KAPITEL 1 Föreläsning 1 2

Transkript

1 KAPIEL Föreläsning Inroduion Komplex represenaion av sinus & cosinus Komplex ampliud Periodisa signaler Sperum Sampling Signalmanipulaioner

2 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem Insignal Sysem Usignal x Blocdiagram-represenaion i H y = H {x} H = sysemoperaorn I den här ursen beraar vi främs sysem med en insignal och en usignal Signal = en funion som represenerar en fysis sorhe eller variabel och innehåller informaion om dess uppförande eller fenomenes egensaper Sysem = (ofa) en maemais modell av e fysialis sysem, som för olia insignaler genererar olia usignaler. SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem Insignal Sysem Usignal x H y = H {x} Exempel: x = gaspedalens läge En bil y = bilens far x = ljusinensieen Öga y = pupillens diameer x = vaenranens flöde Vaenan y = vaennivån x = ingående sröm Mosånd y = spänningen över mos. x = eleris ljudsignal Högalare y = ljudrycsförändringar x = godyclig Inegraor y = inegralen av x x = Ericssonaiens värde ShlmsBörsen y = ele -aiens värde x = anale solfläcar Solen/Jorden y = marnadsprise på vee! SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

3 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 3 Signaler x() x[n] idsoninuerlig sysem H idsdisre sysem y() = H {x()} y[n] = H {x[n]} idsoninuerliga signaler x(), y() idsdisrea signaler x[n], y[n] = en ordnad sevens av al, indexerad av variabeln n n SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 4 Liformig sampling idsdisre sysem Reonsruion x() x[n] y[n] y() = H {x()} = n s H{x[n]} idsoninuerlig sysem De idsoninuerliga syseme an modelleras m.h.a. e idsdisre sysem! Liformig x() x() sampling: = n s x[n] =x(n s ) x[n] s 4 s s s 3 s 5 s 4 n 3 5 SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

4 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 5 Vibraioner, oscillaioner, vågrörelser och andra periodisa förlopp och signaler Periodisa förlopp: Hjärslag, andning, ögonblinning, Roerande obje,.ex. hjul, jorden, vevaxel, aflä, Sudsande boll Flyande föremål som guppar i vaen Planeernas omloppsbana run solen Vågrörelser hos ljus, elemenarparilar, aomer & moleyler Eonomisa cyler hög- & lågonjunur, periodicieer i aiemarnader och penningmarnader Fjädrande föremål simhoppssvi, rampolin, fjädrar Obje som vajar/vibrerar/vobblar i vinden Ljud,.ex. från sämbanden, sränginsrumen, sämgaffel, högalarmembran, m.m. SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 6 (Saionär) Periodisa signaler Saionär signal = periodis eller onsan signal, exiserande från ill Exempel: x() Periodid [se] x() är -periodis x() = x( + ) SKS9 Linjära Sysem Signalens grundfrevens: f = / [Hz] (Eng: fundamenal frequency) Copyrigh Lasse Alfredsson

5 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 7 Periodisa modellsignaler l Fysialisa periodisa signaler är ine allid exa periodisa, men modelleras ofa/gärna som sådana. De finns raffulla maemaisa veryg för periodisa signaler som väsenlig underläar analys av signaler och linjära sysem! vå vanliga periodisa modellsignaler: Fyranvågen x П () Sinusvågen x () (sinussignalen) SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 8 Komplex represenaion av cosinus/sinus Imaginära axeln Komplexa Polär form A, alplane z a jb A jb Reangulär (aresis) form a, b A Eulers formel: a Reella axeln Polär Reangulär: j e cos jsin Re Maemais olning av polär form: z Ae Eulers inversa formler: e cos j e j sin e j e j j j a z Acos b Im z A sin Reangulär Polär: A a b b a a rcan om a SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

6 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 9 Komplex represenaion i av idsberoende d cosinus/sinus: i roaing phasors = den omplexa exponenialsignalen j b() Imag.del rad/s A () = + a()=x() z Ae Ae Xe j j j Den omplexa ampliuden: X j Ae (boen: phasor ) Realdel A j A j x Rez Acos e e X X j j z z e e X Ae j SKS9 Linjära Sysem Demo roerande visare Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem Exempel, cos/sin-addiion m.h.a. omplexa ampliuder 5sin cos Acos x 3 4 A?? ) : ) : j j j j e e e e cos, sin j j Re (ofa enlas) X e där XAe j avelräning 4.88cos.93 x SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

7 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem Grafis sperumbesrivning av frevenssignaler Exempel nosrif: idsaxel Lägre frevens Högre frevens I e musisyce spelas, vid varje idpun, e anal oner som an bilda acord. Noblade anger vila oner (=frevenser) som då spelas. Anm: Varje insrumen bidrar doc, för varje grundon, även med e anal överoner. SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem Grafis sperumbesrivning av cosinus/sinus cos x A Enelsidig sperum j Ae En frevensomponen med omplexvärd ampliud X j Ae vid = j Re Xe x SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

8 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 3 Ex: Enelsidig sperum för x() = 4 cos( + /4) Am mpliud iud Ampli 4 x() id [s] Enelsidig ampliudsperum Enelsidig fassperum 4.8 ( /4.8) 3.6 Fas [r rad].4. SKS9 Linjära Sysem Frevens [Hz] Frevens [Hz] Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 4 Grafis sperumbesrivning av cosinus/sinus cos x A A A e e e e j j j j Enelsidig sperum Dubbelsidig sperum j Ae A j e A e j En frevensomponen med omplexvärd ampliud X SKS9 Linjära Sysem j Ae vid = j Re Xe x vå frevensomponener med omplexvärda ampliuder X A e j vid = X A e j vid = Copyrigh Lasse Alfredsson

9 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 5 Enelsidig ampliudsperum för Hz fyranvåg & riangelvåg Hz fyranvåg Hz riangelvåg Fig.3.6 pliud Am ud Ampli id [se] Ampliudsperum för en Hz fyranvåg SKS9 Linjära Sysem Frevens [Hz] pliud Am ud Ampli id [se] Ampliudsperum för en Hz riangelvåg Frevens [Hz] Mer om allmänna periodisa signaler i Kap.! Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 6 Signalmanipulaioner (Kap..6: ransformaions) Sifning: y () x ( ) idssalning: y () xa ( ) Spegling: y () x( ) x(3) x() (Eng: reverse) Ampliudsalning: y() = x() x(3) x() x /3 >: försärning, <: dämpning Komprimerad 3 ggr Expanderad ggr x(--7) x(+8) x(-) x() x(-+8) x( -7) SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

10 Kap. : Inroduion ill Signaler & Sysem 7 Dubbelsidiga & Enelsidiga signaler Dubbelsidiga signaler: x ( ) för både och x Exempel: x ( ) Acos A A Enelsid iga signaler : x ( ) el ler x ( ) Vanligase specialfalle högersidig signal Exempel: x () Acos u x Enhessege: ; u () ; u u SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

11 Enel harmonis oscillaion en cosinus/sinus: A x() c A Periodid se Frevens f = Hz (Grund-)vinelfrevens π ω = πf = rad/se Fasförsjuning θc = ω idsförsjuning se c c rad ( ) = cos( ω θc ) = A cos ω ( ) x A sin ( ϕ) ( c ) π = cos ϕ

12 Räneexempel med omplexa ampliuder se bild i powerpoinpresenaionen för apiel Lasse Alfredsson, mars π π x() = 5sin ω + cos ω + = A cos( ω + φ ). Besäm A och φ!! 3 4 Lösningsväg ): π π π π j ω+ j ω j ω j ω π π e e e + e x() = 5sin ω + cos ω + = j π π π π π π j ω+ j ω+ + j ω+ j ω = e e e e jω jω = ( X e + X e ), där π π π j j 3 4 π π π π X = 5 e e = 5cos cos + j 5sin sin j.93 jφ.9 j e = A e, dvs A 4.88, φ.93 rad j( ω.93) j( ω.93) e + e x() 4.88 = 4.88cos ω.93 ( ) Lösningsväg ): π π π π j ω j ω+ 6 4 x() 5sin ω cos ω 5 Re e Re e = + + = 3 4 π π cos( ω + ) 3 π 6 π π j j = Re 5e 6 e 4 e j X= Ae φ jω, där π π π π X = 5cos 6 cos j 5sin sin.9 j j.93 jφ 4.88 e = A e, dvs A 4.88, φ.93 rad j.93 jω () Re{ 4.88 } ( ) 4.88cos ω.93 x e e = Kommenar: Lösningsväg ger ofa enlare beräningar än lösningsväg!

13 KAPIEL Föreläsning 3 5 Signalmodellering m.h.a. basfunioner Fourierserieuvecling Sperum

14 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling Kap. : Consrucing signals from building blocs Approximera signalen x() med en linjärombinaion av e anal basfunioner: ˆ x x c Basfunioner Koefficiener Varför? (se även boen sid. 75). Ofa enlare a generera xˆ c än a generera den fullsändiga signalen x() dire.. Svår/omöjlig a lagra en idsoninuerlig signal x(). Lagra isälle mosvarande oefficiener {, c, c, c, c, }. 3. Myce lämplig vid beräning av usignaler från linjära sysem! SKS9 Linjära Sysem Boen: Välj c & så a signalenergin e d minimeras där felsignalen är: e x xˆ Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling BILD -7: Jämför basfunioner med basveorer, vå basveorer i e 3-dimensionell veorrum: e x e Felveorn e x xˆ x xˆ e ˆ x c c c Den bäsa approximaion av x fås om e och e dvs., e & e (salärprodu) d ) SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

15 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 3 Förydligande exempel: En basveor i e -dimensionell veorrum x e x xˆ e, där xˆ c är bäsa e ˆx c möjliga approximaion av x om e, dvs. e, där e x xˆ ˆ ˆ c x e x x x x c Salärproduen: b a a, a,, a N N b a b a aa ab ab a b a b b b, b,, b N n bn N N N n n SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 4 vå basveorer i e 3-dimensionell veorrum e x e ˆx c c För varje basveor gäller därför följande: e x xˆ x ˆ x cp p p c : x c c Lös evaionssyseme : x c c & c Om många basveorer linjär evaionssysem av hög ordning Jobbig a lösa! Om orogonala basveorer SKS9 Linjära Sysem p ; p c x ; p Copyrigh Lasse Alfredsson

16 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 5 Salärprodu & Inre produ för veorer & funioner Veorer a a b b a, a,, a b, b,, b N N Funioner b a a, b Salärprodu: ab ab a, a,, a SKS9 Linjära Sysem N ab N b b b N Om a, b Salärprodu: a b a b d Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 6 Salärprodu & Inre produ för veorer & funioner Veorer a a b b a, a,, a b, b,, b N N Funioner b a Om a, b Inre produ: b b a, b ab a, a,, an N b ab N SKS9 Linjära Sysem Om a, b Inre produ:, a b a b d Copyrigh Lasse Alfredsson

17 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 7 Salärprodu & Inre produ för veorer & funioner Veorer a a b b a, a,, a b, b,, b N N Funioner b a Om a, b Om a, b a, b a b a, b a b a b a b Om a b a, b Om, SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson SKS9 Linjära Sysem Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 8 Exempel re orogonala fyranpulser ( Fig...) p, p d, p Copyrigh Lasse Alfredsson

18 () Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 9 Exempel approximera sinuspuls med orogonala Walsh-funioner () (Fig..6) se Välj följanded () 3 () oefficiener: c c 4 () 5 () c c c c5.7 6 () 7 () c.64 SKS9 Linjära Sysem -.5 id [se] -.5 id [se] c 6 7 Copyrigh Lasse Alfredsson. Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling fors. Exempel approximera sinuspuls med Walsh-funioner x Approximaion med 8 ermer Approximaion med 4 av 8 möjliga ermer 7 ˆ x c (Fig..5) Ampliud SKS9 Linjära Sysem id [se] c.636 c c c c c c c Copyrigh Lasse Alfredsson

19 () Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling Exempel 3 approximera fyranpuls med sinusfunioner 4 () (Fig..4) Välj följande oefficiener: c () 5 () c c c3 3 c 4 () 6 () c c c7 7 3 () 7 () -.5 id [se] SKS9 Linjära Sysem -.5 id [se] Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling Ampliud. fors. Exempel 3 approximera fyranpuls med sinusfunioner Approximaion med 8 ermer Approximaion med 5 av 8 möjliga ermer.8 x ˆ x c (Fig..3) c c c c3 3 c 4 c5 5 c 6 c id [se] SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

20 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 3 Bygga periodisa signaler med cosinus-basfunioner Vi ve sedan idigare: Summa av cos med samma (vinel-)frevens är -periodis: cos cos cos x A B C x x SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 4 Bygga periodisa signaler med cosinus-basfunioner Summa av cos med olia (vinel-)frevenser a & b : cos cos x Acos a Bcos b Om x() är -periodis, så gäller: cos cos x A B x a a b b a Krav:, b m m, a, där b m a SGD m s am a, b SKS9 Linjära Sysem b : grundvinelfrevensen ) Sörsa Gemensamma Delare (eng: GCD) Copyrigh Lasse Alfredsson

21 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 5 Bygga periodisa signaler med cosinus-basfunioner es av periodicie: x A cos /sin är periodis med periodid omm för alla vinelfrevenser och m i x(). m Då är SGD,,,, 3 E exempel på näsa bild & yerligare e par exempel på avlan SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson 5 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 6 Summa av cos/sin 3 x 3cos 6 cos 6 4 röd urva blå urva grön urva a 6 Periodis! b Periodid, där SGD6, r ad/s SKS9 Linjära Sysem se Copyrigh Lasse Alfredsson

22 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 7 Fourierserieuvecling av periodisa signaler är periodis med periodid omm, där. Bild 4&5: x A cos /sin x x För alla praisa (= alla fysialisa) -periodisa signaler x() gäller x X ˆ X cos cos Dea allas fourierserieuvecling av x() f : grundvinelfrevens X : medelvärdesnivån X ˆ cos : gru ndon f : grundfrevens deloner Xˆ cos,,3,4: överoner SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 8 cos Basfunioner! cos cos3 3 cos5 5 SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

23 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 9 och osp cos c är orogonala basfunioner! cos cos 5 5 SKS9 Linjära Sysem 3 5 cos 3 cos 5 d Även fasförsjuna cosinusar är orogonala! Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling Ex: Approximaion av fyranvåg N x ( ) ( udda) SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

24 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling Fourierserieuvecling av periodisa signaler JAVA-demo: Generering av periodisa signaler med hjälp av (co)sinusformade basfunioner: OBS esa även dea själv! SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling Fourierserieuvecling av periodisa signaler Farbror Euler: cos e j e j Använd basfunionerna j isälle för cos( + ) e Alernaiv i (maemais i lämpligare) li fourierserieuvecling: i (visas på avlan) j x c e Komplex fourierserieuvecling av x() Komplexa fourierserieoefficiener: j c x e d SKS9 Linjära Sysem (visas på avlan) Copyrigh Lasse Alfredsson

25 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 3 Fourierserieuvecling av periodisa signaler Jämförelse/sammanfaning: ˆ cos x X X c e j c x e d x är reellvärd c c j Enelsidig sperum ( ): X c Xˆ c SKS9 Linjära Sysem Ampliudsperum arg Fassperum c Dubbelsidig sperum: c arg c g Ampliudsperum Fassperum Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 4 Sperum grafis besrivning av periodis signal (se även idigare föreläsning) ˆ ˆ ˆ Xm j m m Xm jm Xm cos m m e e e e c c c ˆ j jm m m m ˆ j X e m m c m c m m m m ( m ) ( m ) Enelsidig Dubbelsidig omplex sperum omplex sperum Aningen -axell eller -axel SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

26 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 5 Sperum grafis besrivning av periodis signal (se även idigare föreläsning) ˆ ˆ ˆ Xm j m m Xm jm Xm cos m m e e e e c c c ˆ j jm Xˆ m m m m c m c m m m m m m Delon m har vinelfrevens m m arg c m m arg c m Enelsidig ampliudsperum resp. fassperum SKS9 Linjära Sysem Dubbelsidig ampliudsperum resp. fassperum Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 6 Komplexvär sperum e allmän exempel: 3 3 os cos 3 3c z j j j j j 3 j 3 6 j 5 6 j 5 3 e e e e 5.5e e. 5e e 3 4e j 3e j 6.5e j 6 e j 3 e j.5e j Enelsidig sperum Dubbelsidig sperum SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

27 Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 7 Fourieranalys & fouriersynes Fourieranalys: j x() och (eller ) är givna. Besäm c x e d Signalens frevenssperum, dvs. c riad som funion av frevens eller vinelfrevens, är ofa av inresse. Vanligen riar man då ampliudsperum och fassperum: c x() c 7f c 7f c 5f * 5f 3f f f 3f 5f 7f arg c f 3f 7f 3f f 5f f f SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. : Signalmodellering Fourierserieuvecling 8 Fourieranalys & fouriersynes Fouriersynes: j c och (eller ) är givna. Besäm x ce M j I praisa sammanhang nöjer man sig med en approximaion: x ce 7f c, c,, c, c 5f M M M M c 3f f f 3f 5f 7f f x() M arg c 7f 5f f 3f 7f 3f f 5f f SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

28

29 Lasses häfe Föreläsning 6 Sysemegensaper Kausalie idsinvarians Sabilie Linjärie Linjärisering av ice linjära sysem

30 Sysemegensaper Modellering av fysialisa sysem som disrea sysem Lumped = disre x() y() ={x()} E sysem är disre om sysemes fysialisa sorle är så lien a hela syseme excieras (reagerar) samidig av en insignal. E sysem sem som ine är disre allas för e disribuera ssem sysem. Modellering av sysem Hiills har vi behandla modeller för (främs periodisa) signaler. Nu sall vi fousera på modeller för fysialisa sysem. Speciell inressan/viig: SKS9 Linjära Sysem Sysemegensaper Beräna sysemes usignal y() för olia insignaler x() Copyrigh Lasse Alfredsson Sysemegensaper Sysemegensaper x() y() = {x()} Sysemoperaorn är olia för olia sysem. Några sysemexempel: y () 3 x () y() 7 x( ) y () x( ) () y () dx y () x( ) d y() x() d y() x( ) För e KAUSAL SYSEM gäller a dess usignal ine beror på insignalens framida värden, dvs. y( ) beror ine på x() ( ) för någo >. SKS9 Linjära Sysem E sysem som ine är ausal allas ice-ausal. Copyrigh Lasse Alfredsson

31 Sysemegensaper 3 x() Sysemegensaper y() = { x()} Egensaperna hos e IDSINVARIAN SYSEM ändras ine med iden. Konsevens: x() y() x( ) y( ). ( = ger upphov ill ) Ine idsinvarian sysem idsvarian (= idsvariabel, ice idsinvarian) Usignalen från e SABIL SYSEM är begränsad för alla begränsade insignaler, dvs x() M < y() N < M,N, Marginell sabil sysem: usignalen är begränsad för de flesa begränsade insignaler. Insabil sysem: usignalen är obegränsad för alla begränsade insignaler. i SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Sysemegensaper 4 Exempel på Linjära Fysialisa Sysem Vaenan y=h Linjär område V [m 3 ], volym h max y = x h [m], höjd x = V R [], resisans I [A], lisröm V [V], lispänning Mosånd Ohms lag: V = R I V max y = V Linjär område y = R x x = I V min SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

32 Sysemegensaper 5 Högalaren e linjär sysem med idsberoende signaler y Linjär område y() ) y max y max x y min y min x() Klippning ice-linjärie! x() [V], y() [hpa], lufrycsförändringar SKS9 Linjära Sysem växelspänning (al. membranläge [mm] ) Copyrigh Lasse Alfredsson Sysemegensaper 6 Linjärie x() y() = { x()} Lå insignalerna x () och x () ge upphov ill usignalerna y () resp. y () och beraa insignalen x() = a x () + b x () (a, b onsaner) Syseme är linjär om usignalen an srivas som y() = a y () + b y () Om syseme är linjär gäller följaligen nedan a y yˆ : x () x () a b ax () + bx () y x () a x () b SKS9 Linjära Sysem a x () + b x () yˆ Copyrigh Lasse Alfredsson

33 Sysemegensaper 7 Linjärie x() y() = {x()} Varför är linjärie en så cenral sysemegensap? Allmän samband: Lå x () y ( ) x ( ) och lå x () c x() c x() c x() c x ( ) 3 3 Om syseme är linjär gäller följande: y () c y() c y() c3 y3 () c y () Dea blir speciell inressan om alla x () är basfunioner, hels orogonala, dvs. x ( () = () Alla y () = { ()} behöver bara beränas en gång! g j x e Periodisa signaler är speciell inressana, dvs. då SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Sysemegensaper 8 m Linjär modell av ice-linjär sysem y y y x m: ice-linjär sysem y x: linjär sysem x x x x y m y y y x y x x x y f x: :ice-linjär sysem y x: linjär sysem x x y y y De ice-linjära syseme är approximaiv linjär nära x, y x, y y y SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

34 KAPIEL 4 5 & Lasses häfe Föreläsning 7 8 Differenialevaionsbesrivning av LI sysem Exempel: meanis svängningssysem Linjära elerisa nä/sysem Grundläggande samband för RLC nä

35 x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem Sysembesrivning meanisa svängningssysem Sä Svängande dämpad dfjäder Byggbloc för a represenera meanisa svängningssysem y() Fjäder Dämpare Massa F f F d m illämpningsexempel: F f F d F m F f = Kraf som F d = Kraf som F m = yngdrafen påverar påverar fjädern dämparen m = massan SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem Sysembesrivning meanisa svängningssysem Svängande dämpad fjäder frilägg och sä u rafer: Insignal: ändrad infäsningspun x() Obelasa läge Fjäderrafen F f = y o () = (y + y() x()) Dämprafen F d = c (y o ()) = c (y () x ()) yngdrafen F m = m g (g = yngdacceleraionen) F f F d y Newons :a lag: F m F f F d = m y () F f m F m F d Jämvisläge m y () +c y () + y() = m g y + c x () + x() Vid vila är x=, x = =, y=, y = =, y = m g = y y() ) Auell läge m y () + c y () + y() = c x () + x() SKS9 Linjära Sysem ( Mosvarar boens ev. 4.8 för y in () = x(), och f() = ) Copyrigh Lasse Alfredsson

36 x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 3 Sysembesrivning meanisa svängningssysem Syseme med fjäder, dämpare och massa resulerar allså i en linjär differenialevaion med onsana oefficiener som besriver sambande mellan insignalen x() och usignalen y() : d y dy dx m c y c x d d d En maemais sysembesrivning allas i boen för he governing equaion För varje insignal x() erhålls y() = y h () + y p () homogen lösning pariulärlösning lö i SKS9 Linjära Sysem Vid modellering av fysialisa sysem som linjära idsinvariana sysem (LI-sysem), blir ofa den sysembesrivande evaionen en linjär differenialevaion med onsana oefficiener! Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 4 E Linjära elerisa nä (sysem) Resisans Sröm R C Induans L dq i R i () Srömälla Lispänningsälla SKS9 Linjära Sysem Kapacians B V B V AB e () A V A C Nod Jord (poenial noll) Allmän spänningsälla d Poenial & Spänning VAB VA VB : Spänningen mellan noderna A oc h B V V A B : Poenialen i nod A : Poenialen i nod B idsberoende spänning: v v v AB A B Copyrigh Lasse Alfredsson

37 x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 5 Exempel på alernaiva näelemensymboler Resisanser Kapacianser Induanser (boen) (boen) (boen) Spänningsällor Jordsymbol De an även finnas fler alernaiva näelemensymboler, beroende på vilen sandard man håller sig ill. Ofas är de doc lä a inse vila näelemen som avses. SKS9 Linjära Sysem (boen) (boen) Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 6 Elerisa Kresar byggbloc i() R + v R () Resisans = ideal linjär modell av mosånd (resisor). Sorhe: R = resisans Enhe: Ohm [] Ohms lag, V = R I gäller i varje idpun v R () = R i() x() = i() LI y() = v R () R [], resisans I [A] V [V] Resisansen = LI-sysem: insignal x() = i() usignal y() = v R (). Mosånd/resisor = fysialis omponen V max y = V V min Linjär område y = R x x = I SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

38 i() L i() C x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 7 Elerisa Kresar byggbloc + v L () SKS9 Linjära Sysem + v L () + vc () C + v C () i() i() Induans = ideal linjär modell av en spole. di vl L d Spole Kapacians = ideal linjär modell av en ondensaor. Sorhe: C = apacians Enhe: Farad [F] i Kondensaor dv C C d Sorhe: L = induans Enhe: Henry [H] i vl d L Även induansen och apaciansen an beraas som LI-sysem med insignal x() = i() och usignal y() = v L () resp. y() = v C (), eller spänningarna som insignal och srömmen som usignal! vc i d C Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 8 Kirchhoffs lagar Kirchhoffs srömlag Summan av alla srömmar in i en nod är lia med summan av alla srömmar u från noden. För resen ill höger: i 4 i i i i i i 4 3 i i i4 i i3 i i i i i 3 4 i Allmän samband: i SKS9 Linjära Sysem Summera med + om srömmen går in i noden om srömmen går u från noden Copyrigh Lasse Alfredsson

39 x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 9 Kirchhoffs lagar Kirchhoffs spänningslag Summan av alla poenialändringar längs varje sluen väg i e eleris nä är noll. x v R vc v L y Allmän samban d: v Summera med + vid poenialhöjning vid poenialsänning re evaioner för resen ovan: y v x + vid poenialhöjning x v v v R R C L v v y 3 L C SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem Exempel sysembesrivning för e eleris sysem x i R L v v R L C y Beräna sambande mellan usignalen y() och insignalen x()! avelberäning använd Kirchhoffs spänningslag sam sröm-spänningsambanden för R, L och C: d y dy LC RC y x d d SKS9 Linjära Sysem Hjälpsorheer: i, v R och v L En differenialevaion! Samma yp av sysembesrivning som för meanisa svängningssysem! Copyrigh Lasse Alfredsson

40 x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem Serieoppling av näelemen Nedansående an erhållas bl.a. med hjälp av Kirchhoffs spänningslag sam observaionen a samma sröm flyer genom hela serieopplingen: R R Rn R R R R A B A B s n Rs L L Ln L L L L s A B A B C C C C C C C C C n s n n Ls s A Specialfall för n : Cs B C C C C A B SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem Parallelloppling ll li av näelemen Nedansående an erhållas bl.a. med hjälp av Kirchhoffs srömlag sam observaionen a samma spänning ligger över alla näelemen: A A A R R Rn L L Ln C C Cn B B B A Specialfall då n : A Specialfall då n : A B R p R R R p R R R R B L p Lp L L L L L L B C p R R R R p n L L L L p n C C C C p n SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

41 x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 3 Spänningsdelning över resisanser En spänning som ligger över vå serieopplade resisanser fördelas över resisanserna i proporion ill deras sorle: i R v R e R e R i (Ohms lag) R v? (Srömmen i() går genom båda resisanserna) R v e R R SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson x() y() Kap. 4 5: Meanisa och elerisa svängningssysem 4 Srömdelning för resisanser En sröm som går genom vå parallellopplade ll l resisanser fördelas så a sorleen av varje delsröm blir omvän proporionell mo sorleen av respeive resisans: i i e R R e R i R// R i (Ohms lag) (Spänningen e() ligger över såväl R som R ) R R R i i SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

42 KAPIEL 6 7 & Lasses häfe Föreläsning 8 Sröm/spänningsamband i elerisa LI sysem vid sinusformade ällor j meoden: impedanser, & omplexschema Frevensfunionen H() Ampl. & fasaraärisi Frevensseleiva filer

43 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() Beräning av usignal från LI-sysem Exempel uppgif 5-4a): L v in () = x() R + v R () = y() x() LI y() dvr L RvR Rvin d dy L Ry Rx d Lösning av differenialevaionen för varje insignal x(): ( y h () = homogen lösning, y p () = pariulär lösning) y() = y h () + y p () Finns de någo enlare sä a beräna usignalen v R (), uan a förs beräna differenialevaionen och sedan lösa differenialevaionen för varje insignal? i JA i synnerhe om insignalen är en frevenssignal! SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() Samband, sröm-spänning, för elerisa näelemen vid (co)sinusformade srömmar och spänningar ˆ j cos Re, där ˆ j v v ˆ j cos Re, där ˆ j i I i I I I v V V e V V e i e e är här en onsan R i() R + v() v R i j j Re V e Re R I e V RII SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

44 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 3 L i() L Samband, sröm-spänning, för elerisa näelemen vid (co)sinusformade srömmar och spänningar + v() v V L di d L j d ReV e d e Re I e j j L I Re L I Re j L I e d j d j C i C dv j i() d Re V e j C + v() i C d V jc ReI e C d j de j Re CV Re I jcv e d SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 4 Elerisa resar med (co)sinusformade ällor Sammanfaningsvis i gäller allså följande: I Z Ohms lag: Näelemen Impedans, Z + V V ZI Resisans R Z R = R Induans L Z L jl V är en omplexvärd spänning, Kapacians C Z C I är en omplexvärd sröm jc olning: Den elerisa resen görs om ill e omplexschema, med omplexvärda signaler och omplexvärda impedanser. Impedanserna beraas som omplexvärda resisanser! Ofas myce enlare beräningar! j-meoden SKS9 Linjära Sysem Exempel på avlan: Beräna y() i 5-4a) då x()=4cos(5 + /3) Vol Copyrigh Lasse Alfredsson

45 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 5 Frevensfunionen H() (slusas från avlans räneexempel:) Frevensfunionen H() för e (sabil) LI-sysem besriver sysemes frevensegensaper, dvs. hur myce syseme ampliudsalar och fasförsjuer frevenssignaler: Insignal: ˆ j x j x cos x x Re X Xe x X X e ˆ j cos Re x x y ˆ ˆ j y Usignal: y Y Y e Y X H Ye x jarghx Med H H e erhålls då x x Yˆ Xˆ H arg H y x arg x x SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 6 Frevensfunionen H() (för sabila LI-sysem) Alernaiv framsällning av de myce cenrala sambanden: Sabil LI-sysem X Y X H H x H() ) y Y X ˆ cos x X j x x X e SKS9 Linjära Sysem x X X ˆ e j H H e x x jargh ˆ cos arg y X H H Yˆ x x x x j x y X H e x y Y H() : Ampliudaraärisien arg H(): Fasaraärisien Copyrigh Lasse Alfredsson

46 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 7 Samband mellan differenialevaionsbesrivning och frevensfunion för LI-sysem x() LI-sysem av ordning n: y() = n n m d y d y dy d x an an a n n a y bm b m x d d d d f i ursboen Lösning av differenialevaionen y() = y h () + y p () Insignaler av främsa inresse: ˆ cos Re j x x X X e j X e OBS: onsan x X e x j Lå x X e m m m m j yp Y e Y X n n b j b j b j b a j a j a j a n n SKS9 Linjära Sysem Förydligande exempel på avlan! Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 8 Samband mellan differenialevaionsbesrivning och frevensfunion för LI-sysem x() Frevensfunionen: H m m m m n n n n Y b j b j b j b X a j a j a j a y() variabel Jämför med den sysembesrivande differenialevaionen: n n m m d y d y d x d x an a n n a n y bm b m m b m x d d d d OBS: Frevensfunionen H() exiserar bara om LI-syseme är sabil! Informaion om sysemes sabiliesegensap erhålls från differenialevaionens homogena lösning, y h () SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

47 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 9 Differenialevaionens homogena lösning, y h () oal diff.evaionslösning: y() = y h () + y p () Pariulärlösningen y p () beror på insignalen x() Den homogena lösningen y h () är oberoende av x() Homogen lösning Sä differenialevaionens högerled ill noll: n n n n n d y d y dy an a a a y d d d En lösning är y h () = A e s Soppa in i... Den araärisisa evaionen: n n n a s a s a sa n SKS9 Linjära Sysem n lösningar s, s,, s n yh OBS!! lm i y h, Sabil sysem Insabil sysem Marginell sabil sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() Den homogena lösningen y h () Segsvar (ransiensvar), ap. 6.3: y() ) = y h () + y p () då x() ( ) = A u() ( ) Här är den homogena lösningen y h () av speciell inresse: y h () = usignalens insvängningsförlopp g run den pariulära lösningen y p () = B u(). ( ) B y() = y h () +y y p () Om (ausal och) sabil sysem lim y h A x() = A u() p lim y y SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

48 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() Den homogena lösningen y h () Frevenssvar ( seady sae response ), ap 7: y() = y h () + y p () då x() = ^ X cos( x + x ) Vi suderar främs (ausala och) sabila sysem y() y p () = X H( ^ x ) cos( x + x + arg H( x )) lim y h Vid > har y h() dö u för länge sedan! ^ x() ( ) = X cos( + = = ^ x x ) y() y p () Y cos( x + y ) = SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() Sammanfaning, samband insignal usignal i i l för sabila LI-sysem x Sabil y LI-sysem H y H() Y X Y = Usignalens omplexa ampliud X=Insignalens omplexa ampliud x X ˆ cos x x y jx X e X H X Xˆ cos X ˆ H cos arg H x x x x j x e x ˆ cos arg X H X H H Om x() är periodis med periodid = där sam j c e SKS9 Linjära Sysem j c H e Samband för omplexa fourierserieoefficiener Copyrigh Lasse Alfredsson

49 x() Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 3 Jämförelse ampliudsperum och ampliudaraärisi ä i i Sabil LI-sysem H() -periodis insignal x(): x c e j y() Sysemes frevensfunion: H() H() Insignalens ampliudsperum c 7 c Sysemes ampliudaraärisi H -periodis usignal y(): y d e SKS9 Linjära Sysem d c H j Usignalens ampliudsperum d c H Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 4 Frevensseleiva Filer x LI-sysem H() y Vid sysemanalys är man ofas i försa hand inresserad av sysemes ampliudaraärisi H() (fasaraärisien arg H() är ine lia cenral) Myce ofa föreommande och viig yp av LI-sysem: Frevensseleiva filer E LI-sysem som onsrueras så a de får önsade frevensegensaper, dvs. önsad ampliudaraärisi (och/eller fasaraärisi). Exempel: H Lågpassfiler Bandpassfiler Högpassfiler SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

50 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 5 Frevensseleiva Passiva Filer Frevensseleiv filrering: Y = X H() H() Ampliudnormera filer: H() max = H max Mosvarar 3 db H max ; undre 3 db-gränsvinelfrevens Passband ; övre 3 db-gränsvinelfrevens Spärrband Spärrband ; g B = ; bandbredden SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 6 Vanliga Ideala och verliga frevensseleiva filer: Ideal LågPassfiler Ideal BandPassfiler LP-filer H Verlig LågPassfilerg HP-filer Ideal HögPassfiler H p p p BP-filer H Verlig BandPassfiler H Ideal Verlig HögPassfiler p BS-filer BandSpärrfiler Verlig H H BandSpärrfiler SKS9 Linjära Sysem Copyrigh Lasse Alfredsson

51 Kap. 6 7: Diff.evaionslösning och frevensfunionen H() 7 Exempel: Laboraion i Linjära sysem Nochfiler H Funion: Släpp igenom alla sinusformade signaler, uom de som har vinelfrevens rad/s. Frevenssignaler nära dämpas rafig. E enel nochfiler av ordning : (Filres/sysemes ordning = anale apacianser + anale induanser) x() esa rlcdemo i Malabs Conrol Sysems oolbox! SKS9 Linjära Sysem + R C L + y() Copyrigh Lasse Alfredsson

52 ude Magni.5.5 R = Frequency (Hz) - Phase Frequency (Hz) Filer characerisics or signal specrum Magni ude - 3 R = Frequency (Hz) Phase Frequency (Hz)

53 Filer characerisics or signal specrum Magni ude.5 R = Frequency (Hz) - Phase Frequency (Hz) Filer characerisics or signal specrum ude Magni /.5 R = Frequency (Hz) - Phase Frequency (Hz)

54 Filer characerisics or signal specrum ude Magni.5 R = Frequency (Hz) - Phase Frequency (Hz)