon Michele, Karoui Lofi, L Ecuyer, Pierre. A dynamic programming approach for pricing opions embedded in bonds. Journal of Economic Dynamics & Conrol 3 (007) -33. Bollerslev Tim., A Condiionally Heeroskedasic Time Series Model for Speculaive Prices and Raes of Reurn. The Review of Economics and Saisics, Vol. 69, No. 3, (987), pp Bollerslev, Tim., 986. Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics 3 (986) Norh-Holland Brailsford Timohy, T,J., Faff R,W., An evaluaion of volailiy forecasing echniques. Journal of Banking & Finance, vol. 0, No. 3, (996), pp Briys Eric, Crouhy Michel, Schöbel Rainer., The Pricing of Defaul-Free Ineres Rae Cap, Floor, and Collar Agreemens. Journal of Finance vol. 46, No. 5, (99), pp Dros Feike C., Nijman Thoe E., Temporal Aggregaion of Garch Processes. Economerica: Journal of he Economeric Sociey vol. 6, No. 4, (993), pp

39 Ederingon, Louis H., Guan, Wei Forecasing Volailiy. The Journal of Fuures Markes, Vol. 5, No. 5, Engle Rober., GARCH 0: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Economerics. Journal of Economic Perspecives. Vol. 5, No. 4, (00), pp Engle, Rober., Auoreggresive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance Unied Kingdom Inflaion. Economerica, Vol. 50, No. 4, (Jul., 98), pp Engle, Rober., Paon, Andrew, J. Wha is a good volailiy model? Quaniaive Finance.Vol., No., (00), pp Engle, Rober., Risk and Volailiy: Economeric Models and Financial Pracise. The American Economic Review, Vol. 94, No. 3, (004), pp Enlgund Peer, Persson Torsen, Teräsvira Timo, Saisiska meoder för ekonomiska idsserier. Ekonomisk Deba (003) årg.3, nr 8. Feike C., Nijman Theo E., Temporal Aggregaion of GARCH Processes. Economerica, Vol. 6, No. 4. (Jul., 993), pp Gio Pierre., Lauren Sebasian., The Informaion conen of implied volailiy in ligh of he jump/coninuous decomposiion of realized volailiy. Journal of Fuures Markes, Vol. 7, No.4, (007), Guillermo Covarrubias, Bradley T. Ewing, Sco E. Hein, Mark A. Thompson (005). Modeling volailiy changes in he 0-year Treasury. Physica A: Saisical Mechanics and is Applicaions, Vol. 369, No., (006) Haiao, Li., Feng, Zhao., 006. Unspanned Sochasic Volailiy Evidence from Hedging Ineres Rae Derivaives. Journal of Finance, VOL. 39

40 Hansen Charloe, Chrisiansen Charloe, Implied Volailiy of Ineres Rae Opions: An Empirical Invesigaion of he Marke Model. Review of Derivaives Research vol. 5, No., (00), pp Hansen Reinhard Peer., Lunde Asger., A forecas comparison of volailiy models: does anyhing bea a GARCH(,)?. Journal of Applied Economerics. Vol. 0, No. 7, (005), pp Hansen Reinhard Peer., Lunde Asger., Nason M. James., Choosing he Bes Volailiy Models: The Model Confidence Se Approach. Oxford Bullein of Economics and Saisics, Vol. 5, No., (003), pp Hull John., Whie Alan., Roman Joseph L., Forward rae volailiies, swap rae volailiies, and implemenaion of he LIBOR marke model. The Journal of Fixed Income, Vol. 0, No., (000), pp Laane H.A., Rendleman R J., Sandard deviaion of sock price raios implied by opion premia. Journal of Finance 3, (976), Li Seven., A new formula for compuing implied volailiy. Applied Mahemaics and Compuaion., Vol. 70, No.. (005), pp Mandelbro Benoi B., Correcion of an Error in "The Variaion of Cerain Speculaive Prices". Journal of Business vol. 45, No. 4, (97), pp Nelson Daniel B., Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Approach. Economerica, Vol. 59, No., (99), pp Pagan Adrian R., Schwer G. William., Alernaive models for condiional sock volailiy. Journal of Economerics vol. 45, No. -, (990), pp Sadorsky Perry, Modeling and forecasing peroleum fuures volailiy. Energy Economics, vol. 8, No. 4, (006), pp