Hemuppgift 2 ARMA-modeller

Transkript

1 Lunds Universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 Hemuppgift 2 ARMA-modeller 1 Inledning Denna hemuppgift är uppdelad i två delar. I den första ska ni med hjälp av olika simuleringar studera de statistiska egenskaperna hos ARMA(p,q)-processer. Främst hur processens realiseringar {Y (t)}, dess kovariansfunktion C[X(t), X(t + k)] och korrelationsfunktionen ρ X (t, t + k), beror av koecenterna och innovationsvariansen σ 2 e, parametrarna i modellen. I den andra delen ska ni stationarisera en icke-stationär tidsserie {Y (t)} med hjälp av dierensbildningsoperatorn, Y (t) = Y (t) Y (t 1) i ett eller era steg d Y (t). I denna del är det lämpligt att ni använder något av de datamaterial från hemuppgift 1. Hemuppgiften redovisas med en kort rapport där ni beskriver tillvägagångssättet vid analysen samt era slutsatser. Valda modeller ska valideras på sedvanligt sätt är parametrarna signikanta, vilken fördelning har residualerna, nns det någon beroende struktur hos dessa, etc. Bakgrundsteorin som behövs för att genomföra hemuppgiften nns i kapitel 4 och 5 i kursboken: Time series Analysis, Cryer & Chan, De inledande räkneuppgifterna redovisas handskrivna rapporten ska i övrigt vara författad i lämplig ordbehandlare. Om rapporten lämnas in via ska den vara i pdf-format. [ pegus@maths.lth.se] Hemuppgiften ska lämnas in senast fred 29/4 kl Förberedelseuppgifter a) Deniera en AR(p)-process, en MA(q)-process samt en ARMA(p,q)-process. Skriv också upp den karakteristriska ekvationen för en AR(p) respektive MA(q)- process. b) En AR(1)-process har kovariansfunktionen γ(k) = 4(0.6) k. Vilken AR(1)-process är det och hur stor är variansen V [e t ] = σ 2 t? Ledning: använd Yule-Walkers ekvationer. c) Använd Yule Walkers ekvationer för att beräkna kovarians- och korrelationsfunktionen för följande AR(2)-process. Y (t) = θ 1 Y (t 1) + θ 2 Y (t 2) + e(t), där e(t) är vitt brus med variansen σ 2 e = 2 och där θ 1 = 0.5, och θ 2 = 0.8. d) Vilka villkor måste vara uppfyllda för att en AR(2), MA(2) eller ARMA(2, 2)- process ska vara stabila. e) Avgör ifall MA(2)-processen: Y (t) = e(t) θ 1 e(t 1)+θ 2 e(t 2), där θ 1 = 1.8 och θ 2 = 0.5 är inverterbar. Vad innebär det att en MA(p)-process är inverterbar respektive inte inverterbar? 1

2 2 Simulering av ARMA(p,q)-processer 2.1 R-kommandon Användbara kommandon för simulering av ARMA(p,q)-modeller, beräkning av teoretisk och skattad kovarians- och korrelationsfunktion i R. Simulering av ARMA(p,q)-process: arima.sim(model=list(ar=c(φ 1,...),ma=-c(θ 1,...)),n=antal värden,sd=σ). Alternativt: arima.sim(list(order=c(p,d,q),ar=c(φ 1,...),ma=-c(θ 1,...)),n=antal värden,sd=σ). Skattning av kovarians- korrelations-funktionen hos en ARMA(p,q)-process: acf(y,...). Den teoretiska korrelations-funktionen hos en ARMA(p,q)-process: ARMAacf(ar= c(...), ma= c(...)). Dierensbildning Y (t) av processen Y (t): diff(y,...). 2.2 AR(1) MA(1) processer Börja med att undersöka en AR(1)-process. Välj två värden på φ med motsatt tecken men med samma absolutvärde, tänk på att φ < 1. Simulera respektive process ni bör åtminstone simulera olika värden. Bestäm därefter både den skattade och den teoretiska korrelations- och kovariansfunktionen. Förklara skillnaden mellan de två processerna och hur man kan se det både i processens realiseringar och dess kovarians/korrelationsfunktioner. Genomför därefter motsvarande simuleringar och analys för en MA(1)-process. 2.3 AR(2) När det gäller AR(2)-processer kan man trots att det nns klara begränsningar på vilka värden på φ 1 och φ 2 man måste välja för att processen ska vara stabil få en stor variation på hur processerna kommer att bete sig. Begränsningarna nns illustrerade i guren på sidan 72 i grundboken. Det är svårt att med avseende på värdena av φ i direkt avgöra hur processen kommer att bete sig men det nns i princip tre olika grundstrukturer för korrelations- kovariansfunktionen för processen. Beroende på i vilken eller vilka regioner (reella respektive komplexa rötter hos den karakteristiska ekvationen) man väljer koecienterna kommer korrelations- och kovariansfunktionen att se ut på olika sätt. Den kan bli alternerande respektive icke alternerande, där avtagandet antingen kommer att vara rent exponentiellt eller oscillerande men också en kombination av ett oscillerande och exponentiellt avtagande. Det som är avgörande för processens utseende är alltså ifall valet av koecienter ger upphov till komplexa eller reella rötter till den karakteristiska ekvationen för AR(2)-processen. Er uppgift är att prova några kombinationer av koecienter i AR(2)-modellen med utgångspunkt från guren sid 72 och försöka avgöra vilken typ av grundstruktur som man får när man väljer koecienter som motsvarar reella rötter respektive komplexa rötter. Kan man identiera vilken grundtyp korrelationsfunktionen tillhör så har man också en uppfattning om värdena på koecienterna i modellen. Den struktur ni får fram 2

3 hos korrelationsfunktionen kan ni också hitta i själva processen. Det är alltså viktig att ni gör en koppling mellan själva, simuleringarna av processen, kovarians- respektive korrelations funktionen och valet av koecienter. Tänk på att om magnituden hos koecienterna är liten (nära 0) är beroendet väldigt lågt och det kan då vara svårt att identiera strukturerna. 2.4 ARMA(p,q) Undersök ett par olika realiseringar av enkla ARMA(p,q) processer. Använd era erfarenheter från ovanstående uppgift när ni väljer koecienter och ordning i modellerna. 2.5 Inverterbarhet hos MA-process I denna del av hemuppgiften ska ni studera dualiteten (inverterbarheten) mellan en MA(1)-process och en AR(p)-process av oändlig ordning. Antag att vi har en MA(1)-process: Y (t) = e t θe(t 1), där θ = 0.5 och θ = 0.5. Leta upp motsvarande AR(p)-processer, Y (t) = (θy (t 1) + θ 2 Y (t 2) + θ 3 Y (t 3)) e t. Gör en simulering av respektive MA(1)-process och skatta deras korrelationsfunktioner. Studera därefter motsvarande AR(p)-processer. Hur många termer, p, måste vi använda i AR(p)-processen för att, i praktiken, vi inte ska kunna särskilja realiseringarna och korrelationsfunktionerna från MA(1)-processerna samt deras motsvarande AR(p)-process? Kan det bero på värdet av θ? 3 Trendanalys med hjälp av tidsdierensbildning När man har en tidsseriemodell som inte är stationär utan av typen: Y (t) = µ(t) + X(t) där µ(t) är en deterministisk trend och X(t) den stationära komponenten, kan man genom en eller era dierensbildingar av tidsserien bli av med trenden och plocka fram den stationära komponenten X(t). I allmänhet räcker det med en eller två upprepade dierensbildningar. Man skapar helt enkelt en ny tidsserie W (t) = (Y (t) = Y (t) Y (t 1) som förhoppningsvis har bättre stationäritetsegenskaper än ursprungsprocessen. Ni ska komplettera analysen av ert valda datamaterial i hemuppgift I med en avtrendiering av med hjälp av dierensbildningen d Y (t). Jämför den tidsserie och dess egenskaper ni får fram efter en eller era dierensbildningar med de resultat som ni ck vid trendanalysen. Prova också att kombinera dierensbildningen med en säsongs eller periodisk modell. Vilken teknik plockar fram den stationära komponenten bäst? I R kan man utföra en dierensbildning Y (t) enkelt genom att utnyttja funktionen diff(y,...). 3

4 4

5 Lunds universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 laboranter (namn och grupp): handledare: utförd/inlämnad: godkänd: Redovisning av Hemuppgift 2 Arma-modeller. Checklista Ja Nej 1. Är alla momenten i labben (inklusive förberedelseuppgifter) utförda? 2. Har rapporten blivit korrekturläst? Är språk- och skrivfel rättade? 3. Är gurer, tabeller och liknande försedda med gurtexter och tydlig numrering? 4. Har alla gurer storheter inskrivna på alla axlar? 5. Är de beräkningar som kan kontrollräknas kontrollräknade? 6. Har du gjort en rimlighetsbedömning av samtliga resultat? 7. Har eventuella orimliga resultat blivit vederbörligen kontrollerade och kommenterade? 8. Är den löpande texten väl strukturerad med tydliga avsnittsrubriker? 9. Är skriften försedd med: Sammanfattning? Innehållsförteckning? Referenslista? Sidnumrering? Datum? 10. Har förutsättningar, förenklingar och gjorda antaganden tydligt redovisats? 11. Är din rapport läsbar utan tillgång till laborationshandledningen? 12. Är detta försättsblad med checklista fullständigt ifyllt?