Tidsserieanalys. Vad karaktäriserar data? Exempel:

Transkript

1 Tidsserieanalys Exempel: Vad karakäriserar daa? Observaionerna är ine oberoende Observaionerna ger e mönser över iden ex sigande värden med iden ex periodisk variaion över en idsperiod av besämd längd

2 Exempel på idsseriedaa Olika yper av ekonomiska daa: Arbeslöshessiffror Försäljningsvärden Konsumenprisindex och andra index Expor- och impormängder Miljömädaa: Fosforhal i havsvaenbassänger Ozonhal i lufrumme över en sorsad

3

4 Modeller för idsseriedaa Tidsserieregression: Daa y Daa y där ec. = TR med endas linjär rend : = β + β Daa y 0 = TR + ε = 1 med kvadraisk rend : 0 = TR + ε = = β + β + ε = 1om iden s.k."säsongdummies" med linjär rend och säsongsvariaion : 0 i, 1 + SN = β + β x 1 + β + β 2 + ε = s1 2 x + ε 1, + β s2 x 2, är i säsong i β och = TR sår här för rendfunkionen i modellen s11 x 11, 0 annars, + ε

5 Skapande av säsongdummies x 1, x 2,, x 11 : sold ime monh x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x

6 Sa Regression Fied Line plo

7 Regression Analysis: sold versus ime The regression equaion is sold = 5,78 + 0,0430 ime Predicor Coef SDev T P Consan 5,7761 0,9429 6,13 0,000 ime 0, , ,26 0,215 S = 3,181 R-Sq = 3,4% R-Sq(adj) = 1,2% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 16,00 16,00 1,58 0,215 Residual Error ,27 10,12 Toal ,28

8 Sa Regression Regression

9 Regression Analysis: sold versus ime, x1,... The regression equaion is sold = 3,65 + 0,0285 ime - 1,69 x1-0,47 x2 + 2,75 x3 + 1,22 x4 + 6,20 x5 + 2,42 x6 + 8,14 x7 + 6,36 x8 + 0,58 x9 + 2,55 x10 + 1,02 x11 Predicor Coef SDev T P Consan 3,6491 0,8526 4,28 0,000 ime 0, , ,92 0,063 x1-1,691 1,028-1,65 0,109 x2-0,469 1,027-0,46 0,651 x3 2,752 1,026 2,68 0,011 x4 1,224 1,026 1,19 0,241 x5 6,195 1,025 6,04 0,000 x6 2,417 1,025 2,36 0,024 x7 8,138 1,025 7,94 0,000 x8 6,360 1,026 6,20 0,000 x9 0,581 1,026 0,57 0,575 x10 2,553 1,027 2,49 0,018 x11 1,024 1,028 1,00 0,326 S = 1,342 R-Sq = 87,0% R-Sq(adj) = 82,4% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,031 34,169 18,97 0,000 Residual Error 34 61,246 1,801 Toal ,277

10 Fungerar saisisk som vanlig regression Tolkning av paramerar: Predicor Coef SDev T P Consan 3,6491 0,8526 4,28 0,000 ime 0, , ,92 0,063 x1-1,691 1,028-1,65 0,109 x2-0,469 1,027-0,46 0,651 x3 2,752 1,026 2,68 0,011 x4 1,224 1,026 1,19 0,241 x5 6,195 1,025 6,04 0,000 x6 2,417 1,025 2,36 0,024 x7 8,138 1,025 7,94 0,000 x8 6,360 1,026 6,20 0,000 x9 0,581 1,026 0,57 0,575 x10 2,553 1,027 2,49 0,018 x11 1,024 1,028 1,00 0,326 Give a vi håller oss inom en månad ökar sales med i genomsni 0,0285 enheer per idsenhe I januari sjunker sales med i genomsni 1.69 enheer, i mars ökar sales med i genomsni 2.75 enheer ec. Residualanalys bör göras för a konrollera om villkoren för regression är uppfyll: Oberoende residualer Normalfördelade residualer (för a kunna lia på esen) Residualer med konsan varians (inga srumönser)

11 Vanligvis är ine oberoendeanagande uppfyll. Följs residualerna å eller är de mer sammanhängande här?

12 Tes av oberoende (Durbin-Wason) d n ( e = 2 = n = 1 e e 2 ) 2 1

13 Durbin-Wason s es bedömer om s k ensegs auokorrelaion eller seriell korrelaion förekommer bland residualerna: Corr(e,e -1 ) Posiiv auokorrelaion innebär a värdena följs å: en posiiv residual åföljs ofas av en annan posiiv residual, en negaiv residual åföljs ofas av en annan negaiv residual. Negaiv auokorrelaion innebär a en posiiv residual ofas åföljs av en negaiv residual och vice versa.

14 MTB > regress sold' 1 'ime'; SUBC> DW. Regression Analysis: Sold versus ime The regression equaion is sold = ime Predicor Coef SE Coef T P Consan ime S = R-Sq = 3.4% R-Sq(adj) = 1.2% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Toal Unusual Observaions Obs ime Sold Fi SE Fi Residual S Resid R R R denoes an observaion wih a large sandardized residual Durbin-Wason saisic = 1.51 d

15 Bedömningen av d görs enlig följande approximaiva umregler (abeller för mer ordenlig bedömning finns men ine i den akuella kursboken) Om d är nära 2Ł Ingen signifikan auokorrelaion Om d är < 1 Ł Signifikan posiiv auokorrelaion Om d är > 3 Ł Signifikan negaiv auokorrelaion 1.51 i vår analys är varken lägre än 1 eller högre än 3Ł Ingen auokorrelaion kan påvisas.

16 Vissa idsserier har s k exponeniell rend: y = β0 β1 δ Modell: y β β = 0 1 δ där β 0 och β 1 är konsaner och δ är en muliplikaiv felerm med vänevärde 1. Modellen logarimeras och analyseras sedan med regression som vanlig. Jämför avsnie om exponeniella modeller.

17 Klassisk komponenuppdelning En idsserie kan änkas beså av e anal komponener: 1) Trend, som beskriver en långsikig ökning (eller minskning) i nivån hos värdena. '!(! Vid idpunken beecknas denna komponen TR "$! 2) Säsong(svariaion) som beskriver förändringsmönsre inom vanligvis e år (förändring från kvaral ill kvaral, från månad ill månad ec.) Vid idpunken beecknas denna komponen SN '!( )* "$! 3) Cyklisk variaion, som beskriver långsikiga svängningar i nivån hos värdena (konjunkurvariaioner, meeorologisk variaion) '!( +,-- Vid idpunken beecknas denna komponen CL "$! 4) Oregelbunden variaion: Sådan som ej kan förklaras, beecknas IR

18 "$! '!(! Trenden är som regel ganska målig, men givevis dominerande för exponeniell växande idsserier. Trenden kan annars vara linjär (som kanske här) eller kvadraisk '!( )* Säsongsvariaion brukar vara den mes dominerande och som ger idsserien dess sändig svängande mönser "$! '!( +,-- Den cykliska variaion är för kora serier närmas obefinlig och syns bäs i långa idsserier av speciell naionalekonomisk karakär "$! Vanlig är (som i AJÅ) a rend och cyklisk komponen hålls ihop ill en, ofas beecknad TC. Orsaken är a vissa analyiker ine vill ala om för långsikiga render uan menar a den cykliska variaionen ingår i de man avser med rend

19 Modeller för klassisk komponenuppdelning: Denna beskrivning överenssämmer ine hel med AJÅ, men är mer fullsändig Som idigare beecknar vi idsseriens värde vid idpunken med y Muliplikaiv modell: y = TR SN CL IR Karakäriseras av a säsongseffeker och cykliska mönser verkar muliplikaiv på nivån hos idsserien. Ju högre nivå deso sörre säsongsvariaion. Passar bra för ekonomiska daa som ofa har den karakären Addiiv modell: y = TR + SN + CL + IR Denna modell passar bäre för idsserier där säsongsvariaionen ine har särskil mycke med nivån a göra (ofas där mänskliga fakorn ine är lika dominan) Passar bra för naurveenskapliga daa (variaion i vaenflöden, naurlig nedbryning av näringsämnen i mark, nederbörd mm.)

20 1. Säsongrensning: Skaning av komponener, arbesgång Säsongkomponenen är den komponen som varierar mes och med dea överskuggar de övriga komponenerna. Serien rensas från säsongkomponenen genom beräkning av s k cenrerade och vikade glidande medelvärden (cenered moving avereages): CMA = y ( L / 2) + y ( L / 2 1) y y+ ( L / 2 1) 2 + y+ ( L / 2) L 2 där L=Anal säsonger i serien (L=2 för halvårsdaa, 4 för kvaralsdaa och 12 för månadsdaa)

21 Exempel (sales daa från idigare) "$! & & & &

22 Sold Tim Mon CMA e () h * * * * * * CMA 7 =( )/24 = CMA 8 =( )/24 = CMA 9 =( )/24 =

23 Trend och cyklisk komponen (TC ) skaas illfällig (grov) av CMA.!" '!(."/ "$! & & & &

24 Grova säsongkomponener erhålls genom y /CMA i en muliplikaiv modell y CMA i en addiiv modell Medelvärden av dessa bildas över alla säsonger, ex vid månadsdaa bildas medelvärden av alla grova säsongkomponener för januari, för februari, ec. Ł Toal L medelvärden. Medelvärdena juseras så a de vid muliplikaiv modell får medelvärde 1, dvs. summan av alla juserade säsongmedelvärden skall bli L (4 för kvaralsdaa, 12 för månadsdaa). vid addiiv modell får medelvärde 0, dvs. summan av alla juserade säsongmedelvärden skall bli 0. Slulig skaade säsongkomponener blir dessa juserade medelvärden och beecknas sn 1, sn 2,, sn L

25 Exempel, fors Med muliplikaiv modell får vi Tid Mån. Sold CMA Grova säs.kom. Tid Mån. Sold CMA Grova säs.kom * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

26 Medelvärden av grova säsongkomponener: Juli: ( )/ Aug: ( )/ Sep: ( )/ Ok: ( )/ Nov: ( )/ Dec: ( )/ Jan: ( )/ Feb: ( )/ Mar: ( )/ Apr: ( )/ Maj: ( )/ Juni: ( )/ Obs! Bara vå värden här! och här!

27 Summan av de beräknade medelvärdena: ) Summan skall bli L=12 För a få den ill 12 mulipliceras samliga medelvärden med 12/ Alernaiv kan samliga medelvärden divideras med medelvärde av dem, dvs. divideras med /12, vilke ju blir samma sak.

28 Slulig skaade säsongkomponener: Jan: sn 1 = Feb: sn 2 = Mar: sn 3 = Apr: sn 4 = Maj: sn 5 = Juni: sn 6 = Juli: sn 7 = Aug: sn 8 = Sep: sn 9 = Ok: sn 10 = Nov: sn 11 = Dec: sn 12 =

29 Obs! Värdena hos denna komponen varierar run 1 vid muliplikaiv modell och run 0 vid addiiv modell "$! & & & & Ł Ingen sörre mening a ploa denna komponen illsammans med y

30 Tidsserien säsongrensas genom y y / * = vid muliplikaiv modell sn y * = y vid addiiv modell sn sn där är någo av värdena sn,, sn 1 L beroende på vilken av säsongerna som mosvarar.

31 Exempel, fors Tid Mån. Sold y sn y * Tid Mån. Sold y sn y *

32 $ '!(,0 "$! & & & &

33 2. De säsongrensade värdena används för a skaa rendkomponen Tillämpa regressionsanalys på de säsongrensade värdena. Skaa en linjär eller kvadraisk rend TR. Ł r $ '!(,0! "$! & & & &

34 3. Cyklisk och oregelbunden komponen: Om cyklisk komponen ej finns med: Residualerna från regressionsanalysen ugör skaning av ermen IR i den klassiska modellen.ł ir Om cyklisk komponen finns med: Skaa cyklisk och oregelbunden komponen ihop (dvs. sära ej på dem) med ( cl ir) ( cl + ir) = = r y y sn ( r + vid muliplikaiv modell sn ) vid addiiv modell

35 Även värdena hos denna komponen varierar run 1 vid muliplikaiv modell och run 0 vid addiiv modell % % "$! & & & & Ł Ingen sörre mening här heller a ploa denna komponen illsammans med y

36 Den cykliska komponenen skaas nu genom e cenrera ovika glidande medelvärde: cl = ( cl ir) vid muliplikaiv modell cl = ( cl + ir) m m vid addiiv modell + ( cl ir) + ( cl + ir) ( m 1) ( m 1) ( cl ir) 2 m ( cl 2 m ir) + ( cl ir) + ( cl ir) ( cl ir) + ( cl + m + ir) + m och den oregelbundna komponenen skaas sluligen som ir ir ( cl ir) = cl = ( cl + ir) cl vid muliplikaiv modell vid addiiv modell

37 2m+1 väljs i regel ill någo av värdena 3, 5, 7, 9, 11, 13 Hur m skall väljas besäms genom a ia på den sluliga skaningen av IR m väljs så a auokorrelaionen och variansen för dessa värden blir så låg som möjlig. 2m+1 kallas anal punker i de glidande medelvärde

38 Exempel, fors Glidande medelvärde med 2m + 1 = 5 (dvs. m = 3) &'()* +1! + "$!

39 Miniab kan användas för komponenuppdelning med Sa Time series Decomposiion Muliplikaiv modell är dock någo annorlunda i Miniab: y = TR SN + IR Val av modellyp Möjlighe a välja komponener, men dock begränsa

40 Säsongrensade daa Tidsskalan säs någo annorlunda här

41 Time Series Decomposiion for sold Muliplicaive Model Daa sold Lengh 47 NMissing 0 De här är r men anges någo missvisande som Y Fied Trend Equaion Y = * Seasonal Indices Period Index Dessa blir någo annorlunda jämför med handräkningen idigare p g a a modellen är någo annorlunda Accuracy Measures MAPE MAD MSD

42 Vad sår måen MAPE, MAD och MSD för? Alla re är må på anpassning och kan delvis jämföras med MSE i den mulipla regressionen: MSD = 1 n n ( y yˆ ) = 1 2 Mean Square Deviaion Denna är den som är mes lik MSE. Noera dock a vi dividerar med n och ine med n k 1. Orsaken är a vi här ine har någon regressionsmodell med paramerar, yp σ 2 som skall skaas vänevärdesrikig. MSD är bara e må på anpassning som kan jämföras mellan olika modeller. Sorleksmässig kan dock MSD jämföras med MSE från idsserieregressionen och är skillnaden markan kan vi också se vilken av modellerna som får bäs anpassning.

43 MAD = 1 n n = 1 y y Mean Absolue Deviaion MAD mäer direk anpassning som MSD men skillnaden är a här ar vi absoluavvikelser isälle för kvadraiska avvikelser. De blir allså sor skillnad på värdena mellan MAD och MSD och de skall ine jämföras inom en modell. MAD är mindre känslig för avvikande värden och blir mer användbar när vi har någo ensaka värde som uppräder konsig, ex a campinginäkerna en viss sommar är exrem låg p g a a de har regna hela juli. Yerligare en fördel med MAD är a dess värde är i samma skala som y - observaionerna själva, vilke gör de läare a olka

44 MAPE = = 1 y y n 1 Mean Absolue Percenage Error n yˆ Måe går också på absolua avvikelser, men mäer dem relaiv nivån hos y. Vi får allså relaiva (procenuella) avvikelser isälle för absolua avvikelser. Måe är prakisk för muliplikaiva modeller där den oregelbundna komponenen (IR ) är ganska beydande, efersom avvikelserna då blir sora när vi har sora värden på y och vice versa. Gemensam för alla re må är a de skall vara så små som möjlig. Vid val mellan ex addiiv modell och muliplikaiv modell kan de hända a någo av måen är högre för den ena modellen mellan e anna må är lägre. De gäller allså a olka måen med viss förnuf.

45 Till analysen följer auomaisk (men kan väljas bor) re diagram: ( "&7+8" '!( /+& 5 6! /++&!+,"&! "/23 "/4 "4 +%

46 (" "&7+8" +% +% ", -",-- +% +%

47 " "&7+8" +

48 Skaade rend- och säsongkomponener har lagras i kolumnerna TREN1 resp. SEAS1 Beräkning av (cl ir ) kan göras genom a dividera originaldaa med produken av dessa vå CLIR1=Sold/(TREN1 SEAS1) Den cykliska komponenen skall nu skaas genom beräkning av glidande medelvärden på CLIR1

49 Sa Time Series Moving Average Anal punker i de glidande medelvärde

50 Sparar de glidande medelvärdena, dvs. den skaade cykliska komponenen i en ny kolumn, som får namne AVER1 Vi vill se de glidande medelvärdena och ine hur de kan användas för a beräkna esegsprognoser

51 !" '!( /+& $ "8*/ 8!* 9*$ /++&!+,"&! "/ 23 "/4 "4 "$!

52 Den oregelbundna komponenen (IR) skaas sluligen genom a dividera CLIR1 med AVER1 De resulerade värdena suderas sedan med avseende på spridning, s och seriell korrelaion, Corr ( ir, ir -1 ) 2m+1 s Corr(ir,ir -1 )

53 !" '!( /+& $ "8*/8!* 9*$ /++&!+,"&! "/ 23 "/4 "4 "$!

54 Seriella korrelaioner kan enkel beräknas med Sa Time series Lag och sedan Sa Basic saisics Correlaion eller manuell i Session window: MTB > lag IR6 c125 MTB > corr IR6 c125

55 Analys med addiiv modell:

56 Time Series Decomposiion for sold Addiive Model Daa sold Lengh 47 NMissing 0 Fied Trend Equaion Y = * Inga sörre skillnader i skaad rend Seasonal Indices Period Index Accuracy Measures MAPE MAD MSD Dessa blir hel annorlunda jämför med muliplikaiv modell (summerar ill 0 isälle för ill 1) Dessa blir alla någo lägre än vid muliplikaiv modell vilke indikerar a den addiiva modellen är någo bäre

57 ( /8" '!( /+& 5 6! /++&!+,"&! "/23 "/4 "4 addiiv muliplikaiv "$! ( "&7+8" '!( /+& 5 6! /++&!+,"&! "/23 "/4 "4 +%

58 muliplikaiv! "$! "$! "$! "$ (" /8" ", -",-- +% +% +% +% (" "&7+8" ", -",-- muliplikaiv " /8" + " "&7+8" +