Befolkningsprognos för kommunerna i Stockholms län under perioden

Transkript

1 Befolkningsprognos för kommunerna i Stockholms län under perioden Martin Elfsberg U.U.D.M. Project Report 2004:10 Examensarbete i matematisk statistik, 20 poäng Handledare: Silvelyn Zwanzig, Uppsala universitet och Johan Bring, Statisticon Examinator: Silvelyn Zwanzig Juni 2004 Department of Mathematics Uppsala University

2 Befolkningsprognos för kommunerna i Stockholms län under perioden Martin Elfsberg 9 juni 2004

3 Tack! Jag vill börja med att tacka Johan Bring (chef Statisticon) för att du gav mig denna möjlighet och Tomas Pettersson (handledare vid Statisticon). Silvelyn Zwanzig (handledare/examinator vid Uppsala Universitet) för all tid och kunskap du bidragit med, du har varit ett stort stöd under arbetets gång. Till sist vill jag tacka John Brandel och Johan Eriksson för att ni alltid ställt upp och besvarat mina stundtals knäppa frågor under min studietid.

4 Sammanfattning För kommunerna i Stockholms län har en befolkningsprognos gjorts för perioden Arbetet presenterar flera olika modeller för hur en sådan prognos kan göras antingen genom att använda regressionsanalys, tidsserieanalys eller multivariat tidsserieanalys. Regressionsmodellen användes för att göra prognoser för alla kommuner under tidsperioden medan tidssseriemodellerna och multivariat modellen användes på två kommuner. Det är stora skillnader i resultaten med varierande trender mellan prognoserna och stora variationer i standardavvikelserna. Ser man till den historiska utvecklingen hos kommunerna är det regressionsmodellen som ger den mest trovärdiga prognosen.

5 Innehåll 1 Inledning Syftet med denna studie Kompletterande syfte Data Datamaterial Multivariat tidsserieanalys Andra ordningens egenskaper Estimering av väntevärdesvektorn och kovariansmatrisen Multivariata ARMA processer Prognos av multivariata autoregressiva processer Analys Kontroll av data Tidsserieanalys Multivariat tidsserieanalys Regressionsanalys Resultat Kontroll av data Tidsserieprognos Multivariat tidsserieprognos Regressionsprognos Diskussion 20 7 Referenser 23 8 Bilaga 1: Förklaring av nyckeltal och kommunkoder 24 9 Bilaga 2: Resultat från kontrollen av datamaterialet Bilaga 3: ARMA(p,q)-modeller för kommunerna med och utan trend Bilaga 4: Resultat från tidsserieprognoser med modell 1 och 2, dvs Prognos med trend respektive Prognos utan trend, för kommun 114 och

6 12 Bilaga 5: Resultat från multivariat tidsserieanalys på kommun 114 och Bilaga 6: Regressionsmodeller Bilaga 7: Resultat av regressionsprognoser med linjär och kvadratisk extrapolation Appendix 46 5

7 1 Inledning 1.1 Syftet med denna studie Landstingsstyrelsen fattade får några år sedan ett beslut om att det skulle göras en befolkningsprognos på kommunnivå för Stockholms län. Landstinget beslutade att Regionplane- och trafikkontoret (RTK) inom Stockholms läns landsting (SLL) skall ansvara för upphandlingen. Statisticon har på uppdrag av RTK fått i uppgift att göra en befolkningsprognos för länets kommuner mellan åren Figur 1 visar hur befolkningsmängden ökat i Stockholms län under perioden Befolkningsmängd Stockholms län Befolkningsmängd År Figur 1: Befolkningsmängden i Stockholms län mellan åren Varför kan det vara av intresse för SLL att få veta hur kommunernas befolkningsutveckling ser ut inom en kommande tioårsperiod? En prognos av befolkningsmängden kan ligga till grund för planeringen inom länet och då främst inom sjukvårdsplaneringen. Prognosen görs på kommunnivå så att den kan aggregeras till olika indelningar inom sjukvården tex för de ca. 250 vårdcentraler som länet är indelat i. Prognosen skall där användas tex för förlossningsplanering och diagnosprognoser, då man tex multiplicerar antalet kvinnor respektive män i olika åldrar med risken att få bröstcancer eller prostatacancer, med risken att få stroke eller olika typer 6

8 av infarkter 1. Arbetet är inte bara av intresse för SLL utan även intressant för Statisticon men deras intresse är av en lite annorlunda karaktär. De har ett behov av att få fram automatiserade processer för att kunna detektera avvikelser från ursprungliga prognoser. Genom att göra konfidensintervall för prognosen kan man lätt se om det blir någon avvikelse under åren. Det är tänkt att man ska få en varning om en eller flera prognoser hamnar utanför intervallet. I detta arbete begränsar jag mig till att bara studera befolkningsmängdens utveckling för länets kommuner under perioden Studien kommer att göras genom att använda både tidsserie- och regressionsanalys. Jag har använt mig av programmet R i detta arbete. 2 Jag kommer att studera varje kommun var för sig men ger teorin bakom multivariat tidsserieanalys samt utför ett enkelt exempel för två av kommunerna. Anledning till varför jag inte undersöker det multivariata sambandet för alla kommuner och gör min prognos utifrån den är att metoden inte är färdigutvecklad i R och inte returnerar några standardavvikelser vilka behövs för beräkningen av konfidensintervallet Kompletterande syfte Detta arbete ska även kunna användas som ett hjälpmedel för andra studenter eller personer med ett intresse av att lära sig använda programmet R. I Appendix i slutet av detta arbete presenterar jag hur man kan gå till väga när man vill göra tidsserie- och regressionsanalyser samt prognoser i R. Det ska däremot förtydligas att det kan göras på flera olika sätt och att de metoder jag redovisar kanske inte är de bästa men syftet är att ge läsaren och den intresserade lite tips och idéer som han sedan själv kan utveckla vidare. 1 Ulla Moberg, statistikansvarig SLL, fått den 15/ Kan laddas ner från 3 I version av R fungerar inte detta men det kommer att fungera i senare versioner. 7

9 2 Data 2.1 Datamaterial I datamaterialet för en kommun beskrivs tretton demografiska nyckeltal. Kort kan man säga att ett nyckeltal är en variabel som beskriver kommunens uppbyggnad vad gäller antal invånare, medelålder, antal döda osv. Vilka dessa nyckeltal är och en kort beskrivning av dem kan ses i Bilaga 1. Varje nyckeltal är en tidsserie med ett värde för varje år mellan Som redan nämnts så begränsar jag mig till att bara studera nyckeltalet bef, dvs befolkningsmängden den 31/12 det aktuella året. Stockholms län består av 25 kommuner mellan åren men from år 1998 består länet av 26 kommuner. Det som hände 1998 var att Södertäljes kommun delades upp i Södertälje och Nykvarns kommun. Det innebär att Nykvarns kommun bara har existerat i fem år och har lite för få observationer för att man ska kunna göra tillförlitliga modeller. Därför valde jag att inte studera dessa kommuner var för sig utan lägga ihop dess värden och studera de som en kommun som i detta arbete fått kommunkoden Vilka kommuner som ingår i Stockholms län samt deras kommunkod kan ses i Bilaga 1. I fortsättningen kommer jag att hänvisa till en kommun genom dess kod istället för att använda kommunens fullständiga namn. I de sex figurerna nedan visas befolkningsutvecklingen för varje kommun i länet under perioden Anledningen till indelningen är att det är stora variationer i befolkningsmängden mellan kommunerna vilket gör att det kan bli otydliga figurer. 8

10 Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd År År Figur 2: Befolkningsmängd Figur 3: Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd År År Figur 4: Befolkningsmängd Figur 5: Befolkningsmängd

11 Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd Befolkningsmängd År År Figur 6: Befolkningsmängd Figur 7: Befolkningsmängd Multivariat tidsserieanalys Man kan studera tidsserier oberoende och var för sig som univariata tidsserier men denna metod är dock inte att föredra när man handskas med två eller flera tidsserier eftersom den inte tar hänsyn till möjliga beroenden mellan tidsserierna. Dessa korsvisa beroenden är av stor vikt framför allt när man ska prediktera framtida värden Andra ordningens egenskaper Vi har n stycken tidsserier X t1...x tn där n= observerade vid åren t= Varje tidsserie motsvarar nyckeltalet bef för en av kommunerna. Vi skapar en vektor X t =(X 11,..., X tn ) och definierar väntevärdesvektorn µ t = EX t =[µ t1...µ tn ] (1) och kovariansmatrisen 4 Brockwell & Davis, Introduction to Time Series and Forecasting,

12 Γ(t + h, t) = där γ ij (t + h, t) =Cov(X t+h,i,x t,j ). γ 11 (t + h, t)...γ 1m (t + h, t). γ m1 (t + h, t)...γ mm (t + h, t) (2) 3.2 Estimering av väntevärdesvektorn och kovariansmatrisen En naturlig väntevärdesriktig estimator av väntevärdesvektorn µ baserad på observationerna X 1...X n är medelvärdesvektorn 5 X n = 1 n n X t (3) t=1 Kovariansmatrisen estimeras enligt 1 n h ( ˆΓ(h) ={ n t=1 Xt+h X )( n Xt X ) n då 0 h n 1 ˆΓ( h) då n +1 h<0 (4) Om vi kallar den (i,j)-komponenten av ˆΓ(h) där i, j =1, 2,... för ˆγ ij (h) så är estimatet av korskorrelationen ˆρ ij (h) =ˆγ ij (h)[ˆγ ii (0)ˆγ jj (0)] 1 2 (5) Detta ger korrelationen mellan alla tidsserierna i datamaterialet och när i = j så blir ˆρ ij autokorrelations funktionen för den i te tidsserien. 3.3 Multivariata ARMA processer En multivariat ARMA(p,q) process kan skrivas X t Φ 1 X t 1... Φ p X t p = Z t +Θ 1 Z t Θ q Z t q (6) där Z t WN(0, ). 5 Brockwell & Davis, Introduction to Time Series and Forecasting,

13 3.4 Prognos av multivariata autoregressiva processer Om vi antar att X t är en AR(p) process med koefficientmatrisen Φ=Φ 1,...,Φ p kan vi skriva denna X t =Φ 1 X t Φ p X t p + Z t, Z t WN(0, ) (7) För att beräkna den bästa h-steg linjära prediktorn P n X n+h baserad på komponenterna X 1,..., X n så applicerar vi den linjära prediktorn P n på ekvation 7 för att utföra recursionen 6 P n X n+h =Φ 1 P n X n+h Φ p P n X n+h p (8) Kovariansmatrisen beräknas enligt E [ (X n+h P n X n+h )(X n+h P n X n+h ) ] n p (9) 4 Analys I detta avsnitt presenterar jag hur kontrollen av datamaterialet gjordes och vilka modeller som användes för att göra prognoser. 4.1 Kontroll av data När man ställs inför en uppgift där det är stora datamängder som ska hanteras är det viktigt att man börjar med att kontrollera sina data innan man gör sina analyser. Eftersom detta arbete går ut på att göra befolkningsprognoser är det mest intressant att analysera dessa data. Kan man tänka sig att befolkningen vid en viss tidpunkt i en kommun är beroende av andra nyckeltal? Det är intuitivt att befolkningen vid slutet av innestående år beror av kommunens befolkning året innan samt döds-, födelse-, inflyttningsoch utflyttningstalet innestående år. Nedan visas hur modellen ser ut som testar detta påstående och i Bilaga 2 visas resultaten. bef(t) αbef(t 1) + βdoda(t)+γfodda(t)+λinfl(t)+ρutfl(t) 1 6 Brockwell & Davis, Introduction to Time Series and Forecasting,

14 4.2 Tidsserieanalys Det finns många olika sätt att anpassa en ARMA(p,q) modell till sin tidsserie och i Appendix ges förslag på hur det kan gå till. I detta arbete valde jag att göra påtvå olika sätt. 1. Med trend: Jag valde att behandla trenden genom att anpassa en kurva till tidsserien med en regressionsmodell. Vilken typ av kurva som anpassades beror av tidsseriens utseende mellan åren och jag ansåg att det antingen är en linjär eller en andragrads ekvation som bäst kan förklara trenden. Ett annat antagande jag gör är att det för varje tidsserie inte är några säsongseffekter och då blir residualerna lika med tidsserien minus trenden. Till residualerna anpassades sedan en ARMA(p,q) modell. 2. Utan trend: Om man antar att tidsserien är stationär så kan man anpassa en ARMA(p,q) modell direkt på den. I Bilaga 3 kan man se vilka ARMA(p,q) modeller som anpassades till tidsserierna när de ovan beskrivna metoderna användes. Jag presenterar här två olika modeller för hur en prognos kan gå till väga. 1. Prognos med trend: Man börjar med att använda sig av en kortare del av tidsserien tex Till denna anpassar man en modell för trenden och gör en prognos, pred.trend, för 1997 och en ARMA(p,q) modell anpassas till residualerna och en prognos, pred.arima,görs för För år 1998 används sedan tidsserien mellan Detta upprepas tom år 2002 och då kan kovariansen mellan pred.trend och pred.arima beräknas. Sedan fortsätter man för år 2003 och då kan man beräkna prognosen för befolkningsmängden enligt pred(2003) = pred.trend + pred.arima (10) och konfidensintervallet enligt pred(2003) ± λ 1 α/2 se.trend 2 + se.arima 2 +2 Cov(pred.trend, pred.arima) där se.trend och se.arima är standardavvikelsen för pred.trend respektive pred.arima. Detta upprepas för varje år som ska prognosticeras. 13

15 2. Prognos utan trend: Här används hela tidsseriens längd, dvs , och om man antar att den är stationär kan en ARMA(p,q) modell anpassas direkt på den. En prognos görs för alla år samtidigt i perioden Dessa två modeller har jag applicerat på två till utseendet olika kommuner, nämligen 114 och 115. Valet av kommuner har jag gjort eftersom trenden anpassas med en andragrads- respektive linjär ekvation och då kan man se om någon av modellerna är att föredra framför den andra. Resultaten kan ses i Bilaga Multivariat tidsserieanalys Som nämnts tidigare så saknas den viktiga funktionen i R som beräknar standardavvikelsen vid en prognos av multivariata tidsserier och därför kan inte konfidensintervallet beräknas. Men jag gjorde ändå en prognos, dock bara för ett år där kommunerna 114 och 115 behandlades som multivariata tidsserier. När man ska göra prognoser är det av stor betydelse att man studerar det multivariata sambandet mellan kommunerna och hur detta kan göras kan ses i Appendix. Två prognoser gjordes, den ena när en ARMA(p,q) modell hade anpassats enligt metoden Med trend och den andra med metoden Utan trend och resultaten kan ses i Bilaga Regressionsanalys Som jag nämnde tidigare så är det vissa skillnader i utseendet hos tidsserierna. Många tidsserier har en ganska stor variation under de första åren vilket gör det svårt att anpassa en bra modell till hela serien. Där det har varit möjligt att anpassa en bra modell till hela tidsserien har det gjorts men för de flesta av kommunerna har jag använt mig av lokal linjär eller kvadratisk extrapolation på en kortare del av tidsserien. Hur detta har gått till kan man se i Appendix och i Bilaga 6 kan man se vilka regressionsmodeller som anpassats och i kolumnen Kod om jag använt mig av hela eller bara en del av tidsserien. Dessa regressionsmodeller har sedan använts för att göra en prognos för hela tidsperioden på en gång. I Appendix kan man se hur denna prognos kan göras i R och i Bilaga 7 hur prognoserna ser ut. 14

16 5 Resultat Här presenteras vilka resultat som följer av kontrollen av datamaterialet och prognoserna. 5.1 Kontroll av data I Bilaga 2 visas resultaten från kontrollen av datamaterialet. Som man kan se av dessa resultat så är det för samtliga kommuner väldigt bra modellanpassningar (låga p-värden för F-stat) och bra relationer mellan de ingående variablerna (höga R 2 ) men det är dock vissa oklarheter. För kommun 187 är det bara bef(t-1) och infl(t) som är signifikanta och för kommun 117 är det fodda(t) som inte är signifikant även om doda(t) bara är signifikant på 10%-nivån. Någon bra förklaring till varför dessa kommuner avviker från de övriga kan jag inte ge men en sak som de har gemensamt är att de är kustkommuner. 5.2 Tidsserieprognos I de två figurerna nedan kan man se resultatet från prognoserna med modell 1 och 2, dvs Prognos med trend och Prognos utan trend. Prognos för kommun 114 med modell 1 och 2 Prognos för kommun 115 med modell 1 och 2 Befolkningsmängd Prognos med trend Prognos utan trend Befolkningsmängd Prognos med trend Prognos utan trend År År Figur 8: Prognos för kommun 114 med modell 1 och 2 Figur 9: Prognos för kommun 115 med modell 1 och 2 15

17 Om man först studerar Figur 8 så är det stora skillnader i prognosen mellan modellerna. Den stora nedgången för modell 1 kan förklaras av att det till trenden anpassades en andragradsekvation och när sedan prognosen beräknades enligt ekvation 10 så är det prognosen för trenden (pred.trend) som dominerar. Detta får till följd att prognosen för modell 1 följer andragradsekvationen. Prognosen för modell 2 följer den avtagande trenden som tidsserien uppvisar under åren Om man sedan ser på resultaten för kommun 114 i Bilaga 4 så är det stora skillnader vad gäller konfidensintervallet mellan modellerna pga stora skillnader i standardavvikelsen. För modell 1 är det höga standardavvikelser som ökar med prognosåret men än högre är det för modell 2 vilket får till följd att konfidensintervallen blir stora för båda modellerna. Den lägre standardavvikelsen för modell 1 har att göra med att prognosen görs för ett år i taget medan den betydligt högre standardavvikelsen för modell 2 beror av att prognosen görs för alla år samtidigt och då blir osäkerheten större för varje år. I Figur 9 ser man hur prognoserna blev för kommun 115. Modell 1 följer prognosen för trendmodellen som i detta fall är en linjär ekvation medan modell 2 följer trenden som tidsserien uppvisar under åren I Bilaga 4 ser man att även här ger modellerna höga standardavvikelser som ökar med prognosåret och stora konfidensintervall. Dock är det inte en lika stor ökning av standardavvikelsen för modell 1 som det är för motsvarande modell för kommun 114. Även här görs prognosen för modell 2 för alla år samtidigt och dåökar standardavvikelsen med prognosåret. Kan man säga något om vilken modell som är bäst eller som passar vid ett givet tillfälle? När man har en kommun med ett utseende som liknar det för kommun 114, dvs där trenden bäst anpassas av en andragradsekvation, så är inte modell 1 att rekommendera. Den ger icke trovärdiga prognoser därför att de avtar väldigt snabbt. Modell 2 däremot, ger en prognos med liknande trend som tidsserien har under åren Den avtar inte lika mycket och jag anser därför att den är mera trovärdig. För kommuner vars historiska utveckling varit nästan linjär kan båda modellerna användas även om modell 1 verkar mest trovärdig om man ser till den historiska utvecklingen. 16

18 5.3 Multivariat tidsserieprognos När man använder sig av multivariat tidsserieanalys så kan man bara anpassa en AR(p) modell, det fungerar alltså inte med en ARMA(p,q) modell. AR(p) modellen anpassades med båda metoderna Med trend och Utan trend. Av resultaten i Bilaga 5 ser man att det blir en AR(2) modell för tidsserierna Med trend och en AR(1) Utan trend. Man ser även korrelationen mellan kommunerna som koefficienterna bef114&bef115 och bef115&bef114. Eftersom dessa koefficienter är små så innebär det att det bara är en liten korrelationer mellan kommunerna. I Bilaga 5 kan man även se hur prognosen blev för år Prognosen blir högre för båda kommunerna i fallet då data behandlades med metoden Med trend än Utan trend. 5.4 Regressionsprognos För att konfidensintervallets längd ska kunna beräknas på ett korrekt sätt så ska residualerna vara oberoende men så är inte fallet för alla kommuner i detta arbete. Detta är något jag har varit medveten om men jag använder ändå metoden även om konfidensintervallens längd inte kommer att stämma exakt. Figurerna 10 och 11 visar residualerna för kommun 120 och 115 som är respektive inte är white noise. I de sex figurerna, Figur 12-17, presenteras prognoserna som gjordes med linjär och kvadratisk extrapolation av tidsserien. Indelningen av kommunerna i figurerna beror på variationen i befolkningsmängden och för att figurerna ska vara så tydliga som möjligt. 17

19 Series: Residual frequency Series: Residual frequency Figur 10: Residualer kommun 120, white noise Figur 11: Residualer kommun 115, inte white noise Prognos Prognos Befolkningsmängd Befolkningsmängd År År Figur 12: Prognos med linjär/ kvadratisk extrapolation Figur 13: Prognos med linjär/ kvadratisk extrapolation 18

20 Prognos Prognos Befolkningsmängd Befolkningsmängd 2 e+04 4 e+04 6 e+04 8 e+04 1 e År År Figur 14: Prognos med linjär/ kvadratisk extrapolation Figur 15: Prognos med linjär/ kvadratisk extrapolation Prognos Prognos Befolkningsmängd Befolkningsmängd År År Figur 16: Prognos med linjär/ kvadratisk extrapolation Figur 17: Prognos med linjär/ kvadratisk extrapolation 19

21 I Bilaga 6 kan man se vilka modeller som ligger till grund för prognoserna och i kolumnen Kod kan ses från vilken tid som modellen gäller, bara i tre fall användes hela tidsseriens längd. Man ser även att det användes linjär extrapolation överallt förutom på kommunerna 127, 160 och 180 där det användes kvadratisk. För de flesta av kommunerna är det väldigt bra relation mellan de ingående variablerna i modellen (höga R 2 värden) med värden klart över 0.9, det är bara kommun 162 som inte når upp till det värdet med P-värdet för koefficienterna är klart signifikanta för alla kommuner även om det för kommun 127 bara är signifikant på 5%- nivån. Det är även bra anpassade modeller med låga p-värden för F-stat. I Bilaga 7 ser man att det för alla kommuner är monotont växande befolkningsprognoser. Även standardavvikelserna ökar med prognosåret, detta har sin förklaring i att prognosen görs för alla år samtidigt och då blir osäkerheten större för prognoser längre fram i tiden. Man kan även se att med vissa undantag så är merparten av kommunernas standardavvikelser pånästan samma nivå. 6 Diskussion När jag gjorde mina prognoser med tidsserieanalys jämförde jag två olika modeller (modell 1: Prognos med trend, modell 2: Prognos utan trend) på kommunerna 114 och 115. För kommun 114 gav modell 1 en kraftigt avtagande prognos samt höga standardavvikelser som ökar med tiden. De höga standardavvikelserna ger i sin tur att konfidensintervallet blir stort. Den avtagande prognosen beror på att det till trenden anpassades en andragradsekvation och när prognosen sedan beräknas enligt ekvation 10 så är det (pred.trend) som dominerar varför detta medför att prognosen för modell 1 följer andragradsekvationen. Modell 2 ger även den en avtagande prognos som i detta fall följer tidsseriens trend för åren Även här blev standardavvikelserna höga och högre för varje prognosår med ökande konfidensintervall som följd. De växande standardavvikelserna beror av att för denna modell görs prognosen för alla år samtidigt vilket ger större osäkerhet desto längre fram i tiden som ska prognosticeras. För kommun 115 ger modell 1 en växande prognos som även här följer prognosen för trenden som för denna kommun är linjär. Modellen ger höga standardavvikelser som ökar med tiden även om ökningen är betydligt mindre jämfört med samma modell för kommun 114. Modell 2 ger en svagt avtagande prognos som följer tidsseriens trend för åren

22 Även här blev standardavvikelserna höga och högre för varje prognosår med ökande konfidensintervall. Om man jämför resultatet från multivariata tidsserieprognosen med resultaten från modellerna 1 och 2 så är prognosen för kommun 114 lite lägre i båda fallen (Med trend och Utan trend). För kommun 115 är däremot prognosen endast lägre i fallet Utan trend jämfört med modell 2. Jag presenterar mina prognoser från regressionsmodellerna som de slutgiltiga. Här har jag anpassat en modell till min tidsserie utifrån dess utseende och i de fall det var svårt att anpassa en bra modell till hela tidsserien använde jag mig av lokal linjär eller kvadratisk extrapolation på en kortare del av serien. Prognoserna gjordes för alla år samtidigt och är för alla kommuner monotont växande med växande standardavvikelser men de är, med vissa undantag, på enlåg nivå, därmed blir konfidensintervallets längd kort. Vid en jämförelse mellan alla olika sätt att göra en prognos på såär det stora skillnader metoderna emellan. Jämför man resultaten för kommun 114 så ger modell 1 och 2 prognoser där befolkningsmängden kommer att minska medan den kommer att öka med regressionsmetoden. Vilken metod som är sann kan jag så klart inte avgöra men det verkar lite underligt att befolkningsmängden kommer att minska så drastiskt med modell 1. Även modell 2 ger en prognos där det kommer att ske en minskning men den är betydligt mindre. Om man tittar på den historiska utvecklingen för kommunen i Figur 3 så verkar det minst troligt att resultaten från modell 1 skulle inträffa medan resultaten från modell 2 och regressionsmetoden (se Figur 8 resp Figur 13) mera troligt skulle kunna inträffa. När man sedan tittar på standardavvikelsen så blir de höga för både modell 1 och 2 medan de i sammanhanget blir relativt små för regressionsmetoden. För kommun 115 är det modell 1 och regressionsmetoden som ger en positiv ökning av befolkningsmängden medan modell 2 ger en liten minskning. Även här är det modell 1 och 2 som har de högsta standardavvikelserna och de längsta konfidensintervallen. För denna kommun verkar det som om modell 1 (se Figur 9) och regressionsmetoden (se Figur 12) är de som bäst skulle svara mot den verkliga befolkningsutvecklingen om man ser till hur den sett ut under perioden enligt Figur 2. Kan man säga något om vilken modell som är bäst eller är att föredra vid en prognos? Det är stora skillnader mellan modellerna som presenter- 21

23 ats i detta arbete främst vad gäller prognosens trend för perioden men även standardavvikelserna varierar kraftigt. Regressionsmetoden ger för alla kommuner växande prognoser och, med vissa undantag, låga standardavvikelser. Som man kan se i Figur så verkar prognoserna vara trovärdiga om ser till hur befolkningsmängden utvecklats under åren Däremot så är det lite svårare att dra några bra slutsatser från prognoserna från modell 1 och 2 eftersom de bara användes på två kommuner, men när en tidsseries trend anpassas med en andragradsekvation så är modell 2 att föredra. När trenden anpassas med en linjär ekvation är det däremot modell 1 som ger det mest trovärdiga resultatet. Här presenterar jag några förslag på hur man kan utveckla detta arbete vidare. Det finns flera sätt att behandla en tidsseries trend- och säsongseffekter än de som gjorts i detta arbete (se Appendix för olika metoder). Det vore intressant att se om man får liknande resultat eller om de avviker från de som framkommit i detta arbete. När en nyare version av R utges kan man testa det multivariata sambandet mellan kommunerna för att se om vissa kommuner samverkar och om en ökning av befolkningen i en kommun hör samman med en minskning i en annan eller tvärtom. Sedan kan man göra prognoser och jämföra med de som framkommit i detta arbete. Som det nämndes tidigare så består datamaterialet av flera sk nyckeltal, det kan finnas ett intresse att även undersöka dessa. 22

24 7 Referenser 1. Brockwell. Peter J. and Davis. Richard A. Time Series: Theory and Methods, Springer, Second edition, Brockwell. Peter J. and Davis. Richard A. Introduction to Time Series and Forecasting, Springer, Second edition,

25 8 Bilaga 1: Förklaring av nyckeltal och kommunkoder Bef: befolkningsmängd den 31/12 respektive år. Doda: antal avlidna under det aktuella året. Fodda: antal levande födda under det aktuella året. Infl: antal inflyttade under det aktuella året. Utfl: antal utflyttade under det aktuella året. Mbef:årsmedelbefolkning (genomsnittet av befolkningen den 31/12. innevarande år och befolkningen den 31/12 föregående år). Dtal: det allmänna dödstalet (antal döda/medelbefolkningen). Ftal: det allmänna födelsetalet (antal levande födda/medelbefolkningen). Intal: det allmänna inflyttningstalet (antal inflyttade/medelbefolkningen). Uttal: det allmänna utflyttningstalet (antal utflyttade/medelbefolkningen). Folkokn: årets folkökning (absoluta tal). Konskvot: könskvot (antal män/totalbefolkningen). M.alder: medelålder. 24

26 Kod Kommun Upplands Väsby 114 Vallentuna 115 Österåker 117 Värmdö 120 Järfälla 123 Ekerö 125 Huddinge 126 Botkyrka 127 Salem 128 Haninge 136 Tyresö 138 Upplands-Bro 139 Nykvarn 140 Täby 160 Danderyd 162 Sollentuna 163 Stockholm 180 Södertälje 181 Nacka 182 Sundbyberg 183 Solna 184 Lidingö 186 Vaxholm 187 Norrtälje 188 Sigtuna 191 Nynäshamn 192 Tabell 1: Stockholms läns kommuner och motsvarande kommunkoder 25

27 9 Bilaga 2: Resultat från kontrollen av datamaterialet Kod Coef Est s.e p R 2 F-stat 114 bef(t 1) e e 16 doda(t) e 11 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 11 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) infl(t) e 8 utfl(t) bef(t 1) e e 16 doda(t) e 5 fodda(t) e 11 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 7 fodda(t) e 8 infl(t) e 16 utfl(t) e 16 Tabell 2: Resultat från kontrollen av datamaterialet. Signifikanskoder enligt: 0 ***, **, 0.01 *,

28 Kod Coef Est s.e p R 2 F-stat 125 bef(t 1) e e 16 doda(t) e 8 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) fodda(t) e 13 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 12 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 10 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) fodda(t) e 13 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 6 fodda(t) e 15 infl(t) e 16 utfl(t) e 16 Tabell 3: Resultat från kontrollen av datamaterialet. Signifikanskoder enligt: 0 ***, **, 0.01 *,

29 Kod Coef Est s.e p R 2 F-stat bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 10 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 15 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 13 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e 16 Tabell 4: Resultat från kontrollen av datamaterialet. Signifikanskoder enligt: 0 ***, **, 0.01 *,

30 Kod Coef Est s.e p R 2 F-stat 184 bef(t 1) e e 16 doda(t) e 15 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 inf l(t) bef(t 1) e e 16 doda(t) e 16 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e bef(t 1) e e 16 doda(t) e 12 fodda(t) e 16 infl(t) e 16 utfl(t) e 16 Tabell 5: Resultat från kontrollen av datamaterialet. Signifikanskoder enligt: 0 ***, **, 0.01 *,

31 10 Bilaga 3: ARMA(p,q)-modeller för kommunerna med och utan trend Kod Med trend Koeff. Utan trend Koeff. 114 (2, 2) ar1 : (1, 3) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : (1, 2) ar1 : (1, 6) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 : ma5 : ma6 : (1, 2) ar1 : (1, 5) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 : ma5 : (2, 2) ar1 : (1, 4) ar1 : 1 ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 : (2, 1) ar1 : (1, 4) ar1 : ar2 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 :

32 Kod Med trend Koeff. Utan trend Koeff. 125 (2, 2) ar1 : (1, 5) ar1 : ar2 : ma1 : ma2 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 : ma5 : (4, 1) ar1 : (1, 6) ar1 : ar2 : ma1 : ar3 : ma2 : ar4 : ma3 : ma1 : 1 ma4 : ma5 : ma6 : (2, 2) ar1 : (1, 3) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : (1, 2) ar1 : (1, 2) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : (2, 1) ar1 : (1, 4) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma3 : ma4 : (1, 3) ar1 : (1, 3) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma3 : (1, 1) ar1 : (1, 2) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 :

33 Kod Med trend Koeff. Utan trend Koeff (1, 1) ar1 : (1, 3) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma3 : (2, 2) ar1 : 1.83 (1, 5) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 : ma5 : (2, 1) ar1 : (1, 1) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : (2, 1) ar1 : (1, 6) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : 1 ma2 : ma3 : ma4 : ma5 : ma6 : (2, 1) ar1 : (1, 3) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma3 : (2, 2) ar1 : (1, 6) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma4 : ma5 : ma6 :

34 Kod Med trend Koeff. Utan trend Koeff. 183 (3, 1) ar1 : (1, 3) ar1 : 0.92 ar2 : ma1 : ar3 : ma2 : ma1 : ma3 : (3, 3) ar1 : (1, 2) ar1 : ar2 : ma1 : ar3 : ma2 : ma1 : ma2 : 0.77 ma3 : (2, 3) ar1 : (1, 3) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma3 : (1, 1) ar1 : (1, 3) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma3 : (1, 4) ar1 : (1, 4) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma2 : ma3 : ma3 : ma4 : 1 ma4 : (2, 1) ar1 : (1, 4) ar1 : ar2 : ma1 : ma1 : ma2 : ma3 : ma4 : (1, 1) ar1 : (1, 4) ar1 : ma1 : ma1 : ma2 : ma3 : ma4 :

35 11 Bilaga 4: Resultat från tidsserieprognoser med modell 1 och 2, dvs Prognos med trend respektive Prognos utan trend, för kommun 114 och 115 Kod : Modell År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e 114 : (35965, 38288) (35696, 37623) (35124, 36990) (33882, 36840) (32559, 36663) (31325, 36333) (30086, 35972) (29052, 35384) (28092, 34702) (27172, 33957) : (36534, 38259) (35304, 39424) (33917, 40713) (32683, 41737) (31694, 42516) (30847, 43157) (30093, 43707) (29409, 44189) (28778, 44620) (28191, 45007)

36 Kod : Modell År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e 115 : (24612, 27872) (25000, 28338) (25502, 28815) (25980, 29257) (26414, 29707) (26703, 30272) (27011, 30802) (27455, 31180) (27919, 31532) (28361, 31897) : (25698, 26418) (25524, 26992) (25140, 27558) (24705, 27985) (24120, 28442) (23469, 28981) (22811, 29515) (22251, 29951) (21756, 30324) (21306, 30652)

37 12 Bilaga 5: Resultat från multivariat tidsserieanalys på kommun 114 och 115 Med trend Koeff. Prognos 2003 ar(1) bef114 : bef114 : bef115 : bef115 : bef114&bef115 : bef115&bef114 : ar(2) bef 114 : bef 115 : bef114&bef115 : bef115&bef114 : Utan trend Koeff. Prognos 2003 ar(1) bef114 : bef114 : bef115 : bef115 : bef114&bef115 : bef115&bef114 :

38 13 Bilaga 6: Regressionsmodeller Kod Coef Est s.e p R 2 F-stat 114 Intercept e e 10 t>1985 t e Intercept 8.062e e +04 < 2e < 2.2e 16 t 1968 t 4.159e e +00 < 2e Intercept 1.019e e e e 15 t>1983 t 5.268e e e Intercept e e 12 t>1991 t e Intercept e e 12 t>1990 t e Intercept e e 15 t>1984 t e Intercept 2.308e e e e 11 t>1990 t 1.196e e e Intercept 4.662e e e 12 t>1982 t 4.716e e t e e Intercept 1.881e e e e 09 t>1985 t 1.008e e e Intercept 1.520e e e e 10 t>1992 t 7.948e e e Intercept < 2e < 2.2e 16 t>1980 t < 2e Intercept 2.937e e e e 09 t>1992 t 1.573e e e 09 Tabell 6: Regressionsmodeller. Under kommunens kod står från vilken tid t som modellen gäller. Signifikanskoder enligt: 0 ***, **, 0.01 *,

39 Kod Coef Est s.e p R 2 F-stat Intercept 1.761e e e e 05 t>1995 t 9.234e e e Intercept 6.895e e e < 2.2e 16 t 1968 t 6.873e e e 09 t e e e Intercept e e 05 t>1991 t e Intercept 1.222e e +04 < 2e < 2.2e 16 t>1982 t 6.398e e +01 < 2e Intercept 6.943e e e 11 t>1990 t 6.886e e t e e Intercept 1.969e e +04 < 2e < 2.2e 16 t>1982 t 1.022e e +01 < 2e Intercept e e 08 t>1991 t e Intercept 8.765e e +04 < 2e < 2.2e 16 t>1984 t 4.666e e +00 < 2e Intercept e e 09 t>1990 t e Intercept e e 08 t>1993 t e Intercept e e 09 t>1993 t e Intercept 7.405e e +04 < 2e < 2.2e 16 t>1983 t 3.878e e +00 < 2e Intercept 3.515e e +03 < 2e < 2.2e 16 t 1968 t 1.877e e +00 < 2e 16 Tabell 7: Regressionsmodeller. Under kommunens kod står från vilken tid t som modellen gäller. Signifikanskoder enligt: 0 ***, **, 0.01 *,

40 14 Bilaga 7: Resultat av regressionsprognoser med linjär och kvadratisk extrapolation Kod År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e (37132, 38254) (37288, 38430) (37443, 38608) (37597, 38786) (37751, 38965) (37903, 39144) (38055, 39324) (38206, 39505) (38357, 39687) (38507, 39869) (25966, 27787) (26377, 28207) (26789, 28628) (27200, 29048) (27611, 29469) (28022, 29890) (28433, 30311) (28844, 30732) (29254, 31154) (29664, 31575)

41 Kod År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e (35277, 37406) (35788, 37949) (36298, 38493) (36806, 39038) (37314, 39584) (37820, 40131) (38326, 40680) (38830, 41229) (39333, 41779) (39836, 42330) (33154, 34160) (33993, 35040) (34830, 35922) (35664, 36806) (36497, 37692) (37329, 38579) (38159, 39468) (38988, 40357) (39816, 41248) (40644, 42139) (61473, 62155) (61875, 62580) (62275, 63006) (62674, 63434) (63072, 63862) (63469, 64291) (63865, 64721) (64261, 65152) (64656, 65583) (65051, 66015) (22857, 24219) (23215, 24601) (23573, 24982) (23930, 25365) (24286, 25749) (24641, 26133) (24995, 26518) (25349, 26904) (25702, 27291) (26055, 27678)

42 Kod År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e (86344, 88893) (87496, 90133) (88643, 91379) (89786, 92628) (90925, 93881) (92061, 95137) (93194, 96396) (94325, 97658) (95453, 98922) (96579, ) (73488, 76544) (74066, 77362) (74639, 78232) (75208, 79154) (75774, 80127) (76337, 81150) (76899, 82223) (77460, 83344) (78022, 84512) (78585, 85726) (13479, 14221) (13573, 14329) (13666, 14437) (13759, 14546) (13851, 14655) (13943, 14765) (14035, 14875) (14126, 14986) (14216, 15097) (14306, 15208) (71264, 72377) (72032, 73198) (72797, 74023) (73559, 74850) (74319, 75680) (75078, 76511) (75834, 77344) (76589, 78179) (77343, 79014) (78096, 79851)

43 Kod År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e (39261, 40771) (39681, 41208) (40101, 41646) (40520, 42085) (40938, 42524) (41356, 42963) (41774, 43403) (42190, 43844) (42607, 44285) (43023, 44726) (21200, 21469) (21351, 21633) (21501, 21798) (21650, 21962) (21799, 22128) (21947, 22294) (22095, 22461) (22243, 22628) (22391, 22795) (22538, 22962) (87422, 89756) (88240, 90785) (89047, 91825) (89843, 92876) (90632, 93933) (91415, 94997) (92194, 96065) (92969, 97137) (93741, 98211) (94511, 99288) (58823, 64003) (58916, 64238) (58964, 64451) (58965, 64641) (58920, 64810) (58828, 64957) (58689, 65082) (58503, 65186) (58271, 65268) (57992, 65329)

44 Kod År Prognos Konfidensintervall (95%) s.e (29582, 30831) (29745, 31046) (29905, 31262) (30063, 31482) (30219, 31703) (30373, 31926) (30525, 32151) (30676, 32377) (30826, 32605) (30975, 32833) (59039, 60493) (59669, 61143) (60298, 61793) (60927, 62444) (61555, 63096) (62182, 63748) (62808, 64401) (63434, 65055) (64060, 65709) (64684, 66364) (760155, ) (764230, ) (767623, ) (770358, ) (772460, ) (773945, ) (774827, ) (775113, ) (774809, ) (773921, ) (76774, 79033) (77781, 80071) (78786, 81109) (79791, 82149) (80794, 83189) (81797, 84231) (82798, 85273) (83799, 86317) (84798, 87361) (85797, 88406)