ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
|
|
- Bengt Lindgren
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 8 ARIMA del 2 Patrik Zetterberg 19 december / 28
2 Undersöker funktionerna ρ k och ρ kk Hittills har vi bara sett hur autokorrelationen och partiella autokorrelationen ser ut matematiskt för AR(1) och MA(1). Hur ser dessa funktioner ut grafiskt? Vi börjar med att undersöka AR(1), MA(1) och ARMA(1,1) processerna. Diagramtypen där man visar ρ k och ρ kk för olika laggar k kallas korrelogram. Vi undersöker den teoretiska autokorrelationen och teoretiska partiella autokorrelationen för tre ARIMA processer. Utseendet på dessa funktioner indikerar vilken process som har simulerat datat. 2 / 28
3 Korrelogram för ρ k och ρ kk TAC för AR(1) TAC för MA(1) TAC för ARMA(1,1) ACF ACF ACF Lag Lag Lag TPAC för AR(1) TPAC för MA(1) TPAC för ARMA(1,1) Partial ACF Partial ACF Partial ACF Lag Lag Lag 3 / 28
4 Analys av korrelogram Korrelogrammen är därför en indikation på vilken bakomliggande process som har genererat tidsserien och vilken modell som kan vara lämplig att anpassa på data! Ett exempel: Teoretiskt avtar ρ k med k i en AR(2)-process. ρ kk bryts av vid lag k i en AR(2)-process. Vi observerar en stationär tidsserie z t och skattar r k = ˆρ k och r kk = ˆρ kk Om funktionerna r k och r kk beter sig på liknande sätt som ρ k och ρ kk i en AR(2)-process, anpassar vi en AR(2) modell på processen. 4 / 28
5 Reder ut begreppen... begrepp beteckning förkortning Teoretisk autokorrelation ρ k TAC Teoretiskt partiell autokorr. ρ kk TPAC Stickprovets autokorrelation r k SAC Stickprovets partiella autokorr: r kk SPAC Ibland förkortas funktionerna för autokorrelation och partiella autokorrelation ACF och PACF. 5 / 28
6 Från ARMA till ARIMA Hittills har vi pratat om ARIMA-modeller som ett övergripande namn för olika AR(p), MA(q) och ARMA(p,q) modeller. Vi har hittills betecknat en stationär tidsserie z t. Men i allmänhet är tidsserier inte stationära. Är en tidsserie y t inte stationär, måste man transformera y t så att den transformerade serien z t är stationär. Det är i detta steg vi går från ARMA till ARIMA-modeller. 6 / 28
7 Transformera din tidsserie så att den blir stationär! Den vanligaste transformationen är bildandet av (första)differenser, t.ex. z t = y t y t 1 Här har vi tagit första differensen av tidsserien y t. Förhoppningsvis är serien z t nu stationär och redo att analyseras med ARIMA-modeller. Ibland räcker det inte med första differenser för att skapa en stationär serie, vanligt är att man då beräknar ytterligare en första differens på första differenserna. Man säger att man då skapat andra differenserna av tidsserien. z t = (y t y t 1 ) (y t 1 y t 2 ) = y t 2y t 1 + y t 2
8 Transformera din tidsserie så att den blir stationär! Har man beräknat differenser på en tidsserien y t kallas serien integrerad (Obs. förväxla inte med beräkningar av integraler). Ordningen på integreringen motsvarar antalet differenser som krävs för att göra y t stationär. y t stationär efter en differens y t integrerad av ordningen 1. Integreringen är bokstaven I i ARIMA. Antalet integreringar i ARIMA-modellen betecknas d 7 / 28
9 ARIMA(p,d,q) ARIMA(p,d,q)-modellen skrivs: Z t = φ 1Z t 1 + φ 2Z t 2,... + φ pz t p + a t θ 1a t 1 θ 2a t 2... θ qa t q där Z t är stationär efter d antal differenser av tidsserien Y t. Vi har alltså tre beståndsdelar i ARIMA(p,d,q)-modellen: p = antalet laggar i AR-delen. d = antalet differenser av Y t som krävs för stationäritet. q= antalet laggar i MA-delen. 8 / 28
10 Olika ARIMA(p,d,q)-modeller ARIMA(1,1,1) = en kombination av en AR(1) och MA(1) där z t är stationär efter första differensen av y t. ARIMA(1,0,1) = ARMA(1,1) då y t är stationär till en början. ARIMA(1,0,0) = AR(1) eftersom d = 0 och q = 0 ARIMA(0,0,1) = MA(1) eftersom p = 0 och d = 0 T.ex. kan vi skriva ARIMA(1,1,1)-modellen (utan drift) som: Z t = φ 1 Z t 1 + a t θ 1 a t 1, där Z t = Y t Y t 1 9 / 28
11 Ett exempel Vi har tagit observationer ifrån en icke-stationär tidsserie Y t : t y t Utifrån y t vill vi beräkna första differensen z t = y t y t 1 och andra differensen z t = z t z t / 28
12 Effekten av första differensen Är z t stationär? t y t y t 1 z t = y t y t * * / 28
13 Effekten av andra differensen t y t y t 1 z t = y t y t 1 z t 1 zt = z t z t * * * * * * Som vi kan se så är även zt konstruerat) exempel.. stationär. Detta var ett lätt (och 12 / 28
14 Undersöker stationäritet - grafisk analys Vi kan undersöka om Y t är stationär eller ej genom att plotta tidsserien. Finansiella institutens utlåning Ett simulerat dataset Miljoner SEK Y Time Time Är dessa tidsserier stationära? 13 / 28
15 Beräknar första differensen Vi beräknar första differensen, z t, på tidsserien över de finansiella institutens utlåning: Zt = första differensen av Yt Miljoner SEK Time Som vi kan se är z t så gott som stationär (liten tendens till icke-konstant varians men det bortser vi ifrån). 14 / 28
16 Undersöker stationäritet - grafisk analys Vi kan även se om en observerad tidsserie y t är stationär genom att studera korrelogrammet för stickprovets autokorrelation, r k. Vi kan ställa upp några (godtyckliga) tumregler: Om r k avtar snabbt är y t stationär. Om r k avtar långsamt är y t inte stationär. 15 / 28
17 Undersöker stationäritet - grafisk analys Vi undersöker SAC för datamaterialet över finansiella institutens utlåning, y t samt första differensen z t = y t y t 1 : SAC för Yt SAC för Zt ACF ACF Lag Lag Korrelogrammen visar tydligt att tidsserien är stationär först efter en differens. 16 / 28
18 Undersöker stationäritet - Unit root test Vi kan undersöka stationäritet på andra sätt. Under förra lektionen nämndes att en slumpvandring Y t = Y t 1 + a t, a t N(0, σ 2 a) inte är stationär. Vi såg också att AR(1)-modellen: Y t = φ 1 Y t 1 + a t a t N(0, σ 2 a) (1) är stationär. Men om φ 1 = 1 förenklas (1) till: Y t = Y t 1 + a t, a t N(0, σ 2 a) vilket är samma modell som slumpvandringsmodellen! Alltså är AR(1) modellen inte stationär om φ 1 = 1 (eller om φ 1 = 1). 17 / 28
19 Villkor för stationäritet Det finns speciella stationäritetsrestriktioner för dessa autoregressiva parametrar: φ 1 < 1 för AR(1)-modellen och φ 1 + φ 2 < 1 φ 2 φ 1 < 1 φ 2 < 1 för AR(2)-modellen
20 Undersöker stationäritet - Unit root test Dessutom är våra skattningar av φ 1 med minsta kvadratmetoden beroende av stationäritet. Att testa för stationäritet i AR(1)-modellen är detsamma som att testa om φ 1 = 1. Detta gör man med unit-root test där hypotesuppställningen är H 0 : φ 1 = 1 H 1 : φ 1 < 1 Vi söker alltså förkasta H 0 i detta fall då detta implicerar att vi har en stationär tidsserie. 18 / 28
21 Effekten av olika värden på φ 1 Vi vet att AR(1)-modellen är stationär, om 1 < φ 1 < 1. I figuren ser vi hur realiseringarna förändras då φ 1 antar olika värden i detta intervall. (I figuren används istället beteckningen a 1 för φ 1.)
22 Hur väljer vi p,d och q? Vi har en tidsserie och vill se vilken ARIMA(p,d,q)-modell som har den bästa anpassningen till datamaterielet. Hur går vi tillväga? 1 Bestämmer först d efter kraven på stationäritet. 2 Bestäm optimal kombination av p och q. 3 Vi skattar sedan den valda ARIMA-modellens parametrar. 4 Utvärdera modellvalet och gör prognos. Punkt 1 har vi gått igenom noga men inte övriga punkter. 19 / 28
23 Bestämmer p och q Vi har konstaterat att Z t är en stationär serie efter en differens och vill anpassa en ARIMA(p,1,q) modell. Vi kan få en indikation på vilket p och q som är lämpliga genom att undersöka SAC (igen) och SPAC. Om SAC och SPAC beter sig som TAC och TPAC, visar detta vilken den underliggande ARIMA-processen är. Modellval SAC SPAC AR(p) Avtar Bryts vid lag p MA(q) Bryts vid lag q Avtar ARMA(p,q) Avtar efter lag q Avtar efter lag p 20 / 28
24 Bestämmer p och q Vi undersöker korellogrammen för SAC och SPAC som baseras på data över de finansiella institutens utlåning. De blå linjerna i korellogrammen visar korrelationer som är signifikant skilda ifrån 0. SAC för Zt SPAC för Zt ACF Partial ACF Lag Lag Det ser ut som att en ARIMA(1,1,1)-modell är lämplig... Men att bestämma p och q med enbart grafiska metoder är godtyckligt! 21 / 27
25 Bestämmer p och q Andra sätt är att beräkna anpassningsmått för modeller med olika p och q. Ett av dessa mått är Aikaike s Information Criterion, AIC: AIC = 2k 2 ln L där k är antalet parametrar och L är värdet som fås efter maximering av Likelihoodfunktionen för den skattade modellen. AIC belönar bra anpassning men straffar även dåligt anpassade modeller. Ju lägre AIC-värde, desto bättre anpassning. Jämför man två modeller, så föredrar man modellen med lägst AIC-värde. Enligt dessa kriterier väljer vi den modell, bland alla skattade ARIMA(p,d,q)-modeller, som har lägst AIC. 23 / 28
26 Skattar parametrarna Givet en tidsserie y t och val av p, d och q, vill vi skatta parametrarna i ARIMA-modellen. Är y t stationär kan AR-modellers parametrar skattas med minsta kvadratmetoden (på samma sätt som i regression). Man använder statistiska programvaror för att skatta ARIMA-modeller. Som vanligt kan vi hypotespröva modellens och parametrarna. Men då modellen syftar till att göra prognoser kanske vi vill behålla parametrar även om de inte är signifikanta! Vi beräkna prognoser och utvärderar prognosen. 23 / 27
27 Prognoser T.ex. kan den skattade AR(p)-modellen (utan drift) skrivas: ŷ t = ˆφ 1 y t 1 + ˆφ 2 y t ˆφ p y t p En prognos för en tidsperiod framåt, t + 1 baseras prognosen bara på observerade värden upp till t: ŷ t+1 = ˆφ 1 y t + ˆφ 2 y t ˆφ p y t p+1 Med en längre prognoshorizont inkluderas prognosvärden. Om vi står vid tiden t fås prognosen för h tidsperioder framåt som: ŷ t+h = ˆφ 1 ŷ t+h 1 + ˆφ 2 ŷ t+h ˆφ p ŷ t+h p På samma sätt kan vi beräkna prognoser med MA, ARMA och ARIMA modeller. 24 / 27
28 Prognoser Precis som för andra prognosmetoder utvärderas ARIMA-prognoser med olika mått, t.ex. MSE och MAE. Viktigt att tänka på: Ser vi några systematiska fel? Hur stor är prognosernas varians? Vilken av ovanstående vill vi minimera? Hur skiljer sig prognosen på kort och lång horizont? Vi har med andra ord en rad frågor att besvara på som prognosmakare / 27
29 Ett exempel Vi vill anpassa två olika ARIMA-modeller, en AR(1) och en ARIMA(1,1) på ett stationärt datamaterial: AR(1) : Y t = φ 1 Y t 1 + a t ARMA(1, 1) : Y t = φ 1 Y t 1 + a t θ 1 a t 1 Vi vill utvärdera prognosen för en tidsperiod framåt. Vi prognosticerar ŷ t och observerar sedan y t för 5 tidsperioder: t Utfall Prognos AR(1) Prognos ARMA(1,1) / 27
30 Ett exempel Vi beräknar MSE som: 1 n n (y t ŷ t ) 2 t=1 Givet att MSE är ett viktigt kriterium för att utvärdera prognosen, borde vi i detta fall anpassa en AR(1)-modell på datamaterialet: 5 t=1 MSE AR(1) = ( ) ( 0.64 ( 0.30)) t=1 MSE ARMA(1,1) = ( ) ( 0.64 ( 0.01)) 2 5 = = / 27
Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merSkriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012
Statistiska Institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, HT2012 2013-01-18 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merTidsserier och Prognoser
Tidsserier och Prognoser Mattias Villani Sveriges Riksbank och Stockholms Universitet Stockholm, Oktober 2008 Mattias Villani () Tidsserier och Prognoser Stockholm, Oktober 2008 1 / 16 Översikt Tidsserier,
Läs merWienerprocesser. Finansiell statistik, vt-05. Enkel slumpvandring. Enkel slumpvandring. Varför: model för aktiekurs (dock med aber...
Varför: model för aktiekurs dock med aber... exempel: Black-Scholes jfr Binomialoptionsmodellen Johan Koskinen Statistiska institutionen Stockholms universitet Finansiell statistik vt-05 F5 Tidsserieanalys
Läs merPrognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study
Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:14 Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie Forecasting the exchange rate index KIX A comparative
Läs merAutokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012
Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov
Läs merHemuppgift 3 modellval och estimering
Lunds Universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 Hemuppgift 3 modellval och estimering 1 Inledning Denna hemuppgift är uppdelad i två delar. I den första ska ni med hjälp av olika
Läs merFöreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013
Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process
Läs merSamverkande Expertnät
1 Samverkande Expertnät 2 3 1 2 3 Parallella nätverk Sammanvägning av svaren Två olika fördelar Utjämna egenheter hos nätverken Låt nätverken specialisera sig Egenskaper hos ett enkelt nätverk Överträning
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-10-25 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Lennart
Läs mer3 Maximum Likelihoodestimering
Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (8 uppgifter) Tentamensdatum 2012-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove
Läs merKonjunkturförändringar i åländsk ekonomi
Kandidatuppsats i Statistik Konjunkturförändringar i åländsk ekonomi -Val av förklarande variabler för åländska företags omsättning Jesper Gullquist Abstract This paper is made on behalf of Statistics
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund
Läs merLektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
Läs merDekomponering av löneskillnader
Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden
Läs merNågot om val mellan olika metoder
Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 y 2 y n Säsonger? Ja Nej Trend? Tidsserieregression Nej ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregression ARIMA-modeller
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT2012 2012-05-31 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan
Läs merVästsvenska paketet Skattning av trafikarbete
Västsvenska paketet Skattning av trafikarbete Rapport Dokumenttitel: Skattning av trafikarbete Västsvenska paketet rapport Utförande part: WSP Kontaktperson: Tobias Thorsson Innehåll 1 Introduktion Fel!
Läs merHomework Three. Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo. 28 november Time series analysis
Homework Three Time series analysis Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 28 november 25 1 Vi ska här analysera en datamängd som består av medeltemperaturen månadsvis i New York mellan
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merTentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klintberg Lösningar Tentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011 Uppgift 1 a) För att få hög validitet borde mätningarna
Läs merDiskussionsproblem för Statistik för ingenjörer
Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin Rolf Larsson rolf.larsson@math.uu.se Jesper Rydén jesper.ryden@math.uu.se Senast uppdaterad 27 januari 2016 Diskussionsproblem till Lektion 3
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove
Läs mera) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta?
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-01-18 1. Ett företag som köper enheter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av enheterna kommer att vara felaktiga. Sannolikheten
Läs merSteg 4. Lika arbeten. 10 Diskrimineringslagen
Steg 4. Lika arbeten 10 Diskrimineringslagen [ ] Arbetsgivaren ska bedöma om förekommande löneskillnader har direkt eller indirekt samband med kön. Bedömningen ska särskilt avse skillnader mellan - Kvinnor
Läs merRegressionsanalys av huspriser i Vaxholm
Regressionsanalys av huspriser i Vaxholm Rasmus Parkinson Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2015:19 Matematisk statistik Juni 2015 www.math.su.se
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merEnkel linjär regression: skattning, diagnostik, prediktion. Multipel regression: modellval, indikatorvariabler
UPPSALA UNIVESITET Matematiska institutionen Jesper ydén Matematisk statistik 1MS026 vt 2014 DATOÖVNING MED : EGESSION I den här datorövningen studeras följande moment: Enkel linjär regression: skattning,
Läs merF14 Repetition. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 6/3 2013 1/15
1/15 F14 Repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 6/3 2013 2/15 Dagens föreläsning Tentamensinformation Exempel på tentaproblem På kurshemsidan finns sex gamla
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09) Aktuella avsnitt i boken är Kapitel 7. Lektionens mål: Du
Läs merStatistik och epidemiologi T5
Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät med återkopplingar.
Läs merProblemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att:
Problemet löd: Är det möjligt att på en sfär färga varje punkt på ett sådant sätt att: 1. Om två punkter befinner sig på avståndet pi/2 från varandra så skall de ha olika färg. 2. Endast tre färger används.
Läs merAvsnitt 2. Modell: intuitiv statistisk
Avsnitt 2. Modell: intuitiv statistisk En prognos är en utsaga om en framtida händelse. Vi kommer mest att syssla med numeriska prognoser. Med det menar vanligen ett tal på en intervallskala. Exempel:
Läs mera) Anpassa en trinomial responsmodell med övriga relevanta variabler som (icketransformerade)
5:1 Studien ifråga, High School and beyond, går ut på att hitta ett samband mellan vilken typ av program generellt, praktiskt eller akademiskt som studenter väljer baserat på olika faktorer kön, ras, socioekonomisk
Läs mer(a) Hur stor är sannolikheten att en slumpvist vald person tror att den är laktosintolerant?
LÖSNINGAR till tentamen: Statistik och sannolikhetslära (LMA12) Tid och plats: 8.3-12.3 den 24 augusti 215 Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, formelblad Betygsgränser: 3: 12 poäng, 4: 18 poäng, 5: 24
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDE, FMS012, VT08 Laboration 5: Regressionsanalys Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merMatematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laboration 2
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laboration 2 Rapporten till den här laborationen skall lämnas in senast den 19e December 2014.
Läs merBeräkning av björnstammens storlek i Värmland, Dalarnas och Gävleborgs län
Beräkning av björnstammens storlek i Värmland, Dalarnas och Gävleborgs län Jonas Kindberg och Jon E Swenson Skandinaviska björnprojektet Rapport 2013:4 www.bearproject.info Sammanfattning Den spillningsinventering
Läs merMonte Carlo-simulering. EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Monte Carlo-simulering EG2205 Föreläsning 15 18, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Tillämpa Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad och risk för effektbrist på en elmarknad,
Läs merPolicy Brief Nummer 2012:1
Policy Brief Nummer 2012:1 Överföring av ängs- och hagmarkers värde Det finns ett samhällsekonomiskt intresse av att veta hur ängs- och hagmarker värderas av allmänheten då finansiella medel inom Landsbygdsprogrammet
Läs merk x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 24 januari 2004, kl. 09.00-13.00
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 4 januari 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:
Läs mer1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 4 Diskret matematik för D och F vt0 1 0 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar På hur många
Läs merVad är risken att dö i en trafikolycka? - En studie över hur kön och ålder hos en personbilsförare påverkar utfallet av en trafikolycka
Vad är risken att dö i en trafikolycka? - En studie över hur kön och ålder hos en personbilsförare påverkar utfallet av en trafikolycka Amanda Wiman Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis
Läs merDen Moderna Centralbankens Prognosmetod. Statistikfrämjandets årsmöte
Den Moderna Centralbankens Prognosmetod Statistikfrämjandets årsmöte Den moderna centralbanken Prognoser Prognosmetoder Prognosutvärderingar Den moderna centralbanken Fast Växelkurs Inflationsmål Flexibelt
Läs merEFFEKTER AV LÖRDAGSÖPPNA SYSTEMBOLAGSBUTIKER. UPPFÖLJNING AV DE FÖRSTA 17 MÅNADERNA
EFFEKTER AV LÖRDAGSÖPPNA SYSTEMBOLAGSBUTIKER. UPPFÖLJNING AV DE FÖRSTA 17 MÅNADERNA AV Thor Norström * & Ole-Jørgen Skog ** * Institutet för social forskning STOCKHOLMS UNIVERSITET ** Senter for høyere
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merStorräkneövning: Sannolikhetslära
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jakob Björnberg Sannolikhet och statistik 2012 09 28 Storräkneövning: Sannolikhetslära 1. (Tentamen, april 2009.) Man har efter studier av beredskapen hos
Läs merPOPULATION OCH BORTFALL
RAPPORT POPULATION OCH BORTFALL En teknisk rapport om populationen och bortfallet i den internetbaserade Örebro-undersökningen om mobbning vid mätningarna 2012 och 2013. Björn Johansson Working Papers
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Paul Blomstedt Innehåll 1 Inledning 2 2 Deskriptiv statistik 2 2.1 Variabler och datamaterial...................... 2 2.2 Tabulering och grask beskrivning.................
Läs merRegeringens bedömning av strukturellt sparande jämförelse över tiden och med andra prognosmakare
Karolina Holmberg Johanna Modigsson Finanspolitiska rådets kansli 2015-08-27 Regeringens bedömning av strukturellt sparande jämförelse över tiden och med andra prognosmakare 1. Inledning Det strukturella
Läs merEnsamkommande flyktingbarn i Sverige SFBUP den 12 februari 2016
Ensamkommande flyktingbarn i Sverige SFBUP den Eskil Wadensjö Stockholms universitet Institutet för social forskning (SOFI), Stockholms universitet Undersökningen 1. Att konstruera ett mer omfattande datamaterial
Läs merSTYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat
Läs merTidsserieanalys av dödsfall i trafiken
VI notat 30-2005 Utgivningsår NNNN www.vti.se/publikationer idsserieanalys av dödsfall i trafiken Astrid Karlsson Kristian Willerö Förord Detta notat är ett särtryck av en magisteruppsats i statistik
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merSkattekontot och intäktsräntan
PM 1(23) Mats Andersson 010-574 80 84 Patrik Andreasson 010-573 51 14 Skattekontot och intäktsräntan 1 Bakgrund Skatteverket har under senare tid sett flera tecken på att skattekontot har börjat användas
Läs merModellskattningen har gjorts med hjälp av minsta kvadratmetoden (OLS).
MODELLSKATTNINGAR Modeller med bäst anpassning ger inte alltid de bästa prognoserna. Grundantaganden, till exempel vilka modeller som testas, påverkar i viss grad prognosutfallet. Modellerna har, i de
Läs mer9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 3 juni, 15, V-huset. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merIntroduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab
Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts
Läs merMedelpensioneringsålder och utträdesålder
1 Rapport 2010-05-06 0-18 Medelpensioneringsålder och utträdesålder Enligt regleringsbrevet för budgetåret 2010 ska Pensionsmyndigheten senast den 6 maj 2010 redovisa genomsnittsålder för uttag av pension.
Läs merDatorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning
Statistik, 2p PROTOKOLL Namn:...... Grupp:... Datum:... Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning Syftet med denna laboration är att ni med hjälp av MS Excel ska fortsätta den statistiska
Läs merHemuppgift 2 ARMA-modeller
Lunds Universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 Hemuppgift 2 ARMA-modeller 1 Inledning Denna hemuppgift är uppdelad i två delar. I den första ska ni med hjälp av olika simuleringar
Läs mer2.9 Disintegration och monetär autonomi genom reglering
Innehåll, Kapitel 1 Svenska finansmarknadens internationella beroende 17 1.1 Många tecken på ökad integration mellan världens marknader 17 1.2 Tidigare integrationsstudier visar på mät- och tolkningssvårigheter
Läs merEnkätundersökning inomhusklimat, Beteendevetarhuset, Umeå Universitet
ENKÄTUNDERSÖKNING INOMHUSKLIMAT MM 040 NA KONTOR SID 1 (12) Frej Sjöström Arbetsmiljöingenjör Feelgood Företagshälsa Slöjdgatan 2, 903 25 Umeå Vxl/Dir 090-176370/17 63 76 E-post: frej.sjostrom@feelgood.se
Läs merMarkovkedjor. Patrik Zetterberg. 8 januari 2013
Markovkedjor Patrik Zetterberg 8 januari 2013 1 / 15 Markovkedjor En markovkedja är en stokastisk process där både processen och tiden antas diskreta. Variabeln som undersöks kan både vara numerisk (diskreta)
Läs merBygga hus med LECA-stenar
Bygga hus med LECA-stenar När man bygger hus med LECA-stenar finns det en del att tänka på. Till att börja med finns det LECA-stenar i olika dimensioner (t.ex. 59x19x19 och 59x19x39). Dessa dimensioner
Läs merAnalys av en longitudinell studie för att undersöka eekten av korttidsutsättning för ygljud på blodtryck och hjärtfrekvens
Analys av en longitudinell studie för att undersöka eekten av korttidsutsättning för ygljud på blodtryck och hjärtfrekvens Hanna Fues Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical
Läs merUtökade användningsområden för trafikarbetets förändring Expanded uses for the change in traffic density Magnus Kjellman
Utökade användningsområden för trafikarbetets förändring Expanded uses for the change in traffic density Magnus Kjellman 15-högskolepoängsuppsats inom Statistik III, ht 2012 Handledare: Mikael Möller Förord
Läs merArbetslöshetskassan Alfas ekonomi
2014:19 Arbetslöshetskassan Alfas ekonomi Uppföljning initierad av IAF Rättssäkerhet och effektivitet i arbetslöshetsförsäkringen Dnr: 2014/61 Arbetslöshetskassan Alfas ekonomi Uppföljning initierad av
Läs merUnder denna laboration kommer regression i olika former att tas upp. Laborationen består av fyra större deluppgifter.
Laboration 5 Under denna laboration kommer regression i olika former att tas upp. Laborationen består av fyra större deluppgifter. Deluppgift 1: Enkel linjär regression Övning Under denna uppgift ska enkel
Läs merResultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.
Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar
Läs merlära dig tolka ett av de vanligaste beroendemåtten mellan två variabler, korrelationskoefficienten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FMS035: MATEMATISK STATISTIK FÖR M DATORLABORATION 5, 11 MAJ 2012 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska lära dig tolka ett av de
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2008 Statistiska institutionen Linda Wänström
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2008 Statistiska institutionen Linda Wänström Skriftlig tentamen på momentet Statistisk dataanalys III (SDA III) 3 högskolepoäng, ingående i kursen Undersökningsmetodik och
Läs merStatistisk modellering av tidsserier
Statistisk modellering av tidsserier Inledning Tidsserie: följd av data med deterministiskt eller stokastiskt beroende mellan olika komponenter och mellan olika mättillfällen Tidsserieanalys: att beskriva
Läs merSvensk varuhandel. Tidsserieanalys över
STATISTISKA INSTITUTIONEN Uppsala universitet Examensarbete C Författare: David Magnusson och Petter Samuelsson Handledare: Lars Forsberg Höstterminen 2010 Tidsserieanalys över Svensk varuhandel januari
Läs merEnsamkommande flyktingbarn i Sverige
Ensamkommande flyktingbarn i Sverige Aycan Çelikaksoy & Eskil Wadensjö Stockholms universitet Institutet för social forskning (SOFI), Stockholms universitets Linnécentrum för integrationsstudier (SULCIS)
Läs merEffekter av lördagsöppna systembolagsbutiker. Uppföljning av de första tio månaderna. 1 Bakgrund och utvärderingens uppläggning
Effekter av lördagsöppna systembolagsbutiker. Uppföljning av de första tio månaderna av Thor Norström 1 & Ole-Jørgen Skog 2 Mars 2001 1 Bakgrund och utvärderingens uppläggning I enlighet med riksdagens
Läs merPressmeddelande. Så blir din ekonomi i januari 2011. Stockholm 24 november 2010
Pressmeddelande Stockholm 24 november 2010 Så blir din ekonomi i januari 2011 Få vinnare i årets prognos. Har du bostadslån med rörlig ränta får du det till och med sämre. Även många pensionärer får mindre
Läs merBiomekanik, 5 poäng Moment
(kraftmoment) En resulterande (obalanserad kraft) strävar efter att ändra en kropps rörelsetillstånd. Den kan också sträva efter att vrida en kropp. Måttet på kraftens förmåga att vrida kroppen runt en
Läs merResultat. Principalkomponentanalys för alla icke-kategoriska variabler
Introduktion Den första delen av laborationen baserar sig på mätdata som skapades i samband med en medicinsk studie där en ny metod för att mäta ögontryck utvärderas. Den nya metoden som testas, Applanation
Läs merStatistiska analyser C2 Inferensstatistik. Wieland Wermke
+ Statistiska analyser C2 Inferensstatistik Wieland Wermke + Signifikans och Normalfördelning + Problemet med generaliseringen: inferensstatistik n Om vi vill veta ngt. om en population, då kan vi ju fråga
Läs merFinansiell statistik
Finansiell statistik Föreläsning 5 Tidsserier 4 maj 2011 14:26 Vad är tidsserier? En tidsserie är en mängd av observationer y t, där var och en har registrerats vid en specifik tidpunkt t. Vanligen görs
Läs merTentamen i Matematisk statistik, LKT325, 2010-08-26
Tentamen i Matematisk statistik, LKT35, 010-08-6 Uppgift 1: Beräkna sannolikheten P(A B) om P(A C B) = 0.3 och P(B C ) = 0.6 Uppgift : Sannolikheten för att behöva kassera en balk p.g.a. dålig hållfasthet
Läs merFöreläsning 14: Försöksplanering
Föreläsning 14: Försöksplanering Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 14, 2015 Modellbeskrivning Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på förklarande
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merTest av kranspetsvågar i virkesfordon
Datum 2016-02-18 Författare Sven Gustafsson Test av kranspetsvågar i virkesfordon WWW.SDC.SE P o s t a d r e s s : 8 5 1 8 3 S u n d s v a l l B e s ö k s a d r e s s : S k e p p a r p l a t s e n 1 T
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merF19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test.
Partiella t-test F19, (Multipel linjär regression forts) och F20, Chi-två test. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Då man testar om en enskild variabel X i skall vara med
Läs merPolicy Brief Nummer 2012:4
Policy Brief Nummer 2012:4 Export av livsmedel till vilket pris? Exporterande företag sätter ofta olika pris på en vara på olika marknader. Traditionellt tänker man sig att det beror på att företag anpassar
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1
Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra
Läs merSummor av slumpvariabler
1/22 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 8/2 2013 2/22 Dagens föreläsning Väntevärde och varians Vanliga kontinuerliga fördelningar Parkeringsplatsproblemet
Läs mer