5. Tillståndsåterkoppling

Transkript

1 5. illsåndsåeroppling 5. Polplacering 5. illsåndsåeroppling E linjär idsoninuerlig resp. idsdisre (.ex. sampla) sysem an som bean besrivas med en illsåndsmodell av formen () = Ax() + Bu() x( + ) = Fx( + Gu( resp. (5..a,b) y() = Cx() + Du() y( = Cx( + Du( Här anas för enelhes sull a dödid sanas. En illsåndsmodell är en allmännare sysembesrivning än en besrivning med överföringsfunioner, efersom den förra i mosas ill den senare an inludera ice-syrbara och ice-observerbara omponener (s.. moder). En annan sillnad är a illsåndsmodellen gäller i idsplane, vile beyder a vi ine behöver använda (Laplace-)ransformeori (vile doc ine nödvändigvis är en fördel). Om e sysem, som sall regleras, är besrive med en illsåndsmodell, är de illalande a då göra regulaordesignen (eller -synesen) dire ugående från illsåndsmodellen. Men hur? Efersom sysemes illsåndsveor innehåller all relevan informaion om sysemes illsånd, förefaller de naurlig a unyja denna i regulaorn. Reglereni II illsåndsmeoder (493) 5 5. Polplacering De uppenbara är a åeroppla illsåndsveorn. Vi sall här illusrera dea för en idsoninuerlig illsåndsbesrivning, men behandlingen är hel analog för en idsdisre besrivning. En idsoninuerlig linjär illsåndsåeroppling har formen u( ) = ur ( ) Kx( ) (5..) där u r ( ) är en referenssignal, som an användas för a definiera e börvärde x r ( ) för illsåndsveorn ( u r ( ) = Kxr ( ) ). Vid analys och regulaordesign anas ofa u r ( ) =. Dynamien för e sysem på illsåndsform besäms av sysemmarisens A egensaper, speciell dess egenvärden eller poler. Genom insäning av reglerlagen i illsåndsevaionen an vi sudera hur illsåndsåeropplingen förändrar sysemes egensaper. Vi får () = ( A BK) x() + Bur () (5..) där A BK är de reglerade sysemes sysemmaris. Med hjälp av åeropplingsmarisen K an man således (åminsone i princip) placera de reglerade sysemes poler. 5. illsåndsåeroppling 5 5. Polplacering 5.. Illusraion av polplaceringsmeodien 5.. Illusraion av polplaceringsmeodien 4Exempel 5.. Sabilisering genom polplacering. Beraa syseme () = Ax() + Bu() A =, B = Dea sysem har polerna (dvs egenvärdena) och + och är således insabil. Vi önsar sabilisera syseme genom linjär illsåndsåeroppling och, om möjlig, ge båda polerna för de reglerade syseme värde. Vi har en insignal och vå illsånd. Därmed har illsåndsåeropplingen formen [ ] x( ) u( ) = ur ( ) Kx( ) = ur ( ) och de sluna syseme blir () = [ ] () u () () () r x + = x + u r De sluna sysemes poler fås ur lösningen ill den araerisisa evaionen de ( λi ( A BK) ) de = λi de λ + = = ( λ + λ + ( ) = λ + λ + = Efersom vi önsar polerna λ = λ =, vill vi ha araerisisa evaionen ( ) λ + = λ + λ + = vile erhålls med = och = + λ 3 En inressan fråga är om man allid an placera e sysems poler på önsa sä genom en illsåndsåeroppling. Såsom näsa exempel visar är svare nej. 5. illsåndsåeroppling Polplacering 5 4

2 5.. Illusraion av polplaceringsmeodien 5. Polplacering 4Exempel 5.. En ice-realiserbar polplacering Beraa syseme () = x() + u() som har polerna och + och således är insabil. illsåndsåeropplingen har samma form som i föregående exempel och den araerisisa evaionen blir de( ( )) de de λ + + λi A BK = = λi λ = ( λ + + ( λ ) = Polerna för de reglerade syseme är således λ = och λ =. Såsom framgår an polen λ = ine påveras och syseme därmed ine sabiliseras genom illsåndsåeroppling; endas den andra polen an placeras godyclig. 3 Vad beror dea på? 5. Polplacering När an e sysems poler placeras godyclig? Sysemes () = Ax() + Bu() (5..3) poler an placeras godyclig (men omplexa poler måse givevis föreomma som omplexonjugerade par) med illsåndsåeropplingen u( ) = ur ( ) Kx( ) (5..4) om och endas om sysemes syrbarhesmaris har full rang, dvs Γ c B AB A B A B Γ n, då A är en n n maris. rang( c) = n (5..5) Mär a behove a unna placera polerna godyclig an vara onödig resriiv. I praien vill man ine placera polerna så a de reglerade syseme blir insabil. Om ev. ice-syrbara illsånd är sabila, är de ändå möjlig a placera polerna relaerade ill de syrbara illsånden godyclig i de omplexa alplanes vänsra halva. 5. illsåndsåeroppling Polplacering 5..3 Var sall sysemes poler placeras? 5..3 Var sall sysemes poler placeras? Som umregel an man säga a man sall placera polerna i de srecade område i de omplexa alplane i figuren för idsoninuerlig sysem diagramme ill vänser (men i allmänhe undvis område nära origo) idsdisre sysem diagramme ill höger (men i regel undvis område nära punen (,)) För e oninuerlig sysem mosvarar de srecade område egenvärden av formen λi = μi ± jωi, där μ i <, ωi μi (5..6) Mosvarande område och egenvärden för e idsdisre sysem är ( ω h ω h ) λih μih± jωih μih ± jωih μih = = = i ± i (5..7) ωi > π h ine är illalande pga aliaseffeen. e e e e e cos( ) jsin( ) där h är samplingsinervalle. Obs a / 5. illsåndsåeroppling 5 7 Hur påveras sysemes egensaper av polernas placering? För e oninuerlig sysem an man allmän säga följande: Polernas (egenvärdenas) avsånd från origo avgör sysemes snabbhe e längre avsånd mosvarar en mindre idsonsan och därmed snabbare respons. Komplexa poler medför segsvar med översläng och/eller oscillerande beeende. Om de reglerade syseme (approximaiv) är av andra ordningen fås de vacrase segsvare ofa med relaiva dämpningen ζ,7. Dea beyder a man bör välja ω i = μi = ω n,7ωn, där ω n är de reglerade sysemes naurliga frevens (egenfrevens). Dea ger en dryg 4 % sor översläng. För sysem av högre ordning besäms de dominerande egensaperna av polerna närmas origo. Poler lång från origo ger snabbhe, men ocså sora insignaler i början av e ransiensvar. Ovansående innebär a ompromisser (ingenjörsmässiga avvägningar) vanligvis måse göras och resulae onrolleras genom simulering. 5. Polplacering 5 8

3 5. Polplacering 5..4 Polplacering genom segsvarsspecifiaioner 5..4 Polplacering genom segsvarsspecifiaioner Ofa vill man a de reglerade syseme sall bee sig ungefär som e lä underdämpa andra ordningens sysem. Genom specificering av de reglerade sysemes relaiva översläng M och (.ex.) dess sigid r an sysemes överföringsfunion beränas och därmed ocså dess poler. Man an visa a för e andra ordningens sysem med överföringsfunionen ωn + ζωns+ ωn Gs () = (5..8) s gäller ln( M ) π arcan( β / ζ ) ζ =, ω π n =, β = ζ (5..9) + ln ( M ) β r där M = ( y max / y ), y max är försa överslängens maximala värde, y är börvärdesförändringens sorle och r är iden ills segsvare för försa gången passerar y. När ζ och ω är ända an sysemes poler enel beränas. n 5. illsåndsåeroppling 5 9 4Exempel 5.3. Segsvarsspecifiaioner för eleris servomoor. Dynamien för en eleris servomoor med lämplig normerade variabler besrivs av sambande Y ( s) = U ( s) s( s + ) där insignalen är pålagd spänning och usignalen moorns vridningsvinel. Syseme har illsåndsbesrivningen ( ) = x( ) + u( ), y( ) = [ ] x( ) där idsenheen är seunder. Vi vill genom en linjär illsåndsåeroppling placera de reglerade sysemes poler så a syseme får en relaiv dämpning ζ, 7 och en sigid r, 8 seunder. Dessuom önsar vi ingen saionär regleravvielse mellan usignalen och dess börvärde. Vi noerar a ζ =, 7 β, 7 och r =, 8 ω n 4, Polplacering Polplacering genom segsvarsspecifiaioner 5..4 Polplacering genom segsvarsspecifiaioner Vi väljer en linjär illsåndsåeroppling av formen [ ] u () = r () x () r där r () är usignalens börvärde. Obs a denna reglerlag ine är evivalen med en åeroppling av enbar usignalen y (), u( ) = ( r( ) y( )). Insäning i modellen ger () = [ ] () r () () () r x + = x + r r Laplaceransformering ger för de reglerade sysemes överföringsfunion Y ( s) Gr ( s) = = R( s) [ ] s I 5. Polplacering 5 r = s r + ( + Specifiaionerna innebär a vi sall välja = ωn 8 och = ζωn 5 sam r = = 8 Polerna är n n n n λ = ζω ± jω ζ = ζω ± βω j 3± 3j ) s + Den heldragna urvan ( ) i figuren ill höger visar hur usignalen y () förändras för en segförändring av börvärde från r = ill r =. Som jämförelse visas med den srecade urvan ( ) resulae om man lägger båda polerna i λ = 8, vile erhålles med = 8, = 8 och r = = 8. Dea mosvarar e riis dämpa sysem med vå lia sora idsonsaner ( 8) n = =, 4 seunder Polplacering 5

4 5. Polplacering 5. illsåndsåeroppling 5..5 Några nacdelar med polplacering Designmeoden förefaller illalande, men den är i verligheen relaiv oprais och har ocså eoreisa begränsningar. illsåndsåeroppling ger normal en regulaor av PD-yp, efersom illsånden ofa represenerar usignalen och derivaor av den. I exemple ovan erhölls ingen regleravvielse pga vale r =, men generell sä an man räna med regleravvielse med en regulaor av denna yp. illsåndsåeropplingen påverar ine sysemes nollsällen. E oninuerlig iceminimumfassysem har nollsällen i högra halvplane, vile medför besvärliga dynamisa egensaper, men dessa an ine flyas ill vänsra halvplane genom polplacering. Vanligvis an man ine mäa alla illsånd, vile illsåndsåeroppling förusäer. I praien är man vungen a esimera eller reonsruera illsånden med hjälp av processmodellen och mäningar av usignalerna. 5. illsåndsåeroppling Linjärvadrais reglering Vad är linjärvadrais reglering? Med polplacering an man specificera de reglerade sysemes poler, men man har ingen egenlig onroll över in- och usignalers sorlear. Bl.a. dea försöer man lösa genom linjärvadrais reglering. De linjärvadraisa reglerprobleme är e opimeringsproblem, där man minimerar en vadrais förlusfunion under bivillore a man har en linjär illsåndsmodell som besriver sambande mellan sysemes variabler (insignaler, illsåndsvariabler, usignaler). Fördelen med a ha en linjär modell men en vadrais förlusfunion är a opimeringsprobleme har en (implici) analyis lösning, vile är av sor fördel för en sysemais behandling av reglerprobleme. De linjärvadraisa reglerprobleme an lösas både för idsoninuerliga och idsdisrea sysembesrivningar på hel liara sä. Vissa dealjsillnader föreommer doc, och vi sall börja med a behandla de idsoninuerliga falle. Reglereni II illsåndsmeoder (493) Linjärvadrais reglering 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id Vår sysem besrivs av illsåndsevaionen () = Ax() + Bu() (5..) där variablerna definieras så, a de önsade illsånde är x=. Anag a vid iden = gäller x() = x. Vi önsar genom reglering eliminera denna avvielse från noll på e opimal sä så a förlusfunionen J = ( x( ) Qxx( ) + u( ) Quu ( ))d (5..) minimeras. Här är Q x och Q u symmerisa vimariser sådana a Q x är posiiv semidefini och Q u är posiiv defini. Dea beyder a x() Qxx () oberoende av x() och u() Quu () > oberoende av u(). Maemais an dea srivas Qx = Q x och Qu = Q u >. ermerna i förlusfunionen an olas så a man viar vadraen på variablernas avvielser från de önsade illsånden noll. 5. illsåndsåeroppling 5 5 Under förusäning a syseme över huvudage är sabiliserbar, dvs a de exiserar en maris Κ sådan a alla egenvärden ill marisen A BK har negaiv realdel, an man visa a den opimala lösningen är u() = Kx (), K = Q u B P (5..3) där P är en symmeris posiiv defini maris (dvs P= P >) som erhålles som den enydiga lösningen ill den algebraisa Riccaievaionen A P+ PA+ Qx PBQu B P= (5..4) Såsom sambande u() = Kx () visar, är den opimala lösningen a alla illsånd sall åeropplas. yvärr exiserar ine någon allmän explici lösning för P, vile beyder a P för sysem av högre ordning än vå i praien måse besämmas numeris. De faum a man i förlusfunionen inegrerar från = ill = gör a marisen P, och därmed även Κ, blir onsana mariser. Ifall inegraionen uförs ill en ändlig id blir dessa mariser idsberoende, dvs reglerlagen blir idsvarian. 5. Linjärvadrais reglering 5 6

5 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id 4Exempel 5.4. Linjärvadrais reglering av en dubbelinegraor. En srömsyrd lisrömsmoor an modelleras som en dubbelinegraor, vars illsåndsmodell är () = Ax() + Bu(), A =, B = Man önsar syra moorn så, a förlusfunionen 4 J = ( x( ) Qxx( ) + u( ) Quu ( ))d, Q x =, Q u = minimeras. Med beaande av a u här är en salär fås för de givna vierna Q x och Q u J = (4 x + u )d Dea innebär a illsånde x (som mosvarar moorns vinelhasighe) ine alls vias, dess värde får m.a.o. vara godyclig. Däremo vias x (segmoorns vridningsvinel) och u (srömsyran). 5. Linjärvadrais reglering 5 7 Den opimala reglerlagen är u() = Kx (), K = Q u B P där P fås som lösningen ill Riccaievaionen A P+ PA+ Qx PBQu B P= Av Riccaievaionen följer a P måse ha samma dimension som A. Efersom P är symmeris, måse marisen ha formen p p p p P = = p p p p Insäning i Riccaievaionen ger p p p p 4 p p [ ] p p + + = p p p p p p p p p 4 p [ ] p p p + + = p p = p p p p p p p 5. Linjärvadrais reglering Linjärvadrais reglering i oninuerlig id 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id Dea ger de fyra evaionerna 4 = p p = p p p = p p p = p varav re är oberoende. Den enda lösning som gör a P är posiiv defini är 4 p = 4, p = p =, p =, dvs P =. Den opimala åeropplingsmarisen är då K = Q 4 [ ] u B P = = [ ] och reglerlagen är u () = x() x() eller u () = ( r x()) x() där r är börvärde för x ( x får ju variera godyclig). 5. Linjärvadrais reglering 5 9 Vila poler har de reglerade syseme? Vi har, A BK [ ] x = Ax+ Bu = ( A BK) x de λ λ λ = = λ+ λλ ( + ) + = λ + λ+ = λ = ± ( ) = ± j dvs de reglerade syseme är sabil och polerna är i enlighe med reommendaionerna för polplacering. Figuren visar e segsvar för de reglerade syseme. = = Linjärvadrais reglering 5

6 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id Inegrerande veran Den ovan härledda regulaorn är opimal för a föra syseme från e begynnelseillsånd x ill sluillsånde x =. Probleme som löss är egenligen e servoproblem (även alla följereglering), där illsåndsvariablerna väljes som avvielser från de i verligheen önsade sluillsånde. Evenuella sörningar beaas ine alls och regulaorn larar ine heller av a eliminera deras inveran på sysemes illsånd inegrerande veran sanas. För processreglering är de s.. regulaorprobleme (även alla onsanreglering) vanligvis av sörre beydelse. I dea fall vill man hålla usignalerna vid sina referensvärden (börvärden) ros inommande sörningar. För dea rävs inegrerande veran. Regulaorn larar även av följereglering. Vi sall här modifiera problembesrivningen så a vi erhåller en opimal regulaor som innehåller inegrerande veran sam får usignalen y a följa e börvärde r ros inommande sörningar d. I härledningen av lösningen anas a börvärde och sörningarna är onsana, men regulaorn fungerar (men anse ine opimal) även om dessa rav ine uppfylls. 5. Linjärvadrais reglering 5 illsåndsmodellen med beaande av en onsan sörning d an srivas () = Ax() + Bu() + Md (5..5) y() = Cx() + Du() + Ed Vi definierar en ny variabel q() = ( y() r )d (5..6) där r är börvärde för usignalen y (). idsderivaan av den nya variabeln an srivas q () = y() r = Cx() + Du() + Ed r (5..7) Då vi deriverar denna evaion sam illsåndsevaionen en gång ill fås x() = A () + Bu () x() A () B eller = + () q () = C() + Du () () () u q C q D (5..8) 5. Linjärvadrais reglering Linjärvadrais reglering i oninuerlig id 5.. Linjärvadrais reglering i oninuerlig id Med definiionerna () w() = (), v() = u (), q ˆ A A = C, ˆ B B = (5..9) D an dea srivas w () = Aw ˆ () + Bv ˆ () (5..) Minimering av förlusfunionen J = ( w( ) Qww( ) + v( ) Qvv ( ))d (5..) ger i analogi med idigare lösning reglerlagen v() = Kw (), K = Q v Bˆ P (5..) där P är den symmerisa posiiv definia maris som saisfierar evaionen ˆ ˆ ˆ A P+ PA+ Q ˆ w PBQv B P= (5..3) 5. Linjärvadrais reglering 5 3 K K K sam idigare variabeldefiniioner fås u () = K() Kq () = K () + K( r y()) (5..4) Med pariioneringen = [ ] Inegrering från = ill ger med begynnelseillsånden x() = och u() = u() = Kx() + K ( r y ())d (5..5) som är en mulivariabel reglerlag med inegrerande veran så a y() r. En förusäning för a denna reglerlag sall sabilisera syseme ( AB, ) är a de är syrbar (dvs syrbarhesmarisen har full rang) sam a marisen A B har full rang. C D Q I förlusfunionen har vimarisen Q w i praien formen Qw =. Dea innebär Q a Q viar (), dvs rörelserna hos x (), Q viar regleravvielsen r y () och Q v viar rörelserna hos u (). Q avgör därmed hur myce inegrerande veran som fås. 5. Linjärvadrais reglering 5 4

7 5. Linjärvadrais reglering 5.. Linjärvadrais reglering i disre id 5.. Linjärvadrais reglering i disre id En idsdisre illsåndsevaion har som bean formen x( + ) = Fx( + Gu ( (5..6) och en vadrais idsdisre förlusfunion har formen J = ( x( Qxx( + u( Quu ( ) (5..7) = Minimering av förlusfunionen ger den opimala reglerlagen u( = Kx (, K = ( Qu + G PG) G PF (5..8) där den symmerisa marisen P ges av den disrea Riccaievaionen P = F PF F PG( Qu + G PG) G PF + Q x (5..9) Lösningen ill de linjärvadraisa reglerprobleme är således någo mer omplicerad i disre id än i oninuerlig id. 5. illsåndsåeroppling 5 5 Inegrerande (summerande) veran En idsdisre illsåndsmodell med beaande av en onsan sörning an srivas x( + ) = Fx( + Gu( + Nd y( = Cx( + Du( + Ed (5..) Vi definierar en ny variabel q( = ( y( i) r ) q( + ) = q( + y( r (5..) i= där r är börvärde för usignalen y (. Vidare inför vi beecningarna Δ x( = x( x ( ), Δ q( = q( q ( ), Δ u( = u( u ( ) (5..) med vilas hjälp vi an sriva Δ x( + ) = FΔ x( + GΔu( Δ x( + ) F Δx( G ( Δ q( + ) =Δ q( + CΔ x( + DΔu( = + Δ Δ ( + ) Δ ( u q C I q D (5..3) 5. Linjärvadrais reglering Linjärvadrais reglering i disre id 5.. Linjärvadrais reglering i disre id Med definiionerna Δx( w( = Δ (, v( =Δu (, q ˆ F F =, C I ˆ G G = (5..4) D an dea srivas w( + ) = Fw ˆ ( + Gv ˆ ( (5..5) Minimering av förlusfunionen ( w( ) Qww( ) v( ) Qvv ( )) (5..6) = J = + ger i analogi med idigare lösning reglerlagen v( = Kw (, ˆ ˆ ˆ ˆ K = ( Q + G PG) G PF (5..7) där den symmerisa marisen P ges av den disrea Riccaievaionen ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ v v P= F PF F PGˆ Q + Gˆ PGˆ Gˆ PF+ Q (5..8) w K K K sam idigare variabeldefiniioner fås Δ u( = KΔx( KΔq ( (5..9) eller u( u( ) = K( x( x( )) K( q( q ( )) (5..3) Efersom u( ) u( ) = K( x( ) x( )) K( q( ) q( )) (5..3) u() u() = K( x() x()) K( q() q()) Med pariioneringen = [ ] ger summering med beaande av a begynnelseillsånden är noll u( = Kx( Kq( = Kx( + K ( r y ( i)) (5..3) i= som är en mulivariabel disre reglerlag med inegrerande veran så a y( r. 5. Linjärvadrais reglering Linjärvadrais reglering 5 8

8 5.. Linjärvadrais reglering i disre id 5. Linjärvadrais reglering Modifiaion för sri proper sysem Ovan unde endas en reglerlag med summering ill härledas pga ermen Du ( som dire påverar y (. Om D=, dvs för e sri proper sysem, an man använda definiionen q( = ( y( i) r ) q( + ) = q( + y( + ) r (5..33) i= där summeringen görs ill. Dea ger Δ q( + ) =Δ q( +Δ y( + ) =Δ q( + CΔ x( + ) =Δ q( + CFΔ x( + CGΔu ( som med de modifierade definiionerna (5..34) ˆ F F =, CF I ˆ G G = (5..35) CG ger samma formella lösning som ovan frånse a summeringen nu ger u( = K x( K q( = K x( + K ( r y ( i)) (5..36) i= 5. Linjärvadrais reglering Val av vier i förlusfunionen Allmängiliga reommendaioner för hur vierna sall väljas för a ge bra reglering an yvärr ine ges. Följande an doc onsaeras: Man har sor frihe a via precis vad man vill. De modifiaioner som inegrerande veran medförde i förlusfunionen är väl moiverade. Om man.ex. vill via enbar usignaler, ine hela illsåndsveorn, an man välja a via enbar de illsånd som mosvarar usignaler (vanligvis finns sådana). Viningen av syrsignalen medför a man undvier bang-bang reglering (vanligvis vill man undvia sora syrsignaler). Vid onsanreglering som syfar ill sörningseliminering vias u () (eller Δu ( ) i sälle för u () (eller u ( ). Dea är rimlig, efersom x = räver u när man har en ice övergående sörning. Viningen av q () = y() r (eller Δq ( ) ) medför föruom inegrerande veran, en viss robushe mo modellfel. 5. illsåndsåeroppling illsåndsåeroppling 5.3 illsåndsreonsruion 5.3 illsåndsreonsruion Resulae av både polplacering och den linjärvadraisa reglereorin är a alla illsånd sall åeropplas (i princip). Meoderna är myce illalande för reglering av sysem med flera insignaler och flera usignaler, efersom de dire löser de mulivariabla probleme så a opplingar mellan de olia variablerna beaas på rä sä. Haneringen av mulivariabla sysem som en helhe medför doc ine enbar fördelar i praien vill man ofa använda enla regulaorer som unyjar informaion från endas en mäning och juserar endas en syrsignal. I e mulivariabel sysem har man då flera sådana regulaorer. Korsopplingarna mellan olia variabler i syseme bör beaas separa. E anna problem med åeroppling av illsånden är a alla illsånd sällan är ända vi får dire informaion endas om sådana illsånd som är dire mäbara. E sä a lösa dea problem är a esimera eller reonsruera illsånden ugående från illgängliga mäningar med hjälp av en processmodell. I reglerlagen ersäs den verliga illsåndsveorn då med den reonsruerade illsåndsveorn. Reglereni II illsåndsmeoder (493) idsoninuerlig illsåndsreonsruion Beraa den idsoninuerliga sysembesrivningen () = Ax() + Bu() (5.3.) y() = Cx() + Du() med iniialvärde x() = x. Anag a mariserna A, B, C och D är ända sam a y (och u) an mäas. E sä a uppsaa x vore a simulera syseme xˆ () = Axˆ() + Bu(), xˆ() = x ˆ (5.3.) med hjälp av den verliga insignalen u (). Efersom de verliga iniialillsånde x ine är än i praien, ommer x och ˆx ine a vara lia och därmed ommer de simulerade illsånde (dvs saningen) x ˆ( ) ine heller a överenssämma med de verliga illsånde x (). I denna simulering unyjas ingen informaion om den mäbara usignalen y (). Kunde man på någo sä förbära simuleringen genom a använda denna informaion? 5. illsåndsåeroppling 5 3

9 5.3. idsoninuerlig reonsruion 5.3. idsoninuerlig reonsruion Saningen x ˆ( ) an användas för a uppsaa usignalen y () enlig yˆ() = Cxˆ() + Du () (5.3.3) Sillnaden y() yˆ() = y() Cxˆ() Du () (5.3.4) är därför e må på hur väl x ˆ( ) saar x (). Efersom y() y ˆ() är e saningsfel, förefaller de rimlig a reglera saningen av x () genom åeroppling av dea saningsfel ill saningen av x (). Vi får då xˆ () = Axˆ() + Bu() + H( y() Cxˆ() Du() ) (5.3.5) där H är en åeropplingsmaris. Om syseme har endas en usignal, är denna maris givevis en olonnveor. Dea dynamisa sysem allas en (illsånds)observaör för de ursprungliga syseme med x () som illsåndsveor. Mär a ombinaionen illsåndsregulaor + observaör endas unyjar mävärde y () för a (på e gansa omplicera sä) generera reglersignalen u (). Hur bra är observaören, vila dynamisa egensaper har den? 5.3 illsåndsreonsruion 5 33 Lå oss beecna saningsfele av x () med δ x() = x() x ˆ() (5.3.6) Derivering och insäning av urycen för () och xˆ( ) ger δ () = () xˆ () = Ax() + Bu() Axˆ() Bu() H( y() Cxˆ() Du() ) = A( x() xˆ() ) H( Cx() Cxˆ() ) = ( A HC) ( x() xˆ() ) = ( A HC) δx() Saningsfele besrivs allså av differenialevaionen δ () = ( A HC) δ x() (5.3.7) Om alla egenvärden ill marisen ( A HC ) har negaiv realdel är observaören sabil och esimeringsfele ommer a gå mo noll. Snabbheen med vilen esimeringsfele går mo noll besäms av egenvärdena ju mer negaiv realdel, deso snabbare onvergens mo noll. Observaörens egenvärden an placeras godyclig med hjälp av H om syseme ( AC, ) är observerbar. Men är de rimlig a försöa göra onvergensen oändlig snabb? 5.3 illsåndsreonsruion idsoninuerlig reonsruion 5.3. idsoninuerlig reonsruion 4Exempel 5.5. idsoninuerlig observaörsdynami Den idigare beraade elerisa servomoorn har illsåndsbesrivningen x() = x() + u(), y( ) = [ ] ( ) där idsenheen är seunder. Om illsånden ine an mäas, använder vi en observaör x ( [ ] ) x ˆ ˆ h () = () + u() + y() ˆ() x h x Sysemmarisen ( A HC ) för observaörens saningsfel blir h h [ ] A HC = = h h som har den araerisisa evaionen h λ h de λ + I λ ( h) λ h h h = = = h λ + vars lösning ger observaörens egenvärden. 5.3 illsåndsreonsruion 5 35 I vidsående diagram visas hur väl observaören reonsruerar illsånde x (som ju ine mäs) för vå olia val av observaörsegenvärden. Som begynnelsevärde har använs x ˆ () = medan de verliga begynnelsevärde är x () =. I de övre diagramme är observaörspolerna 4± 4j, vile erhålles med h = 7 och h = 5. I de nedre diagramme är observaörspolerna 5 ± 5j, vile erhålles med h = 9 och h = 4. Observaörspoler längre ill vänser i de omplexa alplane ger således här bäre reonsruion. 5.3 illsåndsreonsruion 5 36

10 5.3. idsoninuerlig reonsruion 5.3 illsåndsreonsruion Hur väl gäller ovansående i praien? Anag a mäsignalen y () innehåller högfreven brus, exempelvis så a y () = x () +,5sin(5) Diagrammen ill höger visar de resula som då fås med samma vå observaörer som ovan. Här är de lar a den långsammare observaören är a föredra. Anmärning. Vid onsruionen av observaören har vi ine beaa a illsånde x fais mäs; de borde räca ill a esimera enbar x. En sådan observaör allas reducerad (Luenberger) observaör illsåndsreonsruion idsdisre illsåndsreonsruion Om man har en idsdisre sysembesrivning och en idsdisre illsåndsregulaor bör man för illsåndsreonsruion givevis ha en idsdisre observaör. Vi har den idsdisrea modellen x( + ) = Fx( + Gu( (5.3.8) y( = Cx( + Du( På samma sä som ovan an vi härleda observaören xˆ( + ) = Fxˆ( + Gu( + H( y( Cxˆ( Du ( ) (5.3.9) sam den evaion som besriver esimeringsfele δ x( + ) = x( + ) xˆ ( + ) = ( F HC) δ x ( (5.3.) Observaören är då sabil om marisen ( F HC ) har alla egenvärden innanför enhescireln i de omplexa alplane. Ju närmare origo egenvärdena ligger, deso snabbare är observaörens onvergens. Egenvärdena an placeras godyclig genom lämplig val av H om de disrea syseme ( FC, ) är observerbar. 5. illsåndsåeroppling idsdisre reonsruion 5.3. idsdisre reonsruion Dead-bea reonsruion Enlig Cayley-Hamilons sas saisfierar varje maris sin egen araerisisa evaion. Då marisen A har den araerisisa evaionen n n de( λi A) = λ + aλ + + an λ+ an = (5.3.) så gäller även n n A + a A + + a A+ a I= (5.3.) n Anag a man i illsåndsreonsruionen placerar alla egenvärden för marisen ( F HC ) i origo. Om anale illsånd är n har marisen dimensionen n n och dess araerisisa evaion med alla egenvärden lia med noll blir n λ = (5.3.3) Därmed gäller även n ( F HC) = (5.3.4) vile innebär a n δx( n) = ( F HC) δx( n ) = ( F HC) δx( n ) = = ( F HC) δx() = (5.3.5) dvs reonsruionsfele är noll efer (max) n samplingar. Dea är den snabbase reonsruion som an uppnås, men ocså den mes sörningsänsliga. 5.3 illsåndsreonsruion 5 39 n Sri propra sysem I den allmänna formuleringen av den idsdisrea illsåndsreonsruionen ovan uppsår en idsfördröjning lia med e samplingsinervall mellan mävärde y ( och de esima x ˆ( + ) som mävärde ger. För e sysem med D=, dvs e sri proper sysem, an denna idsfördröjning undvias. Efersom y( + ) = Cx( + ) = CFx( + CGu ( (5.3.6) an man använda observaören xˆ( + ) = Fxˆ( + Gu( + H y( + ) CFxˆ( CGu ( (5.3.7) ( ) I dea fall ges reonsruionsfele av δ x( + ) = x( + ) xˆ ( + ) = ( I HC) Fδ x ( (5.3.8) Marisen ( I HC) F avgör observaörens sabilie och lisom idigare an dess poler placeras godyclig om syseme ( FC, ) är observerbar. 5.3 illsåndsreonsruion 5 4

11 5.3. idsdisre reonsruion 5.3. idsdisre reonsruion illsåndsesimae x ˆ( ger esimae yˆ( = Cx ˆ( av usignalen. Efersom y ( mäs, borde dea esimeringsfel i princip vara noll. Vi an härleda δ y( + ) = y( + ) yˆ ( + ) = Cδx( + ) = C( I HC) Fδx( = ( I CH) CFδx ( (5.3.9) vile beyder a esimeringsfele δ y( + ) = om CH = I (5.3.) Om marisen C har full rang, dvs rang( C ) = p n, där p är anale usignaler och n anale illsåndsvariabler, är de allid möjlig a välja marisen H så a CH = I. Man säersäller därmed a yˆ( = y (. Yerligare en fördel är a man an a bor p sycen evaioner ur observaören, efersom man ine längre behöver esimera de illsånd som ger esimae yˆ( = Cx ˆ(. 5.3 illsåndsreonsruion 5 4 4Exempel 5.6. En idsdisre observaör Den samplade dubbelinegraorn har illsåndsrepresenaionen x ( ) ( ) / + = + u( x, y( = [ ] x ( där beecnar samplingsinervalle. Dynamien för en observaör uan idsfördröjning mellan e mävärde och dess esima besäms av marisen h ( I HC) F = [ h ] Om vi önsar yˆ( = [ ] x ˆ( = xˆ ( = y( rävs CH = I, dvs här [ h ] = h h = Då fås ( I HC) F = [ h ] = = h h h 5.3 illsåndsreonsruion idsdisre reonsruion Anag a vi önsar en dead-bea reonsruion. Vi sall då välja marisen ( I HC) F så a dess båda egenvärden blir noll. Dea ser genom vale h = dvs h = / Vi får då observaören xˆ( + ) = Fxˆ( + Gu( + H( y( + ) CFxˆ( CGu( ) ˆ ( ) / ( ) ( ) [ = x + u y ] ˆ( u( + / + x = xˆ( + u( + y( + ) / / / dvs xˆ ( + ) = y( + ) xˆ ( + ) = xˆ ( + u ( ) + y ( + ) = ( y ( + ) y ( )) + u ( ) Endas den sisa evaionen behöver användas för illsåndsreonsruion efersom den försa ges dire av mävärde y+ ( ) illsåndsreonsruion 5 43