ARMA-, ARIMA, (S)ARIMA Modernare metoder för tidsserieanalys och prognoser. Något om val mellan olika metoder

Transkript

1 Någo om val mellan olia meoder Give är en observerad idsserie: y 1 y 2 y n ARMA- ARIMA (S)ARIMA Modernare meoder för idsserieanalys och prognoser Säsonger? Ja Tidsserieregression Klassis omponenuppdelning Nej Trend? Tidsserieregression ARIMA-modeller Dubbel exponeniell ujämning Nej ARMA-modeller Enel exponeniell ujämning Box George and Jenins Gwilym (19) Time series analysis: Forecasing and conrol San Francisco: Holden-Day E sandardver som samlade upp idéer uppomna från c:a 195-ale inom eonomeri och ingenjörsveensap Sapade e sysem för a idenifiera saa och uvärdera modeller för idsserier Meodologin går forfarande under namnen Box-Jenins-meodi (S)ARIMA-modeller Winers meod Exempel: Växelurs EURSEK 25 sep 25 nov 28 (Källa: ) Med hiills genomgångna meoder: 1) Tidsserieregression med linjärvadrais rend men uan säsongdummies 2) Dubbel exponeniell ujämning (Hol s meod) Fungerar dessa bra? Tidsserieregression linjär rend Smoohing Consans Alpha (level) Gamma (rend).46 Hol s meod Säsongsvariaion? Trend? Konjunur? Om vi sulle vilja göra oridsprognoser för.ex. en dag eller vå? %!!" $!" %! ". 4(3 "!1(2 $() * -""().* ( 3 1

2 En vanlig meod som ine agis upp ill fullo i ursen: Rullande medelvärden (mer orre: Glidande oviade medelvärden) Sa Time Series Moving Average!" " %! ". 4(3!1( 1 51 Vecovis rullande medelvärden ( 3 Ine så imponerande heller! Är nedansående bäre? (De gröna rianglarna mosvarar prognoserna för 2611 och 211 sam prognosinervallgränser resen är originaldaa.) Några viiga begrepp i sammanhange )6!((.(!(4(!.(!"!* Saionarie En idsserie säges vara saionär om den i princip besår av daa med onsan vänevärde och varians Vad är dea för meod? Y Någo mer maemais: E( y ) = µ Var( y ) = σ 2 Corr( y y - ) beror bara av 5 och allså ine av

3 Hur an ice-saionära idsserier se u? Är växelursexemple en saionär idsserie? W 15 U Linjär rend ice-saionär av försa ordningen Kvadrais rend ice-saionär av andra ordningen 5 V -5-1 Ice-onsan varians även om vänevärde verar onsan Beror på idsperspeive. Här ser de u som a en rend finns men i e längre idsperspeiv rör de sig nog bara om en endens. 1 2 Kan en idsserie göras saionär? Differeniering En idsserie w som är ice-saionär av försa ordningen (i princip uppvisar en linjär rend) an differenieras en gång: y = w = w w 1 y an då bli en saionär serie (men ine nödvändigvis) En idsserie som är ice-saionär av andra ordningen (i princip uppvisar en vadrais rend) an differenieras vå gånger: y = ( u ) = u u 1 = u u 1 ( u 1 u 2 ) = u 2 u 1 u 2 y an då bli en saionär serie (men ine nödvändigvis) W Diff W Har den blivi saionär? 3

4 Varianssabilisering Om variansen ine bedöms vara onsan Ł Transformera på samma sä som vid regressionsanalys ofas med logarimering w = ln ( w ) Efer varianssabilisering anse de blir OK a differeniera (log(w)) 8 1. W log(w) log(w) Diff log(w) Saionär? Konsan varians? Fungerar dea för våra växelursdaa? Auoorrelaion För en idsserie y definieras auoorrelaionsfunionen (acf) som $% $% ρ = Corr ( y y ) för = Anger allså orrelaionen (graden av linjär beroende) mellan vå värden på idsavsånd i idsserien. Ine oänbar! För en saionär idsserie sall acf endas vara en funion av dvs. de sall ine spela någon roll var i idsserien de vå värdena ligger uan endas vile idsavsånd de är mellan dem. Värdena an både vara posiiva och negaiva (beroende på hur beroende ser u) 4

5 För serier med ora beroenden avar acf snabb mo då växer En idsserie med vänevärde och där acf är = överall allas vi brus acf acf Innehåller egenligen ingen informaion För serier med långa beroenden avar acf långsammare men ydlig mo då växer acf Kan man se i figuren a acf = överall? Saning av acf )6!(4(!1!!(!"!(((!* Miniab (och andra saisisa programpae) har funioner för a saa acf från exiserande daa )6!(4(!1!!(!"!(((!* 5

6 ( )6!(4(!1!!(!"!(((!* Hur ser SAC u för växelursdaa? ( )6!(4(!1!!(!"!(((!* Typis exempel på en saad acf för en idsserie som ine är saionär. Myce långsam avlingande mönser. Auoorrelaionen är hög för värden som ligger på en gemensam rend. Lie väl långsam avlingande. Tyder på ice-saionarie i form av linjär rend. Saad acf bruar i lierauren föroras SAC (Sample AuoCorrelaion funcion) Med hjälp av SAC an man ydligen bedöma om en serie är saionär eller ej. Bra hjälpmedel för a.ex. se om en differeniering räcer. Logarimera och differeniera sedan ( ( )6!(4(!1!!(!"!(((!* Ice-saionär (men de visse vi i och för sig) $(% Differeniera en gång ( ( )6!(4(!1!!(!"!(((!* Mer saionär men ännu ine illräclig avlingande $(% $(% )6!(4(!1!!(!"!(((!* Bäre än idigare. Snabbare avlingning mo. 6

7 Pariell auoorrelaion Svårare begrepp. Den pariella auoorrelaionen mellan y och x definieras som den del av orrelaionen mellan y och x som ine har a göra med andra variabler. z Pariell auoorrelaionsfunion (pacf) för idsserier ψ = Corr( y y y ( 1) y ( 2) y 1 ) y x Röd orrelaion är uni mellan y och x dvs. pariell orrelaion Blå orrelaion ommer från y:s och x:s respeive samband med z Röd Blå är den oala orrelaionen. Funionen har egensaper som effeiv an unyjas vid idenifiering av modeller (se nedan) Auoregressiva modeller (AR-modeller) En idsserie y 1 y 2 y 3 saisfierar en auoregressiv modell av ordning 1 en s.. AR(1)-modell om y a = δ φ 1 y 1 där δ och φ 1 är onsaner (paramerar) och a är vi brus dvs. en serie av oorrelerade värden (Corr(a a ) = för alla ) med vänevärde och onsan varians (jfr. ε från idsserieregressionen) (ill exempel: y = 2..4 y 1 a ) auoregressiv innebär allså a y har regression på sig själv (fas e idsseg baå) Även den pariella auoorrelaionsfunionen an saas från exiserande daa. Den bruar då allas SPAC Exempel: Om vi isälle realiserar 2 värden av följande modell y = 2..4 y 1 a där a anas vara oorrelerade och N( 2)-fördelade y = 2..4 y 1 a där a anas vara oorrelerade och N( 2)-fördelade En realisering av denna idsserie i 2 idpuner an se u på följande sä dvs. φ 1 =.4 isälle för.4 an vi få Jämför med φ 1 =.4 :

8 Saionära och ice saionära AR(1)-modeller Exempel på realisering av en random wal En idsserie som saisfierar en AR(1)-modell är saionär om 1 < φ 1 < 1 Om φ 1 = 1 eller 1 råder insabil läge. Serien an urara men behöver ine göra de. Om φ 1 = 1 och δ = säges idsserien vara en random wal (slumpvandring) y = y 1 a En vanlig modell för ensilda aieurser. Prognoser beränas med den enla formeln yˆ 1 = ˆ y persisensprognos Sulle myce väl unna mosvara uveclingen av en aieurs men an vi med ugångspun från de yca a de rör sig om en rend? Om φ 1 > 1 säger man ibland a AR(1)-modellen är explosiv. Idenifiering av AR(1)-modeller Exempel: En realisering av modellen y = y 1 a med a ~ N( 2) För idsserier som saisfierar en AR(1)-modell och är saionära dvs. φ 1 < 1 gäller a auoorrelaionsfunionen (acf) är ρ = φ1 = 123 Exempel: φ 1 =.4 φ 1 =. Tydlig ice-saionär! acf acf

9 Vidare gäller a den pariella auoorrelaionsfunionen är Anag nu a vi har en observerad idsserie i n idpuner: y 1 y 2 y n φ 1 ψ = = 1 = 234 Exempel: φ 1 =.4 φ 1 =. pacf pacf Om idsserien saisfierar en AR(1)-modell borde dea avspeglas i SAC och SPAC dvs. saningarna av acf och pacf. Vi förvänar oss a få linande useenden som de eoreisa funionerna har. SAC: Saning av paramerar i en AR(1)-modell )6!(4(!1!!(!"!(((!* Verar i början ava ungefär som den eoreisa acf. De spiar som hamnar inom de röda linjerna an borses från om de ligger lång från. Miniab (lisom andra saisisa programpae) har procedurer för a saa paramerar i auoregressiva modeller. AR(1) är e specialfall av de generella ARIMA-modellerna. Saningsproceduren är beydlig mer omplicerad än.ex. För mulipel regressionsanalysł Ingen närmare eoreis genomgång görs här. SPAC: )6!(4(!1!!(!"!((($! (!* En ydlig spi för = 1. Övriga an negligeras. Useende överenssämmer allså med den eoreisa pacf. Verar vara en AR(1)-modell 9

10 ARIMA model for Y Ger saning av en AR(1)-modell Här an man välja om δ sall vara med eller ej Esimaes a each ieraion Ieraion SSE Parameers Relaive change in each esimae less han.1 Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P AR Consan Mean φˆ 1 δˆ Number of observaions: 2 Residuals: SS = (bacforecass excluded) MS = 1.24 DF = 198 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag Chi-Square DF P-Value Ljung-Box är må på hur bra anpassningen har blivi. Alla P-värden sall vara sora här om modellen sall anses vara bra. Fler modeller Auoregressiv modell av ordning 2 AR(2): y a = δ φ 1 y 1 φ2 y 2 Har längre beroenden än AR(1) Typisa useenden hos acf och pacf: acf: Avar relaiv snabb mo noll ev. med växlande ecen pacf: Är sild från för =1 och 2 är för = acf pacf Saad modell är allså: y y = och auomais erhålls prognosmodellen: yˆ 1 = y

11 Glidande medelvärdesmodell av ordning 1 MA(1) (Moving Average): y δ θ = a 1 a 1 y sapas allså genom en sammanvägning av de via bruse (e sors glidande medelvärde av en underliggande slumpvariaion. en MA(1) är allid saionär svårare a ola svårare a uryca en generell prognosformel acf: har mosvarande useenden som en pacf för AR(1) pacf: har mosvarande useenden som en acf för AR(1) Ł Lia enel a idenifiera en MA(1) som en AR(1) saningar av paramerar och prognoser an beränas med samma program som idigare Glidande medelvärdesmodell av ordning 2 MA(2): y δ θ θ = a 1 a 1 2 a 2 har längre beroenden än en MA(1) är allid saionär acf: mosvarande useenden som pacf för AR(2) pacf: mosvarande useenden som acf för AR(2) Kombinerad auoregressiv och glidande medelvärdesmodell av ordningarna p och q ARMA(p q): y = δ φ y φ y a θ a θ a 1 1 p p 1 1 q q har mer omplicerade beroenden acf: avar mo noll ofa med växlande ecen pacf: avar mo noll ofa med växlande ecen Exempel: Finansinsiuens ulåning ill hushåll v v Efer en differeniering: MKr 3 2 $% (varal) ) Tidsserien innehåller rend och är därför ine saionär. Differeniering behövs! Obs! Kvaralsdaa men de är ydlig a någon säsongsvariaion ej finns. Beraa daa som varandes uan säsongomponen. Kan den vara saionär? Kolla med SAC och SPAC. 11

12 SAC: $% )6!(4(!1!!(!"!(((!* Noera a en ARMA(11) sulle gälla för den differenierade serien. Prognoser vill vi doc ha för originalserien! Miniab (och andra) fixar dea! SPAC: $% )6!(4(!1!!(!"!((($! (!* Verar definiiv vara saionär. Frågan är vad de an röra sig om för modell. Ingen ren AR- eller MA-modell an ses. Prova med en ARMA(11) Sa Time Series ARIMA Originalserien Anger a vi vill differeniera 1 gång Ordningarna dvs. 1 och 1 i den ARMAmodell som anpassas ill diff. daa Anger som vanlig a vi vill ha prognoser 4 idpuner framå räna från slue. (dvs. prognoser för varal och 4 22) ARIMA Model: Y.. Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P AR MA Differencing: 1 regular difference Number of observaions: Original series 39 afer differencing 38 Residuals: SS = (bacforecass excluded) MS = DF = 36 Signifiana parameersaningar! 12

13 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Följande figur an även besällas vid örningen: Lag Chi-Square * DF * P-Value * )6!((.(!(4(!.(!"!* Forecass from period 39 Ljung-Box ser bra u! 95 Percen Limis Period Forecas Lower Upper Acual Prognoserna med inervall! Åer ill växelursdaa! Om vi nu ror a den differenierade serien är saionär $% $% Ingen renodlad AR- eller MA-modell här heller. Pröva med en ARMA(11) $% )6!(4(!1!!(!"!(((!* SAC SPAC $% )6!(4(!1!!(!"!((($! (!* Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P AR Ej signifiana! MA Consan Differencing: 1 regular difference Number of observaions: Original series 62 afer differencing 61 Residuals: SS = (bacforecass excluded) MS =.363 DF = 58 13

14 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag Andra illämpningar: Chi-Square DF P-Value OK här! Residualerna från en idsserieregression eller från vilen regression som hels där iden är inblandad an ofa uppvisa beroendemönser (jfr. Durbin-Wason s es) Forecass from period Percen Limis Period Forecas Lower Upper Acual )6!((.(!(4(!.(!"!* Residualerna an modelleras separa med en AR-modell och därigenom erhålls bäre saningar och prognoser (smalare prognosinervall) Exempel: I daorövning 6 gjordes en idsserieregression på andel arbeslösa Dea är de diagram vi förs såg (men då med rianglarna grönfärgade). )*) )$(!(4"$.* ) )*) )$(!(4"$.* Residualerna uppvisar en ydlig posiiv seriell orrelaion dvs. auoorrelaion efersom mönsre är en följsam urva. ) Dea är den variaionbredd som saningen av s baseras på *"*) *"*) Dea är den egenliga variaionsbredden som själva slumpen omfaar Ł Om ine hänsyn as ill a residualerna är orrelerade an man i vissa fall översaa slumpvariaionen Ł Osära parameersaningar breda prognosinervall 14

15 Går de nu a anpassa.ex. en AR-modell ill residualerna? SAC: )6!(4(!1!!(!"!(((!* Ingen onsanerm as med efersom residualerna varierar run Final Esimaes of Parameers )6!(4(!1!!(!"!((($! (!* Type Coef SE Coef T P SPAC: AR Number of observaions: 18 Residuals: SS = (bacforecass excluded) MS =. DF = 1 Kanse ine hel orimlig med en AR(1)-modell även om de finns en sörande spi i SPAC längs.h. De är doc snudd på ice-saionarie. Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag Chi-Square DF P-Value Anpassningen av en AR-modell ill residualerna sall göras samidig med anpassningen av själva regressionsmodellen (för a få rä sandardavvielse och medelfel för saningar) Kan doc ej göras i Miniab men i.ex. SAS Överhuvudage an modellerna byggas u ill a omfaa säsongsvariaion (SARIMA) men även för a inludera andra idsserier som förlaringsvariabler (s.. Transfer Funcion Models) En inressan delmodell av dea är s.. inervenionsmodeller (.ex. inludering av 11-sepember-effeen i analyserna) För all dea rävs fler urser i idsserieanalys! 15