Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study"

Transkript

1 Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:14 Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study Gustav Burman och Niklas Neville Självständigt arbete 15 högskolepoäng inom Statistik III, ht 2013 Handledare: Pär Stockhammar

2 Sammanfattning Uppsatsens syfte är att undersöka univariata tidsseriemodellers prognosförmåga avseende växelkursindexet kronindex för perioden 1994/ /11. Modellerna utvärderas och jämförs med Konjunkturinstitutets prognoser på kort och lång sikt. Vidare utvärderas även modellernas prognosförmåga genom jämförelse med naiva prognoser. Enligt Box-Jenkins metodologi väljs GARCH(1,1) och EGARCH(1,1) som lämpliga modeller för att prognostisera kronindex. Från resultatet dras slutsatsen att de valda prognosmodellerna inte presterar bättre än Konjunkturinstitutets prognosmodell på varken kort eller lång sikt. Dessutom uppvisar ARMA-modellerna inte en genomsnittlig prognosförmåga på vare sig kort eller lång sikt. Istället för att följa kronindex faktiska rörelser konvergerar de mot deras långsiktiga medelvärde. Däremot uppvisar Konjunkturinstitutets prognoser en prognosförmåga på både kort och lång sikt. Avslutningsvis ges förslag på ytterligare modeller som vore intressanta att utvärdera i en ny studie. Nyckelord: ARIMA, EGARCH, Ekonometri, GARCH, KIX, Prognosutvärdering

3 Förord Vi vill tacka vår handledare Pär Stockhammar för hans stora engagemang och behjälplighet i uppsatsarbetet.

4 Innehållsförteckning 1 Inledning Bakgrund Kronindex Tidigare forskning Syfte och frågeställning Metod och data Avgränsningar Disposition Metod Generella begrepp Stationaritet och invertibilitet Vitt brus och slumpvandring Heteroskedasticitet Test för stationaritet ARMA modeller AR-modellen MA-modellen ARMA-modellen ARCH-modellen GARCH-modellen EGARCH-modellen Modelldiagnostik Informationskriterier Residualanalys och modellutvärdering Prognosutvärdering Prognosavvikelse Prognosprocedur Resultat Stationaritet Heteroskedasticitet Modellval Modellutprövning och residualanalys Informationskriterier för skattade modeller Autokorrelation för skattade modellers residualer Heteroskedasticitet för skattade modellers residualer Normalitetstest för skattade modellers residualer Slutgiltigt modellval Prognoser på kort sikt... 23

5 3.6 Prognoser på lång sikt Diskussion och slutsatser Diskussion Slutsatser Referenser Bilaga A: Skattade modellers residualer Bilaga B: Skattade modellers parametrar Bilaga C: Programmeringskod i R Bilaga D: Programmeringskod i SAS

6 1 Inledning 1.1 Bakgrund Under våren år 2007 publicerade Konjunkturinstitutet (KI) den första prognosen på det effektiva växelkursindexet kronindex (KIX). Sedan dess har de publicerat nya prognoser fyra gånger per år med varierande resultat. Vid prognosarbetet används en multivariat ansats som tar hänsyn till förväntningar på bland annat reporäntan, olika riskpremier och inrikes inflation jämfört med andra länder. Pär Stockhammar, verksam vid KI och Stockholms Universitet har uttryckt ett intresse att testa om det finns andra fungerande modeller. Mer precist ligger intresset i att undersöka hur väl univariata prognosmodeller står sig jämfört med den multivariata prognosmetod som används av KI, på kort och lång sikt. En univariat prognosmodell är fördelaktig att använda eftersom den enbart använder en variabel och kan därför användas resurssnålt. Om den dessutom kan prognostisera KIX med högre precision gynnar det användarna av prognoserna samtidigt som förtroendet hos användarna av KI:s prognoser kommer öka. Med ovanstående sagt ämnar uppsatsen i korthet undersöka lämpliga univariata tidsseriemodellers prognosförmåga och jämföra dessa med prognoser utförda av KI. 1.2 Kronindex I en öppen ekonomi är ett lands växelkurs gentemot andra valutor betydelsefull för landets import- och exportpriser. I Sverige uppgår den sammanlagda exporten och importen till drygt 90 procent av BNP med en nettoexport nära 6 procent (SCB 2013). Det är möjligt att kronan apprecierar mot en valuta samtidigt som den deprecierar mot en annan valuta. Genom att enbart studera bilaterala växelkurser är det svårt att mäta växelkursers inverkan på svensk utrikeshandel. En mer överskådlig bild fås istället om ett flertal bilaterala växelkurser kombineras till ett sammanvägt index. Ett sådant index kallas för ett effektivt växelkursindex och är ett viktat medelvärde av bilaterala växelkurser. Indexet är tänkt att mäta ett lands konkurrenskraft vid utrikeshandel. Det finns ett flertal index av denna typ. Ett av dessa är KIX som är konstruerat av KI. Indexet beräknas på dagsbasis av Sveriges Riksbank och är baserat på vikter för 28 OECD länder samt Kina, Brasilien, Ryssland och Indien. Vikterna uppdateras årligen och beror på Sveriges handelsmönster med andra länder (Erlandsson & Markowski 2006). 1.3 Tidigare forskning Två framstående namn inom ekonometrin är Robert F. Engle och Tim Bollerslev, som har följts åt sedan Bollerslev doktorerade med Engle som handledare utvecklade Engle ARCH (Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity)-modellen som gjorde det möjligt att modellera variansen för tidsserier med tidsvarierande volatilitet. För bland annat ARCH-modellen tilldelades Engle år 2003 Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne. Den första stora utvecklingen av den nobelprisbelönade ARCH-modellen presenterades av Bollerslev år 1986, den så kallade GARCH (Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity)-modellen. 6

7 Utöver denna finns fler än hundra släktingar till ARCH-modellen beskrivna i litteraturen. Både ARCH- och GARCH-modellen är linjära volatilitetsmodeller och behandlar positiva och negativa chocker lika. Under åren har därför ett flertal utvecklingar av den ursprungliga GARCH-modellen tagits fram för att modellera olika egenskaper hos tidsserier. För att tillåta asymmetriska chocker utvecklade exempelvis Daniel B. Nelson år 1991 en icke-linjär GARCH-modell som fick namnet EGARCH (Exponential Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity). GARCH-modeller är vanligt förekommande vid modellering av volatiliteten hos växelkurser. Bollerslev (1987) anpassade framgångsrikt en GARCH(1,1)-modell för volatiliteten hos USD/GBP och USD/DEM för åren Bollerslevs forskning kring användbarheten av GARCH(1,1)-modellen för växelkurser har bidragit till ett flertal nya artiklar där GARCH(1,1)-modellen har lyckats beskriva volatiliteten hos växelkurser väl. Till exempel konstaterar Alexander och Lazar (2006) att GARCH(1,1)- modellen presterar bättre än andra GARCH-modeller av högre ordning för växelkurserna USD/GBP, USD/EUR och USD/YEN. Till synes används GARCHmodellen frekvent vid modellering av volatiliteten hos växelkurser. Dock har den oss veterligen inte applicerats i ett vetenskapligt sammanhang på KIX tidigare. 1.4 Syfte och frågeställning Syftet med uppsatsen är att undersöka univariata tidsseriemodellers prognosförmåga och jämföra dessa med Konjunkturinstitutets prognoser på kort och lång sikt. Mot bakgrund av detta ämnar uppsatsen besvara följande frågeställningar: Har univariata tidsseriemodeller förmåga att prognostisera KIX? Hur står sig dessa tidsseriemodellers prognoser mot KI:s prognoser? Presterar prognoserna olika på kort och lång sikt? 1.5 Metod och data Med hjälp av 230 månatliga observationer av KIX för perioden 1994/ /02 väljs lämpliga univariata prognosmodeller. Månatliga observationer används istället för dagliga, för att möjliggöra jämförelser mellan KI:s månatliga prognoser. Data är hämtat från KI:s hemsida (Konjunkturinstitutet 2013). Prognosmodellerna väljs enligt Box- Jenkins (1970) metodologi. Box och Jenkins rekommenderar att välja modeller enligt följande arbetsschema: databeredning, modellval, estimering, modelldiagnostik, prognostisering. De valda prognosmodellerna används sedan för att prognostisera KIX i mars, juni, augusti och december under perioden 2008/ /11. Prognoserna utvärderas sedan, tillsammans med prognoser gjorda under samma tidshorisont av KI, med det verkliga utfallet av KIX. Utvärderingen görs på kort och lång sikt. Prognoserna jämförs även med en naiv prognosmodell för att undersöka om det finns någon prognosförmåga hos modellerna. I analysen används Excel 2010 för att bearbeta data, beräkna prognosavvikelsemåtten RMSE, ME och Theils U 2, samt göra tabeller i resultatdelen. Programvaran R används tillsammans med programpaketet Rugarch för estimering och utvärdering av olika prognosmodeller. R används även för att prognostisera framtida värden av KIX 7

8 med iterationsteknik. Vidare används SAS 9.3 för att utföra Augmented Dickey-Fuller test. 1.6 Avgränsningar Studien är avgränsad till att undersöka univariata tidsseriemodellers prognosförmåga. Även om det finns en uppsjö av univariata tidsseriemodeller begränsas studien till några vanligt förekommande modeller. Medelvärdet i tidsserien modelleras med en ARIMAmodell medan variansen modelleras med en GARCH- eller en EGARCH-modell. Prognoser utförda av KI under år 2007 exkluderas eftersom KIX under år 2007 beräknades på ett annorlunda vis jämfört med åren efter. På grund av detta kan KI:s prognoser under år 2007 inte jämföras med KIX som studeras i uppsatsen. 1.7 Disposition Inledningsvis presenteras i kapitel två en genomgång av de teoretiska delar som används i uppsatsens metod samt en förklaring av prognosproceduren. I kapitel tre redovisas uppsatsens resultat i form av tabeller och diagram tillsammans med förklaringar. Kapitel fyra avslutar uppsatsen med en diskussion kring resultatet och slutsatser som författarna har kommit fram till. 8

9 2 Metod 2.1 Generella begrepp Stationaritet och invertibilitet Många tidsseriemodeller kräver stationära tidsserier. En stokastisk process kallas för svagt stationär eller kovariansstationär om dess väntevärde och varians är konstanta över tid och om kovariansen mellan två tidsperioder enbart beror på distansen mellan två tidsperioder. Formellt är en stokastisk process med ändligt väntevärde och varians svagt stationär om följande villkor håller för alla och, där, och är konstanter och där Om något eller några av villkoren ovan inte håller är processen icke-stationär. Om en tidsserie är icke-stationär går det enbart att studera dess beteende för en specifik tidsperiod. Därför är det ej möjligt att generalisera beteendet till andra tidsperioder. På grund av detta kan syftet med prognoser på icke-stationära tidsserier ha liten eller ingen praktisk betydelse (Enders 2010, sid 53-54). För att det ska vara möjligt att göra prognoser med en modell krävs att den är invertibel. I MA-processen, som beskrivs i avsnitt 2.3.2, ekvation (2.17), kan vitt brus-termen skrivas som en linjär funktion av nuvarande och tidigare observationer. För en invertibel process ska observationer långt bak i tiden ges mindre vikt än mer närliggande observationer. Av det följer att. Om ges observationer långt bak i tiden större vikt än närliggande observationer. Om är vikterna konstanta och således har observationer långt bak i tiden samma inverkan som närliggande observationer. Vid prognostisering är det viktigt att vikterna avtar i värde eftersom det enbart finns ett ändligt antal tidigare observationer att basera prognoserna på Vitt brus och slumpvandring Ett krav för att en tidsseriemodell ska anses lämplig är att residualerna karaktäriseras av en vitt brus-process. Att residualerna följer en vitt brus-process innebär att modellen lyckas beskriva all tillgänglig information i tidsserien som inte är slumpmässig. En sekvens kallas vitt brus om alla värden i sekvensen har väntevärdet noll, konstant varians och är seriellt okorrelerade. Matematiskt kan processen för en given tidsperiod,, uttryckas som (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) 9

10 Om observationerna i tidsserien dessutom är normalfördelade benämns sekvensen som Gaussiskt vitt brus. När skillnaden mellan två värden i en serie enbart beror på vitt brus kallas serien för en slumpvandring. Den kan uttryckas som Inom tidsserieanalys är slumpvandringen ett klassiskt exempel på en icke-stationär process. Om tidsserien är en slumpvandring kan prognoser av framtida nivåer av serien inte utföras eftersom nivån i serien enbart beror på slumpen. Slumpvandringsmodellen sägs besitta ett oändligt minne eftersom effekterna av en chock inte avtar med tiden. Vidare har slumpvandringen konstant väntevärde med en varians som varierar med tiden, vilket kan uttryckas matematiskt som (2.6) (2.7) (2.8) och där Följaktligen uppfyller slumpvandringen inte antagandet om konstant varians i ekvation (2.9) och benämns av den orsaken som en icke-stationär process Heteroskedasticitet Många tidsseriemodeller kräver att antagandet om homoskedasticitet är uppfyllt, det vill säga att ekvation (2.2) håller. Om ekvation (2.2) ej håller benämns tidsserien som heteroskedastisk. Det är vanligt att tidsserier uppvisar perioder med ovanligt hög volatilitet följt av perioder med låg volatilitet (Enders 2010, sid 125). Vid sådana omständigheter är antagandet om homoskedasticitet ej uppfyllt, varför en modell som tar hänsyn till icke-konstant varians bör användas för att modellera tidsserien. 2.2 Test för stationaritet Innan formella test utförs är det generella rådet att undersöka tidsserien grafiskt för att få en överskådlig bild av tidsseriens egenskaper. Vid misstanke om icke-stationaritet bör även ett formellt test utföras. Ett av de populäraste stationaritetstesten är enhetsrotstestet. Från följande ekvation (2.9) (2.10) där är en vitt brus-process och är en koefficient, vet vi att tidsserien har en enhetsrot om. Om tidsserien har en enhetsrot uppfyller den egenskaperna hos en icke-stationär tidsserie. För att ta reda på om tidsserien är icke-stationär kan följande regression skattas (2.11) 10

11 där och. Om vi accepterar nollhypotesen att kan vi dra slutsatsen att vi har en enhetsrot och att tidsserien är icke-stationär. Dickey och Fuller (1979) har visat att koefficienten för följer en tau-fördelning under nollhypotesen. Användande av tau-statistikan för att testa nollhypotesen kallas även Dickey-Fullers (DF) test. Ett mer praktiskt test är dock Dickey och Fullers (1981) Augmented (ADF) test. ADF testet tillåter till skillnad från DF testet att vara korrelerade och modelleras med autoregressiva termer. ADF testet utförs med tre olika ekvationer beroende på den underliggande tidsseriens egenskaper är en slumpvandring: (2.12) är en slumpvandring med konstant: (2.13) är en slumpvandring med konstant runt en stokastisk trend: (2.14) där nollhypotesen är att och är alternativhypotesen. En betydande del av testutförandet är att välja antalet lagg. Ett tillvägagångssätt är att inleda med ett större antal lagg och eliminera de som är insignifikanta. Om för få lagg används finns det risk att feltermen är autokorrelerad (Verbeek 2004, sid ). 2.3 ARMA modeller AR-modellen En AR (Auto Regressive)-modell av ordning skrivs (2.15) där är ett positivt heltal, är vitt brus och är vikter. Modellen är en linjär kombination av nuvarande värde som beror på föregående värden. En AR(p)- process är alltid invertibel men är endast stationär om rötterna till polynomet (2.16) är mindre än 1 i absolutvärde. För en AR(1) modell innebär detta att den är stationär om villkoret är uppfyllt. Vidare kännetecknas autokorrelationsfunktionen (ACF) för en AR-modell av ett geometriskt avtagande mönster och/eller en dämpad sinuskurva 11

12 beroende på rötterna i ekvation (2.16). På grund av detta är det svårt att identifiera ordningen för AR-processen genom att enbart studera ACF. Istället kan vi studera partiella autokorrelationsfunktionen (PACF) för att identifiera ordningen. Den partiella autokorrelationsfunktionen för en AR-process karaktäriseras av att den partiella autokorrelationen är nära noll efter lagg. I en stationär AR-process ges störningar långt bak i tiden mindre påverkan på processen medan närliggande störningar ges större påverkan, eftersom MA-modellen En MA (Moving Average)-modell är enkelt uttryckt en linjär kombination av nuvarande värde som beror på föregående vitt brus-termer. Generellt skrivs en MA-process av ordning som (2.17) där är vitt brus och är tidsseriens medelvärde. I en MA-process av ändlig ordning sätts vanligtvis och de vikter som inte är noll betecknas med. Genom att studera egenskaperna hos ACF kan vi identifiera MA( )-modellen och dess korrekta ordning, eftersom autokorrelationerna efter ordning är nära noll. PACF för en MAprocess kännetecknas av ett geometriskt avtagande mönster och/eller en dämpad sinuskurva. En MA( )-process av ändlig ordning är alltid stationär oavsett värdet på dess vikter. För att en MA( )-process ska vara invertibel krävs dock att rötterna till polynomet (2.18) måste vara mindre än 1 i absolutvärde. För en MA(1) modell innebär detta att den är invertibel om villkoret är uppfyllt ARMA-modellen Det är möjligt att kombinera AR- och MA-modellen till en ARMA-modell. Generellt kan modellen uttryckas som (2.19) Om AR-komponenten i modellen innehåller stycken lagg och MA-komponenten innehåller stycken lagg kallas modellen en ARMA( )-modell. Om reduceras ARMA( )-modellen till en AR( )-modell. På motsvarande vis reduceras ARMA( )-modellen till en MA( )-modell om. Om rötterna i polynomet för AR-modellen är mindre än 1 i absolutvärde är modellen stationär. Vidare är modellen invertibel om rötterna i polynomet för MA-modellen är mindre än 1 i absolutvärde. Precis som med stationaritet och invertibilitet bestäms ACF och PACF för en ARMAprocess av MA- och AR-komponenterna. Därför kommer ACF och PACF för ARMAmodellen uppvisa ett geometriskt avtagande mönster och/eller ett dämpat sinusmönster. 12

13 Om vi utökar modellen och låter rötterna i polynomet för AR-modellen vara större eller lika med 1, får vi en icke-stationär ARMA-process. Om vi differentierar tidsserien gånger och får en stationär tidsserie, blir tidsserien en Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA)-modell. Generellt skrivs modellen som en ARIMA( ). 2.4 ARCH-modellen I AR-, MA- och ARMA-modellerna som beskrivs i avsnitt 2.3 antas att variansen i feltermen är konstant. Många ekonomiska tidsserier uppvisar dock tidsvarierande volatilitet, varför antagandet om konstant varians (homoskedasticitet) inte alltid är lämpligt. Engle (1982) har visat att det är möjligt att modellera en tidsseries väntevärde och varians simultant. Engles modell benämns ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) och modellerar det heteroskedastiska mönstret i slumptermen som en AR-process. I ARCH( )-modellen antas att (2.20) där är vitt brus, betecknar residualerna för modellen och där koefficienterna för. I originalartikeln betecknar Engle den betingade variansen som och skriver istället. Den intresserade läsaren hänvisas till Enders (2010, sid ) för en mer detaljerad förklaring. 2.5 GARCH-modellen Bollerslev (1986) utökade Engles ARCH-modell genom att låta den betingade variansen följa en ARMA-process. Bollerslevs modell benämns GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) och låter den nuvarande betingade variansen även bero på tidigare betingade varianser. I GARCH( )-modellen antas att (2.21) där fortfarande är vitt-brus. Det krävs även att och. Variansen får alltså variera men måste vara ändlig. I praktiken är GARCH-modellen mer användbar än ARCH-modellen eftersom GARCH-modellen ofta beskriver volatiliteten med färre parametrar. Vidare är modellen fördelaktig eftersom ARCH-modellen tenderar att överskatta volatiliteten på grund av att modellen reagerar långsamt på stora chocker. Det är svårt att identifiera den rätta ordningen för GARCH-modellen men som nämnts i avsnitt 1.3 lämpar sig i praktiken ofta GARCH(1,1)-modellen väl för att modellera volatiliteten hos växelkurser. En mer detaljerad beskrivning av GARCH-modellen återfinns i Enders (2010, sid ). 2.6 EGARCH-modellen En intressant egenskap hos finansiella tidsserier är att negativa chocker tenderar att påverka volatiliteten mer än positiva chocker. Tendensen kallas oftast för hävstångseffekt. En modell som tar hänsyn till dessa asymmetriska effekter är den icke- 13

14 linjära EGARCH (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)-modellen som utvecklades av Nelson (1991). För att ta hänsyn till asymmetrierna införs en viktad chock (2.22) där och är konstanter. De oberoende vitt brus sekvenserna och har väntevärdet 0. Av det följer att. Asymmetrin i ekvation (2.22) kan ses om den skrivs om som (2.23) Från ekvation (2.23) ser vi att negativa chocker tilldelas vikten medan positiva chocker tilldelas vikten. Det går att visa att EGARCH( )-modellen kan skrivas som (2.24) där är en konstant, är fördröjningsoperatorn för vilken t.ex.. Av framställningen i ekvation (2.24) kan vi urskilja två viktiga skillnader mellan GARCHoch EGARCH-modellen. I EGARCH-modellen används den logaritmerade betingade variansen för att släppa på begränsningen att koefficienterna i modellen måste vara positiva. Dessutom tillåter användandet av modellen att reagera asymmetriskt vid negativa och positiva chocker. För ytterligare detaljer om EGARCH-modellen hänvisas läsaren till Enders (2010, sid ). 2.7 Modelldiagnostik Informationskriterier För att undersöka hur väl en modell beskriver en tidsserie inom stickprovet finns ett antal olika mått att tillgå. De två vanligaste måtten för att välja mellan olika modeller är Akaikes Informationskriterium (AIC) och Schwartz Bayesianska Kriterium (SBC). Måtten är snarlika och beräknas enligt följande (2.25) (2.26) där är antalet parametrar i den skattade modellen, är antalet observationer och är det maximerade värdet på likelihood-funktionen för den estimerade modellen. Vi ser i ekvation (2.25) och ekvation (2.26) att det enda som skiljer måtten är att AIC använder sig av värdet där SBC använder sig av. Idealt ska AIC och SBC uppvisa så låga värden som möjligt. Kriterierna kan användas för att välja den lämpligaste modellen. För att två eller flera modeller ska vara jämförbara krävs att måtten beräknas för samma tidsperiod och antal observationer. Det kan hända att måtten väljer olika modeller, men om måtten väljer samma modell kan vi vara relativt säkra på resultaten. 14

15 2.7.2 Residualanalys och modellutvärdering Autokorrelation För att en serie av feltermer ska kallas vitt brus krävs bland annat att feltermerna inte är autokorrelerade enligt ekvation (2.6) i avsnitt Om residualerna uppträder enligt ett mönster finns anledning att misstänka autokorrelation vid en lagg. En ytterligare anledning att misstänka autokorrelation är om ACF avtar långsamt. Vid misstanke om autokorrelation, kan analysen fortsätta med formella test. Q-statistikan kan användas för att testa nollhypotesen att en eller flera autokorrelationer är statistiskt skilda från noll. Ursprungligen utvecklades Q-statistikan av Box och Pierce (1970), där de använde sig utav stickprovsautokorrelationen för att beräkna (2.27) där är antalet observationer och är stickprovsautokorrelationen vid lagg. Ljung och Box (1978) utvecklade en variant av Box och Pierce statistika som är likvärdig med Q-statistikan, men som visat sig besitta bättre egenskaper vid små stickprov. Ljung-Box Q-statistikan definieras som (2.28) Under nollhypotesen att alla värden på är noll, följer Q approximativt en chi-två föredelning med antalet frihetsgrader lika med. Intuitionen bakom testet är att för höga värden på stickprovsautokorrelationerna följer ett högt värde på Q. För en ren vitt brus-process är således i teorin. Om Q-värdet överstiger det kritiska värdet för chi-två fördelningen, kan vi förkasta nollhypotesen att feltermerna inte är autokorrelerade. Tsay (2005, sid 27) rekommenderar att utföra testet med antal lagg. Heteroskedasticitet För att testa för heteroskedasticitet finns ett antal olika test tillgängliga. Ett av de mest använda testen är ARCH-Lagrange Multiplier (LM) testet utvecklat av Engle (1982). Testet används för att testa om residualerna från en skattad modell är en vitt brusprocess. Om residualerna följer en vitt brus-process kan vi säga att modellen är homoskedastisk, eftersom villkoret i ekvation (2.4) är uppfyllt. LM testet prövar nollhypotesen att i regressionen (2.29) där är vitt brus, är ett positivt heltal och betecknar storleken på stickprovet. Engle har visat att är asymptotiskt chi-två fördelad med frihetsgrader under nollhypotesen, där är förklaringsgraden för regressionen i ekvation (2.29). Om kan vi förkasta nollhypotesen att tidsserien är homoskedastisk. Signifikanta resultat kan indikera vilken ordning som är lämplig för ARCH-modellen. Ordningen kan bestämmas genom att studera vilka som förkastar nollhypotesen. Om höga 15

16 värden för förkastar nollhypotesen bör en GARCH-modell användas eftersom den kan beskriva volatiliteten med färre parametrar jämfört med ARCH-modellen. Normalitet Givet att vi har en bra modell ska residualerna vara normalfördelade eftersom ickenormalitet hos residualerna kan ge felaktiga konfidensintervall för parameterskattningarna och prognosskattningarna. Antagandet kan inledningsvis undersökas genom att studera histogram och QQ-plottar för residualerna. Ett vanligt formellt test är Jarque-Beras (1980) JB test för normalitet, som jämför fördelningen för residualerna med den teoretiska normalfördelningen. Normalfördelningen har och. Testet utförs genom att beräkna (2.30) där och är fördelningens skevhet och toppighet och är antalet observationer. Under nollhypotesen följer en chi-två fördelning med två frihetsgrader. Om p-värdet för -statistikan är mindre än vald signifikansnivå, förkastas nollhypotesen att residualerna är normalfördelade. En svaghet hos testet är att det nästan alltid förkastar nollhypotesen vid stora stickprov även vid små avvikelser från normalfördelningen. För finansiella tidsserier är det vanligt att tidsserien avviker från normalfördelningen på grund av heteroskedasticiteten i tidsserien. Detta kan leda till att toppigheten för tidsseriens fördelning blir större än 3, vilket leder till tjockare svansar än i normalfördelningen. Dessutom kan fördelningens skevhet avvika från noll eftersom serien tenderar att reagera olika på positiva och negativa chocker (Stockhammar 2009, sid 2-7). 2.8 Prognosutvärdering Prognosavvikelse För att utvärdera prognosförmågan för en modell är det vanligt att studera prognosfelet. Det kan definieras som skillnaden mellan det prognostiserade värdet och det verkliga utfallet för en prognos gjord vid tidpunkt och beräknas enligt (2.31) Det finns ett flertal prognosmått att tillgå, men i uppsatsen används roten ur det kvadrerade medelfelet (RMSE), medelprognosfelet (ME) och Theils för att utvärdera prognoserna. RMSE mäter genomsnittet av den kvadrerade skillnaden mellan de prognostiserade värdena och de faktiska utfallen och beräknas enligt följande: (2.32) 16

17 Måttet används för att jämföra hur nära en prognos i genomsnitt ligger det verkliga utfallet. För att mäta om en prognos i genomsnitt över- eller underskattar det verkliga utfallet kan användas. beräknas enligt (2.33) Vidare används Theils för att utvärdera modellernas prognosförmåga presenterade Theil ett mått på en modells prognosprecision som kallas utvecklade han ett nytt mått som jämförde den utvärderade prognosmodellen med en naiv prognos. Det nya måttet kallas och anses vara mer användbart än. Med en naiv prognos menas att man inte förväntar sig en nivåförändring under prognosperioden, det vill säga att dagens nivå används som prognos för hela prognosens tidshorisont. Theils beräknas enligt (2.34) där. Om är prognosen bättre än den naiva prognosen och sägs besitta en prognosförmåga. Om är prognosen likställd som den naiva prognosen. Om är den naiva prognosen bättre än den skattade prognosen och den skattade prognosen sägs då sakna en prognosförmåga. (Theil 1966, sid 27-29) Prognosprocedur I resultatdelen används lämpliga modeller för att prognostisera framtida värden för KIX. För att möjliggöra rättvisa jämförelser mellan de estimerade prognoserna och prognoserna från KI, kortas tidsserien ner till månaden innan prognosutfallet. Modellerna som används i uppsatsen estimeras sedan för den kortade tidsserien och prognoser görs sedan med hjälp av dessa modeller för framtida värden på KIX. Denna procedur upprepar sig sedan för samtliga prognosperioder. Detta görs för att modellerna som används i uppsatsen inte ska få möjlighet till fördelar på grund av att de estimeras med fler observationer. Prognoserna beräknas sedan med iterationsteknik parallellt för ARIMA- och GARCH/EGARCH-modellen. Om modellerna är stationära går det att visa att långsiktsprognoserna går mot deras medelvärde. Den naiva prognosen fixeras till det sista kända utfallet på KIX innan startpunkten för utvärderingen av prognosen. Det fixerade värdet används sedan som prognos för hela prognoslängden. Prognoserna jämförs slutligen på kort och lång sikt. Med kort sikt menas de första 12 månaderna för prognosen och med lång sikt menas månad 13 till och med sista månaden i prognosen. För härledning av prognosberäkningar för ARIMA- och GARCH-modeller hänvisas läsaren till Enders (2010, sid & ). 17

18 3 Resultat 3.1 Stationaritet Figur 3.1: KIX för perioden 1994/ /02 I figuren ovan tycks serien sakna en trend och ett säsongsmönster. Utseendet liknar en stationär tidsserie som är en slumpvandring med konstant. För att säkerställa att serien är stationär utförs Augmented Dickey-Fullers test med ekvation (2.13) i avsnitt 2.2. Tabell 3.1: ADF test utfört på KIX 1 Typ av modell Antal lagg tau-värde Slumpvandring med konstant 7-3,23** Vid 7 lagg resulterade testet i p-värdet 0,0202 och vi kan även med ett formellt test konstatera att tidsserien är stationär. Analysen går därför vidare utan att tidsserien transformeras. 3.2 Heteroskedasticitet Studerar vi serien i Figur 3.1 finns en antydan till att serien är heteroskedastisk, eftersom den uppvisar perioder med låg volatilitet som efterföljs av perioder med hög volatilitet. Detta återspeglas tydligt vid finanskrisen år 2008 när KIX ökar kraftigt under en kort period, för att sedan återgå till normala nivåer med lägre volatilitet. Då vi tycker oss observera en heteroskedastisk tidsserie utförs ARCH-LM test. 1 *, ** och *** är notationen för signifikansnivån 18

19 Tabell 3.2: ARCH-LM test Antal laggar 1 209,26*** 2 209,57*** 3 208,70*** 4 208,24*** 5 207,26*** 6 206,57*** 7 205,63*** 8 204,50*** 9 203,50*** ,72*** ,19*** ,23*** I ARCH-LM testet ovan kan vi utläsa signifikanta resultat för laggarna 1 till 12. Således kan vi konstatera att tidsserien är heteroskedastisk vid samtliga lagg, vilket indikerar att en GARCH-modell är lämplig för att modellera det heteroskedastiska mönstret i serien. 3.3 Modellval För att bedöma vilka modeller som lämpligast beskriver tidsseriens mönster studerades initialt korrelogram för KIX. Autokorrelationsfunktionen för KIX uppvisade ett avtagande mönster som startade vid första laggen. Den partiella autokorrelationsfunktionen uppvisade signifikanta autokorrelationer vid lagg 1, 2 och 11. Signifikansen vid lagg 11 bortses dock från eftersom Box-Jenkins metodologi förespråkar restriktivitet vid inkluderande av nya parametrar. Sammantaget antyder detta att ARMA(1,1), AR(1) och AR(2) är lämpliga modellval för att modellera medelvärdet i vår tidsserie. För att undersöka om modellerna är lämpliga studeras autokorrelationsfunktionen och den partiella autokorrelationsfunktionen för skattningarna av dessa modeller grafiskt. Figur 3.2: ACF och PACF för skattad ARMA(1,1) 19

20 För den skattade modellen i Figur 3.2 uppvisar autokorrelationsfunktionen inte längre ett avtagande mönster. Vi observerar istället insignifikanta autokorrelationer för samtliga lagg utom vid lagg 9. Vi observerar också ett liknande mönster för den partiella autokorrelationsfunktionen med insignifikanta autokorrelationer för samtliga lagg utom vid lagg 9. Trots den knappa överskridelsen vid lagg 9 bedöms residualerna för processen ligga inom ramen för en vitt brus-process. Figur 3.3: ACF och PACF för skattad AR(1) I Figur 3.3 observerar vi för den skattade AR(1)-modellen signifikanta autokorrelationer vid första laggen för både autokorrelationsfunktionen och den partiella autokorrelationsfunktionen. Residualerna för AR(1)-modellen tycks med andra ord vara korrelerade. En AR(2)-modell skattades också, men uppvisade en näst intill identisk autokorrelationsfunktion och partiell autokorrelationsfunktion som observerades för AR(1)-modellen. Då Box-Jenkins metodologi förespråkar återhållsamhet vid inkluderande av fler parametrar exkluderas AR(2)-modellen från analysen eftersom den är likvärdig med AR(1)-modellen, men innehåller fler parametrar. 3.4 Modellutprövning och residualanalys Eftersom tidsserien uppvisar heteroskedasticitet estimeras och utvärderas AR(1)- och modellen med en GARCH(1,1)-modell för att ta hänsyn till det heteroskedastiska mönstret. Vidare skattas även AR(1)- och modellen parallellt med en EGARCH(1,1)-modell för att fånga eventuella asymmetriska chocker Informationskriterier för skattade modeller Tabell 3.3: Informationskriterier för estimerade modeller AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) AIC 3,731 3,687 3,686 3,657 SBC 3,823 3,794 3,792 3,779 I Tabell 3.3 har de estimerade modellerna utvärderats med informationskriterierna Akaikes Informationskriterium och Schwartz Bayesianska Kriterium. Bådadera rangordnar modellerna i samma ordning där modellerna rankas högst, även om det rör sig om relativt små skillnader för samtliga modeller. 20

21 3.4.2 Autokorrelation för skattade modellers residualer Autokorrelationsfunktionerna och de partiella autokorrelationsfunktionerna i avsnitt 3.3 gav en antydan om autokorrelation. För att undersöka om residualerna för de skattade modellerna är autokorrelerade utförs Ljung-Box test. Testet genomförs på de standardiserade residualerna. Enligt beslutsregeln att inkludera antal lagg genomförs testet på upp till lagg 6. 2 Tabell 3.4: Ljung-Box test för standardiserade residualer AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) Q (lagg 1) 9,541*** 9,239*** 0,744 0,326 Q (lagg 2) 9,600*** 9,262*** 0,883 1,080 Q (lagg 3) 11,318** 10,815** 2,712 3,003 Q (lagg 4) 11,965** 11,362** 2,835 3,028 Q (lagg 5) 13,704** 12,925** 4,150 3,030 Q (lagg 6) 14,700** 13,786** 4,631 3,272 I Tabell 3.4 utläses signifikanta autokorrelationer för båda AR(1)-modellerna, medan de standardiserade residualerna från modellerna inte uppvisar någon signifikant autokorrelation. Testet bekräftar således misstanken från avsnitt 3.3 om problem med autokorrelation för AR(1)-modellen Heteroskedasticitet för skattade modellers residualer För att testa om GARCH och EGARCH har eliminerat heteroskedasticiteten som påvisades i avsnitt 3.2 utförs ARCH-LM test ånyo för de skattade modellernas residualer. Tabell 3.5: ARCH-LM test för skattade modeller Ordning AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 1 0,072 0,059 0,105 0, ,948 0,948 0,264 0, ,525 1,090 0,288 0, ,741 1,860 3,082 0, ,781 9,298* 2,711 0, ,638 3,727 3,613 2, ,412 2,752 3,627 2, ,289 5,710 3,950 2, ,087 5,738 4,328 2, ,510 6,270 4,540 3, ,241 5,949 4,589 2, ,236 9,276 5,040 6,

22 Till skillnad från Tabell 3.2 uppvisar Tabell 3.5 icke-signifikanta resultat på 5 % -nivån för samtliga modeller. Således tycks samtliga modeller beskriva det heteroskedastiska mönstret så till vida att ingen signifikant heteroskedasticitet går att påvisa när vi utför ARCH-LM test på nytt för de skattade modellerna Normalitetstest för skattade modellers residualer För att testa om residualerna för de skattade modellerna följer en normalfördelning används Jarque-Beras test. Vidare studeras residualernas fördelning med QQ-plottar och histogram. Tabell 3.6: Jarque-Bera test för skattade modeller AR(1)- GARCH(1,1) AR(1)- EGARCH(1,1) GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 458,415*** 409,828*** 270,066*** 218,597*** Skevhet 1,094 1,031 0,831-0,253 Toppighet 9,561 9,206 8,041 4,129 Jarque-Beras test förkastar nollhypotesen om normalfördelade residualer för samtliga modeller. Till synes avviker modellerna från den teoretiska normalfördelningen med och. Detta är föga förvånande eftersom finansiella tidsserier ofta avviker från normalfördelningen med en toppighet större än 3 och tjockare svansar. Även om Jarque-Beras test förkastar nollhypotesen om normalfördelade residualer är toppigheten och skevheten hos ARMA-modellerna närmare de teoretiska värdena för normalfördelningen, jämfört med AR-modellerna. Observerar vi istället histogram och QQ-plottar för de skattade modellerna i Bilaga A ser dock residualerna ut att vara approximativt normalfördelade, även fast Jarque-Beras test inte accepterar nollhypotesen Slutgiltigt modellval Baserat på testerna och informationskriterierna som redovisas ovan väljs GARCH(1,1) och EGARCH(1,1) som lämpliga modeller för prognostisering av KIX. AR(1)-GARCH(1,1) och AR(1)-EGARCH(1,1) anses mindre lämpliga eftersom de uppvisar tydlig autokorrelation och har högre värden på informationskriterierna jämfört med de valda modellerna. Dessutom avviker deras residualer mer från normalfördelningen. I brist på modeller med normalfördelade residualer frånses icke-normaliteten hos de valda modellerna. Vid prognostisering av KIX med de valda modellerna antas därför residualerna approximativt följa en normalfördelning. Vidare bör även nämnas att normalfördelade residualer är av sekundär betydelse för uppsatsen, eftersom syftet är att göra prognoser och utvärdera dessa och inte att göra konfidensintervall för prognos- och parameterskattningarna. Slutligen uppvisar samtliga parameterskattningar för de valda modellerna i Bilaga B signifikanta koefficienter på 5 % -nivån. 22

23 3.5 Prognoser på kort sikt Prognoser på kort sikt utvärderas på 12 månaders sikt enligt tillvägagångssättet beskrivet i avsnitt 2.8. Tabell 3.7: RMSE för prognoser på kort sikt 3 Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar ,95 7,45 7,25 jun ,31 11,38 11,05 aug ,58 12,23 12,24 dec ,27 5,91 4,74 mar ,17 2,61 4,41 jun ,03 2,23 3,04 aug ,28 3,94 5,62 dec ,04 2,60 3,38 mar ,28 4,45 5,24 jun ,44 6,60 7,41 aug ,68 5,70 6,38 dec ,41 4,74 5,18 mar ,87 1,38 1,48 jun ,39 1,76 1,43 aug ,03 2,19 3,21 dec ,36 4,87 5,34 mar ,34 4,74 4,41 jun ,22 7,51 7,95 aug ,56 4,91 3,63 dec ,40 5,32 5,34 Summa RMSE 87,61 102,52 108,72 Tabell 3.7 redovisar RMSE för samtliga prognoser på kort sikt. För prognoser under perioden 2008/03 till och med 2009/06 ger ARMA-modellerna överlag lägre värden på RMSE jämfört med KI:s prognoser. De höga värdena på RMSE under perioden 2008/03 till och med 2008/08 beror på en hastig uppgång av KIX till följd av finanskrisen år Även om ARMA-modellernas prognoser redovisar lägre värden på RMSE jämfört med KI:s prognoser lyckas ingen modell förutspå den hastiga uppgången av KIX. Från 2009/08 presterar KI:s prognoser bäst utom för prognostillfällena 2011/03 och 2011/06. Vidare ser vi att GARCH(1,1) presterar bättre än EGARCH(1,1) överlag. Summa RMSE redovisar totala RMSE där samtliga prognoser har adderats för respektive modell. Jämför vi värdena kan vi konstatera att KI:s prognoser presterar bäst sett över samtliga prognostillfällen. 3 I tabellen markerar vit bakgrund lägst, streckad bakgrund näst lägst och grå bakgrund högst RMSE 23

24 Tabell 3.8: Theils U 2 för prognoser på kort sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar ,08 0,90 0,88 jun ,01 0,86 0,84 aug ,00 0,90 0,90 dec ,93 1,28 1,03 mar ,76 0,38 0,65 jun ,02 0,45 0,62 aug ,16 0,49 0,69 dec ,44 0,55 0,72 mar ,53 0,71 0,84 jun ,55 0,82 0,92 aug ,71 0,87 0,97 dec ,65 1,28 1,40 mar ,16 0,56 0,59 jun ,13 0,84 0,68 aug ,79 1,68 2,47 dec ,74 1,52 1,66 mar ,88 1,79 1,66 jun ,72 1,28 1,36 aug ,62 1,94 1,43 dec ,95 2,11 2,12 Genomsnittligt Theils U 2 0,79 1,06 1,12 Tabell 3.8 redovisar modellernas prognosförmåga. För KI:s prognoser kan vi utläsa värden på Theils U 2 som understiger 1 i de flesta fallen. I fallen då Theils U 2 överstiger 1 rör det sig om förhållandevis små skillnader jämfört med den naiva prognosen. Det genomsnittliga värdet för Theils U 2 på 0,79 visar att KI:s prognoser i genomsnitt har en prognosförmåga. ARMA-modellerna uppvisar överlag en prognosförmåga till och med 2011/06. För prognoser efter denna tidsperiod går det inte att påvisa någon prognosförmåga hos endera. Observerar vi genomsnittligt Theils U 2 för ARMAmodellerna kan vi konstatera att de för samtliga prognoser inte har någon genomsnittlig prognosförmåga. 24

25 Tabell 3.9: ME för prognoser på kort sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 08-mar 12 5,49 3,66 3,41 08-jun 12 11,25 9,44 9,12 08-aug 12 12,31 11,06 11,08 08-dec 12 3,19 5,1 3,34 09-mar 12-4,68-1,29-3,37 09-jun 12-4,54 0,43-1,5 09-aug 12 0,25-3,64-5,48 09-dec 12-1,05-1,44-2,31 10-mar 12-1,81-3,29-4,08 10-jun 12-3,57-5,91-6,66 10-aug 12-4,17-5,17-5,83 10-dec 12-1,85-4,57-5,04 11-mar 12 2,62-0,51-0,56 11-jun 12 2,27-0,69 0,1 11-aug 12 0,4-0,95-2,66 11-dec 12-1,68-4,21-4,63 12-mar 12-1,2-3,62-3,22 12-jun 12-3,89-7,15-7,54 12-aug 12 0,29-4,39-3,1 12-dec 12-2,15-4,99-5,01 Genomsnittligt ME 0,37-1,11-1,70 I Tabell 3.9 redovisas medelprognosfelet för de kortsiktiga prognoserna. KI:s prognoser uppvisar både under- och överskattningar av det verkliga utfallet utan något tydligt mönster bortsett från finanskrisen. Observerar vi istället medelprognosfelet för ARMAmodellerna ser vi att de underskattar det verkliga utfallet till en början under finanskrisen. Efter toppen år 2009 finns dock ett tydligt mönster där modellerna överskattar det verkliga utfallet. Det genomsnittliga medelprognosfelet visar också att ARMA-modellerna i genomsnitt överskattar det verkliga utfallet medan KI:s prognoser i genomsnitt uppvisar en knapp underskattning av det verkliga utfallet. 25

26 Figur 3.4: KIX och prognoser på kort sikt för perioden 2006/ /11 Figur 3.4 illustrerar prognoserna på kort sikt tillsammans med KIX. Som nämnts tidigare underskattar samtliga prognoser uppgången vid finanskrisen år 2008, vilket syns tydligt i grafen. Efter toppen år 2009 är det också tydligt att ARMA-modellernas prognoser överskattar utfallet för KIX i de flesta fallen. Istället för att följa KIX faktiska rörelse konvergerar ARMA-modellernas prognoser mot deras långsiktiga medelvärde. KI lyckas däremot prognostisera KIX riktning relativt väl i de flesta fallen. För deras prognoser går det inte att urskilja något tydligt mönster som i ARMA-modellernas fall. Istället över- och underskattar KI det faktiska utfallet utan ett synbart mönster. Jämfört med ARMA-modellernas prognoser ligger KI:s prognoser i de flesta fall relativt nära det faktiska utfallet. 26

27 3.6 Prognoser på lång sikt Vid utvärdering av prognoser på lång sikt utvärderas prognoserna från och med månad 13 och framåt. Tabell 3.10: RMSE för prognoser på lång sikt 4 Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar ,65 10,53 10,12 jun ,53 6,54 6,17 aug ,80 4,70 4,54 dec ,77 2,88 4,31 mar ,12 4,73 8,10 jun ,71 3,87 6,64 aug ,55 7,93 10,89 dec ,14 6,90 8,44 mar ,89 6,52 7,91 jun ,79 7,26 8,68 aug ,81 6,88 8,12 dec ,51 6,93 7,96 mar ,95 5,67 6,08 jun ,63 6,40 5,92 aug ,73 8,44 10,13 dec ,38 9,18 10,24 mar ,95 8,52 8,79 jun ,08 8,96 9,89 aug ,68 7,24 5,62 Summa RMSE 76,68 130,09 148,56 I Tabell 3.10 redovisas RMSE för de långsiktiga prognoserna. I likhet med prognoserna på kort sikt presterar ARMA-modellernas prognoser bättre än KI:s prognoser vid de första prognostillfällena. Ur tabellen kan vi utläsa lägre RMSE-värden för ARMAmodellerna under perioden 2009/ /08, där EGARCH-modellen har lägst värden. För resterande prognosperioder observerar vi en klar trend där KI:s prognoser har lägre värden på RMSE för samtliga prognostillfällen efter 2009/08. Av ARMA-modellerna tycks dessutom GARCH-modellen prestera bättre än EGARCH-modellen överlag för perioden. För samtliga prognostillfällen ser vi även att summan av KI:s RMSE är förhållandevis lågt jämfört med ARMA-modellerna. Relativt sett ser vi att skillnaden mellan RMSE för de olika prognosmodellerna ökar på lång sikt. 4 I tabellen markerar vit bakgrund lägst, streckad bakgrund näst lägst och grå bakgrund högst RMSE 27

28 Tabell 3.11: Theils U 2 för prognoser på lång sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) mar ,03 0,80 0,76 jun ,03 0,70 0,66 aug ,04 0,72 0,69 dec ,26 0,43 0,64 mar ,22 0,34 0,58 jun ,26 0,37 0,63 aug ,21 0,47 0,65 dec ,37 0,62 0,76 mar ,40 0,68 0,82 jun ,37 0,71 0,85 aug ,47 0,85 1,01 dec ,48 1,33 1,53 mar ,92 2,68 2,88 jun ,79 3,09 2,85 aug ,58 1,31 1,58 dec ,55 1,50 1,67 mar ,68 1,95 2,01 jun ,47 1,38 1,52 aug ,26 2,72 2,11 Genomsnittligt Theils U 2 0,55 1,19 1,27 Tabell 3.11 presenterar modellernas prognosförmåga på lång sikt. KI:s prognoser uppvisar prognoser med prognosförmåga för samtliga prognostillfällen utom för perioden 2009/ /08. Efter 2009/08 har KI:s prognoser en relativt hög prognosförmåga i de flesta fall, då Theils U 2 understiger 1 med goda marginaler. Detta återspeglar sig även för genomsnittligt Theils U 2 som visar ett värde på 0,55. Jämfört med genomsnittligt Theils U 2 för KI:s prognoser på kort sikt är Theils U 2 för prognoser på lång sikt lägre. Theils U 2 för ARMA-modellerna följer däremot ett liknande mönster som för de kortsiktiga prognoserna. För prognosperioden 2009/ /06 har modellerna en prognosförmåga, men efter det uppvisar ingen modell någon prognosförmåga. Från modellernas genomsnittliga Theils U 2 kan vi även konstatera att ARMA-modellerna inte i genomsnitt har någon prognosförmåga på lång sikt. Theils U 2 för långsiktsprognoserna är också något högre jämfört med kortsiktsprognoserna för ARMA-modellerna. 28

29 Tabell 3.12: ME för prognoser på lång sikt Startpunkt för utvärdering av prognos Prognoslängd i månader Konjunkturinstitutet GARCH(1,1) EGARCH(1,1) 09-mar 10 13,11 9,71 9,26 09-jun 19 8,52 4,6 4,02 09-aug 17 6,03 3,21 2,71 09-dec 13 0,51-0,27-3,19 10-mar 10 2,2-0,74-2,16 10-jun 7-2,52-3,2-6,25 10-aug 17-2,87-7,73-10,74 10-dec 13-3,4-6,75-8,32 11-mar 10 3,26-3,36-3,88 11-jun 19-3,52-7,04-8,48 11-aug 17-3,51-6,6-7,87 11-dec 13-1,85-6,64-7,69 12-mar 10 0,63-5,19-5,53 12-jun 7 0,05-6,15-5,61 12-aug 5-1,24-6,74-8,61 12-dec 12-3,2-9,11-10,17 13-mar 9-2,78-8,49-8,76 13-jun 6-3,08-8,96-9,88 13-aug 4-0,67-7,23-5,61 Genomsnittligt ME 0,30-4,04-5,09 Tabell 3.12 redovisar medelprognosfelet för de långsiktiga prognoserna. I likhet med de kortsiktiga prognoserna finns inget tydligt mönster i KI:s över- och underskattningar av det verkliga utfallet. Även ARMA-modellernas prognoser påminner om de kortsiktiga prognoserna, eftersom de till en början underskattar det verkliga utfallet vid finanskrisen. Därefter överskattar ARMA-modellerna det verkliga utfallet. Överskattningarna är dessutom större jämfört med de kortsiktiga prognoserna vilket syns tydligt om vi för ett ögonblick studerar det genomsnittliga medelprognosfelet. Medelprognosfelet för KI:s långsiktiga prognoser liknar de kortsiktiga prognoserna. Underskattningarna är dock i genomsnitt något mindre på lång sikt jämfört med på kort sikt. 29

30 Figur 3.5: KIX och prognoser på lång sikt för perioden 2006/ /11 I Figur 3.5 ses KIX tillsammans med de långsiktiga prognoserna för respektive prognosmodell. I likhet med de kortsiktiga prognoserna i Figur 3.4 underskattar ARMA-modellernas och KI:s prognoser finanskrisen även på lång sikt. KI:s prognoser följer inget tydligt mönster vad gäller över- och underskattningar. Till synes lyckas de prognostisera riktningen på KIX relativt väl. ARMA modellerna överskattar däremot det verkliga utfallet tydligt efter toppen år 2009 och lyckas inte prognostisera riktningen på det verkliga utfallet. Istället konvergerar de, precis som de kortsiktiga prognoserna, mot deras långsiktiga medelvärde. 30

31 4 Diskussion och slutsatser 4.1 Diskussion För hela prognosperioden uppvisar GARCH(1,1) och EGARCH(1,1) ingen prognosförmåga på vare sig kort eller lång sikt. Till en början uppvisar modellerna en prognosförmåga men efter juni år 2011 presterar modellerna överlag sämre än den naiva prognosen. I vissa fall rör det sig om stora avvikelser från det verkliga utfallet och den naiva prognosen. En förklaring till detta är att tidsserien uppvisar historiskt låga nivåer efter juni år Istället för att följa KIX nivåer konvergerar ARMA-modellerna mot deras långsiktiga medelvärden. På grund av den negativa trenden i tidsserien överskattar modellerna därför det verkliga utfallet och lyckas inte prognostisera KIX historiskt låga nivåer. Även om modellerna är bristfälliga presterar GARCH-modellen överlag bättre än EGARCH-modellen. KI:s prognoser presterar i många fall bättre än de undersökta prognosmodellerna som används i uppsatsen. Prognoserna uppvisar till skillnad från ARMA-modellernas prognoser, ingen tydlig tendens att överskatta det verkliga utfallet om vi studerar det genomsnittliga medelprognosfelet. Det bör dock noteras att de kraftiga underskattningarna av det verkliga utfallet under finanskrisen har en betydande inverkan på det genomsnittliga medelprognosfelet. Om vi bortser från finanskrisen överskattar KI:s prognoser i genomsnitt det verkliga utfallet, även om överskattningarna inte är lika tydliga som för ARMA-modellerna. Jämfört med ARMA-modellerna har KI:s prognoser dessutom en genomsnittlig prognosförmåga både på kort och lång sikt. Anmärkningsvärt är att KI:s prognoser på lång sikt uppvisar en högre prognosförmåga jämfört med motsvarande prognoser på kort sikt. Ett undantagsfall där KI:s prognoser presterar sämre än ARMA-modellerna är under finanskrisen. Detta är dock av försumbar betydelse eftersom ingen av modellerna lyckas fånga vändningen som uppstår i ekonomin under finanskrisen. I tidigare forskning har GARCH(1,1)-modellen använts framgångsrikt för att modellera volatiliteten hos växelkurser. I uppsatsen lyckas GARCH och EGARCH modellera det heteroskedastiska mönstret så till vida att ingen heteroskedasticitet gick att påvisa när ARCH-LM test utfördes för de skattade modellernas residualer. Det tyder på att ARMA-modellen inte lyckas modellera medelvärdet särskilt väl. En potentiell brist hos modellen är att residualerna inte kunde påvisas normalfördelade vid ett formellt test. Intressant vore istället att använda modellen tillsammans med en annan fördelning över feltermerna. En annan lösning är att modellera medelvärdet med en icke-linjär medelvärdesmodell som tar hänsyn till asymmetrier i medelvärdet. Eftersom KI använder en multivariat ansats vore det även intressant att undersöka om det är möjligt att utveckla en multivariat modell som lämpar sig bättre för att prognostisera KIX. En sista tänkbar metod vore att använda en så kallad nedifrån-och-upp -ansats där en univariat prognosmodell används för att prognostisera samtliga växelkurser som ingår i KIX och sedan aggregera dessa enligt vikterna för KIX. 31

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 8 ARIMA del 2 Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 28 Undersöker funktionerna ρ k och ρ kk Hittills har vi bara sett hur autokorrelationen och partiella autokorrelationen ser ut matematiskt

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Utvärdering av Konjunkturinstitutets prognoser

Utvärdering av Konjunkturinstitutets prognoser Utvärdering av Konjunkturinstitutets prognoser Anders Bergvall Specialstudie Nr 5, mars 5 Utgiven av Konjunkturinstitutet Stockholm 5 Konjunkturinstitutet (KI) gör analyser och prognoser över den svenska

Läs mer

Dekomponering av löneskillnader

Dekomponering av löneskillnader Lönebildningsrapporten 2013 133 FÖRDJUPNING Dekomponering av löneskillnader Den här fördjupningen ger en detaljerad beskrivning av dekomponeringen av skillnader i genomsnittlig lön. Först beskrivs metoden

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, VT2014 2014-05-26 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Perspektiv på den låga inflationen

Perspektiv på den låga inflationen Perspektiv på den låga inflationen PENNINGPOLITISK RAPPORT FEBRUARI 7 Inflationen blev under fjolåret oväntat låg. Priserna i de flesta undergrupper i KPI ökade långsammare än normalt och inflationen blev

Läs mer

Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics

Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics ATT MODELLERA SVENSK INFLATION -ett univariat perspektiv MODELING SWEDISH INFLATION -a univariate approach Mathias Damm

Läs mer

Linjär regressionsanalys. Wieland Wermke

Linjär regressionsanalys. Wieland Wermke + Linjär regressionsanalys Wieland Wermke + Regressionsanalys n Analys av samband mellan variabler (x,y) n Ökad kunskap om x (oberoende variabel) leder till ökad kunskap om y (beroende variabel) n Utifrån

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Statistiska institutionen. Bachelor thesis, Department of Statistics. Reporäntegenomslaget skattat med felkorrigeringsmodeller

Statistiska institutionen. Bachelor thesis, Department of Statistics. Reporäntegenomslaget skattat med felkorrigeringsmodeller Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:13 Reporäntegenomslaget skattat med felkorrigeringsmodeller - Har genomslaget förändrats efter finanskrisen?

Läs mer

3 Maximum Likelihoodestimering

3 Maximum Likelihoodestimering Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till

Läs mer

Tidsserier och Prognoser

Tidsserier och Prognoser Tidsserier och Prognoser Mattias Villani Sveriges Riksbank och Stockholms Universitet Stockholm, Oktober 2008 Mattias Villani () Tidsserier och Prognoser Stockholm, Oktober 2008 1 / 16 Översikt Tidsserier,

Läs mer

Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning

Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning Statistik, 2p PROTOKOLL Namn:...... Grupp:... Datum:... Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning Syftet med denna laboration är att ni med hjälp av MS Excel ska fortsätta den statistiska

Läs mer

Något om val mellan olika metoder

Något om val mellan olika metoder Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 y 2 y n Säsonger? Ja Nej Trend? Tidsserieregression Nej ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregression ARIMA-modeller

Läs mer

Effekten på svensk BNP-tillväxt av finansiell turbulens

Effekten på svensk BNP-tillväxt av finansiell turbulens Konjunkturläget december 7 FÖRDJUPNING Effekten på svensk BNP-tillväxt av finansiell turbulens Tillgångar bedöms i dagsläget vara högt värderade på många finansiella marknader. Konjunkturinstitutet uppskattar

Läs mer

T-test, Korrelation och Konfidensintervall med SPSS Kimmo Sorjonen

T-test, Korrelation och Konfidensintervall med SPSS Kimmo Sorjonen T-test, Korrelation och Konfidensintervall med SPSS Kimmo Sorjonen 1. One-Sample T-Test 1.1 När? Denna analys kan utföras om man vill ta reda på om en populations medelvärde på en viss variabel kan antas

Läs mer

- en statistisk analys

- en statistisk analys STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Växelkursens påverkan på svensk export och import - en statistisk analys The exchange rate effect on Swedish exports and import - A statistical analysis

Läs mer

En modell för prognoser på offentlig konsumtion tidsserieanalys och prognosutvärdering

En modell för prognoser på offentlig konsumtion tidsserieanalys och prognosutvärdering Lunds universitet Nationalekonomiska institutionen Magisteruppsats VT 2015 En modell för prognoser på offentlig konsumtion tidsserieanalys och prognosutvärdering Författare: Anna Fahlén Handledare: Lina

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 15 december 2015 Data kan generellt sett delas in i tre kategorier: 1 Tvärsnittsdata:

Läs mer

2010-09-13 Resultatnivåns beroende av ålder och kön analys av svensk veteranfriidrott med fokus på löpgrenar

2010-09-13 Resultatnivåns beroende av ålder och kön analys av svensk veteranfriidrott med fokus på löpgrenar 1 2010-09-13 Resultatnivåns beroende av ålder och kön analys av svensk veteranfriidrott med fokus på löpgrenar av Sven Gärderud, Carl-Erik Särndal och Ivar Söderlind Sammanfattning I denna rapport använder

Läs mer

BEFOLKNINGSPROGNOS. 2015 2024 för Sollentuna kommun och dess kommundelar. www.sollentuna.se

BEFOLKNINGSPROGNOS. 2015 2024 för Sollentuna kommun och dess kommundelar. www.sollentuna.se BEFOLKNINGSPROGNOS 2015 2024 för Sollentuna kommun och dess kommundelar www.sollentuna.se Förord På uppdrag av Sollentuna kommun har Sweco Strategy beräknat en befolkningsprognos för perioden 2015-2024.

Läs mer

Kandidatuppsats Statistiska institutionen

Kandidatuppsats Statistiska institutionen Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Estimering av Volatilitet En studie från valutamarknaden Forecasting volatility in a foreign exchange market Yue Ngong

Läs mer

Hur jämföra makroprognoser mellan Konjunkturinstitutet, regeringen och ESV?

Hur jämföra makroprognoser mellan Konjunkturinstitutet, regeringen och ESV? Konjunkturläget december 2011 39 FÖRDJUPNING Hur jämföra makroprognoser mellan Konjunkturinstitutet, regeringen och ESV? Konjunkturinstitutets makroekonomiska prognos baseras på den enligt Konjunkturinstitutet

Läs mer

Estimering av Value at Risk baserat på ARCH/GARCH-modeller för index tillhörande Largecap och Smallcap

Estimering av Value at Risk baserat på ARCH/GARCH-modeller för index tillhörande Largecap och Smallcap Estimering av Value at Risk baserat på ARCH/GARCH-modeller för index tillhörande Largecap och Smallcap Jimmy Eriksson Widfors Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer

Läs mer

Utvärdering av prognoserna för 2013 samt 1997 2013

Utvärdering av prognoserna för 2013 samt 1997 2013 99 Utvärdering av prognoserna för samt 1997 Konjunkturinstitutets prognosprecision för var i linje med den genomsnittliga precisionen för tio andra prognosinstitut i Sverige. precisionen var för totalt

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar

Läs mer

The effect of a reduced mortgage interest deduction. Pardis Ghadrdan och Samuel Hultqvist

The effect of a reduced mortgage interest deduction. Pardis Ghadrdan och Samuel Hultqvist Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2014:17 Effekten av borttaget ränteavdrag The effect of a reduced mortgage interest deduction Pardis Ghadrdan och

Läs mer

Månadskommentar oktober 2015

Månadskommentar oktober 2015 Månadskommentar oktober 2015 Månadskommentar oktober 2015 Ekonomiska läget Den värsta oron för konjunktur och finansiella marknader lade sig under månaden. Centralbankerna med ECB i spetsen signalerade

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

Perspektiv på utvecklingen på svensk arbetsmarknad

Perspektiv på utvecklingen på svensk arbetsmarknad Perspektiv på utvecklingen på svensk arbetsmarknad PENNINGPOLITISK RAPPORT OKTOBER 13 3 Utvecklingen på arbetsmarknaden är viktig för Riksbanken vid utformningen av penningpolitiken. För att få en så rättvisande

Läs mer

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1 Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs

Läs mer

a) Anpassa en trinomial responsmodell med övriga relevanta variabler som (icketransformerade)

a) Anpassa en trinomial responsmodell med övriga relevanta variabler som (icketransformerade) 5:1 Studien ifråga, High School and beyond, går ut på att hitta ett samband mellan vilken typ av program generellt, praktiskt eller akademiskt som studenter väljer baserat på olika faktorer kön, ras, socioekonomisk

Läs mer

Policy Brief Nummer 2012:4

Policy Brief Nummer 2012:4 Policy Brief Nummer 2012:4 Export av livsmedel till vilket pris? Exporterande företag sätter ofta olika pris på en vara på olika marknader. Traditionellt tänker man sig att det beror på att företag anpassar

Läs mer

Konjunkturförändringar i åländsk ekonomi

Konjunkturförändringar i åländsk ekonomi Kandidatuppsats i Statistik Konjunkturförändringar i åländsk ekonomi -Val av förklarande variabler för åländska företags omsättning Jesper Gullquist Abstract This paper is made on behalf of Statistics

Läs mer

Regeringens bedömning av strukturellt sparande jämförelse över tiden och med andra prognosmakare

Regeringens bedömning av strukturellt sparande jämförelse över tiden och med andra prognosmakare Karolina Holmberg Johanna Modigsson Finanspolitiska rådets kansli 2015-08-27 Regeringens bedömning av strukturellt sparande jämförelse över tiden och med andra prognosmakare 1. Inledning Det strukturella

Läs mer

Tentamen STA A10 och STA A13, 9 poäng 19 januari 2006, kl. 8.15-13.15

Tentamen STA A10 och STA A13, 9 poäng 19 januari 2006, kl. 8.15-13.15 Tentamen STA A10 och STA A13, 9 poäng 19 januari 2006, kl. 8.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Räknedosa, bifogade formel- och tabellsamlingar, vilka skall returneras. Christian Tallberg Telnr:

Läs mer

Statistikens grunder (an, 7,5 hsp) Tatjana Nahtman Statistiska institutionen, SU

Statistikens grunder (an, 7,5 hsp) Tatjana Nahtman Statistiska institutionen, SU Statistikens grunder (an, 7,5 hsp) Tatjana Nahtman Statistiska institutionen, SU KURSENS INNEHÅLL Statistiken ger en empirisk grund för ekonomin. I denna kurs betonas statistikens idémässiga bakgrund och

Läs mer

Den Moderna Centralbankens Prognosmetod. Statistikfrämjandets årsmöte

Den Moderna Centralbankens Prognosmetod. Statistikfrämjandets årsmöte Den Moderna Centralbankens Prognosmetod Statistikfrämjandets årsmöte Den moderna centralbanken Prognoser Prognosmetoder Prognosutvärderingar Den moderna centralbanken Fast Växelkurs Inflationsmål Flexibelt

Läs mer

Promemoria Finansdepartementet. Ekonomiska avdelningen. Utvärdering av makroekonomiska prognoser Inledning

Promemoria Finansdepartementet. Ekonomiska avdelningen. Utvärdering av makroekonomiska prognoser Inledning Promemoria 2016-04-11 Finansdepartementet Ekonomiska avdelningen Utvärdering av makroekonomiska prognoser 2016 Inledning Regeringens makroekonomiska prognoser utgör underlag för statens budget och för

Läs mer

Trafiksäkerhetsutvecklingen 2001-2010

Trafiksäkerhetsutvecklingen 2001-2010 PM Ärendenr: [Ärendenummer] Trafikverket Till: Från: 2010-12-28 Trafiksäkerhetsutvecklingen 2001-2010 1(27) Innehåll Sammanfattning... 3 Relativ utveckling av omkomna i väg- och järnvägstrafik och trafikmängd...

Läs mer

Test av kranspetsvågar i virkesfordon

Test av kranspetsvågar i virkesfordon Datum 2016-02-18 Författare Sven Gustafsson Test av kranspetsvågar i virkesfordon WWW.SDC.SE P o s t a d r e s s : 8 5 1 8 3 S u n d s v a l l B e s ö k s a d r e s s : S k e p p a r p l a t s e n 1 T

Läs mer

Vilka indikatorer kan prognostisera BNP?

Vilka indikatorer kan prognostisera BNP? Konjunkturbarometern april 2016 15 FÖRDJUPNING Vilka indikatorer kan prognostisera BNP? Data från Konjunkturbarometern används ofta som underlag till prognoser för svensk ekonomi. I denna fördjupning redogörs

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

Varför högre tillväxt i Sverige än i euroområdet och USA?

Varför högre tillväxt i Sverige än i euroområdet och USA? Varför högre tillväxt i än i euroområdet och? FÖRDJUPNING s tillväxt är stark i ett internationellt perspektiv. Jämfört med och euroområdet är tillväxten för närvarande högre i, och i Riksbankens prognos

Läs mer

F14 Repetition. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 6/3 2013 1/15

F14 Repetition. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 6/3 2013 1/15 1/15 F14 Repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 6/3 2013 2/15 Dagens föreläsning Tentamensinformation Exempel på tentaproblem På kurshemsidan finns sex gamla

Läs mer

Hur påverkar avvikelser från Taylor-regeln priser på hus och aktier?

Hur påverkar avvikelser från Taylor-regeln priser på hus och aktier? ÖREBRO UNIVERSITET Handelshögskolan Nationalekonomi, kandidatuppsats Handledare: Dan Johansson Examinator: Jörgen Levin HT 2015 Hur påverkar avvikelser från Taylor-regeln priser på hus och aktier? Sverige

Läs mer

Statistiska metoder för ekonomiska tidsserier

Statistiska metoder för ekonomiska tidsserier PETER ENGLUND, TORSTEN PERSSON OCH TIMO TERÄSVIRTA Statistiska metoder för ekonomiska tidsserier Robert Engle och Clive Granger har tilldelats 2003 års Ekonomipris. De har på var sitt område, upptäckt

Läs mer

Modell för prognostisering av bolagsskatten En utvärdering av felkorrigeringsmodellen

Modell för prognostisering av bolagsskatten En utvärdering av felkorrigeringsmodellen UPPSALA UNIVERSITET Nationalekonomiska institutionen Magisteruppsats VT-2008 Modell för prognostisering av bolagsskatten En utvärdering av felkorrigeringsmodellen Författare: Kristina Holmberg Handledare:

Läs mer

Tentamen. Makroekonomi NA0133. Augusti 2015 Skrivtid 3 timmar.

Tentamen. Makroekonomi NA0133. Augusti 2015 Skrivtid 3 timmar. Jag har svarat på följande fyra frågor: 1 2 3 4 5 6 Min kod: Institutionen för ekonomi Rob Hart Tentamen Makroekonomi NA0133 Augusti 2015 Skrivtid 3 timmar. Regler Svara på 4 frågor. (Vid svar på fler

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsning 7 Multipel regression (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 23 februari 2004, klockan 8.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 23 februari 2004, klockan 8.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A och STA A3 (9 poäng) 3 februari 4, klockan 85-35 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 10: Multipel linjär regression 1

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 10: Multipel linjär regression 1 Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 10: Multipel linjär regression 1 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-19 Motivering Vi motiverade enkel linjär regression som ett

Läs mer

Planeringsfolkmängd i Gävle kommun för år 2025

Planeringsfolkmängd i Gävle kommun för år 2025 KOMMUNLEDNINGSKONTORET 213-4-3 Planeringsfolkmängd i Gävle kommun för år 225 - Översyn år 213 197 1975 198 1985 199 KAPITELTITEL ENDAST EN RAD ARIAL REGULAR 2 Planeringsförutsättningar Planeringsfolkmängden

Läs mer

a) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta?

a) Vad är sannolikheten att det tar mer än 6 sekunder för programmet att starta? Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-01-18 1. Ett företag som köper enheter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av enheterna kommer att vara felaktiga. Sannolikheten

Läs mer

Teknisk not: Lönealgoritmen

Teknisk not: Lönealgoritmen Teknisk not: Lönealgoritmen Konjunkturlönestatistiken, som räknas till den officiella lönestatistiken, har som huvudsyfte att belysa nivån på arbetstagarnas löner i Sverige och hur dessa utvecklas. Konjunkturlönestatistiken

Läs mer

RAPPORT. Olika nivåer på resandet. Genomgång av de resandematriser som används av Järnvägsgruppen KTH och de som används i den nationella planeringen

RAPPORT. Olika nivåer på resandet. Genomgång av de resandematriser som används av Järnvägsgruppen KTH och de som används i den nationella planeringen RAPPORT Olika nivåer på resandet Genomgång av de resandematriser som används av Järnvägsgruppen KTH och de som används i den nationella planeringen 2009-12-17 Analys & Strategi Analys & Strategi Konsulter

Läs mer

Concept Selection Chaper 7

Concept Selection Chaper 7 Akademin för Innovation, Design och Teknik Concept Selection Chaper 7 KPP306 Produkt och processutveckling Grupp 2 Johannes Carlem Daniel Nordin Tommie Olsson 2012 02 28 Handledare: Rolf Lövgren Inledning

Läs mer

Finansiell månadsrapport Stockholmshem augusti 2008

Finansiell månadsrapport Stockholmshem augusti 2008 Finansiell månadsrapport Stockholmshem augusti 2008 Bolagets skuld Skulden uppgick vid slutet av månaden till 6 321 mnkr. Det är en ökning med 8 mnkr sedan förra månaden, och 74% av ramen är utnyttjad.

Läs mer

Statistik - ränteavdrag

Statistik - ränteavdrag Statistik - ränteavdrag 1 Inledning Denna promemoria avser att belysa en del i den utveckling som skett avseende svenska företags ränteintäkter och räntekostnader ur olika aspekter och på olika övergripande

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Olle Johansson, docent Enheten för Experimentell Dermatologi, Institutionen för Neurovetenskap, Karolinska Institutet, S-171 77 Stockholm

Olle Johansson, docent Enheten för Experimentell Dermatologi, Institutionen för Neurovetenskap, Karolinska Institutet, S-171 77 Stockholm En dödlig utveckling Örjan Hallberg, civ.ing. Polkavägen 14B, 142 65 Trångsund Olle Johansson, docent Enheten för Experimentell Dermatologi, Institutionen för Neurovetenskap, Karolinska Institutet, S-171

Läs mer

F11. Kvantitativa prognostekniker

F11. Kvantitativa prognostekniker F11 Kvantitativa prognostekniker samt repetition av kursen Kvantitativa prognostekniker Vi har gjort flera prognoser under kursen Prognoser baseras på antagandet att historien upprepar sig Trenden följer

Läs mer

Kapitel 17: HETEROSKEDASTICITET, ROBUSTA STANDARDFEL OCH VIKTNING

Kapitel 17: HETEROSKEDASTICITET, ROBUSTA STANDARDFEL OCH VIKTNING Kapitel 17: HETEROSKEDASTICITET, ROBUSTA STANDARDFEL OCH VIKTNING När vi gör en regressionsanalys så bygger denna på vissa antaganden: Vi antar att vi dragit ett slumpmässigt sampel från en population

Läs mer

Råoljeprisets betydelse för konsumentpriserna

Råoljeprisets betydelse för konsumentpriserna Konjunkturläget mars 1 85 FÖRDJUPNING Råoljeprisets betydelse för konsumentpriserna Priset på råolja har sjunkit betydligt sedan mitten av. Bara sedan sommaren i fjol har priset på Nordsjöolja fallit med

Läs mer

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram

Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1

Läs mer

PRELIMINÄRA RÄTTA SVAR

PRELIMINÄRA RÄTTA SVAR STOCKHOLMS UNIVERSITET Nationalekonomiska institutionen John Hassler PRELIMINÄRA RÄTTA SVAR Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar 15 högskolepoäng, lördagen den 14 augusti 2010 kl.

Läs mer

Ekonomiska drivkrafter eller selektion i sjukfrånvaron?

Ekonomiska drivkrafter eller selektion i sjukfrånvaron? REDOVISAR 2001:10 Ekonomiska drivkrafter eller selektion i sjukfrånvaron? Utredningsenheten 2001-09-28 Upplysningar: Peter Skogman Thoursie 08-16 30 47 peter.thoursie@ne.su.se Sammanfattning Allt fler

Läs mer

Beräkning av björnstammens storlek i Värmland, Dalarnas och Gävleborgs län

Beräkning av björnstammens storlek i Värmland, Dalarnas och Gävleborgs län Beräkning av björnstammens storlek i Värmland, Dalarnas och Gävleborgs län Jonas Kindberg och Jon E Swenson Skandinaviska björnprojektet Rapport 2013:4 www.bearproject.info Sammanfattning Den spillningsinventering

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-10-25 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Lennart

Läs mer

Policy Brief Nummer 2011:1

Policy Brief Nummer 2011:1 Policy Brief Nummer 2011:1 Varför exporterar vissa livsmedelsföretag men inte andra? Det finns generellt både exportörer och icke-exportörer i en industri, och de som exporterar kan vända sig till ett

Läs mer

Tidsserieanalys av dödsfall i trafiken

Tidsserieanalys av dödsfall i trafiken VI notat 30-2005 Utgivningsår NNNN www.vti.se/publikationer idsserieanalys av dödsfall i trafiken Astrid Karlsson Kristian Willerö Förord Detta notat är ett särtryck av en magisteruppsats i statistik

Läs mer

Analys av egen tidsserie

Analys av egen tidsserie Analys av egen tidsserie Tidsserieanalys Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 9 december 25 3 25 Antal solfläckar 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Månad Inledning Vi har valt att betrakta

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 11 Lärare: Robert Lundqvist, tel

Läs mer

Hemuppgift 3 modellval och estimering

Hemuppgift 3 modellval och estimering Lunds Universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 Hemuppgift 3 modellval och estimering 1 Inledning Denna hemuppgift är uppdelad i två delar. I den första ska ni med hjälp av olika

Läs mer

Uppgift 1. Deskripitiv statistik. Lön

Uppgift 1. Deskripitiv statistik. Lön Uppgift 1 Deskripitiv statistik Lön Variabeln Lön är en kvotvariabel, även om vi knappast kommer att uppleva några negativa värden. Det är sannolikt vår intressantaste variabel i undersökningen, och mot

Läs mer

Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson

Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson Prognosmodell för medlemstal i Svenska kyrkan. Av Thomas Holgersson Det framtida medlemsantalet i svenska kyrkan tycks vara intressant för många, då det regelbundet diskuteras i olika sammanhang. Att kyrkans

Läs mer

BUSINESS SWEDENS MARKNADSÖVERSIKT SEPTEMBER 2015. Mauro Gozzo, Business Swedens chefekonom

BUSINESS SWEDENS MARKNADSÖVERSIKT SEPTEMBER 2015. Mauro Gozzo, Business Swedens chefekonom BUSINESS SWEDENS MARKNADSÖVERSIKT SEPTEMBER 2015 Mauro Gozzo, Business Swedens chefekonom 1 Business Swedens Marknadsöversikt ges ut tre gånger per år: i april, september och december. Marknadsöversikt

Läs mer

RÄNTEFOKUS NOVEMBER 2012 BRA LÄGE BINDA RÄNTAN PÅ LÅNG TID

RÄNTEFOKUS NOVEMBER 2012 BRA LÄGE BINDA RÄNTAN PÅ LÅNG TID RÄNTEFOKUS NOVEMBER 2012 BRA LÄGE BINDA RÄNTAN PÅ LÅNG TID SAMMANFATTNING Vi bedömer att den korta boräntan (tre månader) bottnar på 2,75 procent i slutet av nästa år för att därefter successivt stiga

Läs mer

Policy Brief Nummer 2012:1

Policy Brief Nummer 2012:1 Policy Brief Nummer 2012:1 Överföring av ängs- och hagmarkers värde Det finns ett samhällsekonomiskt intresse av att veta hur ängs- och hagmarker värderas av allmänheten då finansiella medel inom Landsbygdsprogrammet

Läs mer

Tillväxt och klimatmål - ett räkneexempel

Tillväxt och klimatmål - ett räkneexempel Tillväxt och klimatmål - ett räkneexempel 2012-02-07 Detta dokument är ett räkneexempel som har tagits fram som stöd i argumentationen för en motion till Naturskyddsföreningens riksstämma år 2012. Motionen

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 2006, Kl 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 2006, Kl 08.15-13.15 Tentamen i Statistik, STA A och STA A13 (9 poäng) Onsdag 1 november 00, Kl 0.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan

Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis Department of Statistics Taylorregeln och prediktabiliteten av reporäntan The Taylor rule and its predictability of the repo rate Självständigt

Läs mer

Resultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.

Resultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014. Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar

Läs mer

Forskningsläget betr värdet av restidsvinster för privatresor i Sverige

Forskningsläget betr värdet av restidsvinster för privatresor i Sverige Lars Hultkrantz 1998-12-30 Forskningsläget betr värdet av restidsvinster för privatresor i Sverige Inledning Nuvarande tidsvärden för restidsförändringar för resenärer som betalar sina resa med egna medel

Läs mer

Månadskommentar januari 2016

Månadskommentar januari 2016 Månadskommentar januari 2016 Ekonomiska utsikter Centralbanker trycker återigen på gasen Året har börjat turbulent med fallande börser och sjunkande räntor. Början på 2016 är den sämsta inledningen på

Läs mer

Effekter av lördagsöppna systembolagsbutiker. Uppföljning av de första tio månaderna. 1 Bakgrund och utvärderingens uppläggning

Effekter av lördagsöppna systembolagsbutiker. Uppföljning av de första tio månaderna. 1 Bakgrund och utvärderingens uppläggning Effekter av lördagsöppna systembolagsbutiker. Uppföljning av de första tio månaderna av Thor Norström 1 & Ole-Jørgen Skog 2 Mars 2001 1 Bakgrund och utvärderingens uppläggning I enlighet med riksdagens

Läs mer

Hur stor blir pensionen?

Hur stor blir pensionen? Hur stor blir pensionen? En rapport om kompensationsgrader hos användare av Minpension.se år 2015 Ett samarbete mellan staten och pensionsbolagen Frida Öjemark Sammanfattning Pensionen i det svenska pensionssystemet

Läs mer

Regressionsanalys av huspriser i Vaxholm

Regressionsanalys av huspriser i Vaxholm Regressionsanalys av huspriser i Vaxholm Rasmus Parkinson Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2015:19 Matematisk statistik Juni 2015 www.math.su.se

Läs mer

Penningpolitisk rapport september 2015

Penningpolitisk rapport september 2015 Penningpolitisk rapport september 2015 Kapitel 1 Diagram 1.1. Reporänta med osäkerhetsintervall Procent Anm. Osäkerhetsintervallen är baserade på Riksbankens historiska prognosfel samt på riskpremiejusterade

Läs mer

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över

Läs mer

Konsekvenser av indelningar i områden för redovisning av försök i svensk sortprovning. Johannes Forkman, Saeid Amiri and Dietrich von Rosen

Konsekvenser av indelningar i områden för redovisning av försök i svensk sortprovning. Johannes Forkman, Saeid Amiri and Dietrich von Rosen Konsekvenser av indelningar i områden för redovisning av försök i svensk sortprovning Johannes Forkman, Saeid Amiri and Dietrich von Rosen Swedish University of Agricultural Sciences (SLU) Department of

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

GARCH-modellering av volatiliteten i Industrivärdens substansrabatt

GARCH-modellering av volatiliteten i Industrivärdens substansrabatt GARCH-modellering av volatiliteten i Industrivärdens substansrabatt Max Stenberg & Simon Löfwander Kandidatuppsats HT 2014, 15 ECTS Statistiska institutionen, Lunds universitet Handledare: Peter Gustafsson

Läs mer

ATTITYDER TILL ENTREPRENÖRSKAP PÅ HÄLSOUNIVERSITETET

ATTITYDER TILL ENTREPRENÖRSKAP PÅ HÄLSOUNIVERSITETET ATTITYDER TILL ENTREPRENÖRSKAP PÅ HÄLSOUNIVERSITETET InnovationskontorEtt Författare Gustav Pettersson Projektledare Robert Wenemark & Johan Callenfors 21 mars 2012 2012 Skill Om Skill Skill grundades

Läs mer

En jämförelse mellan nordiska hedgefonder och OMX Nordic 40

En jämförelse mellan nordiska hedgefonder och OMX Nordic 40 En jämförelse mellan nordiska hedgefonder och OMX Nordic 40 Presterar hedgefonder bättre än index under hög volatilitet? Jonas Jonsson Handledare: Carl Lönnbark Jonas Jonsson Vt 2015 Examensarbete, 30

Läs mer

Utvärdering av Transportstyrelsens flygtrafiksmodeller

Utvärdering av Transportstyrelsens flygtrafiksmodeller Kandidatuppsats i Statistik Utvärdering av Transportstyrelsens flygtrafiksmodeller Arvid Odencrants & Dennis Dahl Abstract The Swedish Transport Agency has for a long time collected data on a monthly

Läs mer

Anpassning av ARIMA-modeller till försäljningsdata

Anpassning av ARIMA-modeller till försäljningsdata Statistiska institutionen Anpassning av ARIMA-modeller till försäljningsdata Freddy Andersson & Ellinor Fältman Uppsats i statistik 5 hp Nivå 6-90 hp Maj Handledare: Björn Holmquist och Dan Jensen Sammanfattning

Läs mer